第05讲 平行线中的基本模型专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学下册寒假衔接

第05讲 平行线中的基本模型专项训练 题型一 平行线基本模型之猪蹄模型 题型二 平行线基本模型之铅笔模型 题型三 平行线基本模型之锯齿模型 题型四 平行线基本模型之“骨折”模型 题型五 平行线基本模型综合应用 【核心考点一 平行线基本模型之猪蹄模型】 1．（24-25七年级下·广东佛山·期中）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”． (1)导入：如图1，已知，如果，，则　　； (2)发现：如图2，直线，请判断与，之间的数量关系，并说明理由； (3)运用：如图3，已知，P在射线上运动（点P与点A、B、O三点不重合），，，请用含、的代数式表示，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）首先根据平行线的性质求出，，然后求和即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得到，，即可得到与，之间的数量关系； （3）根据题意分点P在线段上，点P在线段上和点P在射线上三种情况讨论，求出，，然后根据角的和差求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，过点P作， ∵， ∴，， ∴； （3）解：如图所示，当点P在线段上时，作交于点Q， ∵ ∴，， ∴； 如图所示，当点P在线段上时，作交于点Q， ∵， ∴，， ∴； 如图所示，当点P在射线上时，作交于点Q， ∵， ∴，， ∴； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 2．（24-25七年级下·新疆哈密·期中）【引入】在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型—“猪蹄模型”．如图1所示，，点在直线与之间，连接、，嘉琪想到了过点作，证明：． 【思考】（1）当点在如图2所示的位置时，其他条件不变．写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 【应用】（2）如图3，延长线段交直线于点，已知，，求的度数． 【提升】（3）点、、在直线与之间，连接、、和，其他条件不变，如图4．若，则______．（直接写出答案） 【答案】（1），理由见解析（2）（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）过点作，得到， 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ， 即； （2）由（1）可知：， ， ， ； （3）如图，过点作，则， 由（1）的结论得：， ， ， ， ， ， ． 3．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”． (1)导入：如图①，已知，如果，，那么 ； (2)发现：如图②，已知，请判断与，之间的数量关系，并说明理由； (3)运用：(i)如图③，已知，，点、分别在、上，，如果 ，那么 ； 如图④，已知，点、分别在、上， 、分别平分和． 如果，那么 ； 如图⑤，已知，点、分别在、上， 、分别平分和，且． 如果，那么 ．(用含的代数式表示) 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)(i)； (ii)； (iii) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，进而根据，即可求解； （2）过点作，根据（1）的方法即可求解； （3）（）由（2）可得， ，得出，根据，即可求解； （）由“猪蹄模型”，可得，，根据角平分线的性质得出，继而根据，即可求解； （）如图所示，延长交于点，设，，根据平行线的性质得出，，根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：． （2）, 如图所示，过点作， ， ， ， ， ， ； （3）解：（）由（2）可得， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （）解：如图所示，∵ 由“猪蹄模型”，可得，； ∵、分别平分和 ∴ ∴ ∴， ∴, 故答案为：． （）解：如图所示，延长交于点， 设， ∵、分别平分和， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定求角度，掌握平行线的性质是解题的关键． 4．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型—“猪蹄模型”． 已知：如图，， 为 ， 之间一点，连接 ， 得到 ． 求证：． 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点 作， ， ，， ， ． ， （ ） （1）请你补全推理过程． （2）利用上面“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题． 如图，若，，求 是多少? 【答案】（1），EF//CD，等量代换；（2）. 【分析】（1）根据平行线的性质，两直线平行内错角相等可得,根据平行线的性质可得EF//CD，再根据平行线的性质可得，由等量代换可得； （2）由EM∥AB，FN∥EM，FN∥CD分别得∠1=∠B，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，由角的和差计算∠B+∠C+∠F的度数为240°. 【详解】（1）解： 过点E作EF//AB， （两直线平行，内错角相等）， AB//CD，EF//AB， EF//CD（如果有两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线这互相平行）． ． ， （等量代换）． 故答案为：，EF//CD，等量代换. （2）过点E、F分别作EM∥AB，FN∥AB，如图2所示： ∵EM∥AB， ∴∠1=∠B， 又∵FN∥AB， ∴FN∥EM， ∴∠2=∠3， 又∵AB∥CD， ∴FN∥CD， ∴∠4+∠C=180°， 又∵∠BEF=∠1+∠2，∠EFC=∠3+∠4，∠BEF=60° ， ∴∠B+∠EFC+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C =（∠1+∠2）+（∠4+∠C） =60°+180° =240°； 【点睛】本题综合考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，角平分线的定义，等量代换等相关知识，解决本题的关键是要掌握平行线的判定与性质，难点作辅助线构建平行线． 5．（24-25七年级下·山东德州·期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，为、之间一点，连接，得到． 求证：， 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点作， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图2，若，，求的度数； (2)灵活应用：如图3，一条河流的两岸当小船行驶到河中点时，与两岸码头B、D所形成的夹角为（即），当小船行驶到河中点时，恰好满足，，请你直接写出此时点与码头B、D所形成的夹角＝_________． 【答案】(1)240° (2)32° 【分析】（1）过E点作，过F点作，易得，，，则有∠B=∠BEN，∠NEF=∠EFM，∠C+∠CFM=180°，根据∠BEN+∠NEF=∠BEF，∠EFM+∠CFM=∠EFC，∠BEF=60°，即有∠B+∠EFC+∠C=(∠B+∠EFM)+(∠CFM+∠C)=∠BEF+180°=240°； （2）根据题目的证明方法可得∠F=∠ABF+∠CDF，∠E=∠ABE+∠CDE，由∠ABF=∠EBF，∠EDF=∠CDF，可得∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，即有∠F=∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)=，问题得解． 