精品解析：辽宁省沈阳市法库县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度第一学期九年级期末考试 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列几何体中，主视图为三角形的是（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 3. 菱形的对角线长分别为，则此菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A. B. C. D. 5. 将一个矩形纸片沿所在的直线折叠成如图所示的图形，点均在原矩形的边上，且点在同一边上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点分别在边上，且．若，则的值为（ ） A B. C. 3 D. 2 7. 若点都在反比例函数图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何，”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 5 C. 2 D. 10. 如图，在正方形中，点E是边的中点，连接，点F是的中点，连接并延长，交边于点G，点H在边上，已知，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 6 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在一个不透明盒子里，装有红球、黑球和白球共20个，它们除颜色外都相同．通过多次摸球试验后，发现摸到红球和黑球的频率稳定在和，则据此估计盒子中大约有白球______个． 12. 在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为___________． 13. 设，是一元二次方程的两个根，则的值为________． 14. 已知，则______． 15. 如图，矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，在内部交于点，作射线，过点作的垂线分别交于点，则的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1）； （2） 17. 如图，在网格（每个小正方形的边长都是一个单位长度）中建立平面直角坐标系，的三个顶点，，都在格点（网格线的交点）上． （1）通过旋转，可使与重合，请在图中标出旋转中心． （2）将绕原点旋转，得到，请画出． 18. 如图，中，，平分，过点作交延长线于点，点是中点，连接，． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，，求边的长． 19. “综合与实践”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习．设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格： 项目 选择人数 频率 A．制作视力表 4 B．猜想、证明与拓广 C．池塘里有多少条鱼 20 0.5 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：___________，____________，____________； （2）该校共有500名九年级学生，请估计选择“B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数； （3）本次调查中，选择“A．制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率． 20. 在公园有两座垂直于水平地面且高度不一圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： （1）若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？ （2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案． 21. 综合与实践 在数学课上，老师让同学们以“折一个长方体盒子”为主题开展实践活动．如图1，这是一张长为30cm，宽为12cm的矩形硬纸板． （1）如图2，奋进小组把矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． （2）创新小组计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，设计了如图3所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，右侧两个空白部分为矩形，问能否折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 22. 阅读并回答问题． 数学课上，老师“以等腰直角三角形为背景探究旋转变换下的相似图形”为题和同学们展开了一节探究活动课． 【初步感知，发现相似】 （1）具体过程是：将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，则，相似比为1，或者说． 展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，则与关系是：__________． 【感悟方法，尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：． 【迁移拓展，解决问题】 （3）如图4，在等腰直角三角形中，，点E为边上一点，，若，求的长． 23. 如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． （1）填空：_________，_________，点的坐标是_________，点的坐标是_________； （2）点是轴上的动点，连接，，则的最小值是_________； （3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期九年级期末考试 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列几何体中，主视图为三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，据此判断出对应几何体的主视图形状即可得到答案． 【详解】解；A、圆锥的主视图是三角形，符合题意； B、圆柱的主视图是长方形，不符合题意； C、球的主视图是圆，不符合题意； D、正方体的主视图是正方形，不符合题意； 故选：A． 2. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先把化为一般式，再运用因式分解进行解方程，即可作答． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或， 故选：A． 3. 菱形的对角线长分别为，则此菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直平分线得到，进而利用勾股定理求出，据此可得答案． 【详解】解；如图，在菱形中，对角线交于O，且， ∴， ∴， ∴菱形的周长为， 故选C． 4. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 黄 红 (红，红) (红，黄) 黄 (黄，红) (黄，黄) 共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种， ∴两次摸出的都是红球的概率为． 故选：C． 5. 将一个矩形纸片沿所在的直线折叠成如图所示的图形，点均在原矩形的边上，且点在同一边上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质；根据矩形的性质和折叠的性质可得，，进而可得，即可得解． 【详解】解：如图所示： 将一个矩形纸片沿所在的直线折叠成如图所示的图形， ，， ， ， ， ， 故选：． 6. 如图，在中，点分别在边上，且．若，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．先求出的长，根据平行线分线段成比例得到即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：D 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在一三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选B． 8. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何，”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，准确分析列出方程是解题的关键． 设宽为步，则长为步，根据矩形面积公式列方程． 【详解】解：长与宽共步，宽为步， 长为步. 面积为平方步， ． 故选：A． 9. 如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 5 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求出的长，进而得到的长，推出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D. 10. 如图，在正方形中，点E是边的中点，连接，点F是的中点，连接并延长，交边于点G，点H在边上，已知，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确得出的长是解决此题的关键． 根据正方形性质以及中点的性质可证明，再利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点E为的中点，， ∴， ∵F是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在一个不透明的盒子里，装有红球、黑球和白球共20个，它们除颜色外都相同．通过多次摸球试验后，发现摸到红球和黑球的频率稳定在和，则据此估计盒子中大约有白球______个． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，概率公式等知识，属于基础题．关键掌握用频率估计概率． 【详解】解：由题意得，白球的频率稳定在， ∴摸出白球的概率为， 由概率公式得白球个数为， 故答案为：15． 12. 在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设电流与电阻之间的函数表达式为，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设电流与电阻之间的函数表达式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 设，是一元二次方程的两个根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，根据根与系数关系求出和的值，再利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：． 14. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键； 先求出的值，再根据比例的性质求解即可 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 15. 如图，矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，在内部交于点，作射线，过点作的垂线分别交于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q， 矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1）； （2） 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 两边直接开平方：， ∴或， 解得或． 【小问2详解】 解：， 整理得：， ∴， ∴或， ∴或． 17. 如图，在网格（每个小正方形边长都是一个单位长度）中建立平面直角坐标系，的三个顶点，，都在格点（网格线的交点）上． （1）通过旋转，可使与重合，请在图中标出旋转中心． （2）将绕原点旋转，得到，请画出． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形，确定旋转中心，解题的关键是熟练掌握画旋转图形的方法及步骤． （1）连接对应点，则对应点连线的交点即为旋转中心； （2）将点分别绕原点旋转，得到点，再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：旋转中心即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 18. 如图，中，，平分，过点作交延长线于点，点是中点，连接，． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，，求边的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由直角三角形的性质得，则，又，则，从而证明，即可证明四边形是平行四边形，再由菱形的判定方法即可求证； （）作交延长线于点，则，通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：作交延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，等角对等边，直角三角形的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 19. “综合与实践”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习．设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格： 项目 选择人数 频率 A．制作视力表 4 B．猜想、证明与拓广 C．池塘里有多少条鱼 20 0.5 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：___________，____________，____________； （2）该校共有500名九年级学生，请估计选择“B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数； （3）本次调查中，选择“A．制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率． 【答案】（1）0.1，16，0.4； （2）200 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查概率和频数分布表，列出树状图是关键； （1）先求出总人数，再求出b值，进而a和c的值； （2）用九年级总人数乘选择“B．猜想、证明与拓广”项目所占比即可； （3）画出树状图，再利用概率公式求解即可 【小问1详解】 解：， ， ，， 故答案为：0.1，16，0.4； 【小问2详解】 （人）， 答：B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数有200人； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的情况，恰好选到一名女生和一名男生的有6种， 所以恰好选到一名女生和一名男生的概率= 20. 在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： （1）若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？ （2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案． 【答案】（1）敏敏的影长为公分；（2）高圆柱的高度为公分． 【解析】 【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题． （2）如图，连接，作．分别求出，的长即可解决问题． 【详解】解：（1）设敏敏的影长为公分． 由题意：， 解得（公分）， 经检验：是分式方程的解． ∴敏敏的影长为公分． （2）如图，连接，作． ， ∴四边形是平行四边形， 公分， 设公分，由题意落在地面上的影从为公分． ， （公分）， （公分）， 答：高圆柱的高度为公分． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，平行投影，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21. 综合与实践 在数学课上，老师让同学们以“折一个长方体盒子”为主题开展实践活动．如图1，这是一张长为30cm，宽为12cm的矩形硬纸板． （1）如图2，奋进小组把矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． （2）创新小组计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，设计了如图3所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，右侧两个空白部分为矩形，问能否折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）剪去的小正方形的边长为3cm （2）能，盒子的体积208cm 【解析】 【分析】（1）设剪去的小正方形的边长为xcm，根据题意表示出底面的长和底面的宽，利用举行面积公式表示面积列出方程即可； （2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面是长为，宽为的矩形，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设剪去的小正方形的边长为xcm， 则底面的长为：，底面的宽为：， 则根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为3cm； 【小问2详解】 能；理由如下： 设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面是长为，宽为的矩形， 依题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴盒子的体积． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解本题的关键． 22. 阅读并回答问题． 数学课上，老师“以等腰直角三角形为背景探究旋转变换下的相似图形”为题和同学们展开了一节探究活动课． 【初步感知，发现相似】 （1）具体过程是：将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，则，相似比为1，或者说． 展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，则与的关系是：__________． 【感悟方法，尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：． 【迁移拓展，解决问题】 （3）如图4，在等腰直角三角形中，，点E为边上一点，，若，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质与勾股定理求得，，，从而求，，即可得出结论； （2）连接．先证明，得到，从而可证明，得到，即可得出结论． （3）过点A作交的延长线于点M．由等腰直角三角形的性质与勾股定理求得，，再证明，得到，代入即可求解． 【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：连接． ∵四边形是正方形． ， 是等腰直角三角形 又 ； （3）过点A作交的延长线于点M． 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形，且 在中， 解得：（负值舍去） ， ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． （1）填空：_________，_________，点的坐标是_________，点的坐标是_________； （2）点是轴上的动点，连接，，则的最小值是_________； （3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；； （2）； （3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）将代入直线求出，由反比例函数的对称性得、关于原点对称求出，过点作轴于，过点作轴于，可判定，由相似三角形的性质得，即可求解； （2）作点关于轴对称点，连接交轴于，，此时取得最小值，由勾股定理即可求解； （3）当点在轴上时，过点作轴交于，由三角函数得， ，即可求解；当点作轴上，过点在轴交于，同理可求． 【小问1详解】 解：将代入直线得， ， 解得， ， ， 解得， ， 由反比例函数的对称性得、关于原点对称， ， ， 过点作轴于，过点作轴于， ，，， ， ， ∵， ， ， 解得， ， ， 解得， ； 故答案为：，，；； 【小问2详解】 解：如图，作点关于轴对称点，连接交轴于， ，此时取得最小值， ， 故答案为； 【小问3详解】 解：存在； 当点在轴上时，过点作轴交于， ， ∵， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ∴， ， ， 解得， ， ； 当点在轴上，过点作轴交于， ， ， ∵， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ∴， ， ， 解得， ， ； 故的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的几何综合，待定系数法，矩形的性质，两点之间线段最短，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等；能熟练利用相似三角形的判定及性质，解直角三角形进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $