精品解析：湖北省黄冈市浠水县2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试卷

2025年秋季八年级12月月考卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 如图是轴对称图形，其对称轴的条数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直角，，①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③作射线，交于点；④分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；⑤作直线，分别交于点．依据以上作图，若，，则的长是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，将沿直角边所在直线向右平移得到．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 个 D. 1个 6. 如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A. B. C. D. 7. 如图，已知在中，，将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过，，直角顶点落在的内部，（ ）度． A. 90 B. 60 C. 50 D. 40 8. 如图，△ABC中，∠B＝∠C，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝55°，则∠A＝（ ） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 9. 如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若三角形两边a、b的长分别为3和4，则第三边c的取值范围是_______． 12. 如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的依据是______． 13. 如图，若，则______． 14. 已知，， 则的值为 ___________ 15. 如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接．若四边形的面积为24，，则的长是______． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，，，，求证：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 在等腰中，，，分别是的中线和角平分线．已知，求的度数． 20. 平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）在图中作，使和关于轴对称，并写出，，的坐标； （2）求出的面积； （3）在x轴上找一点，使的值最小（保留作图痕迹）． 21. （1）若，，求的值； （2）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为__________； （3）若，则__________． 22. （1）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．请你画出图形并写出完整的解题过程； （2）【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； （3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________． 23. （1）如图1，平分，，判断与的位置关系并予以证明； （2）如图2，在（1）的条件下，的下方两点E，F满足，平分，若的2倍与的补角的和为，求的度数； （3）如图3，在前面的条件下，若P是上一点，G是上任一点，平分，，平分，以下结论：①的值不变；②的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值． 24. 为等边三角形，射线经过点，，作点关于射线的对称点，连接、交直线于点． （1）如图，当时． ①依题意补全图形，并直接写出此时_____（用含的式子表示）； ②用等式表示线段、、的数量关系，并证明； （2）若为等腰三角形，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季八年级12月月考卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 如图是轴对称图形，其对称轴的条数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形对称轴的画法即可得到结果． 【详解】解：∵该图形是轴对称图形，可画出条对称轴， 故选． 【点睛】本题考查的轴对称图形对称轴的画法，根据图形画出对称轴是解题的关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除．需逐一验证各选项是否符合对应法则． 【详解】解：选项A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ，故A错误． 选项B：幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故B正确． 选项C：，故C错误． 选项D：同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故D错误． 故选：B． 3. 点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点关于x轴的对称点的坐标是，进而求出即可． 【详解】解：点关于轴的对称的点的坐标， 故选：C． 4. 如图，已知直角，，①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③作射线，交于点；④分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；⑤作直线，分别交于点．依据以上作图，若，，则的长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质和垂直平分线的性质、所对的直角边是斜边的一半、等边三角形的判定和性质等，熟练识别角平分线的作法和垂直平分线的作法是解题的关键． 首先由①、②、③判定是角平分线，求出，再根据所对的直角边是斜边的一半求出、的值，最后由④、⑤判定是的垂直平分线，判定为等边三角形，运用性质求解即可． 【详解】解：∵直角，， ∴． ∵由①、②、③判定是角平分线， ∴． ∵直角，，， ∴． ∵， ∴． ∵令与的交点为点， 又∵由④、⑤判定是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 5. 如图，将沿直角边所在直线向右平移得到．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行的性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质；先根据平移的性质得到三角形全等，再根据全等三角形的性质进行依次判断得到答案即可； 【详解】解：由平移的性质可得：，故①正确； ∵，∴，故②正确； 因为平移的距离不定，无法判断，故③错误； ∵，∴，∴，，故④正确； ∴①②④正确，故共3个正确； 故选：B． 