【详解】（1）过E点作，过F点作，如图， ∵，，， ∴，，， ∴∠B=∠BEN，∠NEF=∠EFM，∠C+∠CFM=180°， ∵∠BEN+∠NEF=∠BEF，∠EFM+∠CFM=∠EFC，∠BEF=60°， ∴∠B+∠EFC+∠C=(∠B+∠EFM)+(∠CFM+∠C)=∠BEF+180°=240°， 故答案为：240°； （2）根据题目中“猪蹄模型”的证明方法，同理可以证明：∠F=∠ABF+∠CDF，∠E=∠ABE+∠CDE， ∵∠E=64°， ∴∠ABE+∠CDE=64°， ∵∠ABF=∠EBF，∠EDF=∠CDF， ∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE， ∵∠F=∠ABF+∠CDF， ∴∠F=∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)=， 故答案为：32°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补是解答本题的关键． 6．（24-25七年级下·湖南永州·期末）在放学回家的路上，小亮同学发现地面上有一块矩形的玻璃片碎成了两块（形如图1），为防止碎玻璃伤害行人，他小心地捡起碎玻璃准备放入路边的垃圾分类收集点时，爱思考的小亮同学又发现这碎玻璃与数学课上学习过的“猪蹄模型”很相似，于是尝试用“猪蹄模型”的研究方法去探究其中角之间的关系． (1)在图2中，证明． (2)针对此问题，小亮同学进行了深入探究，感受到数学探究的乐趣，现在重现小亮的探究过程，并请你解决以下问题． 【探究1】小亮同学在“猪蹄模型”的基础上画出了图3，发现图3中、、、也存在着某种数量关系，请你写出这四个角之间的数量关系，并写出证明过程． 【探究2】小亮同学进一步探究，画出了图4，请问这五个角之间是否存在某种数量关系，如果有，请写出数量关系并予以证明；如果没有，请说明理由． 【探究3】小亮同学突发奇想：“若是摔碎的玻璃上有个角（如图5），那么这些角之间有什么数量关系呢？”请你做出一个猜想，直接写出你猜想的这个角的数量关系，并说一说为什么可以这样猜想． 【答案】(1)见解析 (2)探究1：，见解析；探究2：，见解析；探究3：当n为奇数时，；当n为偶数时，，见解析 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定． （1）过点B作的平行线，由平行线得到，，然后结合证明即可； （2）探究1：过点F作的平行线，由平行线得到，，然后结合证明即可； 探究2：过点J作的平行线，由平行线得到，，然后结合证明即可； 探究3：①当n为奇数时，由，是找到规律求解即可；②当n为偶数时，同①即可得． 【详解】（1）证明：过点B作的平行线，如图2 则由题意知 ∴， ∵ ∴； （2）探究1：、、、数量关系为：． 理由如下：过点F作的平行线，如图3 则由题意知 ∴， ∵ ∴； 探究2：、、、、数量关系为 理由如下：过点J作的平行线，如图4 则由题意知 ∴， ∵ ∴； 探究3：①当n为奇数时，． 理由：由（1）知：当时，； 当时，；．．．．， 由此，可猜想当n为奇数时． ②当n为偶数时， 理由：由（2）知：当时，； 当时，；．．．．， 由此，可猜想当n为偶数时． 7．（24-25七年级上·河南南阳·期末）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明∶老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图，，E为之间一点，连接得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点E作 则 ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图所示，过点E作，过点F作， 则，由平行线的性质得到，进而推出，由此即可得到答案； （2）如图所示，过点P作，则，由平行线的性质得到，，推出，再由即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【核心考点二 平行线基本模型之铅笔模型】 8．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）（1）如图①所示，，，，则和有怎样的位置关系？请对你的结论进行证明． （2）如果图①中仍是，但，，则等于多少度？ （直接写出结果） （3）如图②，，当时，要使和保持和图①一样的位置关系，则的度数应是多少？并结合所给的条件进行证明．          【答案】（1）和垂直，见解析；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，垂直的含义． （1）过点C作，证明，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）过点C作，证明，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）过点C作，证明，进一步利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）．理由如下： 过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2），理由如下：如图， 过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， （3）当时，．理由如下： 过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 9．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，，点E在之间且点E在点A右侧，求证：； 【类比分析】 （2）李老师将图①进行了变换并提出了下面问题请你解答：如图②，，点E在之间且点E在点A左侧，猜想之间的数量关系，并证明； 【学以致用】 （3）如图③是超市的购物车，图④是其侧面示意图，已知，通过测量得知，求的度数．    【答案】（）证明见解析；（）；（） 【分析】本题考查了平行线的性质探究角度之间的关系，正确作出辅助线是解题的关键． （）如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证； （）如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证； （）如图，过点作，过点作，可得，，即得，即得到，又由平行公理的推论得，即可得，进而即可求解； 【详解】（）证明：如图，过点作，则，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （）如图，过点作，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （）如图，过点作，过点作，    ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，，在、内有一条折线． (1)求证：； (2)在图2中，画的平分线与的平分线，两条角平分线交于点，请你补全图形，试探索与之间的关系，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，已知和均为钝角，点在直线、之间，且满足，，（其中为常数且），直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键． （1）首先过点P作，然后根据，，可得，，据此判断出即可； （2）首先由（1）可得，；然后根据的平分线与的平分线相交于点Q，推得，即可判断出． （3）首先由（1）可得，；然后根据，，进一步即可判断出． 【详解】（1）证明：如图1，过点作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴； （2）解：如图2，平分，平分，交点为， 由（1）可得：，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴ ， ∴； （3）解：如图，由（2）可得：，， ∵，， ∴ ， ∴； 11．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，，点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)①如图1，、、的数量关系为 ； ②如图，、、的数量关系为 ． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则 ． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与的数量关系是 ． 