专题五 等差数列、等比数列 课件-2026届高三数学二轮复习

专题五　等差数列、等比数列 命题热度： 本专题是历年高考命题必考的内容，属于中低档题目，主要以解答题的形式出现，选择题、填空题中也经常出现.分值约为11~24分. 考查方向： 考查重点一是等差数列、等比数列的基本运算；二是等差数列、等比数列的性质及其应用；三是等差数列、等比数列的判定与证明. 考点一　等差数列、等比数列的基本运算 　(1)(多选)(2025·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0，若S3=7，a3=1，则 A.q= B.a5= C.S5=8 D.an+Sn=8 例1 √ √ 对A，由题意得结合q>0， 解得或(舍去)，故A正确； 对B，a5=a1q4=4×=，故B错误； 对C，S5===，故C错误； 解析 对D，an=4×=23-n，Sn==8-23-n， 则an+Sn=23-n+8-23-n=8，故D正确. 解析 (2)(2025·唐山模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a8+a13=-120，5S7-7S5=70，若Sk=Sk+1，则k等于 A.27 B.28 C.54 D.55 √ 设数列{an}的公差为d， ∵数列{an}是等差数列，∴a3+a8+a13=3a8=-120， 解得a8=-40，即a1+7d=-40， ① ∵5S7-7S5=70， ∴5-7=70，解得d=2， 代入①得a1=-54， ∵Sk=Sk+1，∴Sk=Sk+ak+1， 即ak+1=0，∴a1+kd=0，即-54+2k=0，解得k=27. 解析 等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a1，公差d或公比q. (2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn=an2+bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an=pqn-1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列. (3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算. 规律方法 跟踪演练1　(1)(2025·南京模拟)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2-a5=42，则a6等于 A.7 B.6 C.3 D.2 √ 设数列{an}的公比为q， 则S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=168， a2-a5=a1q(1-q3)=a1q(1-q)(1+q+q2)=42， ∴q(1-q)=， 即4q2-4q+1=0，则q=， ∴a1==168×=96， ∴a6=a1q5=96×=3. 解析 (2)(2025·九江模拟)为备战某次马拉松，某同学制定了一个为期20周的跑步训练计划.计划第1周跑步2公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多跑2公里；当周跑步量首次超过全马里程(42.195公里)后，保持这个周训练量直至训练结束，则训练计划结束时，该同学跑步的总量是 A.736公里 B.724公里 C.692公里 D.660公里 √ 设该同学每周跑步量构成数列{an}，由题意得，a1=2，a2=4，a3=8，a4=16，a5=32， 第5周跑步量首次超过30公里，前5周跑步总量为=62， a6=32+2=34，…， a10=32+5×2=42，a11=42+2=44， 第11周跑步量首次超过全马里程， 故第6周到第11周的跑步量为=234， 解析 第12周到第20周每周的跑步量为44公里，总和为396公里，所以该同学跑步的总量是62+234+396=692(公里). 解析 考点二　等差数列、等比数列的性质 　(1)(多选)(2025·厦门模拟)记等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若a3+a18>0，S19<0，则 A.S20<0 B.a11>0 C.d>0 D.Sn≥S10 例2 √ √ √ 由a3+a18>0，得S20==10(a1+a20)=10(a3+a18)>0，故A错误； 由S19<0，得S19===19a10<0，即a10<0，a10+a11=a3+a18>0，所以a11>0，故B正确； 因为a10<0，a11>0，所以d=a11-a10>0，故前10项为负数，从第11项开始为正数，故Sn的最小值为S10，故C，D正确. 解析 (2)(2025·赣州模拟)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S20=21，S30= 49，则S10等于 A.7 B.9 C.63 D.7或63 √ 由等比数列片段和的性质知， S10，S20-S10，S30-S20成等比数列， 所以(S20-S10)2=S10(S30-S20)， 则(21-S10)2=S10(49-21)， 所以-70S10+441=(S10-7)(S10-63)=0， 则S10=7或S10=63， 因为数列{an}为正项等比数列，所以an>0，故{Sn}为递增数列， 所以S10=7. 解析 等差数列、等比数列的性质问题的求解策略 (1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解. (2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题. 规律方法 跟踪演练2　(1)已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列的项数为 A.15 B.17 C.19 D.21 √ 设此等差数列的项数为2n-1， 设所有奇数项的和为S， 则S==nan， 设所有偶数项的和为T， 则T==(n-1)an， 由===，解得n=10，项数为2n-1=19. 解析 (2)已知正项递增等比数列{an}的前n项之积为Tn，且T19=Tm(m≠19)，a15=1，则m= 　　　　.  10 若m>19，因为{an}为递增数列且a15=1，所以当n≥16时，an>1， 所以=a20…am>1，与T19=Tm矛盾； 若m<19，因为a15=1， 所以a11a19=a12a18=a13a17=a14a16=a15a15=1， 所以T19=a1a2a3…a10a11a12…a18a19=a1a2a3…a10=T10，所以m=10. 解析 考点三　等差数列、等比数列的判定与证明 　已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an(n∈N*). (1)证明：数列{an+1-an}是等比数列； 例3 ∵an+2=3an+1-2an， ∴an+2-an+1=2(an+1-an)， ∵a1=1，a2=3， ∴{an+1-an}是以a2-a1=2为首项，2为公比的等比数列. 证明 (2)求数列{an}的通项公式； 由(1)得an+1-an=2n(n∈N*)， ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =2n-1+2n-2+…+2+1 =2n-1(n≥2)， 又a1=1符合上式，∴an=2n-1(n∈N*). 解 (3)若数列{bn}满足··…·=(an+1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列. ∵··…·=(an+1， ∴=， ∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nbn， ① 2[(b1+b2+…+bn+bn+1)-(n+1)] =(n+1)bn+1. ② ②-①，得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn， 即(n-1)bn+1-nbn+2=0， ③ 则nbn+2-(n+1)bn+1+2=0. ④ ④-③，得nbn+2-2nbn+1+nbn=0， 证明 即bn+2-2bn+1+bn=0， ∴bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*)， ∴{bn}是等差数列. 证明 (1)=an-1an+1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，判断一个数列是等比数列时，还要注意各项不为0. (2){an}为等比数列，可推出a1，a2，a3成等比数列，但a1，a2，a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列. (3)证明{an}不是等比数列可用特殊值法. 易错提醒 跟踪演练3　(多选)(2025·贵阳模拟)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=2Sn+n-1，则下列结论正确的是 A.数列{Sn+n}为等比数列 B.数列{an}的前n项和Sn=2n-n C.数列{an}的通项公式为an=2n-1-1 D.数列{an+1}为等比数列 √ √ 对于A，B，∵Sn+1=2Sn+n-1， ∴Sn+1+(n+1)=2(Sn+n)， 又S1+1=2≠0， ∴数列{Sn+n}是首项和公比都为2的等比数列， 故Sn+n=2n，即Sn=2n-n，故A，B正确； 对于C，D， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1-1， 当n=1时，a1=1，∴an=故C错误； 解析 ∵an+1=∴≠， ∴数列{an+1}不是等比数列，故D错误. 解析 $