专题七 数列的综合应用 课件-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦数列综合应用专题，依据高考评价体系覆盖实际应用（等差等比数列定义运算）和与其他知识交汇（不等式、函数、几何等）两大核心方向，分析中高档题目5-10分的分值权重，归纳递推关系、模型构建等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于真题模拟与素养导向，如例1天干地支问题用数学眼光抽象等差模型，例2数列与不等式结合数学思维推理参数范围，通过“模型识别-公式应用-结果验证”三步法突破实际应用题型，培养运算能力和推理意识，助力学生掌握得分技巧，教师可据此高效指导复习。

专题七　数列的综合应用 命题热度： 本专题是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为5~10分. 考查方向： 一是数列的实际应用，主要考查等差数列、等比数列的定义及运算；二是数列与其他知识的结合，主要考查数列与不等式、函数导数、解析几何、概率统计等结合，特别是与概率统计相结合，考查概率统计中的递推关系. 考点一　数列在实际问题中的应用 　(1)(2025·昆明模拟)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2025年是乙巳年，请问：在100年后的2125年为 A.癸未年 B.辛丑年 C.乙酉年 D.戊戌年 例1 √ 天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列， 100÷10=10余0，则2125年对应的天干为乙， 100÷12=8余4，则2125年对应的地支为酉， 所以2125年为乙酉年. 解析 (2)现将一圆形花坛从圆心向外栽种8圈某种花卉，圆心处栽1株(视为第一圈)，第二圈栽3株花卉，从第二圈起，第n圈栽种花卉比第n-1圈多栽种2(n-1)(2≤n≤8，n∈N*)株，则第8圈栽种花卉 A.57株 B.56株 C.55株 D.54株 √ 设第n圈栽种花卉an株， 则an-an-1=2(n-1)，2≤n≤8，n∈N*， 又a1=1，a2=3， 则a8-a7=14，a7-a6=12，a6-a5=10，…，a2-a1=2， 所以a8=(a8-a7)+(a7-a6)+(a6-a5)+…+(a2-a1)+a1 =14+12+10+…+2+1 =+1=57. 解析 数列应用问题首先要仔细审题，抓住数量关系建立数学模型，再设出数列，判断数列模型，利用数列的定义、公式和性质求解.常见数列模型： (1)等差模型：后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值. (2)等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数. (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应考虑an与an+1(或者相邻三项)之间的递推关系，或者Sn与Sn+1(或者相邻三项)之间的递推关系. 规律方法 跟踪演练1　(2025·龙岩模拟)一个弹力球从1 m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，那么在第n次着地后，它经过的总路程超过 5 m，则n的最小值是 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 设小球第一次落地时经过的路程为a1，第n-1次落地到第n次落地经过的路程为an(n≥2)， 由题意，a1=1，数列{an}从第二项起构成以首项为a2=1××2=，公比为的等比数列， 则第n次着地后经过的路程为a1+a2+…+an=1+≥5， 即≤， 解析 结合选项，当n=4时，>， 当n=5时，<成立， 所以n的最小值是5. 解析 考点二　数列与其他知识的交汇 　(2025·湖南省名校联考)已知{an}是无穷等比数列，其前n项和为Sn，a1=1，S2=.若对任意正整数n，都有Sn-(-1)n·A>0，则实数A的取值范围是 A. B. C. D. 例2 考向1　数列与不等式 √ 由a1=1，S2=a1+a2=， 故a2=-，所以公比q=-，故Sn==， 由Sn-(-1)n·A>0可得-(-1)n·A>0， 当n为奇数时，则+A>0，故A>-， 由于f(n)=-，n∈N*单调递增，且f(n)<-，故A≥-， 解析 当n为偶数时，则-A>0，故A<， 由于g(n)=，n∈N*单调递增， 当n=2时，此时g(n)=取最小值，故A<，综上可得-≤A<， 故实数A的取值范围是. 解析 　(2025·菏泽模拟)对于任意x∈R，xf(x+1)=(x+1)f(x)+1，且f(2)=3，则f(2 025)等于 A.-1 B.1 C.2 025 D.4 049 例3 考向2　数列与函数 √ 由xf(x+1)=(x+1)f(x)+1，当x∈N*时，可得=+=+-，赋值可得 解析 利用累加法可得=+-， 代入f(2)=3可得=+-=⇒f(2 025)=4 049. 解析 　(2025·大庆模拟)已知数列{an}为等差数列，且公差d≠0，直线l：anx+an+2y+an+5=0(n∈N*)与圆C：(x-1)2+(y+2)2=1交于A，B两点，则∠ACB的最小值为 A. B. C. D. 例4 考向3　数列与几何 √ 由题意可知，圆C：(x-1)2+(y+2)2=1的圆心为C(1，-2)，半径r=1， 设等差数列{an}的公差为d， 则直线anx+an+2y+an+5=0可化为anx+(an+2d)y+an+5d=0， 即(x+y+1)an+(2y+5)d=0. 令解得 可知直线l过定点D， 解析 如图，当CD⊥AB时，弦长|AB|最小，此时∠ACB最小. 又因为|CD|=， 则|AB|=2=， 在△ACB中，可知|CA|2+|CB|2=|AB|2，则∠ACB=，故∠ACB的最小值为. 解析 　将16处景观分别用A1，A2，…，A16表示，某游客按照箭头所示方向(不可逆行)可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达A6有　 种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观Ai的不同路线有ai条，其 中1≤i≤16，i∈N*，记a2n+1=m(1≤n≤7，n∈N*)，则a2i=__________　　　　 (结果用m表示).  例5 考向4　数列与概率统计 8 m-1 由题意知，到达A2点共有1种走法， 到达A3点共有1+1=2(种)走法(一种是经过A2点到达A3，一种是直接到达A3)， 到达A4点共有1+2=3(种)走法(一种是经过A2，一种是经过A3，所以到达A4的走法是将到达A2，A3的走法加起来)， 到达A5点共有2+3=5(种)走法(一种是经过A2和A4，一种是经过A3，所以到达A5的走法是将到达A4，A3的走法加起来)， 到达A6点共有3+5=8(种)走法(一种是经过A2和A4，一种是经过A3和A5，所以到达A6的走法是将到达A4，A5的走法加起来)，故按图中所示方向到达A6有8种不同的打卡路线. 解析 由题意知，a1=1，a2=1，a3=a1+a2=2，a4=a2+a3=3，a5=a3+a4=5，…，an+an+1=an+2(1≤n≤14且n∈N*)， 因为an+an+1=an+2(1≤n≤14且n∈N*)， 所以a1+a2=a3，a3+a4=a5，a5+a6=a7，…，a2n-1+a2n=a2n+1(1≤n≤7且n∈N*)， 将上式累加可得a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+a2n-1+a2n=a3+a5+a7+…+a2n+1(1≤n ≤7且n∈N*)， 整理可得a1+a2+a4+a6+…+a2n=a2n+1，又a1=1，a2n+1=m， 所以a2+a4+a6+…+a2n=a2n+1-a1=m-1，即a2i=m-1. 解析 数列与函数、不等式、几何、概率统计的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解. 规律方法 跟踪演练2　(1)将被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为 A.20 B.25 C. D.40 √ 被3除余2的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为2，公差为3的等差数列{an}，则Sn=2n+×3=n2+n， ∴==3n++1 ≥2+1=25， 当且仅当3n=，即n=4时，等号成立，故所求最小值为25. 解析 (2)(2025·昆明模拟)已知函数f(x)=x3+x，数列{an}是等差数列，且a1 013<0，则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2 024)+f(a2 025)的值 A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定 √ 函数y=x3，y=x均为奇函数且为增函数， 则函数f(x)=x3+x为奇函数且为增函数， 由数列{an}是等差数列， 得a1+a2 025=2a1 013<0，即a1<-a2 025， 于是f(a1)<f(-a2 025)=-f(a2 025)， 即f(a1)+f(a2 025)<0，同理f(a2)+f(a2 024)<0， f(a3)+f(a2 023)<0，…，f(a1 012)+f(a1 014)<0，f(a1 013)<0， 因此f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2 024)+f(a2 025)<0. 解析 (3)(2025·辽宁名校联盟模拟)如图，正方形A1B1C1D1的边长为1，取正方形各边的四等分点A2，B2，C2，D2，得到第2个正方形A2B2C2D2，再取正方形A2B2C2D2各边的四等分点A3，B3，C3，D3，得到第3个正方形A3B3C3D3，依此方法一直进行下去，若从第k个正方形开始，它的面积小于第1个正方形面积的，则正整数k的最小值为(参考数据：lg 2≈0.3) A.8 B.9 C.10 D.11 √ 由已知得正方形的边长成等比数列， 第二个正方形的边长为=， 所以其公比为. 设第n个正方形的面积为an，则==(n≥2)， 当n=1时，a1=1，所以an=， 解析 由ak<a1，得<， 所以(k-1)lg<lg， 即k-1>===≈=8.5， 所以k>9.5，所以正整数k的最小值为10. 解析 $