浙江省宁波市鄞州区鄞州中学2025－2026学年八年级上学期大讲堂选拔考试数学试卷（2026.1.12）

2026年1月宁波市鄞州中学大讲堂选拔考试数学试卷(2026.1.12) 【1】己知关于x的方程x-9x2-10=0有 个实数根 A.1 B.2 C.3 D.4 2(x+5)+3<4m1-11 【2】己知关于x的不等式 -5-x≤6x 至少有一个整数解，并且关于x的方程 1 x-2 3=m-有不大于7的整数解，则整数m有 个 2-x 【3】在2025到2424中，各个数位上数字均不相同且从小到大排列的四位数有 个 【4】已知V3+5-V3-5=a+a,V6+35-V6-3万=b+B,若a、b、a、B均为有 理数，且ab为正整数，且0<a<1、0<B<,则 a B 【5】若非0实数a、h、c满足-a+b+C-a-b+c=a+b-C,则 b (a+b)(b+c)a+c) abc 【6】△ABC三边长分别为a、6、c,且满足-+上=。，请判断此三角形的形状 a b c a-b+c 【7】已知正方形ABCD的边长为5，且E为HB的中点，四边形EFGH为正方形，则阴影 面积是 y E H G D C 【8】若AB=AC=m,BC=n且满足√n-12+(m-10)2=0,Q为AC上一动点，连接BQ, 过点A、C作直线BQ的垂线分别交BQ于M、N两点，则AM+NC最大为 A M B C 【9】(1)若AB=AE、AE=AG,且∠BAE=∠CAD=a,求∠BME、∠AMD(可含a). (2)若α=50°，取EC中点H,BD中点G,连接GH,求∠AHG. A A G M H D E 图1 图2 【10】(1)如图1，在R△ABC中，∠A=90°、∠C=30°，求证三角形三边长度比. (2)如图2，∠CDE=∠EDB,∠CDB=I20°，E为AC中点，BE⊥DE,AB∥CD, AB=2、CD=3,求DE的长 (3)若P为Rt△ABC内一点，连接PA、PB、PC,∠ACB=30°、AB=I,求AP+2BP+V3CP 的最小值 y B D 图1 图2 图3 题1 关于x的方程x4-9x2-10=0有个实数根. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】原方程变形为(x2+1)(x2-10)=0,故x=士√10，有两个实根. 题2 已知关于x的不等式 2(c+5)+3<4m-11至少有1个整数解，并且关于x的方程 -5-x≤6x x-2 一3=0=工有不大于7的整数解，则整数m有_个值可以取 2-x 【答案】15 【解析】第一个不等式组的解是-点≤x<2m-12,所以2m-12>0,得m>6,第二个 > 方程的解是z=7生m,所以生”≤7，得m≤21，于是m可以取7到21之间的所有签 4 数，共15个. 题3 在2025到2425中，各个数位上数字均不相同且从小到大排列的四位数有个 【答案】15 【解析】容易知道至少要从2345开始，234开头的可取2345,2346,2347,2348,2349， 枚举可得共5+4+3+2+1=15个. 题4 已知√3+√5-√3-√5=a+a,√6+3W3-W6-3W3=b+B,a,b,a,B∈R,且 a,b为正整数0<a<山，0<B<,则合-日=一 【客】- 【解折】因为3+6=√6+=1+5=正，-=而，巨，所以 2 2 2 a=[而五-画22]=1，a=2-1,又6+W=√2+05=3+ 2 2 2 √ V6-3W5=3-3,所以6=3+3-35]=2，日=6-2， √2 √2 √2 故是言=+)-2=度- 2 2 题5 13.(1)若非零实数a、b、c满足二a+b+c=a-b+c=+b-c，则 a b (a+b)b+c)(a+c的值为_一 abc (2)已知△ABC三边长为a、b、C,且满足1-+上= 1 ，请判定此三角形的 a b'c a-b+c 形状 【答案】(1)8或-1(2)等腰三角形 [b+c=ak 【解析】(1)由条件知b+c=a+c=+b=k,则a+c=k,三式相加得(a+b+c) a b c a+b=ck (2-)=0,所以k=2或a+b+c=0(此时k=-1),原式=k3=8或-1. @格条件变形成日+古+日=a中的te谈式等价于a-)e-)a+o=0 a 所以a=b或c=b,三角形形状是等腰三角形. 题6 已知正方形ABCD边长为5，E为HB中，点，四边形EFGH为正方形，则阴影部分面积为 A B E H G D 【答案】15. 【解析】解：设小正方形的边长为x,则AH=HG=x,BH=2HE=2x. 由勾股定理AB=AF+Bf=5x2一x2=5=S=4×分2+2=3x2=15. 题7 若AB=AC=m,BC=n,且满足√m-12+(m-10)2=0,Q为AC上一动点，连结 BQ,过点A、C作直线BQ的垂线分别交BQ于M、N两点，则AM+NC的最大值为 M B 【答案】10. 【解析】解：由题AB=AC=m=10. 由直角边小于斜边→AM≤AQ,CN≤CQ→AM+CN≤AQ+CQ=AC=10,等号 当BQ⊥AC时取到. 题8 (1)若AB=AE,AD=AC,且∠BAE=∠CAD=a,求∠BME、∠AMD的度数（用含a 的代数式表示) (2)若a=50°，取EC中点H,BD中点G,连结GH,求∠AHG的度数. B 509 G 图1 图2 AB-AE 【解析】(1)解：由{∠BAD=∠EAC→△BAD≌△EAC(SAS)→LABD=LAEC AD-AC →点B,A,E,M四点共☒→∠BME=∠BAE=a. 同理点C,A,D,M四点共图一LAMD=180°-∠ACD=90+号a (2)解：连结AG,由△BAD≌△EAC→△BAG≌△EAH→AG=AH,∠GAH= ∠BAE=50°→∠AHG=18050°=65. 2 B A 50° G H D 3 题9○ (1)如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，求证：AB:BC:AC=1:2:W5. (2)如图2，∠CDE=∠EDB,∠CDB=120°，E为AC中点，BE⊥DE,AB∥CD,AB =2,CD=3,求DE长. (3)若P为Rt△ABC内部一点，连结PA、PB、PC,∠ACB=30°，AB=1,求AP+ 2BP+√CP的最小值. 30° 图1 图3 【解析】(1)证明：取BC中点D,连结AD.由∠BAD=90°，BD=CD一AD=BD= CD. 又，∠B=60°→△ABD是等边三角形→BC=2AB. 由勾股定理→AC=√AB. A 30 B D (2)延长BE,DC延长线交于点F.易得△AEB≌△CEF→CF=AB=2. 由题∠CDB=LBDE=号∠CDB=60°→DE=号DF=点. 2 2 B D (3)将△ACP绕点C顺时针旋转60°得到△A'CP',取CA'的中点A",CP'的中点P",连 结A"p,PP,由AP"是△ACP的中位线一AP=号AP'=号AP,由()PP= Hon 故AP+2BP+5CP=2号AP+BP+9cP)=2(AP+Pp"+BP)≥2BA"=2× @=√丽，等号当且仅当B,P,P”,A”共线时取到. 2 7 Pr Au 30° B C