【答案】(1)①；② (2)①；②，见解析；③ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）①过点作，根据平行线的性质即可解决问题； ②过点作，则，得，，然后求解作答即可； （2）①由（1）可知，，则，作，则，，，根据，计算求解即可； ②由①的结论，整理作答即可； ③由②可知，，同理可得，，，由角平分线可推导一般性规律为，由，可得，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：①如图1，过点作， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：； ②如图，过点作，则， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）①由（1）可知，， ， ，分别平分和， ，， ， 如图，作，则， ，， ， 故答案为：； ②，理由如下： 由①可知，， 整理得，， ； ③由②可知，， 同理可得，，，， 由角平分线可知，，，， ，，， ，，， 可推导一般性规律为， ， ， 当时，， ，即． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·河南南阳·期末）问题情境：如图1，，求的度数． （1）小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作， ，（ ① ） ．（ ② ） ， ． ． 问题迁移： （2）如图3，，当点在线段上运动时，，求与之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、三点不重合），请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补（2），理由见解析（3）或，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定并且作出平行的辅助线是解答本题的关键． （1）根据平行线的判定与性质填写即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，代入，即可得出答案； （3）画出图形（分两种情况：点在的延长线上，点在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：（1）如图2，过点作， ， ， （平行于同一条直线的两条直线互相平行） ，． （两直线平行，同旁内角互补） ，， ，． ． （2），理由：过点作交于点， ， ， ，， ； （3）或， 当点在延长线上时，过点作交延长线于点， ， ， ，， ； 当点在延长线上时，过点作交于点， ， ， ，， ， 综上，或． 13．（24-25七年级下·河北唐山·期中）（1）【感知】如图1，，点在直线与之间，试说明．下面给出了这道题的解题过程，请将解题过程中的解题依据补充完整． 证明：如图1，过点作， ，（___________①___________） （已知），（辅助线作法）， ，（②） ___________③___________，（___________④___________） ， ； （2）【探究】当点在如图2的位置时，其他条件不变，则___________度； （3）【应用】如图3，延长线段交直线于点，已知，，直接写出的度数． 【答案】（1）①两直线平行，内错角相等；②平行于同一直线的两条直线平行；③；④两直线平行，内错角相等；（2）360；（3） 【分析】（1）过点E作，由平行线的性质得出，证出，由平行线的性质得出，即可得出结论； （2）过点E作，则，由平行线的性质得出，即可得出结论； （3）过点E作，则，由平行线的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图1，过点E作， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（已知），（辅助线作法）， ∴，（平行于同一直线的两条直线平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵， ∴；（等量代换）    （2）证明：过点E作，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∴；    （3）解：过点E作，如图    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，正确作出辅助线和熟练运用平行线的性质是解题的关键． 14．（24-25七年级下·山西吕梁·月考）综合与实践： 【图形感知】： 如图，，点在直线上，点在直线上，点为，之间一点 （1）如图，，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图，过点作， ∵，（已知）， ∴__________（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（__________） ∴（等式性质）， ∴， （2）如图，，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面的结论推理，，之间的关系； 【综论应用】： 直接利用上述结论进行证明； （3）如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点，与相交于点．猜想并证明与的数量关系． 【答案】（）；两直线平行，同旁内角互补；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】（）根据平行公理求出，根据“两直线平行，同旁内角互补”求出 ，，再根据角的和差求解即可； （）根据平行公理求出，根据“两直线平行， 内错角相等”求出，，再根据角的和差求解即可； （）结合（）结论及角平分线定义求解即可； 本题考查了平行线的判定与性质，平行公理和角平分线的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）如图，过点作， ∵，（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∴（等式性质）， ∴， 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补； （）如图， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （），理由如下： 由（）得，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 【核心考点三 平行线基本模型之锯齿模型】 15．（2024七年级·山东·模拟预测）如图所示，，试说明之间的数量关系． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，根据平行线的性质、平行公理推论可得，，再根据平行线的性质可得，则可得，同理可得，两个等式相加即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 在题干图中，即为． 16．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知，，，，平分，平分，的反向延长线交于点G． (1)若，则_______； (2)请探索与之间满足的数量关系？说明理由； (3)求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角和的性质，需熟练掌握平行线的性质，由平行线的性质求解角度，解决本题的关键是得到这一关系． （1）通过辅助线构造平行线，根据平行线的性质，由“两直线平行，同旁内角互补”，可求解，再结合，即可得，再由“两直线平行，内错角相等”，可得，，由此可求解的度数； （2）通过辅助线构造平行线，根据平行线的性质，由“两直线平行，同旁内角互补”，可求解，再由“两直线平行，内错角相等”，可得，，由此可得与的数量关系； （3）延长交于点R，延长交于点Q，根据平行线的性质可得，根据三角形外角的性质可得，再根据平行线的性质和角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：过点E作，过点F作，如图， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 过点E作，过点F作，如图， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ， 又∵， ∴， 即； （3）解：延长交于点R，延长交于点Q，如图， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）【问题探究】如图①，已知，我们发现，我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 【问题解答】 (1)请按张山同学的思路，写出证明过程； (2)请按李思同学的思路，写出证明过程； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点E作，利用平行线的性质得，利用平行公理的推论，得，从而得出，即可得出结论； （2）过点B作，交延长线于K，根据平行线的性质得，，再由得出从而得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图②，过点E作， ， ， ， ， ， ∴， 即． （2）证明：如图③，过点B作，交延长线于K， ∵， ∴，， ， ， ， ∴， 即． 18．（24-25七年级下·浙江衢州·期中）如图（1）所示，是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么你可深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”． (1)如图（2）所示，已知，请问成立吗？并说明理由； (2)如图（3）所示，已知，请问又有何关系？并说明理由； (3)如图（4）所示，已知．若，则 ． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理，正确作出辅助线是解题的关键； （1）过E作，根据平行公理可证，再利用平行线的性质可得结论； （2）过E作，根据平行公理可证，再利用平行线的性质可得结论； （3）分别过E，F，G作的平行线，根据平行公理可证，再利用平行线的性质可得，即可得解． 【详解】（1）解：成立，理由如下： 如图，过E作， ， ， ， ． （2）解：，理由如下： 如图，过E作， ， ， ， ． （3）解：如图，分别过E，F，G作的平行线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 19．（24-25七年级下·四川南充·月考）小明遇到了一些问题，请你帮他解决一下 (1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由； (2)如图②，已知点B在点A的左侧，，平分，平分，若，，求的度数； (3)如图③，点B在点A的右侧，点C在点D的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数(用含m，n的式子表示)． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，解题的关键是过拐点构造平行线． （1）过点作，利用平行线的性质和角的和差关系即可得出结论； （2）利用平行线的性质以及角平分线的定义得到，，同理（1）中的方法可得，即可求解； （3）过点作，利用平行线的性质、角平分线的定义、角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：成立，理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 同理（1）中的方法可得，， ∴； （3）解：如图，过点作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，平面上有两条直线，，，是平面上这两条直线间的一点． 【问题探究】（1）如图，若，，求的度数． 解：过点作， （ ） 又 （ ） ， ，， 【问题解决】（2）若，，请根据（1）的解题思路，求图2中的度数． 【方法总结】（3）如图，若， ， ，则的度数为 ．（用含，，的式子表示） 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可； （2）根据题意，结合图形，可得，，可得到结果； （3）仿照（1）的运算，可得，，即可得到，结合已知条件，可得到结果． 【详解】解：（1）过点作， （两直线平行，内错角相等）， 又， （平行于同一直线的两直线平行）， ， ，，， ， 故答案为：两直线平行， 内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；；； （2）如图2，过点作， ， ， 又， ， ， ， ， ； （3）如图3，过点作， 由（1）可知，， 即， ， ， ， ， 即， ，，， ， ， 故答案为：． 21．（24-25七年级下·山东德州·月考）（1）问题解决：如图1，已知，是直线，内部一点，连接，，若，，求的度数； 嘉琪想到了如图2所示的方法，请你完成嘉淇的解答过程； （2）问题迁移：请你参考嘉琪的解题思路，完成下面的问题： 如图3，，射线与直线，分别交于点，，射线与直线，分别交于点，，点在射线上运动，设，． ①当点在，两点之间运动时（不与，重合），求，和之间满足的数量关系； ②当点在，两点外侧运动时（不与点重合），直接写出，和之间满足的数量关系． 【答案】（1）100°（2）①；②当点在上时，；，当点在上时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等，并利用角的和差关系进行推算． （1）过点作，依据平行线的性质，即可得到的度数； （2）①过作，依据平行线的性质，即可得出，和之间满足的数量关系． ②分两种情况讨论：过作，易得当点在上时，；当点在上时，． 【详解】解：（1）如图2，过点作， ， ， ， ， ； （2）①如图3，过作， ， ， ，， ，即； ②如图4，当点在上时，过作， ， ， ，， ； 即； 如图5，当点在上时，过作， ， ， ，， ， 即． 【核心考点四 平行线基本模型之“骨折”模型】 22．（24-25七年级下·西藏昌都·期末）完成下面的证明： 已知：如图，，求证：， 证明：过点作． ∵（已知）， ∴____________（                  ）． ∵（已知）， ∴ （                  ）． ∵____________（                  ）． ∴， ∴（                  ） 【答案】；两直线平行，内错角相等；；平行于同一条直线的两条直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换． 【分析】解题思路为利用平行线的性质，通过作辅助线 ，结合平行公理及平行线的内错角相等、同旁内角互补等性质，逐步推导得出结论．本题主要考查了平行线的性质与平行公理，熟练掌握平行线的内错角相等、同旁内角互补及平行公理是解题的关键． 【详解】解：过点作． （已知）， （两直线平行，内错角相等）． ，（已知）， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． ，， （等量代换）， 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；平行于同一条直线的两条直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换． 23．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）如图①，蜿蜒曲折的盘山公路仿佛一条长龙，在郁郁葱葱的山间起舞．数学活动课上，老师把盘山公路抽象成图所示的样子． (1)如图，，，，求的度数； (2)聪明的小明在图的基础上，将图变为图，其中，，，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作，则有，又因为，所以，则，然后通过角度和差即可求解； （）过点作，过点作，所以，所以，，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， 因为， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：如图，过点作，过点作， 因为， 所以， 所以，，， 因为，， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以． 24．（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）过点作 ，根据平行线的性质进行说理即可； （2）过点作的平行线 ，利用平行线的性质说理即可． 【详解】（1）解：过点作 ， ∵， ∴， ，， 两式相加得∶ ， 即； （2）解：如图（2），过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， 即 ； 如图（3），过点作，设交点为， ， ， ， ，， ， 即； 如图（4），过点作， ， ∴， ， ， 即． 25．（24-25七年级下·广东·期末）综合探究 (1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图①，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作，则______，， 又∵．∴ ； (2)【方法运用】如图②所示，已知，交于点E，，求的度数． (3)【拓展探究】如图③所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，求的度数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，利用转化思想解答是解题的关键． （1）过点A作，如图①，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的定义得到； （2）过点E作，如图②，利用平行线的性质得到，则，，然后把两式相加可得； （3）过E点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，设，，结合平行线的性质得到，利用代入求解即可． 【详解】（1）解：过点A作， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：过点E作，如图，    ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴. （3）解：过E点作，如图，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵ ． 26．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作，   ∴_____，______， 又∵° ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【答案】（1）；；；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；（1）过点A作，，从而利用平行线的性质可得，，根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）过点E作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：；；；；； （2）过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；         （3），   理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 27．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）综合与探究 【问题感知】 （1）如图1，已知，，若，求的度数． 【问题解决】 （2）如图2，若，试说明：． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，，，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行的性质、平行线的判定、角的和差运算、解一元一次方程等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，结合已知条件可得；再根据平行四边形的性质可得，将代入计算即可； （2）如图，过点C作，过点D作．易得，再根据平行线的性质可得、、，易得，进而证明结论； （3）设，，易得、，则、．进而得到、，再进行变形求解即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴．     （2）如图，过点C作，过点D作． ∵， ∴．     ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，     ∴， ∴．     （3）设，， ∵，， ∴，， ∴，．     由（2）易得，， ∴，，     由，得，     由，得． 28．（24-25七年级下·贵州黔东南·期末）2025年央视春节联欢晚会上，一群身着东北花棉袄的宇树科技机器人和表演者们一同跳起了秧歌，传统与未来在节目中共舞，科技之光也照亮了文化传承之路，更是向世界展示了中国“智造”的强悍实力．为了便于观察和研究，将机器人的形态进行线条化的表示． (1)如图1，若只观察机器人的腿部，记地面为直线n，过机器人大腿根部作地面的平行线m，记机器人大腿与直线m的夹角为，机器人小腿与直线n夹角为，机器人大腿与小腿夹角为．为了探究，，三者数量关系，我们可以过机器人大腿、小腿连接点作一条平行于直线m与直线n的直线l，接着利用“两直线平行，内错角相等”的性质，就可以得出，，三者数量关系为______； (2)如图2，若忽视机器人的手臂，让机器人上半身垂直于地面（即所在直线），若，，求的度数； (3)如图3，当机器人在训练时可以让手臂与地面呈平行状态，脚面与地面持平，当，时，试探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论． （1）根据“两直线平行，内错角相等”作答即可； （2）过点作，过点作，由题意可知，根据平行线的性质求解即可； （3）过点作，过点作，则，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：作一条平行于直线m与直线n的直线l，接着利用“两直线平行，内错角相等”的性质，就可以得出，，三者数量关系为， 故答案为：； （2）解：如图2，过点作，过点作， 依题意得， ， ， ， ，， ，， ． （3）解：，理由如下： 如图3，过点作，过点作， 依题意得， ，，， ，， ，， ． 【核心考点五 平行线基本模型综合应用】 29．（24-25七年级下·吉林松原·期中）图①为一幅动漫截图，图②是从图①中抽象出的“青蛙模型”，已知，． (1)__________度，与的位置关系是___________； (2)求的度数． 【答案】(1)118，平行 (2) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据平行线的性质和平行公理的推论，作答即可； （2）根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴；； 故答案为：118；平行； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴． 30．（24-25七年级下·全国·课后作业）推理能力【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图①所示的几何图形很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”．“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【结论】（1）如图1，，M是、之间的一点，连接，．试说明：； 【运用】（2）如图2，，M，N是、之间的两点，且．请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，求出、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过点N作的平行线，设，则，由“猪蹄模型”可表示，再借助平行线的性质计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过点N作的平行线． ∵， ∴由“猪蹄模型”知， 设，则， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ∴ 即：． ∴、、三者之间的数量关系：． 31．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期末）（1）【感知发现】学习平行线时，兴趣小组发现了很多有趣的模型图．如图1，当时，可以得到结论：．请你写出证明过程． （2）【综合实践】利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．