5.1.2 导数的概念及其几何意义（2）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其 几何意义(2) 5.1 导数的概念及其意义 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 复习回顾 (2) 瞬时变化率/导数： (1) 平均变化率： 取极限 问题1 函数y＝f(x)在 x＝x0 处的导数计算公式: 导数 表示函数 y＝f (x) 在 x＝x0 处的瞬时变化率，反映了函数 y＝f (x) 在 x＝x0 附近的变化情况. 问题2 导数f '(x0)是否具有几何意义? 探究新知 追问1：平均变化率的几何意义是什么？ 过点 和点 的直线的斜率. 平均变化率的几何意义是割线P0P的斜率k. 探究新知 追问2 能否给切线下个定义？ 切线的定义： 在曲线 y ＝ f (x) 上任取一点 P (x，f (x))，如果当点 P 沿着曲线 y ＝ f (x) 无限趋近于点 P0 (x0，f (x0)) 时，割线 P0 P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线 P0 T 称为曲线 y ＝ f (x) 在点 P0 处的切线 . x f (x) 探究新知 点 P → 点 P0 割线 P0 P 的斜率 k 切线 P0 T 的斜率 k0 探究新知 函数 y＝f (x) 在 x＝x0 处的导数 曲线 y＝f (x) 在点 P0 (x0，f (x0)) 处切线的斜率 k0 数形 转化 函数y = f(x)在x=x0处的导数f ' (x0)就是切线P0T的斜率k0，即 探究新知 继续观察，可以发现点P0处的切线P0T比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线．进一步地，利用信息技术工具将点P0附近的曲线不断放大，可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线．因此，在点P0附近，曲线y = f(x)可以用点P0处的切线P0T近似代替. 举例应用 教材P70 分析： 切点是切线上一点，只需要再求出切线的斜率. 切线的斜率等于相应函数在切点处的导数. 例1 求曲线 y＝－2x2 ＋1在点 ( 1，－1 ) 处的切线方程. 举例应用 教材P70 例1 求曲线 y＝－2x2 ＋1在点 ( 1，－1 ) 处的切线方程. 所以，所求切线方程为 整理得 方法总结 求曲线在某点处的切线方程的步骤 举例应用 例1 求曲线 y＝－2x2 ＋1在点 ( 1，－1 ) 处的切线方程. 思考：怎样求解过程更简便？ 变式：求曲线 y＝－2x2 ＋1在x=2 , x=3，x=4处的切线斜率. 新知讲授 从求函数 y＝f (x) 在 x＝x0 处导数的过程可以看到， 当 x＝x0 时， 是一个唯一确定的数. 当 x 变化时， 就是 x 的函数，我们称它为 y＝f (x) 的导函数 (简称导数). y＝f (x)的导函数有时也记作 ，即 导函数的定义 探究新知 (3) 函数f(x)在点 x0 处的导数 就是导函数 在x=x0处的 函数值，即 . (2) 导函数 是指某一区间内任意x而言的，就是函数f(x)的导数. 方法总结 求函数 y＝f (x)的导函数 的步骤是什么？ 第一步，写出 并化简； 第二步，求极限得导函数， 例题分析 例2 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t +11的图象. 请描述、比较曲线h(t)在t=t0, t1, t2附近的变化情况. 解: (1)当t=t0时, 曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴, h'(t0)=0. 函数h(t)在t=t0附近几乎没有升降. (2)当t=t1时, 曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h'(t1)<0. 函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3)当t=t2时, 曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0. 函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 从图中可以看出, 直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度, 这说明 曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢. t1 h t0 O • • t2 • t l2 l1 l0 课堂练习 教材P68 1. 根据图象，描述曲线h(t)在t=t3, t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况. t4 h t3 O • • t • l3 l4 (2)当t=t4时, 曲线h(t)在t=t4处的切线l4的斜率h′(t4)>0. 数h(t)在t=t2附近也单调递增. 解: (1) 当t=t3时, 曲线h(t)在t=t3处的切线l3的斜率h′(t3)>0. 函数h(t)在t=t1附近单调递增. 从图中可以看出, 直线l3的倾斜程度大于直线l4的倾斜程度, 这说明曲线h(t)在t=t3附近比在t=t4附近递增快. 方法总结 t4 h t3 O • • t • l3 l4 t1 t0 • • t2 • l2 l1 l0 切线斜率(导数)的正负：函数增减趋势 切线斜率(导数)的大小：函数增减快慢 切线倾斜程度的大小： 函数增减快慢 课堂练习 教材P68 x y 1 2 O • • • 3 2. 函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是( ). (A) f '(1)>f '(2)>f '(3)>0 (B) f '(1)<f '(2)<f '(3)<0 (C) 0<f '(1)<f '(2)<f '(3) (D) f '(1)>f '(2)>0>f '(3) A 补充练习 教材P68 A 补充练习 2. y = f(x)在x=x0处的导数f ' (x0)几何意义是 在P0(x0, f(x0))处切线P0T的斜率k0： 课堂小结 1. 平均变化率的几何意义是割线P0P的斜率k： 取极限 3. y＝f (x)的导函数(简称导数): 21 解：根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝，所以f′(4)＝. 1．如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)＝(　　) A．　　　B．3 C．4 D．5 $