6. 如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，由图1中大正方形的面积小正方形的面积图2长方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由题意，； 故选D． 7. 如图，已知在中，，将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过，，直角顶点落在的内部，（ ）度． A. 90 B. 60 C. 50 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得，，进而即可求出的度数． 【详解】解：在中，， ， 在中，， ， ， 故选：D． 8. 如图，△ABC中，∠B＝∠C，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝55°，则∠A＝（ ） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】D 【解析】 【分析】根据∠B=∠C，且BF=CD，BD=CE，可以得到△FBD和△DCE全等，从而可以得到∠DFB=∠EDC，然后根据三角形外角和内角的关系，可以求得∠B的度数，再根据∠B=∠C，从而可以求得∠A的度数． 【详解】解：在△FBD和△DCE中， ， ∴△FBD≌△DCE（SAS）， ∴∠DFB=∠EDC， ∵∠EDC+∠FDE=∠B+∠DFB，∠FDE=55°， ∴∠B=∠FDE=55°， ∵∠B=∠C， ∴∠C=55°， ∴∠A=180°-∠B-∠C=70°， 故答案为：D． 【点睛】本题考查全等三角形的SAS判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质和判定进行解答． 9. 如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质（最短路径问题，“将军饮马”模型）、三角形内角和定理、外角性质，解题的关键在于最短路径的转化；利用轴对称将的周长最小问题转化为“两点之间线段最短”， 利用轴对称性质得，，再通过三角形内角和或外角性质，推导与的关系． 【详解】解：作点关于的对称点；作点关于的对称点 连接，与交于点，与交于， 此时，周长最短. 由轴对称可得 设 ∴ ∵在中，， ∴① ∵， ∴② 得 则， 即． 故选D． 10. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】先证明是等腰直角三角形，从而证明，根据全等三角形的性质即可证明结论，证明是等腰直角三角形，可得，可得，即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①②③正确， 如图，过点D作于点F，则， ，， ， ∵点E是的中点， ， ，， ， ， ∴ ，故④正确． 综上所述，正确的结论有4个． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若三角形两边a、b的长分别为3和4，则第三边c的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是根据三角形的两边长，求第三边的取值范围，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键．根据三角形的三边关系即可求出结论． 【详解】解：由题意可得 ∴ 故答案为：． 12. 如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的依据是______． 【答案】SSS 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质． 根据题意可知和三边对应相等，可证明，可得对应角相等，从而可得射线是的平分线，即可得这种作法的依据． 【详解】解：根据题意，， ， ∴射线即是的平分线， ∴这种作法的依据是“SSS”． 故答案为：SSS． 13. 如图，若，则______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，根据证，根据全等得出，根据三角形的外角性质得出，求出，代入求出即可． 【详解】解：过D作射线， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：25． 14. 已知，， 则的值为 ___________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查整体代入求代数式的值，把化为，再代入，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：3． 15. 如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接．若四边形的面积为24，，则的长是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的高，三角形的面积的计算，构造辅助线是解题的关键．过点作于，先证，再证，然后将四边形的面积问题转化为四边形求解，再根据，最后求出的长． 【详解】解：过点作于，则 ，，， ， ， ， ， ，， 又， ， ， ， ， 四边形的面积为24，， ， ． 故答案为：4． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，积的乘方即可求解； （2）运用平方差公式，完全平方公式计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中 ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．利用全等三角形的判定即可证明． 【详解】略 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，有理数的混合运算等内容，解题的关键是熟练掌握乘法公式． 先利用乘法公式对原式进行化简，再进行有理数的混合运算即可． 【详解】解： 将，代入上式得， 原式 ． 19. 在等腰中，，，分别是的中线和角平分线．已知，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的相关计算，三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质求出，结合题意求出的度数，再利用角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】解：是的中线，且， ，即， ， 是的角平分线， ． 20. 平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）在图中作，使和关于轴对称，并写出，，的坐标； （2）求出的面积； （3）在x轴上找一点，使的值最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）图见试题详解，，，； （2）； （3）图见试题详解． 