5.1.2 导数的概念及其几何意义（1）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦导数的概念及其意义，通过复习小车行驶速度和抛物线切线斜率问题，从平均变化率过渡到瞬时变化率，搭建具体到抽象的学习支架，帮助学生理解导数本质。 其亮点在于以实例驱动教学，引导学生用数学眼光观察现实问题（如原油温度、汽车加速度），用数学思维推理极限思想，用数学语言解释导数意义。采用问题链探究法，小结系统梳理知识与方法，助力学生深化理解，教师教学更高效。

5.1.2 导数的概念及其 几何意义(1) 5.1 导数的概念及其意义 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 复习回顾 问题1 小车行驶的速度 平均速度 瞬时速度 问题2 抛物线的切线斜率 割线斜率 切线斜率 探究新知 问题1 小车行驶的速度 平均速度 瞬时速度 问题2 抛物线的切线斜率 割线斜率 切线斜率 问题1 解决这两类问题时有什么共性 ——平均变化率 ——瞬时变化率 ——平均变化率 ——瞬时变化率 探究新知 问题1 解决这两类问题时有什么共性 都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法， 问题的答案也有一样的表示形式. 下面我们用上述思想方法，研究更一般的问题. 探究新知 问题2 一般地，对于函数 y＝f (x)，自变量 x 从 x0 变化到 这个过程中，函数值的平均变化率如何表示呢？ 自变量 x ： 函数值 y ： 函数 y＝f (x) 从 x0 到 的平均变化率： 函数 y＝f (x) 探究新知 问题3 函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的瞬时变化率该如何表示呢？ 追问 当 无限趋近于 0 时，平均变化率 是否一定会无限趋近于一个确定的值呢？ 探究新知 考查 f (x)＝| x | 在 x＝0 附近的变化情况. 举反例： 当 时， 当 时， 这说明当 无限趋近于0时，平均变化率 不一定能无限趋近于一个确定的值. 新知讲授 定义：如果当 无限趋近于 0 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，我们称 y ＝ f (x) 在 x ＝ x0 处可导，并把这个确定的值叫做 y ＝ f (x) 在 x ＝ x0 处的导数 ( 也称为瞬时变化率 ) ， 记作 或 . 用极限符号表示这个定义，就是 导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达. 问题4 根据导数的定义，你能用导数来重述小车行驶速度问题和抛物线切线问题的结论吗？ 在P0(1,1)处的切线斜率 在t=5时的速度 问题1 小车行驶的速度 平均速度 瞬时速度 问题2 抛物线的切线斜率 割线斜率 切线斜率 ——平均变化率 ——瞬时变化率 ——平均变化率 ——瞬时变化率 在t=5时的速度. 在P0(1,1)处的切线斜率 新知讲授 问题4 根据导数的定义，你能用导数来重述小车行驶速度问题和抛物线切线问题的结论吗？ 实际上，导数可以描述许多运动变化事物的瞬时变化率. 比如效率、国内生产总值的增长率等. 新知讲授 例题分析 例1 设 ，求 分析： 因为 所以 为了便于计算，我们可以先求出 ，再对它取极限. 例题分析 例1 设 ，求 解： 方法总结 问题5 你能总结出求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤吗？ 第一步，写出 并化简； 第二步，求极限 ， 若 存在，则 例题分析 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为 计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 例题分析 解： 在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是 和 所以 因为 同理， 请完成具体的计算过程 例题分析 追问： 和 在这个实际问题中的意义是什么？ 在本题中 是原油温度在时刻 x0 的瞬时变化率，它反映的是原油温度在时刻 x0 附近的变化情况. 表示在第2h时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h. 这说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降. 导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势. 例题分析 追问： 和 在这个实际问题中的意义是什么？ 在本题中 是原油温度在时刻 x0 的瞬时变化率，它反映的是原油温度在时刻 x0 附近的变化情况. 表示在第6h时，原油温度的瞬时变化率为5℃/h， 这说明在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升. 导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势. 例题分析 例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度（单位：m/s）为 y＝v(t)＝－t2＋6t＋60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 追问：速度与瞬时加速度的关系是什么？ 瞬时加速度就是速度的瞬时变化率. 例题分析 解： 在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是 和 所以 因为 同理， 例题分析 追问： 和 在这个实际问题中的意义是什么？ 在本题中 是t0时刻汽车的瞬时加速度， 反映了速度在t0时刻附近的变化情况. 表示在第2s时，汽车的瞬时加速度是2m/s2， 这说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s. 导数(瞬时变化率)为正，体现了增加的变化趋势. 例题分析 追问： 和 在这个实际问题中的意义是什么？ 在本题中 是t0时刻汽车的瞬时加速度， 反映了速度在t0时刻附近的变化情况. 表示在第6s时，汽车的瞬时加速度是－6m/s2， 这说明在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s. 导数(瞬时变化率)为负，体现了减少的变化趋势. 瞬时速度是位移的瞬时变化率， 瞬时加速度是速度的瞬时变化率. (2) 瞬时变化率/导数： (3) 根据定义求给定函数在某点处导数的步骤. 无限逼近的极限思想 课堂小结 (1) 平均变化率： 1.知识 2.研究方法 取极限 (4) 应用导数的意义对实际问题进行了分析和解释. 22 课堂练习 教材P66 3. 一个质点A沿着直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)=2t2+1，求质点A在t=2.7s时的瞬时速度. 4. 设函数 f (x)＝x2－1. 求： （1）当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，函数的平均变化率； （2）函数在 x＝1 处的导数. 2 10.8 2.1 1 $