专题二 三角函数的图象与性质 课件-2026届高三数学二轮复习

专题二　三角函数的图象与性质 命题热度： 本专题是历年高考命题必考的内容，属于中档题，主要题型为选择题或填空题，分值约为5~6分. 考查方向： 一是考查三角函数图象变换，考查根据给出的两个三角函数确定变换的方法以及根据给出的变换方法确定参数值的问题；二是考查三角函数的图象，考查根据给出的三角函数图象确定函数解析式中的参数，根据给出的情境确定三角函数图象等问题；三是考查三角函数的性质，考查根据三角函数解析式研究三角函数的单调性、对称性、周期性等性质. 考点一　三角函数的图象变换 　(1)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为π，且过点，若将f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，再向左平移个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)等于 A.sin B.sin C.sin D.sin 例1 √ 因为函数f(x)的最小正周期为π，ω>0， 所以T==π， 则ω=2，故f(x)=2sin(2x+φ)， 又函数f(x)过点，故f =2sin=0， 即-+φ=kπ，k∈Z，解得φ=kπ+，k∈Z， 由|φ|<得φ=-，故f(x)=2sin. 解析 将f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变， 得到y=sin的图象， 再向左平移个单位长度得到g(x)=sin=sin的图象. 解析 (2)(2025·湖州模拟)已知函数f(x)=acos ωx(a≠0，ω>0)，将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，若关于x的方程g(x) =0在上有且仅有两个不相等的实数根，则实数ω的取值范围是 A. B. C. D. √ 由题意得g(x)=acos ω=acos， 若x∈，则ωx+∈， ∵g(x)=0在上有且仅有两个不相等的实数根， ∴≤ω+<， 解得≤ω<4， 即实数ω的取值范围是. 解析 三角函数图象平移问题的处理策略 (1)看平移要求：确定由哪一个函数的图象平移得到哪一个函数的图象，这是判断移动方向的关键. (2)看左右移动方向：左“+”右“-”. (3)看移动单位：在函数y=Asin(ωx+φ)的图象中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向进行的，所以ω和φ之间有一定的关系，要知道φ是初相，再经过ω的放缩，最后移动的单位长度是(注意先移后缩和先缩后移的区别). 规律方法 跟踪演练1　(1)(2025·南京模拟)把函数y=cos x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y=f(x)的图象，则f(x)等于 A.cos B.cos C.cos D.cos √ 把函数y=cos x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)后得到y =cos 2x的图象，再将图象上所有的点向右平移个单位长度后得到的函数图象的解析式为y=cos 2=cos. 解析 (2)(2025·太原模拟)将函数f(x)=sin(2x+θ)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得的图象经过点，则θ等于 A.- B. C.- D. √ 将函数f(x)=sin(2x+θ)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的函数图象的解析式为 g(x)=sin+1=sin+1， 当x=时，g=sin+1=2，即sin=1， 则+θ=+2kπ，其中k∈Z，解得θ=-+2kπ，k∈Z， 又-<θ<，所以θ=-. 解析 考点二　三角函数的图象与解析式 　(1)(2025·湖南省沅澧共同体模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，图象与x轴的一个交点为M，与y轴的交点为N，最高点P(1，A)，且满足NM⊥NP.若将f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的图象对应的函数为g(x)，则g(-2)等于  A. B.0 C. D.- 例2 √ 由题意知，函数f(x)的最小正周期T满足=xM-xP=-1=，解得T=6， 所以ω==， 则f(x)=Asin， 由f(x)的图象与x轴的一个交点为M得×+φ=kπ(k∈Z)， 则φ=-+kπ(k∈Z)， 解析 因为|φ|<，所以φ=， 即f(x)=Asin， 则f(0)=Asin=， 所以f(x)的图象与y轴的交点为N， 则=，=， 因为NM⊥NP，所以·=-=0，解得A=-(舍去)或A=， 解析 所以f(x)=sin， 又将f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的图象对应的函数为g(x)， 则g(x)=sin=cosx， 所以g(-2)=cos=-. 解析 (2)已知函数f(x)=Acos(ωx-φ)的部分图象如图所示，将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为 A.g(x)=2cos B.g(x)=2cos C.g(x)=2sin 2x D.g(x)=2cos 2x √ 由图象可知A=2，=， 则f(x)图象的一个最低点为， f(x)的最小正周期T=，则ω==3， f =2cos=-2， 即-φ=π+2kπ(k∈Z)， 所以φ=-2kπ(k∈Z)， 解析 又因为|φ|<，所以φ=， 所以f(x)=2cos， 将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到y=2cos的图象， 再将所得函数图象向左平移个单位长度， 得到y=2cos=2cos 2x的图象， 故g(x)=2cos 2x. 解析 由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)中参数的值 (1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M=A+B，m=-A+B，解得B=，A=. (2)T定ω：由周期公式T=，可得ω=. (3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势. 规律方法 跟踪演练2　(1)(2025·北京海淀区模拟)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示.若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω等于 A.1 B. C.π D. √ 连接BC交x轴于点E，如图， 由于A，B，C，D四点在同一个圆上， 且A，D和B，C均关于点E对称， 故E为圆心，故AE=BE， AE=T=，BE==， 故=，解得ω=. 解析 (2)如图所示，将函数f(x)=3sin ωx(ω>0)的图象向右平移得到g(x)=3sin(ωx-φ)(0<φ<π)的图象，其中P和P1分别是f(x)图象上相邻的最高点和最低点，点B，A分别是f(x)，g(x)图象的一个对称中心，若AP⊥AP1，=15， 则g(x)的解析式为　　　　 　.  g(x)=3sin 将函数f(x)=3sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得g(x)=3sin(ωx-φ) (0<φ<π)的图象， 由于B，A分别是f(x)，g(x)图象的一个对称中心，结合图象可知AB=. =AB×3×2=15，故AB==5， 由于AP⊥AP1，所以BP1=BP=AB=5， 设f(x)的最小正周期为T，则T==4，故T==16， 解得ω=，φ=5ω=，故g(x)=3sin. 解析 考点三　三角函数的性质 　(1)(多选)(2025·长沙模拟)已知函数f(x)=2sin2x+sin，则下列说法正确的是 A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)的图象关于点对称 C.f(x)在区间上的值域为 D.若f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得图象关于y轴对称，则φ 的最小值为 例3 √ √ √ 因为f(x)=2sin2x+sin=2·+sin 2xcos+cos 2xsin =-cos 2x-sin 2x+cos 2x=- =-sin， 对于A选项，函数f(x)的最小正周期T==π，A错误； 解析 对于B选项，因为f =-sin π=，故f(x)的图象关于点对称，B正确； 对于C选项，当0<x<时，<2x+<，则-<sin≤1， 所以f(x)=-sin∈， 故f(x)在区间上的值域为，C正确； 解析 对于D选项，若f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得图象关于y轴对称， 即函数y=-sin=-sin为偶函数， 故-2φ=kπ+(k∈Z)，解得φ=--(k∈Z)， 因为φ>0，故当k=-1时，φ取得最小值，D正确. 解析 (2)(2025·清远质检)已知函数f(x)=sin πωx-cos πωx(ω>0)在[0，1]内恰有3个最值点和3个零点，则实数ω的取值范围是 A. B. C. D. √ 因为f(x)=sin πωx-cos πωx=2sin(ω>0)， 且当0≤x≤1时，-≤πωx-≤πω-， 因为函数f(x)在[0，1]内恰有3个最值点和3个零点， 所以≤πω-<3π，解得≤ω<. 解析 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式，然后结合正弦函数y=sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围，然后由y=sin t的性质判断各选项. 规律方法 跟踪演练3　(1)(2025·烟台模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增，且其图象关于点对称，则f 等于 A.- B.- C. D. √ 由函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增，得≥2 =π， 解得0<ω≤2，由f(x)的图象关于点对称，得ω-=kπ，k∈Z， 解得ω=3k+，k∈Z，于是k=0，ω=，f(x)=sin， 所以f =sin=sin=. 解析 (2)(多选)(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=tan(ωx+φ)的图象经过点(0，-)，g(x)=f(x)-1的零点之间距离的最小值为2，则 A.f(2)= B.f(x)的单调递增区间为(k∈Z) C.f(x)的图象关于点(k∈Z)对称 D.f(x)=sin(0≤x≤5)的解集为 √ √ 由已知得，f(x)的最小正周期为2，所以ω=， 因为函数f(x)=tan (ωx+φ)的图象经过点(0，-)， 所以tan φ=-，因为-<φ<， 所以φ=-， 所以f(x)=tan， 则f(2)=tan=-，所以A错误； 解析 当且仅当-+kπ<x-<+kπ(k∈Z)时，f(x)单调递增， 解得2k-<x<2k+(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，所以B正确； 令x-=k·(k∈Z)，得x=k+(k∈Z). 所以f(x)的图象关于点(k∈Z)对称，所以C正确； 解析 因为f(x)=sin=sin=sin(0≤x≤5)， 可得sin=tan=， 即sin=0， 所以sin=0或cos=1， 而当cos=1时，sin=0， 解析 故只需sin=0， 则-=mπ(m∈Z)，解得x=2m+(m∈Z)， 因为0≤x≤5，故x∈， 因此，f(x)=sin(0≤x≤5)的解集为，所以D错误. 解析 $