【解析】 【分析】本题主要考查了作图——轴对称变换、轴对称——最短路线问题、三角形的面积等，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）首先确定三个顶点的对称点位置，再连接即可； （2）利用长方形面积减去周围多余三角形的面积即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴交点即为． 【小问1详解】 解：如图所示，，，； 【小问2详解】 ， ， ， ， ； 【小问3详解】 如图点为所求作． 21. （1）若，，求的值； （2）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为__________； （3）若，则__________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）已知与的值，要求，可根据完全平方公式，通过变形来求解． （2）设，，根据正方形面积公式表示出和，结合以及，再根据阴影部分面积的计算方法求解． （3）设，，先根据已知条件求出的值，再利用完全平方公式求出． 本题主要考查了完全平方公式的变形应用以及图形面积的计算．熟练掌握完全平方公式及其变形公式，并能根据题目条件灵活运用是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， 把，代入上式得 ， （2）设，，则，，． ∵， ∴， ∵阴影部分面积．， ∴， ， ， ， ∴， 故答案为：； （3）设，，则，， ∵， ∴， 把，代入得 ∴． 22. （1）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．请你画出图形并写出完整的解题过程； （2）【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； （3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________． 【答案】 （1）如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处，由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）， 证明：如图，在上截取，连接，    ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）18 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证；由得，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， , ，， ， ， ， ， ， 由得，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23. （1）如图1，平分，，判断与的位置关系并予以证明； （2）如图2，在（1）的条件下，的下方两点E，F满足，平分，若的2倍与的补角的和为，求的度数； （3）如图3，在前面的条件下，若P是上一点，G是上任一点，平分，，平分，以下结论：①的值不变；②的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值． 【答案】 （1），理由如下． 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）； （3）①的值随的变化而变化；②的度数为不变． 【解析】 【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行证明即可； （2）设，则，根据三角形内角和定理整理得到，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义表示出，然后整理得到、的关系式，再根据与的补角的关系列出等式，然后整理即可求出x，从而得解； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，再根据平行线的性质以及角平分线的定义表示出、，根据两直线平行，内错角相等可得，然后列式表示出，从而判定②正确． 【详解】解：（1）略 （2）如图，设，则， ∴， 根据三角形的内角和定理可得，， 根据三角形的外角性质，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 整理得，①， ∵的2倍与的补角的和为， ∴②， ①代入②得，， ∴， ∴； （3）如图，根据三角形的外角性质，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据前面的条件，， ∴， ∴①的值随的变化而变化；②的度数为不变． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，综合性较强，难度较大，仔细分析图形，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点． 24. 为等边三角形，射线经过点，，作点关于射线的对称点，连接、交直线于点． （1）如图，当时． ①依题意补全图形，并直接写出此时_____（用含的式子表示）； ②用等式表示线段、、的数量关系，并证明； （2）若为等腰三角形，直接写出的度数． 【答案】（1） ①补全图形如图所示： ； ②，证明如下： 如图所示，连接，在上截取，连接， 由（1）可得， ∵点B和点D关于射线对称， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）或或 【解析】 【分析】（1）①根据题意补全图形即可，根据轴对称的性质得出，，则，根据等边三角形的性质推出，，最后根据等边对等角，即可求解；②连接，在上截取，连接，通过证明为等边三角形，得出，，再证明，即可得出结论； （2）当点P在左侧时，分和两种情况，当点P在右侧时，分，和三种情况，分别画出对应的示意图，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①∵点B和点D关于射线对称， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ②略 【小问2详解】 解：当点P在左侧时， 当时， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②当时，则， ∴（大角对大边）； ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵点B和点D关于射线对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在右侧时， 当时，如图所示，此时与直线没有交点，不符合题意； 当时，此时三点共线， 由轴对称的性质可得，此时满足是等腰三角形； 当时， 由轴对称的性质可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，这与矛盾，故此种情况不成立； 综上：的度数为或或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，解题的关键是根据题意正确画出图形，掌握等边三角形三个角都是60度，三条边都相等；全等三角形对应边相等，对应角相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $