天津市第二十中学2025-2026秋高二上学期学情调研（二）数学试卷

《2025-2026第一学期高二数学学科学情调研（二）》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D A D C B 1.B 3 【分析】根据直线方程的一般式求出其斜率为2，可得倾斜角为锐角，因此 A错误，再由方向向量的定义可得B正确；由截距定义计算可知直线I在x轴上 2 截距为3，可得C错误，易知两直线斜率乘积不为-1，因此两直线不垂直，可 得D错误 2t 3 【详解】对于A,由3x-2y+2=0,得直线” ,所以直线的斜幸《=0 k= 所以直线I的倾斜角是锐角，故A错误； 对于B,易知直线的一个方向星为ū，又直线的一个方向向是也回为 (2,3),故B正确： 2 对于C,令y=0代入直线1的方程可得=-3，因此直线1在x轴上截距为3， 即C错误： 对于D,直线m:x-y-1=0的斜率为K=1,所以 k'=1× 1 所以直线与直线m:x-y-1=0不垂直，故D错误。 故选：B 2.D 【分析】根据等差数列的性质即可求解 【详解】由于4与4是方程r2-8x+4=0的两根，故4+4=8， 即4+4=2m,=8，得a,=4, ☒此多=11（a+a1=4 2 故选：D 3.A 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可 求解 【详解】在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,且EC=2P距，若 AB=aAC-B,AP-c, 则死=丽-历-c-a0-的-}c-a0-码 专c丽-c-丽丽)-c丽列 6-060-司a+ 故选：A. 4.C 1,11 【分析】由隐意行2一方22”可，进而得品的单调性，即可判断新A,当 7 1≤m≤7时，a,<0,即可判断B,由“=6a3即可判断C,由4=-5,4=6即 可判断D n-21,11 【详解】由题意有 2n-i5720n-15, 1 所以a,在1≤n≤7加≥8单调递减数列，当1≤n≤7时，a≤4B,当n≥8时， 0<a.≤a=6， 又4=-5，所以a,}的最小项是4=-5，最大项是4%=6，故A正确： 4>0,4=0,当3≤n≤7时，a.<0,所以当n=7时，S最小，故B正确： 、7 由4=6a=3,所以4>4，故C错误 答案第1页，共16页 由4=-5,4=6，所以4<4，故D正确。 故选：C 5.C 【分析】由递推公式a+a,=21+3,结合4=4，即可求出a}的前15项和 【详解】因为a,n+a,=2+3(neN) 所以4+%++a++4s =(a+a2)+a+(a4+a)+(a6+a)++(a4+as) =5+4+11+15+…+31 =5+4+1+31)x6 2 =135 故选：C 6.D 【分析】由递推公式结合等比数列定义可得数列a,+乃的通项公式，则可计 算出b,再结合数列单调性计算即可得。 【详解】aH=2a+2，所以01+2=2(a+2), 所以a,+2}是以4+2=4为首项、2为公比的等比数列， 所以0+2=4×2-1 所以b,=(n-21og,(a.+2)=(-2)0+1)=n+1-2)-元， 若数列，3是递增数列，则b1>b恒成立， 所以b-6,=(0m+l)+1-20n+1)--[r2+(1-2)n-] =2n+1+1-=2n+2-元>0恒成立， 所以<2n+2恒成立，所以2<(2+2)n=4 答案第2页，共16页 所以实数元的取值范围是（∞，4） 故选：D. 7.C 【分析】设点M(,)、N(:,乃)，线段N的中点为B(,),由已知条件 b22 可得出正3，利用点差法以及点M在直线-y-1=0上，可得出关于、的 值，解出这两个量的值，即可得出线段N的中点坐标 。生+ 2 【详解】没点6》，)，线段的中点为，则 2 a2-b2 b22 由题意，椭圆的离心率为aVa2一 a23,可得3， 因为M、N关于直线x-y-1=0对称，且直线x-y-1=0的斜率为1， aw=-业=-1 则 X1-x2 正+=1 将点M、V的坐标代入椭圆方程可得正 x-x+=0 上述两个等式作差可得Tb2 -业=当+业当-业=-b 可得-号+，-心，即2x 片即号， 即2x=3%,① 又因为点B()在直线x-y-1=0上，则。%-1=0，② 答案第3页，共16页 x=3 联立①②可得%=2，故线段MN的中点为E(3,2), 故选：C 8.A 【分析】由点到直线的距离公式和勾股定理可得如<，- ,再由正弦定 理和双曲线的定义可得！NN卧然后由余弦定理结合离心率的定义可得结果 【详解】设=2c,则 I--oM1-oF-F-a va2+b2 从而 sin-NER=a , 2c NF 4 a 由正弦定理，得5c，所以 -=-2a-g, ￥- 3 由余弦定理，得 4 41 化简得c=V2a, 所以e=v5 a 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于能利用正弦定理和双曲线的定义求出 N再结合余弦定理求出a,c间关系， 9.B 【分析】根据数列a,与S的关系，可求得数列a}为等比数列，进而可求得 其通项和前项和，代入不等式，化简，结合不等式即可求解 【详解】因为2S,=3a-1meN),当n=1时，=4,2S=3a-1(meN,),解 得4=1， [2Sn=3a.-1 又当n≥2时，得2S1=3a.11,两式相减，整理得到4，=3a1, 答案第4页，共16页 所以数列a}是以4=1为首项，以3为公比的等比数列，所以4=3 5=3°-1 2 代入不等式4S3na+202420得421：+202420 化简得≤3”+2025-2，寸ne下+，所以 3” m2925-2 易知对肉数2布单调增，在0因上单调减 令/m=3+202 2 又易知3)=3+20 -2=10,f(4)=3°+202 4 -2=104 33 所以当n=3时取得最小值100，所以m的最大值为100 故选：B 10.22 【分析】将两圆的方程进行相减，然后结合几何知识进行求解即可. 【详解】由题得，+少-4=0，x-4x+y+4y-12=0,两方程相减得， d= 2 -+2=0，则圆心OQ,)到此直线距腐为-币5 所以AB=2-正=24-2=22 故答案为：22」 11.x=4或5x+12y-20=0 【分析】求得圆心与半径，由题意求得对称点M,分斜率存在与不存在两 种情况，设出直线I的方程，利用切线的性质及点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】圆C:x+y2-2x+4y-4=0,即(x-)2+y+22=9, 则圆心C(1,-2),半径r=3, 答案第5页，共16页 设点A(L,-3)关于x+y-1=0的对称点为M(ab), a+1b-3 -3-b 则线段AM的中点2,2，直线AM的斜率-1-a, a+1b-3-1=0 22 -3bx0=-1 a=4 可得(1-a 解得b=0,则点M(4,0), 若直线的斜率不存在，即直线的方程为x=4,此时直线1与圆C相切，符 合题意： 若直线I的斜率存在，设直线的方程为y=(x-4),即x-y-4k=0, d=k+2=41=r=3 故圆心C(1,-2)到直线！的距离1+2 此时直线的方程为员-+ +30,即5x+12y-20=0, 综上所述，直线1的方程为x=4或5x+12y-20=0, 故答案为：x=4或5x+12y-20=0 12. 【分析】由题意可得a=a+6da。=a+9d,4:=4+14d,又因为它们是等比数 24 4s、 列也，的连续三项，进而得到“3，即可得到等比数列的公比进而得到答案 【详解】因为数列a,}是公差d不为零的等差数列， 所以a=4+6d,04。=a+9da=a+14d 又因为4,4,4：是等比数列也，}的连续三项， 所以(a+6d)a+14d)=4+9d)月 解有：d=0(舍去)或d 3 答案第6页，共16页 g=4+91_5 所以 4+6d3 因为等比数列私，多的首项为品=3 所以。=3 故答案为： [15n-2n2,n≤4 13.l2n-15m+56n25meN 【分析】对进行分类讨论，结合等差数列的求和公式运算求解 【详解】因为a=13,d=-4,则a,=13-4(n-1)=17-4, 可翔等差数列a的前n项和8=15rx 2 17 ,n< 令a=17-4>0,解得”<4，且neN, 当n≤4时，则T,=a+a+…+a=4+a++a=S.=15n-2r； 当n≥5时，T=la+la++a =(a+a,+a,+a4）-(a+a++a)=S-(S,-S,)=2-S=56+22-15n; 综上所述： 15n 15n-2n2,n≤4 故答案为： 2n-15m+56m25neN 14.45 【分析】过点A作AB1I,垂足为点E,分析可知当P、A、F三点共线时， A+AP取最小值，可求出直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线的方程联 答案第7页，共16页 立，利用韦达定理求出AB,并求出原点到直线AB的距离，利用三角形的面积 公式可求得结果 【详解】过点A作AE⊥1，垂足为点E,如下图所示： 由抛物线的定义可知A=A,所以，AP+A=AP+HF2PFL, 当且仅当P、A、F三点共线时，A+A取最小值， 易知点F2,0)即二02一2，所以，直线AB的方程为y=-2x2) 设点A()、B(飞y), y=-2(x-2) 联立v2=8x 可得r2-6x+4=0,4=36-16>0,所以，+=6， 由抛物线的焦点弦长公式可得AB=++4=10」 点0到直线6的距离为行等，则5mhd分10：5-45 d=4=4W5 2 5 故答案为：4v5 15. 【分析】先由双曲线方程得到4a0),以及渐近线方程'=±。，再由抛物 答案第8页，共16页 b ,.b2 线方程得到r(a0),设， 1+ m2-5am+4a2=0 由PA.PF=0,得到d, 由题意得到该方程有解，从而可得△≥0，进而可求出离心率的范围. 【详解】双曲线8疗扩=1a>06>0 .x2y2 的右顶点A(a0),渐近线方程为 少 a 抛物线C:y=16ax的焦点为F(4a,0) b 可设a,即P a :PAP丽=0，则m-a(m-4 at=0.1+b2） =0,即l+am-5a+4a2=0 因为双曲线的渐近线上存在一点P,使得PAPF=0,则 b2 1+ m2-5am+4a2=0 关于m的方程 有解， b2） =25a2-161+ 所以 0哈器 又e1,所以e引 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于求出a,b,c之间关系；求解时，先由题意设点P坐标，根 据PA·P℉=O得到关于点P坐标的方程，再由方程有解，得到判别式大于等于零， 答案第9页，共16页二十中学2025-2026学年第一学期高二数学学情调研（二) 考试范围：选择性必修一、选择性必修二（数列)；考试时间：100分钟 注意事项： 1.答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号鄕信息； 2.请将答案正确峨写在答题卡上，仅写在试卷上无效。 第I卷（选择题) -、单选题（每小题4分，共36分） 1.己知直线：3x-2y+2=0,则下列结论正确的是（) A.直线l的倾斜角是钝角 B.1的一个方向向量为(2,3) C、直线1在x轴上截距为1 D.I与直线m:x-y-1=0垂直 2.已蜘等差数列{cn}的前n项和为Sn,若a与a,是方程x2-8x+4=0的两根，则S,=() A.41 B.42 C.43 D.44 3.我国古代数学名著《九章算术》中，·将底面为矩形且-一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马。已知四棱维 P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,且EC=2PE,若AB=a,AC=b,AP=c,则DE=(（) B.1a+26+28 53 3 1x.1- 3- C.a- D. 5 4.己知数列{an}的通项公式为an n-2 2n-15' 前n项和为Sn,则下列结论错误的是() A.{an}的最小项是a,=-5,最大项是ag=6 B.当n=7时，Sn最小 C.VneN',an<anti D.3n∈N,an<anl 5.若数列的满足a1+an=2n+3neN),a=4,则数列{a,}的前15项和为() A.105 B.119 C.135 D.152 试卷第1页，共4页 6.已知数列{an}满足1-2，a=2an+2,设b,=(n-2)1og,(0+2),人∈R,若数列{bn}凳递增数列，则 实数入的取值范围是() A.（-m,3） B.(4,+oo) C.（3,om) ID.（-∞，4) 7已妇照调C:号+若-o6>q上有在高点M、N关于直酸y-1:0对张，者稀圆离心库为 则MN的中点坐标为()( A.(54) B.（4,3) C.（3,2) D.(2,) &如图，已如双曲线C号芳-a>0b>0)的左、右然点分别为斤，5，过5作新近线 Abi-心=0的垂线交1于点M,连接MS交C于点N,若cs∠RN饭-号 ,则C的离 心率为() A.√2 B.5 C.2 D.5 9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足条件2Sn=3a.-1(n∈N.),若4Sn2-3man+2024≥0对neN,恒成 立，则整数m的最大值是() A.98 B.100 C.102 D.104 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题4分，共24分） 10.已知圆+y2=4与圆(x-2}+(0y+2)2=20交于A,B两点，则公共弦长4B=一· 11.已知点A(1,-3).若点A关于x+y-1=0的对称点为点M,过M作圆C:x2+y2-2x+4y-4=0的切 线，则切线的方程是 12.等差数列{an}中，公差d≠0，而且4,4o,45悬等比数列{bn}的连续3项，则6=3时b= 试卷第2页，共4页 13.若等差数列{an}的首项a,=13,d=-4,记T,=a+az+…+a,则Tn=一一 14.已知抛物线C:y2=8x,点P(0,4),点A在抛物线上，当点A到抛物线准线1的距离与点A到点P的距 离之和最小时，延长AF交抛物线于点B,则△AOB的面积为. 5.已知双自线E号影=1a>0b>0)右顶点为人，轮物线c:y广=16x的据点为F若在双酯线的断近 线上存在一点P,使得PAP乎=0，则双曲线E的离心率的取值范围是 三、解答题（共4小题，共40分） 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，BCIIAD,AB=BC=1,,点E在AD上，且PE⊥AD,PE=DE=2. ⊙ (1)若F为线段PE中点，求证：BF∥平面PCD (2)若AB⊥平面PAD,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值。 17保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、背年人住房困难，作出的重要决策部署。2021年7月，国务 院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关 政策或征求意见稿。为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米 是保障性租赁住房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，·另外，每年 新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米。 (1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积（以2021年为累计的第一年）将首次不少于 475万平方米？ (2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？（参考数 据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59) 试卷第3页，共4页 1已如州圆C:号岁-收>60)的右猪点为5点 在椭圆C上。且离心率为三 (1)求糊圆C的方程： (2)直线1斜率存在，交椭圆C于A,B两点，A,B,F三点不共线，且直线F和直线BF关于PF对称。 (i)证明：直线1过定点： (i)求△ABF面积的最大值。 19.已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且a4=7,（41+1)(b2+)=b+2,4+b=a22, ab=4a3+b(n∈N) (1)求{an},{也n}的通项公式。 abn,n为奇数 (2)已知cn= 30,-4地，n为偶数'求数列{c,}的前2m项和工： anan2 (3)求证： 1 ai log2 b 3 试卷第4页，共4页