如图2，已知直线，点C在直线b上，在三角形中，，兴趣小组的同学们发现，请说明理由． （3）【探究运用】如图3，，F是上一点，平分，平分，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）理由见解析；（3），证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过E点作，可得，根据平行线的性质得出，即可得到结果； （2）如图，结合（1）的结论得到，由，结合已知条件，得到结果； （3）由模型（1）可得，结合角平分线的定义，可得到结果． 【详解】（1）证明：过E点作， ， ， ， ， 即； （2）如图2，，理由如下： 由（1）模型图知，， ， ， ， ， 即； （3）如图3，，理由如下： 由（1）模型图得，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 即． 32．（24-25七年级下·贵州遵义·月考）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，，代表镜子摆放的位置，并且与平行，光线经过镜子反射时，满足，．证明离开潜望镜的光线平行于进入潜望镜的光线． 请补全下述证明过程： ∵， ∴______． ∵，， ∴______． ∵，______． ∴______． ∴（本空填依据：______）． 【答案】；；；；内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的判定和性质，结合已知证明即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，． ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；内错角相等，两直线平行． 33．（24-25七年级下·北京西城·期中）在学习“相交线与平行线”一章时，课本第21页中有一道关于潜望镜的拓广探索问题，老师倡议班上同学分组开展相关的实践活动．小明所在组上网查阅资料，制作了相关PPT介绍给同学（图1、图2）；小宁所在组制作了如图所示的潜望镜模型并且观察成功（图3）．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理． (1)图4中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，入射光线与反射光线满足，这样离开潜望镜的光线就与进入潜望镜的光线平行，即．请完成对此结论的以下填空及后续证明过程（后续证明无需标注理由） （已知）， （____________________________）． （已知）， （_________________）． (2)若，则________°． (3)在之后的实践活动总结中，老师进一步布置了一个任务：利用图5中的原理可以制作一个新的装置进行观察，那么在图5中方框位置观察到的物体“影像”的示意图为________． A．  B．   C．   D． 【答案】(1)3，两直线平行，内错角相等，等量代换 (2) (3)C 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，结合等量代换思想解答即可． （2）根据，，得到，于是得，再根据已知，计算即可． （3）由题意可知每反射一次，相应的图形旋转，一共要经过三次反射，故起始图形应逆时针旋转或顺时针旋转后得到的图形为，选择即可． 【详解】（1）解：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等量代换）． 故答案为：3，两直线平行，内错角相等，等量代换． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：45． （3） 解：由题意可知每反射一次，相应的图形旋转，一共要经过三次反射，故起始图形应逆时针旋转或顺时针旋转后得到的图形为， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，旋转，与物理的跨学科综合，等量代换思想，熟练掌握平行线的性质，平面镜成像特点是解题的关键． 34．（24-25七年级上·山东青岛·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 【答案】（1），见解析， （2）①不成立，新的结论为   ②不成立，结论为:  （3） 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键. 过点作利用两直线平行内错角相等得到，根据 得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； ①过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； ②过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； （）过点作，点作，得到，，，然后根据等量代换即可． 【详解】（1），理由如下： 过点作，    ， ， ， ， ， ； （2）①不成立，新的结论为 理由为： 过作，   ， ， ， ， ， ； ②不成立，如图③所示， 结论为：； 过作， ， ， ， ， ， ；    （3）， 过点作，点作， 又∵， ∴， ∴，，， 即， ∴．    35．（24-25七年级下·山西晋中·期中）【阅读理解】 “两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】 （1）如图①已知，点E在直线之间，则___________． （2）如图②已知，点E在直线之间，请写出与之间的关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）奥运会过后掀起一股滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，如果人的小腿与地面的夹角，求出身体与水平线的夹角的度数． 【答案】（1）；（2）；见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，得，从而得，，进而求角度即可得解； （2）过点作，利用平行线的性质即可解答 （3）延长交直线于点，利用平行线的性质得出，再由两直线平行，内错角相等即可得出结果． 【详解】解：（1）如图，过点作， ，， ， ，， ， ，， ， 故答案为：； （2），理由如下： 如图②，过作直线， ， ， ， ； （3）解：如图，延长交直线于点， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 平行线中的基本模型专项训练 题型一 平行线基本模型之猪蹄模型 题型二 平行线基本模型之铅笔模型 题型三 平行线基本模型之锯齿模型 题型四 平行线基本模型之“骨折”模型 题型五 平行线基本模型综合应用 【核心考点一 平行线基本模型之猪蹄模型】 1．（24-25七年级下·广东佛山·期中）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”． (1)导入：如图1，已知，如果，，则　　； (2)发现：如图2，直线，请判断与，之间的数量关系，并说明理由； (3)运用：如图3，已知，P在射线上运动（点P与点A、B、O三点不重合），，，请用含、的代数式表示，并说明理由． 2．（24-25七年级下·新疆哈密·期中）【引入】在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型—“猪蹄模型”．如图1所示，，点在直线与之间，连接、，嘉琪想到了过点作，证明：． 【思考】（1）当点在如图2所示的位置时，其他条件不变．写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 【应用】（2）如图3，延长线段交直线于点，已知，，求的度数． 【提升】（3）点、、在直线与之间，连接、、和，其他条件不变，如图4．若，则______．（直接写出答案） 3．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”． (1)导入：如图①，已知，如果，，那么 ； (2)发现：如图②，已知，请判断与，之间的数量关系，并说明理由； (3)运用：(i)如图③，已知，，点、分别在、上，，如果 ，那么 ； 如图④，已知，点、分别在、上， 、分别平分和． 如果，那么 ； 如图⑤，已知，点、分别在、上， 、分别平分和，且． 如果，那么 ．(用含的代数式表示) 4．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型—“猪蹄模型”． 已知：如图，， 为 ， 之间一点，连接 ， 得到 ． 求证：． 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点 作， ， ，， ， ． ， （ ） （1）请你补全推理过程． （2）利用上面“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题． 如图，若，，求 是多少? 5．（24-25七年级下·山东德州·期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，为、之间一点，连接，得到． 求证：， 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点作， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图2，若，，求的度数； (2)灵活应用：如图3，一条河流的两岸当小船行驶到河中点时，与两岸码头B、D所形成的夹角为（即），当小船行驶到河中点时，恰好满足，，请你直接写出此时点与码头B、D所形成的夹角＝_________． 6．（24-25七年级下·湖南永州·期末）在放学回家的路上，小亮同学发现地面上有一块矩形的玻璃片碎成了两块（形如图1），为防止碎玻璃伤害行人，他小心地捡起碎玻璃准备放入路边的垃圾分类收集点时，爱思考的小亮同学又发现这碎玻璃与数学课上学习过的“猪蹄模型”很相似，于是尝试用“猪蹄模型”的研究方法去探究其中角之间的关系． (1)在图2中，证明． (2)针对此问题，小亮同学进行了深入探究，感受到数学探究的乐趣，现在重现小亮的探究过程，并请你解决以下问题． 【探究1】小亮同学在“猪蹄模型”的基础上画出了图3，发现图3中、、、也存在着某种数量关系，请你写出这四个角之间的数量关系，并写出证明过程． 【探究2】小亮同学进一步探究，画出了图4，请问这五个角之间是否存在某种数量关系，如果有，请写出数量关系并予以证明；如果没有，请说明理由． 【探究3】小亮同学突发奇想：“若是摔碎的玻璃上有个角（如图5），那么这些角之间有什么数量关系呢？”请你做出一个猜想，直接写出你猜想的这个角的数量关系，并说一说为什么可以这样猜想． 7．（24-25七年级上·河南南阳·期末）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明∶老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图，，E为之间一点，连接得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点E作 则 ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，，若，求的度数． 【核心考点二 平行线基本模型之铅笔模型】 8．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）（1）如图①所示，，，，则和有怎样的位置关系？请对你的结论进行证明． （2）如果图①中仍是，但，，则等于多少度？ （直接写出结果） （3）如图②，，当时，要使和保持和图①一样的位置关系，则的度数应是多少？并结合所给的条件进行证明．          9．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，，点E在之间且点E在点A右侧，求证：； 【类比分析】 （2）李老师将图①进行了变换并提出了下面问题请你解答：如图②，，点E在之间且点E在点A左侧，猜想之间的数量关系，并证明； 【学以致用】 （3）如图③是超市的购物车，图④是其侧面示意图，已知，通过测量得知，求的度数．    10．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，，在、内有一条折线． (1)求证：； (2)在图2中，画的平分线与的平分线，两条角平分线交于点，请你补全图形，试探索与之间的关系，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，已知和均为钝角，点在直线、之间，且满足，，（其中为常数且），直接写出与的数量关系． 11．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，，点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)①如图1，、、的数量关系为 ； ②如图，、、的数量关系为 ． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则 ． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与的数量关系是 ． 12．（24-25七年级上·河南南阳·期末）问题情境：如图1，，求的度数． （1）小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作， ，（ ① ） ．（ ② ） ， ． ． 问题迁移： （2）如图3，，当点在线段上运动时，，求与之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、三点不重合），请直接写出与之间的数量关系． 13．（24-25七年级下·河北唐山·期中）（1）【感知】如图1，，点在直线与之间，试说明．下面给出了这道题的解题过程，请将解题过程中的解题依据补充完整． 证明：如图1，过点作， ，（___________①___________） （已知），（辅助线作法）， ，（②） ___________③___________，（___________④___________） ， ； （2）【探究】当点在如图2的位置时，其他条件不变，则___________度； （3）【应用】如图3，延长线段交直线于点，已知，，直接写出的度数． 14．（24-25七年级下·山西吕梁·月考）综合与实践： 【图形感知】： 如图，，点在直线上，点在直线上，点为，之间一点 （1）如图，，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图，过点作， ∵，（已知）， ∴__________（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（__________） ∴（等式性质）， ∴， （2）如图，，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面的结论推理，，之间的关系； 【综论应用】： 直接利用上述结论进行证明； （3）如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点，与相交于点．猜想并证明与的数量关系． 【核心考点三 平行线基本模型之锯齿模型】 15．（2024七年级·山东·模拟预测）如图所示，，试说明之间的数量关系． 16．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知，，，，平分，平分，的反向延长线交于点G． (1)若，则_______； (2)请探索与之间满足的数量关系？说明理由； (3)求的度数． 17．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）【问题探究】如图①，已知，我们发现，我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 【问题解答】 (1)请按张山同学的思路，写出证明过程； (2)请按李思同学的思路，写出证明过程； 18．（24-25七年级下·浙江衢州·期中）如图（1）所示，是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么你可深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”． (1)如图（2）所示，已知，请问成立吗？并说明理由； (2)如图（3）所示，已知，请问又有何关系？并说明理由； (3)如图（4）所示，已知．若，则 ． 19．（24-25七年级下·四川南充·月考）小明遇到了一些问题，请你帮他解决一下 (1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由； (2)如图②，已知点B在点A的左侧，，平分，平分，若，，求的度数； (3)如图③，点B在点A的右侧，点C在点D的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数(用含m，n的式子表示)． 20．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，平面上有两条直线，，，是平面上这两条直线间的一点． 【问题探究】（1）如图，若，，求的度数． 解：过点作， （ ） 又 （ ） ， ，， 【问题解决】（2）若，，请根据（1）的解题思路，求图2中的度数． 【方法总结】（3）如图，若， ， ，则的度数为 ．（用含，，的式子表示） 21．（24-25七年级下·山东德州·月考）（1）问题解决：如图1，已知，是直线，内部一点，连接，，若，，求的度数； 嘉琪想到了如图2所示的方法，请你完成嘉淇的解答过程； （2）问题迁移：请你参考嘉琪的解题思路，完成下面的问题： 如图3，，射线与直线，分别交于点，，射线与直线，分别交于点，，点在射线上运动，设，． ①当点在，两点之间运动时（不与，重合），求，和之间满足的数量关系； ②当点在，两点外侧运动时（不与点重合），直接写出，和之间满足的数量关系． 【核心考点四 平行线基本模型之“骨折”模型】 22．（24-25七年级下·西藏昌都·期末）完成下面的证明： 已知：如图，，求证：， 证明：过点作． ∵（已知）， ∴____________（                  ）． ∵（已知）， ∴ （                  ）． ∵____________（                  ）． ∴， ∴（                  ） 23．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）如图①，蜿蜒曲折的盘山公路仿佛一条长龙，在郁郁葱葱的山间起舞．数学活动课上，老师把盘山公路抽象成图所示的样子． (1)如图，，，，求的度数； (2)聪明的小明在图的基础上，将图变为图，其中，，，，求的度数． 24．（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 25．（24-25七年级下·广东·期末）综合探究 (1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图①，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作，则______，， 又∵．∴ ； (2)【方法运用】如图②所示，已知，交于点E，，求的度数． (3)【拓展探究】如图③所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，求的度数． 26．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作，   ∴_____，______， 又∵° ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 27．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）综合与探究 【问题感知】 （1）如图1，已知，，若，求的度数． 【问题解决】 （2）如图2，若，试说明：． 【拓展延伸】 （3） 如图3，已知，，，若，，求的度数． 28．（24-25七年级下·贵州黔东南·期末）2025年央视春节联欢晚会上，一群身着东北花棉袄的宇树科技机器人和表演者们一同跳起了秧歌，传统与未来在节目中共舞，科技之光也照亮了文化传承之路，更是向世界展示了中国“智造”的强悍实力．为了便于观察和研究，将机器人的形态进行线条化的表示． (1)如图1，若只观察机器人的腿部，记地面为直线n，过机器人大腿根部作地面的平行线m，记机器人大腿与直线m的夹角为，机器人小腿与直线n夹角为，机器人大腿与小腿夹角为．为了探究，，三者数量关系，我们可以过机器人大腿、小腿连接点作一条平行于直线m与直线n的直线l，接着利用“两直线平行，内错角相等”的性质，就可以得出，，三者数量关系为______； (2)如图2，若忽视机器人的手臂，让机器人上半身垂直于地面（即所在直线），若，，求的度数； (3)如图3，当机器人在训练时可以让手臂与地面呈平行状态，脚面与地面持平，当，时，试探究和的数量关系，并说明理由． 【核心考点五 平行线基本模型综合应用】 29．（24-25七年级下·吉林松原·期中）图①为一幅动漫截图，图②是从图①中抽象出的“青蛙模型”，已知，． (1)__________度，与的位置关系是___________； (2)求的度数． 30．（24-25七年级下·全国·课后作业）推理能力【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图①所示的几何图形很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”．“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【结论】（1）如图1，，M是、之间的一点，连接，．试说明：； 【运用】（2）如图2，，M，N是、之间的两点，且．请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，求出、、三者之间的数量关系，并说明理由． 31．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期末）（1）【感知发现】学习平行线时，兴趣小组发现了很多有趣的模型图．如图1，当时，可以得到结论：．请你写出证明过程． （2）【综合实践】利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．如图2，已知直线，点C在直线b上，在三角形中，，兴趣小组的同学们发现，请说明理由． （3）【探究运用】如图3，，F是上一点，平分，平分，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论． 32．（24-25七年级下·贵州遵义·月考）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，，代表镜子摆放的位置，并且与平行，光线经过镜子反射时，满足，．证明离开潜望镜的光线平行于进入潜望镜的光线． 请补全下述证明过程： ∵， ∴______． ∵，， ∴______． ∵，______． ∴______． ∴（本空填依据：______）． 33．（24-25七年级下·北京西城·期中）在学习“相交线与平行线”一章时，课本第21页中有一道关于潜望镜的拓广探索问题，老师倡议班上同学分组开展相关的实践活动．小明所在组上网查阅资料，制作了相关PPT介绍给同学（图1、图2）；小宁所在组制作了如图所示的潜望镜模型并且观察成功（图3）．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理． (1)图4中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，入射光线与反射光线满足，这样离开潜望镜的光线就与进入潜望镜的光线平行，即．请完成对此结论的以下填空及后续证明过程（后续证明无需标注理由） （已知）， （____________________________）． （已知）， （_________________）． (2)若，则________°． (3)在之后的实践活动总结中，老师进一步布置了一个任务：利用图5中的原理可以制作一个新的装置进行观察，那么在图5中方框位置观察到的物体“影像”的示意图为________． A．  B．   C．   D． 34．（24-25七年级上·山东青岛·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （4） 问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由．  35．（24-25七年级下·山西晋中·期中）【阅读理解】 “两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】 （1）如图①已知，点E在直线之间，则___________． （2）如图②已知，点E在直线之间，请写出与之间的关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）奥运会过后掀起一股滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，如果人的小腿与地面的夹角，求出身体与水平线的夹角的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $