【讲义篇】寒假提升讲义：专题08 数学广角——数与形（讲义）-2025-2026学年六年级上册数学人教版

【讲义篇】2025-2026学年六年级上册数学人教版寒假提升讲义 专题08 数学广角——数与形 （思维导图+知识精讲+真题拔高） 思维导图 知识精讲 知识一、数与形结合的核心思想 1. 以形助数的概念与作用 （1）以形助数的定义 ① 以形助数是指借助直观的图形、图表等具象化载体，将抽象的数的概念、运算规律或数量关系转化为可视的图形形式，降低数的抽象性，帮助理解数的本质。 ② 它是数与形结合思想的核心方向之一，核心是利用图形的直观性“翻译”数的逻辑。 （2）以形助数的核心作用 ① 简化复杂数的运算：通过图形的拼接、分割等操作，直观呈现运算的原理，让抽象的数的运算变得可感知。 ② 理解数的规律：将数的变化规律对应到图形的生长、变化中，更容易发现和总结数的内在模式。 ③ 直观呈现数量关系：把抽象的数量对比、比例等关系，通过图形的大小、占比等视觉特征直接展示，强化对数量关系的认知。 2. 以数解形的概念与作用 （1）以数解形的定义 ① 以数解形是指利用数的精确性、运算规则和代数表达式，对图形的特征、变化规律或数量属性进行量化描述、推导和计算，实现图形问题的精准解决。 ② 它是数与形结合思想的另一个核心方向，核心是用数的逻辑“量化”图形的属性。 （2）以数解形的核心作用 ① 精准描述图形属性：用数值、公式精准表示图形的周长、面积、边长等关键属性，避免图形直观判断的误差。 ② 推导图形公式：通过数的运算推导图形的周长、面积、体积等计算公式，明确公式的来源与原理。 ③ 分析图形变化规律：用含字母的代数式表示图形随变量变化的规律，预测图形的后续变化趋势。 知识二、以形助数的常见应用类型 1. 平方数规律的图形直观表示 （1）从1开始的连续奇数求和规律 ① 用正方形点阵直观呈现：1个点对应1=1²，1+3个点可拼成2×2的正方形对应2²，1+3+5个点可拼成3×3的正方形对应3²，以此类推。 ② 总结规律：前n个连续奇数的和等于n的平方，即1+3+5+…+(2n-1)=n²。 （2）平方数差的规律 ① 用正方形面积差直观呈现：n²与(n-1)²的差对应两个正方形的面积差，可转化为一个长为2n-1、宽为1的长方形面积，因此n²-(n-1)²=2n-1。 2. 等差数列规律的图形直观表示 （1）连续自然数求和规律 ① 用梯形或三角形点阵直观呈现：1+2+3+…+n的和，可通过将两个相同的三角形点阵拼成长方形，推导求和公式的直观原理。 （2）分数累加的极限规律 ① 用圆形或正方形的逐步分割直观呈现：如1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +…的累加，通过图形每次取剩余部分的一半，直观感知和逐渐趋近于1的极限趋势。 3. 分数运算算理的图形直观理解 （1）分数加法的直观理解 ① 用图形的拼接表示分数加法：如1/3 + 1/6，用两个相同的圆形分别分割为3份和6份，将对应份数拼接，直观理解通分的必要性和运算结果。 （2）分数乘法的直观理解 ① 用图形的面积占比表示分数乘分数：如1/2×1/3，先将长方形平均分成2份取其中1份，再将这1份平均分成3份取其中1份，直观理解结果为1/6的算理。 知识三、以数解形的常见应用类型 1. 图形数量规律的量化推导 （1）点阵图形的点数规律 ① 用含n的代数式表示点阵的点数：如正方形点阵的点数为n²，三角形点阵的点数为n(n+1)/2，通过数的运算总结图形的生长规律。 （2）拼接图形的材料数量规律 ① 用含n的代数式表示拼接n个图形所需的材料数量：如用小棒摆正方形，n个相连正方形所需小棒数为3n+1，通过数的运算推导图形拼接的重复与变化规律。 2. 图形面积与周长的精准计算 （1）组合图形的面积计算 ① 用数的加减乘除运算，结合规则图形的面积公式，通过割补法计算组合图形的面积，将图形问题转化为数的运算问题。 （2）图形变化中的周长、面积变化 ① 用数的运算分析图形缩放、拼接后的周长和面积变化：如图形按比例缩放k倍，周长扩大k倍，面积扩大k²倍，通过数的量化分析替代直观判断。 3. 图形位置与运动的数化描述 （1）用数对表示图形位置 ① 用数对（列数，行数）精准表示平面内点的位置，将图形的位置属性转化为数值，实现图形位置的量化描述。 （2）图形运动的量化分析 ① 用数的变化描述图形的平移、旋转、轴对称：如平移的格数、旋转的角度、对称轴的坐标，通过数的精准值确定图形运动的结果。 知识四、数与形结合的解题策略与注意事项 1. 核心解题策略 （1）以形助数的解题步骤 ① 观察数的特征或运算，联想对应的图形载体； ② 绘制或构建直观图形，将数的关系转化为图形关系； ③ 分析图形的规律，反向推导数的运算结果或规律； ④ 用数的运算验证图形推导的结论。 （2）以数解形的解题步骤 ① 分析图形的特征和变化，确定需要量化的属性； ② 建立图形与数的对应关系，将图形问题转化为数的运算问题； ③ 利用数的运算、公式推导结论； ④ 用图形直观验证数的运算结果的合理性。 2. 常见注意事项 （1）图形与数的对应准确性 ① 确保图形的每一个元素都与数的概念、运算或数量关系精准对应，避免因对应错误导致规律总结或计算错误。 （2）规律的普遍性验证 ① 通过图形总结数的规律时，需验证多个不同的案例，确保规律具有普遍性，而非个别现象。 （3）避免图形的直观局限性 ① 图形直观可能存在视觉误差，对于精确计算或复杂规律，需结合数的运算进行精准推导，不能仅依赖图形直观判断。 真题拔高 一、填空题 1．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）用〇做堆砌的游戏，如图这样堆下去第5堆共有( )个〇，第n堆共有( )个〇。 2．（24-25六年级上·云南曲靖·期末）按如下规律画下去，第9个图形有( )个边长为1的小正方形。 3．（24-25六年级上·天津南开·期末）已知1＋3＋5＋7＝42，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72，那么1＋3＋5＋7＋9＋…＋2025＝（      ）2。 4．（25-26六年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，用同样规格的灰、白两种正方形瓷砖铺设长方形地面。第七个图形一共有( )块白色瓷砖。 5．（24-25六年级上·浙江温州·期末）按照如图的规律想一想，后面的第10个方框里有( )个点，第n个方框里有( )个点。 6．（24-25六年级上·贵州安顺·期末）仔细观察下面图与算式的规律，利用发现的规律计算： 。（填最终结果） … 7．（23-24六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，摆6个同样的正方形需要小棒( )根。 8．（24-25六年级上·河南濮阳·期末）学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一排，2桌拼成一排能坐6人（如下图）。照这样排下去，4张方桌拼在一起能坐( )人，n张方桌拼在一起能坐( )人。 9．（24-25六年级上·广东佛山·期末）请观察、思考下面两道题，计算后完成填空。 （1）＝1 （2）＝（    ） 10．（24-25六年级上·山东济南·期末）我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中给出了一个由数构成的三角形图，我们称之为“杨辉三角”。仔细观察规律，从上到下，第2024行有( )个数字，倒数第2个数字是( )。 二、选择题 11．（25-26六年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，照这样接着画下去，第8个图形一共有（    ）个小三角形。     A．15 B．36 C．49 D．64 12．（24-25六年级上·吉林·期末）下面算式中，与1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1得数相等的是（    ）。 A．42＋52 B．52－42 C．52＋32 D．52－32 13．（24-25六年级上·贵州六盘水·期末）华威照明厂想设计一种LED灯，第1档点亮1颗灯珠，第2档点亮7颗灯珠，第3档点亮19颗灯珠，第4档点亮37颗灯珠（如图），按照这样的规律下去，第6档应该点亮（    ）颗灯珠。 A．43 B．55 C．61 D．91 14．（23-24六年级上·河南安阳·期末）照下图的样子摆下去，如果一个小三角形的边长为1cm，第8个图形的周长是（    ）cm。 A．8 B．10 C．17 D．24 15．（23-24六年级上·湖北黄冈·期末）用棋子与小棒摆出下面的图形。第（    ）个图形用了99个棋子。 A．31 B．32 C．33 D．34 三、解答题 16．（22-23六年级上·云南昆明·期末）按照下面的规律接着画下去，第七个图有多少个？请你写出思考过程。 17．（22-23六年级上·湖南益阳·期末）下面都是由边长为1厘米的小正方形拼成的大正方形。 ①              ②                ③ （1）观察图形，完成表格。 图号 ① ② ③ ④ … 阴影部分边长（厘米） 1 2 3 … 最外圈正方形个数（个） 8 12 16 （2）以此类推，如果在图⑩的阴影部分内画一个最大的圆，这个圆的面积是多少？ 18．（22-23六年级上·江苏扬州·期末）同学们，“观察—猜想—验证—应用”是我们常用的数学探究方法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出了两种不同的方法（如图）。 这两种方法都是求的阴影部分的面积， 因此52－32＝（5－3）×（5＋3）。 仔细观察这个等式，想一想：是不是 任意两个数都具有这样的特征呢？ （1）请举2个例子验证： ①102－62＝（      ）×（      ）     ②                                         （2）如果用a和b表示两个数（且a＞b），这样的规律可以表示为： a2－b2＝（      ）×（      ） （3）根据以上结论计算：[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（      ） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【讲义篇】2025-2026学年六年级上册数学人教版寒假提升讲义 专题08 数学广角——数与形 （思维导图+知识精讲+真题拔高） 思维导图 知识精讲 知识一、数与形结合的核心思想 1. 以形助数的概念与作用 （1）以形助数的定义 ① 以形助数是指借助直观的图形、图表等具象化载体，将抽象的数的概念、运算规律或数量关系转化为可视的图形形式，降低数的抽象性，帮助理解数的本质。 ② 它是数与形结合思想的核心方向之一，核心是利用图形的直观性“翻译”数的逻辑。 （2）以形助数的核心作用 ① 简化复杂数的运算：通过图形的拼接、分割等操作，直观呈现运算的原理，让抽象的数的运算变得可感知。 ② 理解数的规律：将数的变化规律对应到图形的生长、变化中，更容易发现和总结数的内在模式。 ③ 直观呈现数量关系：把抽象的数量对比、比例等关系，通过图形的大小、占比等视觉特征直接展示，强化对数量关系的认知。 2. 以数解形的概念与作用 （1）以数解形的定义 ① 以数解形是指利用数的精确性、运算规则和代数表达式，对图形的特征、变化规律或数量属性进行量化描述、推导和计算，实现图形问题的精准解决。 ② 它是数与形结合思想的另一个核心方向，核心是用数的逻辑“量化”图形的属性。 （2）以数解形的核心作用 ① 精准描述图形属性：用数值、公式精准表示图形的周长、面积、边长等关键属性，避免图形直观判断的误差。 ② 推导图形公式：通过数的运算推导图形的周长、面积、体积等计算公式，明确公式的来源与原理。 ③ 分析图形变化规律：用含字母的代数式表示图形随变量变化的规律，预测图形的后续变化趋势。 知识二、以形助数的常见应用类型 1. 平方数规律的图形直观表示 （1）从1开始的连续奇数求和规律 ① 用正方形点阵直观呈现：1个点对应1=1²，1+3个点可拼成2×2的正方形对应2²，1+3+5个点可拼成3×3的正方形对应3²，以此类推。 ② 总结规律：前n个连续奇数的和等于n的平方，即1+3+5+…+(2n-1)=n²。 （2）平方数差的规律 ① 用正方形面积差直观呈现：n²与(n-1)²的差对应两个正方形的面积差，可转化为一个长为2n-1、宽为1的长方形面积，因此n²-(n-1)²=2n-1。 2. 等差数列规律的图形直观表示 （1）连续自然数求和规律 ① 用梯形或三角形点阵直观呈现：1+2+3+…+n的和，可通过将两个相同的三角形点阵拼成长方形，推导求和公式的直观原理。 （2）分数累加的极限规律 ① 用圆形或正方形的逐步分割直观呈现：如1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +…的累加，通过图形每次取剩余部分的一半，直观感知和逐渐趋近于1的极限趋势。 3. 分数运算算理的图形直观理解 （1）分数加法的直观理解 ① 用图形的拼接表示分数加法：如1/3 + 1/6，用两个相同的圆形分别分割为3份和6份，将对应份数拼接，直观理解通分的必要性和运算结果。 （2）分数乘法的直观理解 ① 用图形的面积占比表示分数乘分数：如1/2×1/3，先将长方形平均分成2份取其中1份，再将这1份平均分成3份取其中1份，直观理解结果为1/6的算理。 知识三、以数解形的常见应用类型 1. 图形数量规律的量化推导 （1）点阵图形的点数规律 ① 用含n的代数式表示点阵的点数：如正方形点阵的点数为n²，三角形点阵的点数为n(n+1)/2，通过数的运算总结图形的生长规律。 （2）拼接图形的材料数量规律 ① 用含n的代数式表示拼接n个图形所需的材料数量：如用小棒摆正方形，n个相连正方形所需小棒数为3n+1，通过数的运算推导图形拼接的重复与变化规律。 2. 图形面积与周长的精准计算 （1）组合图形的面积计算 ① 用数的加减乘除运算，结合规则图形的面积公式，通过割补法计算组合图形的面积，将图形问题转化为数的运算问题。 （2）图形变化中的周长、面积变化 ① 用数的运算分析图形缩放、拼接后的周长和面积变化：如图形按比例缩放k倍，周长扩大k倍，面积扩大k²倍，通过数的量化分析替代直观判断。 3. 图形位置与运动的数化描述 （1）用数对表示图形位置 ① 用数对（列数，行数）精准表示平面内点的位置，将图形的位置属性转化为数值，实现图形位置的量化描述。 （2）图形运动的量化分析 ① 用数的变化描述图形的平移、旋转、轴对称：如平移的格数、旋转的角度、对称轴的坐标，通过数的精准值确定图形运动的结果。 知识四、数与形结合的解题策略与注意事项 1. 核心解题策略 （1）以形助数的解题步骤 ① 观察数的特征或运算，联想对应的图形载体； ② 绘制或构建直观图形，将数的关系转化为图形关系； ③ 分析图形的规律，反向推导数的运算结果或规律； ④ 用数的运算验证图形推导的结论。 （2）以数解形的解题步骤 ① 分析图形的特征和变化，确定需要量化的属性； ② 建立图形与数的对应关系，将图形问题转化为数的运算问题； ③ 利用数的运算、公式推导结论； ④ 用图形直观验证数的运算结果的合理性。 2. 常见注意事项 （1）图形与数的对应准确性 ① 确保图形的每一个元素都与数的概念、运算或数量关系精准对应，避免因对应错误导致规律总结或计算错误。 （2）规律的普遍性验证 ① 通过图形总结数的规律时，需验证多个不同的案例，确保规律具有普遍性，而非个别现象。 （3）避免图形的直观局限性 ① 图形直观可能存在视觉误差，对于精确计算或复杂规律，需结合数的运算进行精准推导，不能仅依赖图形直观判断。 真题拔高 一、填空题 1．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）用〇做堆砌的游戏，如图这样堆下去第5堆共有( )个〇，第n堆共有( )个〇。 【答案】 45 n（n＋1） 【分析】根据图示可知： 第①堆有3个〇，3＝1＋2； 第②堆有9个〇，9＝2＋3＋4； 第③堆有18个〇，18＝3＋4＋5＋6； … 第⑤堆有45个〇，45＝5＋6＋7＋8＋9＋10； 第n堆〇个数为n（n＋1）。 据此可得出答案。 【详解】第①堆有3个〇，3＝1＋2； 第②堆有9个〇，9＝2＋3＋4； 第③堆有18个〇，18＝3＋4＋5＋6； … 第⑤堆有45个〇，45＝5＋6＋7＋8＋9＋10； 第n堆〇个数为n（n＋1）。 即用〇做堆砌的游戏，如图这样堆下去第5堆共有45个〇，第n堆共有[n（n＋1）]个〇。 2．（24-25六年级上·云南曲靖·期末）按如下规律画下去，第9个图形有( )个边长为1的小正方形。 【答案】90 【分析】由图可知，第1个图形有2个边长为1的小正方形，2＝1×2； 第2个图形有6个边长为1的小正方形，6＝2×3； 第3个图形有12个边长为1的小正方形，12＝3×4； 第4个图形有20个边长为1的小正方形，20＝4×5； 由此得出，第9个图形中边长为1的小正方形个数可表示为9×（9＋1）。 【详解】根据规律可知，第9个图形中边长为1的小正方形个数可表示为9×（9＋1）。 9×（9＋1） ＝9×10 ＝90 所以第9个图形有90个边长为1的小正方形。 【点睛】本题关键是将小正方形的个数写成连续两个数相乘的形式，总结出规律再计算。 3．（24-25六年级上·天津南开·期末）已知1＋3＋5＋7＝42，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72，那么1＋3＋5＋7＋9＋…＋2025＝（      ）2。 【答案】1013 【分析】由已知的两个算式：1＋3＋5＋7＝42，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72，发现：从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方，据此规律解答。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋…＋2025中奇数的个数： （2025－1）÷2＋1 ＝2024÷2＋1 ＝1012＋1 ＝1013 所以，1＋3＋5＋7＋9＋…＋2025＝10132。 4．（25-26六年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，用同样规格的灰、白两种正方形瓷砖铺设长方形地面。第七个图形一共有( )块白色瓷砖。 【答案】56 【分析】观察图形可知： 第1幅图有2块白色正方形瓷砖，2＝1×2＝1×（1＋1）； 第2幅图有6块白色正方形瓷砖，6＝2×3＝2×（2＋1）； 第3幅图有12块白色正方形瓷砖，12＝3×4＝3×（3＋1）； …… 规律：第n幅图有n×（n＋1）块白色正方形瓷砖； 按此规律解答。 【详解】规律：第n幅图有n×（n＋1）块白色正方形瓷砖。 当n＝7时 n×（n＋1） ＝7×（7＋1） ＝7×8 ＝56（块） 第七个图形一共有56块白色瓷砖。 5．（24-25六年级上·浙江温州·期末）按照如图的规律想一想，后面的第10个方框里有( )个点，第n个方框里有( )个点。 【答案】 37 （4n－3） 【分析】观察图形，第1个方框里有1个点，第2个方框里有（1＋4）个点，第3个方框里有（1＋4×2）个点，依次类推，算出第10个方框里有多少个点。照此规律可知，第n个方框里有[1＋4×（n－1）]个点。 【详解】1＋4×（10－1） ＝1＋4×9 ＝1＋36 ＝37（个） 第10个方框里有37个点。 1＋4×（n－1） ＝1＋4×n－4×1 ＝1＋4n－4 ＝4n＋（1－4） ＝（4n－3）个 第n个方框里有（4n－3）个点。 【点睛】本题的解题关键是数形结合与归纳推理。通过观察前3个方框里点数的变化，发现每增加1个方框，点数就增加4个的规律；再将图形规律转化为代数表达式（4n－3），实现从“形”到“数”的转化；最后代入数值计算，体现了“特殊→一般→特殊”的解题思路。 6．（24-25六年级上·贵州安顺·期末）仔细观察下面图与算式的规律，利用发现的规律计算： 。（填最终结果） … 【答案】199 【分析】算式表示的是外面大正方形中小正方形的个数减去里面正方形中小正方形的个数，结果为阴影部分小正方形的个数，即为大正方形每边小正方形的个数加上里面正方形每边小正方形的个数。 【详解】。 7．（23-24六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，摆6个同样的正方形需要小棒( )根。 【答案】19 【分析】仔细观察可以发现，每增加一个正方形增加3根小棒，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要（4＋3×1）根小棒，摆3个正方形需要（4＋3×2）根小棒……则摆6个正方形需要（4＋3×5）根小棒.。据此解答。 【详解】4＋3×5 ＝4＋15 ＝19（根） 所以摆6个同样的正方形需要小棒19根。 8．（24-25六年级上·河南濮阳·期末）学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一排，2桌拼成一排能坐6人（如下图）。照这样排下去，4张方桌拼在一起能坐( )人，n张方桌拼在一起能坐( )人。 【答案】 10 2n＋2 【分析】由图可知：每增加1张桌子，人数就多坐2人。1张方桌可以坐4人（4人可以看作2×1＋2）；2张方桌可以坐（2×2＋2）人；3张方桌可以坐（2×3＋2）人，4张方桌可以坐（2×4＋2）人，5张方桌可以坐（2×5＋2）人，那么第n张方桌可以坐（2n＋2）人。 【详解】2×4＋2 ＝8＋2 ＝10（人） 所以学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一排，2桌拼成一排能坐6人（如下图）。照这样排下去，4张方桌拼在一起能坐10人，n张方桌拼在一起能坐（2n＋2）人。 9．（24-25六年级上·广东佛山·期末）请观察、思考下面两道题，计算后完成填空。 （1）＝1 （2）＝（    ） 【答案】（1） （2）； 【分析】（1）依据题中算式可知，可以发现后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍。要填分数＝1－，由此解答即可； （2）依据图示可知，后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍。由此解答本题。 【详解】（1）观察，可以发现后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍。 ，这部分的和为，所以。 （2）观察，后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍。 设，则原式为。 ，这部分是的（因为是的​，后面的项也有类似规律），所以​，那么​。 10．（24-25六年级上·山东济南·期末）我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中给出了一个由数构成的三角形图，我们称之为“杨辉三角”。仔细观察规律，从上到下，第2024行有( )个数字，倒数第2个数字是( )。 【答案】 2024 2023 【分析】 观察“杨辉三角”可知，第几行就有几个数，左右两边都是1，从第三行开始，中间的每一个数都等于它上方相邻的两个数字之和，如图，第2024行的倒数第2个数字上方右侧的数是1，据此确定第2024行的倒数第2个数字。 【详解】2024－1＝2023 仔细观察规律，从上到下，第2024行有2024个数字，倒数第2个数字是2023。 二、选择题 11．（25-26六年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，照这样接着画下去，第8个图形一共有（    ）个小三角形。     A．15 B．36 C．49 D．64 【答案】D 【分析】由图可知： 摆第1个图，用的三角形个数为：1＝1×1； 摆第2个图，用的三角形个数为：4＝2×2； 摆第3个图，用的三角形个数为：9＝3×3； 摆第4个图，用的三角形个数为：16＝4×4； …… 所以摆第8个图要用8×8＝64（个）三角形。 【详解】根据分析： 8×8＝64（个） 第8个图形一共有64个小三角形。 故答案为：D 12．（24-25六年级上·吉林·期末）下面算式中，与1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1得数相等的是（    ）。 A．42＋52 B．52－42 C．52＋32 D．52－32 【答案】A 【分析】1＝12 1＋3＝22 1＋3＋5＝32 1＋3＋5＋7＝42 1＋3＋5＋7＋9＝52 发现：从1开始的连续奇数相加，规律是：有n个连续奇数相加，和就是n2，据此解答。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1 ＝（1＋3＋5＋7＋9）＋（7＋5＋3＋1） ＝52＋42 ＝25＋16 ＝41 故1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝52＋42。 故答案为：A 13．（24-25六年级上·贵州六盘水·期末）华威照明厂想设计一种LED灯，第1档点亮1颗灯珠，第2档点亮7颗灯珠，第3档点亮19颗灯珠，第4档点亮37颗灯珠（如图），按照这样的规律下去，第6档应该点亮（    ）颗灯珠。 A．43 B．55 C．61 D．91 【答案】D 【分析】由图可知，第2档点亮（1＋6＝7）颗灯珠； 第3档点亮（7＋6＋（3－2）×6＝19）颗灯珠； 第4档点亮（19＋6＋（4－2）×6＝37）颗灯珠； 第5档点亮（第4档点亮颗数＋6＋（档数－2）×6）颗灯珠； 第6档点亮（第5档点亮颗数＋6＋（档数－2）×6）颗灯珠。 【详解】37＋6＋（5－2）×6 ＝43＋3×6 ＝43＋18 ＝61（颗） 即第5档点亮61颗灯珠； 61＋6＋（6－2）×6 ＝67＋4×6 ＝67＋24 ＝91（颗） 即第6档点亮91颗灯珠。 【点睛】根据题中给出的数量总结出规律即可计算出档数和点亮灯珠颗数的关系。 14．（23-24六年级上·河南安阳·期末）照下图的样子摆下去，如果一个小三角形的边长为1cm，第8个图形的周长是（    ）cm。 A．8 B．10 C．17 D．24 【答案】B 【分析】第一个图形的周长是3cm，可以写成：（1＋2）cm，第二个图形的周长是4cm，可以写成：（2＋2）cm，第三个图形的周长是5cm，可以写成：（3＋2）cm，…，由此可知，每增加一个三角形周长就多1cm，所以第n个图形的周长＝（n＋2）cm。 【详解】根据分析可知，第8个图形的周长是：8＋2＝10（cm） 照下图的样子摆下去，如果一个小三角形的边长为1cm，第8个图形的周长是10cm。 故答案为：B 15．（23-24六年级上·湖北黄冈·期末）用棋子与小棒摆出下面的图形。第（    ）个图形用了99个棋子。 A．31 B．32 C．33 D．34 【答案】B 【分析】第一个图形有6个棋子，可以写成：6＝3×1＋3； 第二个图形有9个棋子，可以写成：9＝3×2＋3； 第三个图形有12棋子，可以写成：12＝3×3＋3； …… 第n个图形有3n＋3个棋子。当棋子有99个时，99＝3n+3；据此求出n的值。 【详解】根据分析可知，第n个图形有棋子3n＋3个； 3n＋3＝99 3n＝99－3 3n＝96 n＝96÷3 n＝32 用棋子与小棒摆出下面的图形。第32个图形用了99个棋子。 故答案为：B 三、解答题 16．（22-23六年级上·云南昆明·期末）按照下面的规律接着画下去，第七个图有多少个？请你写出思考过程。 【答案】28个 【分析】 第1个图有：1个； 第2个图有：3个，3＝1＋2； 第3个图有：6个，6＝1＋2＋3； 第4个图有：10个，10＝1＋2＋3＋4； …… 规律：第n个图有（1＋2＋3＋…＋n）个。 据此规律解答。 【详解】 规律：第n个图有（1＋2＋3＋…＋n）个。 当n＝7时 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 ＝（1＋7）×7÷2 ＝8×7÷2 ＝28（个） 答：第七个图有28个。 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 17．（22-23六年级上·湖南益阳·期末）下面都是由边长为1厘米的小正方形拼成的大正方形。 ①              ②                ③ （1）观察图形，完成表格。 图号 ① ② ③ ④ … 阴影部分边长（厘米） 1 2 3 … 最外圈正方形个数（个） 8 12 16 （2）以此类推，如果在图⑩的阴影部分内画一个最大的圆，这个圆的面积是多少？ 【答案】（1）见详解；（2）78.5平方厘米 【分析】（1）观察题意可知，图①的最外圈正方形个数＝4×2，图②的最外圈正方形个数＝4×3，图③的最外圈正方形个数＝4×4，……，据此推出图n的最外圈正方形个数＝4×（n＋1），因为图号和对应的阴影部分边长的厘米数相等，所以图n的阴影部分的边长为n厘米，据此求出图④的最外圈正方形个数和图④的阴影部分边长。 （2）观察题意可知，图⑩的阴影部分边长为10厘米，要在这个正方形内画一个最大的圆，则圆的直径是10厘米，根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×（10÷2）2即可求出这个圆的面积。 【详解】（1）图①的最外圈正方形个数：8＝4×2 图②的最外圈正方形个数：12＝4×3 图③的最外圈正方形个数：16＝4×4 …… 图n的最外圈正方形个数：4×（n＋1）＝（4n＋4）个 因为图号和对应的阴影部分边长的厘米数相等， 所以图n的阴影部分的边长为n厘米， 当n＝4时， 4×4＋4 ＝16＋4 ＝20（个） 图④的阴影部分边长为4厘米，最外圈正方形个数为20个。 如下表： 图号 ① ② ③ ④ … 阴影部分边长（厘米） 1 2 3 4 … 最外圈正方形个数（个） 8 12 16 20 … （2）图⑩的阴影部分边长为10厘米， 3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 答：如果在图⑩的阴影部分内画一个最大的圆，这个圆的面积是78.5平方厘米。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。 18．（22-23六年级上·江苏扬州·期末）同学们，“观察—猜想—验证—应用”是我们常用的数学探究方法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出了两种不同的方法（如图）。 这两种方法都是求的阴影部分的面积， 因此52－32＝（5－3）×（5＋3）。 仔细观察这个等式，想一想：是不是 任意两个数都具有这样的特征呢？ （1）请举2个例子验证： ①102－62＝（      ）×（      ）     ②                                         （2）如果用a和b表示两个数（且a＞b），这样的规律可以表示为： a2－b2＝（      ）×（      ） （3）根据以上结论计算：[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（      ） 【答案】（1）①（10－6）×（10＋6） ②0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5） （2）（a－b）×（a＋b） （3） 【分析】已知在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，求剩余部分的面积（阴影部分的面积）； 方法1：阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，则阴影部分的面积列式为52－32； 方法2：把阴影部分转化成一个长（5＋3）厘米，宽（5－3）厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，则阴影部分的面积列式为（5－3）×（5＋3）； 由此得出52－32＝（5－3）×（5＋3）； 发现规律：两个数的平方差等于这两个数的差与这两个数的和的乘积，据此规律解答。 【详解】（1）①102－62＝100－36＝64 （10－6）×（10＋6）＝4×16＝64 所以，102－62＝（10－6）×（10＋6） ②0.82－0.52＝0.64－0.25＝0.39 （0.8－0.5）×（0.8＋0.5）＝0.3×1.3＝0.39 所以，0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5） （答案不唯一） （2）a2－b2＝（a－b）×（a＋b） （3）[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2] ＝（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋） ＝××××× ＝ 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $