【讲义篇】寒假提升讲义：专题05 圆（讲义）-2025-2026学年六年级上册数学人教版

【讲义篇】2025-2026学年六年级上册数学人教版寒假提升讲义 专题05 圆 （思维导图+知识精讲+真题拔高） 思维导图 知识精讲 知识一、圆的认识 1.圆的基本要素 （1）圆心 ① 圆中心的固定点叫做圆心，通常用大写字母“O”表示。 ② 圆心是圆的位置核心，它决定了圆在平面内的位置，圆心的位置变化，圆的位置也随之改变。 （2）半径 ① 连接圆心与圆上任意一点的线段叫做半径，通常用小写字母“r”表示。 ② 半径是决定圆大小的关键要素，半径长度越长，圆的覆盖范围越大；半径越短，圆越小。 ③ 在同一个圆或完全相等的圆中，存在无数条半径，且所有半径的长度都相等。 ④ 圆上任意一点到圆心的距离都等于半径的长度。 （3）直径 ① 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用小写字母“d”表示。 ② 在同一个圆或等圆中，有无数条直径，所有直径的长度都相等。 ③ 同一个圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，数学表达式为： 。 ④ 直径是圆内最长的线段，任意一条直径都能将圆分成完全相等的两部分。 2.圆的性质与特征 （1）对称性 ① 圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴，因此圆有无数条对称轴。 ② 圆同时也是中心对称图形，其对称中心为圆心，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合。 （2）圆内线段的关系 ① 同圆或等圆中，半径与直径的长度关系固定，即直径长度是半径的2倍。 ② 从圆心到圆内任意一点的距离小于半径，到圆外任意一点的距离大于半径。 （3）圆的画法 ① 用圆规画圆：将圆规的一只脚固定在圆心位置，调整两脚间的距离为半径长度，然后旋转圆规一周即可画出圆。 ② 其他画法：可以用实物（如圆形瓶盖）描边，或借助绳子、钉子等工具，固定钉子为圆心，绳子长度为半径，拉紧绳子旋转一周画圆。 知识二、圆的周长 1.圆的周长的定义 （1）周长的含义 ① 围成圆的封闭曲线的长度叫做圆的周长，通常用大写字母“C”表示。 ② 圆的周长是圆的重要度量之一，反映了圆的边界长度。 2.圆周率的概念 （1）圆周率的定义 ① 圆的周长与它的直径的比值是一个固定不变的无限不循环小数，这个比值叫做圆周率，用希腊字母“π”表示。 ② 圆周率的精确值无法用有限小数或分数表示，实际计算中通常取近似值3.14，或更精确的3.1416、 等。 ③ π是一个无理数，其数值约为3.1415926535……，且π的数值大于3.14。 3.圆的周长计算公式 （1）基本计算公式 ① 已知圆的直径 ，周长公式： ② 已知圆的半径 ，周长公式： （由 推导而来） （2）逆运算公式 ① 已知周长 ，求直径 ： ② 已知周长 ，求半径 ： 知识三、圆的面积 1.圆的面积的定义 （1）面积的含义 ① 圆所占平面区域的大小叫做圆的面积，通常用大写字母“S”表示。 ② 圆的面积是衡量圆覆盖平面范围的量化指标。 2.圆的面积计算公式的推导 （1）转化思想的应用 ① 将圆平均分成若干等份（份数越多越接近长方形），然后把这些小扇形拼接成一个近似的长方形。 ② 拼接后长方形的长近似于圆周长的一半，即 ；长方形的宽近似于圆的半径 。 ③ 根据长方形面积公式 0，推导出圆的面积公式： 。 3.圆的面积计算公式 （1）基本计算公式：已知圆的半径 ，面积公式： （2）由直径或周长推导面积的公式 ① 已知圆的直径 ，先求半径 ，再代入面积公式： ② 已知圆的周长 ，先求半径 ，再代入面积公式： 4.圆环的面积计算 （1）圆环的定义 ① 两个圆心相同、半径不相等的圆，它们之间的部分叫做圆环，也称为环形。 ② 圆环的外边界是外圆，内边界是内圆，外圆半径通常用“R”表示，内圆半径用“r”表示。 （2）圆环的面积公式 ① 圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积，数学表达式为： ② 若已知内、外圆的直径，需先转换为半径再代入公式计算。 知识四、扇形 1.扇形的基本概念 （1）扇形的定义 ① 由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧共同围成的封闭图形叫做扇形。 ② 扇形是圆的一部分，只有当圆心角的顶点在圆心时，才能构成扇形。 （2）扇形的各部分名称 ① 弧：圆上任意两点之间的曲线部分叫做弧，扇形的弧是圆心角所对应的那部分弧。 ② 圆心角：顶点在圆心，两条边与圆相交的角叫做圆心角，圆心角的大小决定了扇形的大小。 ③ 半径：扇形的半径就是其所在圆的半径，通常用字母“r”表示。 2.扇形的特征 （1）对称性：扇形是轴对称图形，只有1条对称轴，对称轴是经过圆心且平分扇形圆心角的直线，沿这条直线对折，扇形的两部分能完全重合。 （2）扇形与圆的关系：当圆心角为360°时，扇形就变成了完整的圆；当圆心角为180°时，扇形是半圆；当圆心角为90°时，扇形是圆的四分之一。 真题拔高 一、填空题 1．（24-25六年级上·辽宁鞍山·期末）在一个长8分米，宽4分米的长方形内剪一个最大的圆，圆的直径是( )分米，周长是( )分米，面积是( )平方分米。 【答案】 4 12.56 12.56 【分析】分析题目，要在长方形内剪一个最大的圆，则圆的直径等于长方形的宽，再根据圆的周长＝πd，圆的面积＝π（d÷2）2，代入数据列式计算即可。 【详解】3.14×4＝12.56（分米） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方分米） 在一个长8分米，宽4分米的长方形内剪一个最大的圆，圆的直径是4分米，周长是12.56分米，面积是12.56平方分米。 2．（24-25六年级上·湖南湘潭·期末）在中国古代，有一种古老的游戏叫做“投壶雅戏”，它类似于现代的射箭，但目标是一个装满豆子的圆形壶。有一个投壶，壶的底面直径是20厘米，壶的高度是30厘米。投壶的底面周长是( )厘米，底面面积是( )平方厘米。 【答案】 62.8 314 【分析】根据圆的周长＝π×直径，代入数据，求出投壶的底面周长；根据圆的面积＝π×半径2，代入数据，求出投壶底面面积，据此解答。 【详解】3.14×20＝62.8（厘米） 3.14×（20÷2）2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 投壶的底面周长是62.8厘米，底面面积是314平方厘米。 3．（24-25六年级上·广西贵港·期末）一个时钟的分针长6厘米，从9：00到9：30，它的尖端走了( )厘米。 【答案】18.84 【分析】根据题意，从9：00到9：30经过了30分钟，分针60分钟转一圈，30分钟转半圈，即分针的尖端所走的路程是半径为6厘米的圆周长的；根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算即可。 【详解】9时30分－9时＝30（分钟） 30÷60＝ 2×3.14×6× ＝6.28×6× ＝37.67× ＝18.84（厘米） 它的尖端走了18.84厘米。 4．（24-25六年级上·贵州六盘水·期末）（如图）这个长方形的长是7cm，宽是4cm，图中大圆与小圆的直径比是( )，周长比是( )，面积比是( )。 【答案】 4∶3 4∶3 16∶9 【分析】观察图片可知：大圆的直径等于长方形的宽，大圆的直径加小圆的直径等于长方形的长。根据圆的直径，圆的周长，面积，代入数据 ，分别求出各个数值，再写出对应的比，再化简比即可。 【详解】观察图片可知：大圆的直径是4cm，小圆的直径就是7－4＝3cm； 大圆直径∶小圆直径＝4∶3； 大圆周长∶小圆周长＝（3.14×4）∶（3.14×3）＝（3.14×4÷3.14）∶（3.14×3÷3.14）＝4∶3； 大圆的半径是4÷2＝2cm，小圆的半径就是3÷2＝1.5cm； 大圆面积∶小圆面积＝（3.14×22）∶（3.14×1.52） ＝（3.14×22÷3.14）∶（3.14×1.52÷3.14）＝4∶2.25＝（4×4）∶（2.25×4）＝16∶9。 图中大圆与小圆的直径比是4∶3，周长比是4∶3，面积比是16∶9。 5．（24-25六年级上·贵州安顺·期末）用圆规画一个周长是25.12厘米的圆，圆规两脚间的距离是( )厘米。如果半径增加2厘米，这时圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 4 113.04 【分析】圆规两脚间的距离即圆的半径，已知圆的周长是25.12厘米，根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2，据此求出圆的半径； 半径增加2厘米，用原来的半径加上2厘米求出此时圆的半径，再根据圆的面积公式求出此时圆的面积。 【详解】25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 4＋2＝6（厘米） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 因此，圆规两脚间的距离是4厘米。如果半径增加2厘米，这时圆的面积是113.04平方厘米。 6．（24-25六年级上·广东佛山·期末）如图，正方形的边长是4cm，阴影部分的面积是( )cm2。 【答案】3.44 【分析】阴影部分的面积等于正方形的面积减去圆的面积，利用正方形面积公式：S＝a2，圆的面积公式：S＝πr2计算即可。 【详解】4×4－3.14×（4÷2）2 ＝16－3.14×22 ＝16－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（平方厘米） 阴影部分的面积是3.44cm2。 7．（24-25六年级上·广东佛山·期末）学校秋季运动会在400米的标准跑道上进行4×100米接力，每条跑道宽1.25米，相邻跑道之间起跑线相差( )米。（π取3.14） 【答案】7.85 【分析】依据题意可知，相邻跑道之间起跑线相差的距离等于相邻跑道的长度差，相当于圆环中内圆与外圆的周长差，根据“圆的周长＝（为半径）”可知“圆环内圆与外圆的周长差＝＝”。每条跑道宽1.25米，即＝1.25（米）；据此代入周长差公式即可。 【详解】1.25×2×3.14 ＝2.5×3.14 ＝7.85（米） 学校秋季运动会在400m的标准跑道上进行4×100米接力，每条跑道宽1.25米，相邻跑道之间起跑线相差7.85米。（π取3.14） 8．（24-25六年级上·四川遂宁·期末）如图，大圆半径为8cm，小圆半径为4cm，现在让小圆沿着大圆的外侧滚动一周后回到原处，那么小圆的圆心移动的长度是( )cm。（π取3.14） 【答案】75.36 【分析】 由图可得，小圆的圆心移动的长度为半径为8＋4＝12cm的圆周长，如图，圆的周长，代入数据计算即可解答。 【详解】2×3.14×（8＋4） ＝6.28×12 ＝75.36（cm） 所以小圆的圆心移动的长度是75.36cm。 9．（24-25六年级上·河南郑州·期末）“外圆内方”与“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计，如果图1中圆的半径是2m，则圆内正方形的面积是( )m2；如果图2中正方形的面积是16m2，则正方形内圆的面积是( )m2。 【答案】 8 12.56 【分析】图1，外圆内方，正方形的对角线长度等于圆的直径，把正方形分成两个完全一样的等腰三角形，每个三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，根据三角形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式解答。 图2，外方内圆，圆的直径等于正方形的边长，由正方形的面积可以求出正方形的边长，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【详解】根据分析得出： 图1：已知外圆的半径是2m， 2×2×2××2 ＝8××2 ＝8（） 所以圆内正方形的面积是8。 图2：因为正方形面积＝边长×边长＝16，，所以正方形边长＝4m，而正方形边长＝内圆的直径， 则3.14×（边长÷2）2 ＝3.14× ＝3.14×4 ＝12.56（） 所以内圆的面积是12.56。 即“外圆内方”与“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计，如果图1中圆的半径是2m，则圆内正方形的面积是（8）如果图2中正方形的面积是16，则正方形内圆的面积是（12.56）。 10．（24-25六年级上·重庆·期末）李婆婆用篱笆靠墙围了一块半圆形的菜地（如图），半径是6m，围这块菜地需要( )m篱笆。如果要扩建这块菜地，把半径增加1m，这块菜地面积增加了( )。 【答案】 18.84 20.41 【分析】根据题意得：半圆形菜地围成的篱笆，长度是圆周长的一半，即，可得到篱笆长度；半径增加1m，则菜地面积增加，据此计算得出答案。 【详解】围这块菜地需要篱笆的长度为：3.14×6＝18.84（m）； 扩建后菜地面积增加： 3.14×（6＋1）2÷2–3.14×62÷2 ＝3.14×49÷2–3.14×36÷2 ＝76.93–56.52 ＝20.41（m2） 二、判断题 11．（25-26六年级上·河北保定·期中）两端都在同一个圆上的所有线段中，直径最长。( ) 【答案】√ 【分析】通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径，直径是圆中最长的线段，在同一个圆内有无数条直径，并且所有的直径都相等，直径一般用字母表示，据此解答。 【详解】由圆的特征可知，直径是圆中最长的线段，所以两端都在同一个圆上的所有线段中，直径最长，题目说法正确。 故答案为：√ 12．（24-25六年级上·河南新乡·期末）我国古代著名思想家、教育家墨子说：“小圆之圆与大圆之圆同。”这句话中的“同”表示大圆与小圆的圆周率相同。( ) 【答案】√ 【分析】墨子的话“小圆之圆与大圆之圆同”中的“同”指的是圆的本质或性质相同。在数学中，圆周率定义为圆的周长与直径的比值，该比值是一个常数，不随圆的大小而变化。因此，无论大圆或小圆，圆周率均相同。 【详解】墨子的话“小圆之圆与大圆之圆同”表示小圆和大圆的圆的性质相同。圆周率是圆的一个重要性质，其定义为圆的周长与直径的比值，即。根据圆的定义，该比值对于所有圆均为固定常数，与大圆或小圆无关。故大圆与小圆的圆周率相同。原题说法正确。 故答案为：√ 13．（25-26六年级上·河北石家庄·期中）一个半圆的直径是10分米，它的周长是41.4分米。( ) 【答案】× 【分析】根据半圆周长的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上一条直径的长度，根据半圆的周长公式：C＝πd÷2＋d（π取3.14），把数据代入公式解答。 【详解】3.14×10÷2＋10 ＝31.4÷2＋10 ＝15.7＋10 ＝25.7（分米） 所以它的周长是25.7分米。 故答案为：× 14．（24-25六年级上·河南商丘·期中）在一张纸上任意画两个半径不相等的圆，这两个圆组成的图形至少有两条对称轴。( ) 【答案】× 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 两个半径不等的圆组成的图形，若圆心不重合，则对称轴只有一条，即两圆圆心连线所在的直线；若圆心重合，则图形为同心圆，有无数条对称轴。据此判断。 【详解】如图： 有一条对称轴； 有无数条对称轴； 所以，在一张纸上任意画两个半径不相等的圆，这两个圆组成的图形可能有一条对称轴，也可能有无数条对称轴。 原题说法错误。 故答案为：× 15．（24-25六年级上·浙江湖州·期末）如果两个圆半径的比是6∶1，那么这两个圆的面积比也是6∶1。( ) 【答案】× 【分析】根据圆的面积公式 ，可知面积比等于半径比的平方。据此判断。 【详解】已知半径比为6∶1，面积比应为（6∶1）2＝62∶12＝36∶1，而非6∶1，原题说法错误。 故答案为：× 三、选择题 16．（24-25六年级上·河南南阳·期末）一根长125.6厘米的铁丝分别围成圆形、长方形、正方形，这三种图形的面积（    ）大。 A．圆 B．长方形 C．正方形 D．一样 【答案】A 【分析】A．先根据“圆的周长＝2πr（r为半径）”可知“圆的半径＝圆的周长÷π÷2”，代入数值计算出半径；再根据“圆的面积＝πr2（r为半径）”计算出圆的面积； B．先根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”计算出长与宽的和是62.8厘米；再根据“长方形的面积＝长×宽”可知，当长和宽不相等时，例如长32.8厘米，宽30厘米，面积为984平方厘米，当长方形的长和宽相等都是31.4厘米时为正方形，面积为985.96平方厘米达到最大，其他长方形面积均小于正方形面积； C．先根据“正方形的周长＝边长×4”计算出正方形的边长；再根据“正方形的面积＝边长×边长”计算出正方形的面积； D．通过A、B、C选项的计算结果将圆形、长方形、正方形的面积进行比较判断。 【详解】根据分析可知： A．125.6÷3.14÷2 ＝40÷2 ＝20（厘米） 3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 所以圆的面积是1256平方厘米。 B．125.6÷2＝62.8（厘米），即长方形长与宽的和为62.8厘米； 当长方形的长和宽不相等时，例如长为32.8厘米，宽为30厘米，那么面积为：32.8×30＝984（平方厘米）； 当长方形的长和宽相等时为正方形，面积为： 62.8÷2＝31.4（厘米） 31.4×31.4＝985.96（平方厘米） 因为984＜985.96，所以长方形的面积小于正方形的面积。 C．125.6÷4＝31.4（厘米） 31.4×31.4＝985.96（平方厘米） 所以正方形的面积是985.96平方厘米。 D．由A、B、C选项可知：长方形的面积＜正方形的面积＜圆形的面积。 所以长方形的面积＜正方形的面积＜圆形的面积，即圆形的面积最大。 故答案为：A 17．（24-25六年级上·江西萍乡·期末）甲、乙、丙三名小朋友用相同的正方形手工纸剪图形，甲剪了一个最大的扇形，乙剪了一个最大的圆，丙剪了四个最大的圆，如下图，三个人对手工纸的利用率相比（    ）。 A．甲更高 B．乙更高 C．丙更高 D．三人都相同 【答案】D 【分析】假设正方形的边长，甲中扇形的半径等于正方形的边长，乙中圆的半径等于正方形边长的一半，丙中小圆的半径等于正方形边长的，利用“”分别求出三位同学所剪图形的面积。 所剪的图形面积越大，对手工纸的利用率越高。 所剪的图形面积相等，对手工纸的利用率相同。 所剪的图形面积越小，对手工纸的利用率越低，据此解答。 【详解】假设正方形边长为2， 甲： 乙： 丙： 由上可知：甲、乙、丙三位同学剪的图形面积相等，所以三个人剩的手工纸一样多，也就是三个人对手工纸的利用率相同。 故答案为：D 18．（24-25六年级上·山东临沂·期末）将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形（如图），圆的面积是（    ）cm2。 A．9.42 B．15.7 C．28.26 D．113.04 【答案】C 【分析】根据圆的面积公式的推导过程可知，将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，已知拼成的长方形的长是9.42cm，根据圆的周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，据此可以求出圆的半径（长方形的宽），根据长方形的面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【详解】9.42×2÷3.14÷2 ＝18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（cm） 9.42×3＝28.26（cm2） 将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形，圆的面积是28.26cm2。 故答案为：C 19．（24-25六年级上·广东佛山·期末）如图是莉莉用圆规画圆的过程，她所画的这个圆的周长是（    ）cm。 A．2 B．2π C．4π D．8π 【答案】C 【分析】半径决定圆的大小，画圆时，圆规两脚之间的距离等于所画圆的半径，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。 【详解】2×π×2＝4π（cm） 她所画的这个圆的周长是4πcm。 故答案为：C 20．（24-25六年级上·贵州六盘水·期末）汽车厂需要生产一批齿轮，下面是它的平面设计图。空心部分是一个圆形，半径为2.5厘米，中间部分用锻钢打造，齿轮的外半径是6厘米，外缘部分用铸钢打造，这个齿轮锻钢部分的面积是（    ）平方厘米。 A．314 B．50.24 C．93.415 D．19.625 【答案】C 【分析】求这个齿轮锻钢部分的面积也就是求圆环的面积，锻钢部分的外圆半径是6厘米，内圆半径是2.5厘米，根据圆环的面积＝×（－），代入数据计算即可解答。 【详解】3.14×（－） ＝3.14×（36－6.25） ＝3.14×29.75 ＝93.415（平方厘米） 所以这个齿轮锻钢部分的面积是93.415平方厘米。 故答案为：C 四、计算题 21．（24-25六年级上·河北唐山·期末）求阴影部分的周长。 【答案】14.28厘米 【分析】观察图形可知，两个完全一样的半圆可以组成一个圆，则阴影部分的周长＝直径为2厘米的圆的周长＋2条4厘米的线段之和，根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。 【详解】3.14×2＋4×2 ＝6.28＋8 ＝14.28（厘米） 阴影部分的周长是14.28厘米。 22．（24-25六年级上·新疆巴音郭楞·期末）计算下面图形中涂色部分的面积。 【答案】38.88dm2 【分析】由图可知，正方形的边长是8dm，根据“正方形面积＝边长×边长”求出正方形的面积；圆的直径为8dm，求出半径为8÷2＝4dm，根据圆的面积公式求出圆的面积，再除以2求出半圆的面积；最后用正方形的面积减去半圆的面积即可求出涂色部分的面积。 【详解】8×8＝64（dm2） 8÷2＝4（dm） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（dm2） 64－25.12＝38.88（dm2） 所以涂色部分的面积是38.88dm2。 五、作图题 23．（24-25六年级上·浙江温州·期末）画一个圆，再在圆中画一个圆心角为90°的扇形。 【答案】见详解 【分析】根据圆的画法，先确定圆心，用圆规有针的一脚固定在圆心，然后以圆规两脚之间的距离为半径进行旋转一周，得到的图形就是我们要画的圆；圆心用字母“O”表示；半径用字母“r”表示，再用量角器量出90°，即可画出一个圆心角是90°的扇形。 【详解】根据分析，画图如下： （圆的大小不唯一） 24．（24-25六年级上·新疆巴音郭楞·期末）下面方格纸中的每个小正方形的边长表示1厘米，按要求在方格纸中画图。 （1）画出左边图形的1条对称轴。 （2）以点O为圆心画一个周长为18.84厘米的圆。 【答案】见详解 【分析】（1）一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 （2）要画一个周长为18.84厘米的圆，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出所画圆的半径，据此画出这个圆。 【详解】（1）画出左边图形的1条对称轴，如下图。 （2）18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 以点O为圆心，以3厘米为半径画一个圆，如下图。 （对称轴不唯一） 六、解答题 25．（25-26六年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）王爷爷要装修房子，工人叔叔要把一个长4.5米、宽1.5米的长方形铁架从圆形拱门抬进院子里来，这个圆形拱门的周长是7.85米，长方形铁架能通过圆形拱门吗？用计算说明理由。 【答案】能；理由见详解 【分析】判断长方形铁架能否通过圆形拱门，取决于长方形的较短边即宽是否小于或等于圆形拱门的直径。 已知这个圆形拱门的周长是7.85米，根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π，由此求出圆形拱门的直径，再与长方形铁架的宽进行比较即可。 【详解】圆的直径：7.85÷3.14＝2.5（米） 2.5米＞1.5米，所以能通过。 答：长方形铁架能通过圆形拱门。 26．（24-25六年级上·河南南阳·期末）福建土楼被誉为“东方古城堡”，2008年被列为世界文化遗产。最具特色的是圆形“土楼”，楼顶近似环形，如图所示，这座圆环形土楼最外侧的周长为125.6米，楼顶宽10米。这座圆环形土楼的房屋占地面积是多少平方米？ 【答案】942平方米 【分析】已知这座圆环形土楼最外侧的周长为125.6米，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆环形土楼外圆的半径；已知楼顶宽10米，用外圆的半径减去10，求出内圆的半径； 求这座圆环形土楼房屋的占地面积，就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求解。 【详解】125.6÷3.14÷2 ＝40÷2 ＝20（米） 20－10＝10（米） 3.14×（202－102） ＝3.14×（400－100） ＝3.14×300 ＝942（平方米） 答：这座圆环形土楼的房屋占地面积是942平方米。 27．（24-25六年级上·重庆开州·期末）聪聪和乐乐从圆形鱼池边上的某一地点出发，沿着鱼池边相背而行，4分钟两人相遇，聪聪每分钟走72米，乐乐每分钟走85米。这个圆形鱼池的占地面积是多少平方米？ 【答案】31400平方米 【分析】根据路程和＝两人速度和×相遇时间，求出圆形鱼池的周长，圆的半径＝周长÷圆周率÷2，圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式解答即可。 【详解】（72＋85）×4 ＝157×4 ＝628（米） 628÷3.14÷2＝100（米） 3.14× ＝3.14×10000 ＝31400（平方米） 答：这个圆形鱼池的占地面积是31400平方米。 28．（25-26六年级上·河北保定·期中）某家比萨店的致歉声明：亲爱的顾客朋友们，很抱歉地通知大家，中午客流量大，店内直径为30cm的比萨已经售罄，我们将为您换成相同口味的2个直径为20cm的比萨（厚度相同），祝您用餐愉快！如果仅考虑比萨大小方面的原因，你觉得这样换，顾客有没有吃亏？请说明你的理由。 【答案】吃亏了 【分析】由于披萨厚度相同，体积大小由底面积（圆的面积）决定，因此只需根据圆的面积公式S＝πr2（其中S表示面积，π取3.14，r表示半径）分别计算“原30cm直径披萨的面积”和“2个20cm直径披萨的面积总和”，再对比两者大小，即可判断顾客是否吃亏。 【详解】吃亏了。计算过程如下： 3.14×（30÷2）2 ＝3.14×15×15 ＝3.14×225 ＝706.5（平方厘米） 3.14×（20÷2）2×2 ＝3.14×100×2 ＝314×2 ＝628（平方厘米） 706.5＞628 答：这样换吃亏了，因为2个直径是20厘米的披萨的面积小于直径30厘米的披萨的面积。 29．（24-25六年级上·山西长治·期末）如图，学校图书室的窗户上面是半圆，下面是正方形，这个窗户的面积是多少平方米？（得数保留整数） 【答案】2平方米 【分析】根据题意可知，正方形的边长为1.2米，半圆的直径为1.2米，半径为1.2÷2＝0.6（米），正方形的面积＝边长×边长，圆的面积：S＝πr2，圆的面积除以2等于半圆的面积，把数据代入求出正方形的面积和半圆的面积，然后相加即等于窗户的面积，得数四舍五入保留整数。 【详解】1.2÷2＝0.6（米） 1.2×1.2＋3.14×0.62÷2 ＝1.44＋3.14×0.36÷2 ＝1.44＋0.5652 ＝2.0052（平方米） ≈2平方米 答：这个窗户的面积是2平方米。 30．（24-25六年级上·山东临沂·期末）如图，院子两堵墙的长度分别为5米和7米，墙外是一片草地，如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4米（绳子两端连接处忽略不计），这只小羊能吃到草的面积是多少？ 【答案】28.26平方米 【分析】 如图，小羊能吃到草的面积＝半径4米的半圆面积＋半径（4－2）米的圆的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×42×3.14×（4－2）2× ＝3.14×16×3.14×22× ＝3.14×83.14×4× ＝3.14×83.14×1 ＝3.14×（8＋1） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：这只小羊能吃到草的面积是28.26平方米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【讲义篇】2025-2026学年六年级上册数学人教版寒假提升讲义 专题05 圆 （思维导图+知识精讲+真题拔高） 思维导图 知识精讲 知识一、圆的认识 1.圆的基本要素 （1）圆心 ① 圆中心的固定点叫做圆心，通常用大写字母“O”表示。 ② 圆心是圆的位置核心，它决定了圆在平面内的位置，圆心的位置变化，圆的位置也随之改变。 （2）半径 ① 连接圆心与圆上任意一点的线段叫做半径，通常用小写字母“r”表示。 ② 半径是决定圆大小的关键要素，半径长度越长，圆的覆盖范围越大；半径越短，圆越小。 ③ 在同一个圆或完全相等的圆中，存在无数条半径，且所有半径的长度都相等。 ④ 圆上任意一点到圆心的距离都等于半径的长度。 （3）直径 ① 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用小写字母“d”表示。 ② 在同一个圆或等圆中，有无数条直径，所有直径的长度都相等。 ③ 同一个圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，数学表达式为： 。 ④ 直径是圆内最长的线段，任意一条直径都能将圆分成完全相等的两部分。 2.圆的性质与特征 （1）对称性 ① 圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴，因此圆有无数条对称轴。 ② 圆同时也是中心对称图形，其对称中心为圆心，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合。 （2）圆内线段的关系 ① 同圆或等圆中，半径与直径的长度关系固定，即直径长度是半径的2倍。 ② 从圆心到圆内任意一点的距离小于半径，到圆外任意一点的距离大于半径。 （3）圆的画法 ① 用圆规画圆：将圆规的一只脚固定在圆心位置，调整两脚间的距离为半径长度，然后旋转圆规一周即可画出圆。 ② 其他画法：可以用实物（如圆形瓶盖）描边，或借助绳子、钉子等工具，固定钉子为圆心，绳子长度为半径，拉紧绳子旋转一周画圆。 知识二、圆的周长 1.圆的周长的定义 （1）周长的含义 ① 围成圆的封闭曲线的长度叫做圆的周长，通常用大写字母“C”表示。 ② 圆的周长是圆的重要度量之一，反映了圆的边界长度。 2.圆周率的概念 （1）圆周率的定义 ① 圆的周长与它的直径的比值是一个固定不变的无限不循环小数，这个比值叫做圆周率，用希腊字母“π”表示。 ② 圆周率的精确值无法用有限小数或分数表示，实际计算中通常取近似值3.14，或更精确的3.1416、 等。 ③ π是一个无理数，其数值约为3.1415926535……，且π的数值大于3.14。 3.圆的周长计算公式 （1）基本计算公式 ① 已知圆的直径 ，周长公式： ② 已知圆的半径 ，周长公式： （由 推导而来） （2）逆运算公式 ① 已知周长 ，求直径 ： ② 已知周长 ，求半径 ： 知识三、圆的面积 1.圆的面积的定义 （1）面积的含义 ① 圆所占平面区域的大小叫做圆的面积，通常用大写字母“S”表示。 ② 圆的面积是衡量圆覆盖平面范围的量化指标。 2.圆的面积计算公式的推导 （1）转化思想的应用 ① 将圆平均分成若干等份（份数越多越接近长方形），然后把这些小扇形拼接成一个近似的长方形。 ② 拼接后长方形的长近似于圆周长的一半，即 ；长方形的宽近似于圆的半径 。 ③ 根据长方形面积公式 0，推导出圆的面积公式： 。 3.圆的面积计算公式 （1）基本计算公式：已知圆的半径 ，面积公式： （2）由直径或周长推导面积的公式 ① 已知圆的直径 ，先求半径 ，再代入面积公式： ② 已知圆的周长 ，先求半径 ，再代入面积公式： 4.圆环的面积计算 （1）圆环的定义 ① 两个圆心相同、半径不相等的圆，它们之间的部分叫做圆环，也称为环形。 ② 圆环的外边界是外圆，内边界是内圆，外圆半径通常用“R”表示，内圆半径用“r”表示。 （2）圆环的面积公式 ① 圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积，数学表达式为： ② 若已知内、外圆的直径，需先转换为半径再代入公式计算。 知识四、扇形 1.扇形的基本概念 （1）扇形的定义 ① 由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧共同围成的封闭图形叫做扇形。 ② 扇形是圆的一部分，只有当圆心角的顶点在圆心时，才能构成扇形。 （2）扇形的各部分名称 ① 弧：圆上任意两点之间的曲线部分叫做弧，扇形的弧是圆心角所对应的那部分弧。 ② 圆心角：顶点在圆心，两条边与圆相交的角叫做圆心角，圆心角的大小决定了扇形的大小。 ③ 半径：扇形的半径就是其所在圆的半径，通常用字母“r”表示。 2.扇形的特征 （1）对称性：扇形是轴对称图形，只有1条对称轴，对称轴是经过圆心且平分扇形圆心角的直线，沿这条直线对折，扇形的两部分能完全重合。 （2）扇形与圆的关系：当圆心角为360°时，扇形就变成了完整的圆；当圆心角为180°时，扇形是半圆；当圆心角为90°时，扇形是圆的四分之一。 真题拔高 一、填空题 1．（24-25六年级上·辽宁鞍山·期末）在一个长8分米，宽4分米的长方形内剪一个最大的圆，圆的直径是( )分米，周长是( )分米，面积是( )平方分米。 2．（24-25六年级上·湖南湘潭·期末）在中国古代，有一种古老的游戏叫做“投壶雅戏”，它类似于现代的射箭，但目标是一个装满豆子的圆形壶。有一个投壶，壶的底面直径是20厘米，壶的高度是30厘米。投壶的底面周长是( )厘米，底面面积是( )平方厘米。 3．（24-25六年级上·广西贵港·期末）一个时钟的分针长6厘米，从9：00到9：30，它的尖端走了( )厘米。 4．（24-25六年级上·贵州六盘水·期末）（如图）这个长方形的长是7cm，宽是4cm，图中大圆与小圆的直径比是( )，周长比是( )，面积比是( )。 5．（24-25六年级上·贵州安顺·期末）用圆规画一个周长是25.12厘米的圆，圆规两脚间的距离是( )厘米。如果半径增加2厘米，这时圆的面积是( )平方厘米。 6．（24-25六年级上·广东佛山·期末）如图，正方形的边长是4cm，阴影部分的面积是( )cm2。 7．（24-25六年级上·广东佛山·期末）学校秋季运动会在400米的标准跑道上进行4×100米接力，每条跑道宽1.25米，相邻跑道之间起跑线相差( )米。（π取3.14） 8．（24-25六年级上·四川遂宁·期末）如图，大圆半径为8cm，小圆半径为4cm，现在让小圆沿着大圆的外侧滚动一周后回到原处，那么小圆的圆心移动的长度是( )cm。（π取3.14） 9．（24-25六年级上·河南郑州·期末）“外圆内方”与“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计，如果图1中圆的半径是2m，则圆内正方形的面积是( )m2；如果图2中正方形的面积是16m2，则正方形内圆的面积是( )m2。 10．（24-25六年级上·重庆·期末）李婆婆用篱笆靠墙围了一块半圆形的菜地（如图），半径是6m，围这块菜地需要( )m篱笆。如果要扩建这块菜地，把半径增加1m，这块菜地面积增加了( )。 二、判断题 11．（25-26六年级上·河北保定·期中）两端都在同一个圆上的所有线段中，直径最长。( ) 12．（24-25六年级上·河南新乡·期末）我国古代著名思想家、教育家墨子说：“小圆之圆与大圆之圆同。”这句话中的“同”表示大圆与小圆的圆周率相同。( ) 13．（25-26六年级上·河北石家庄·期中）一个半圆的直径是10分米，它的周长是41.4分米。( ) 14．（24-25六年级上·河南商丘·期中）在一张纸上任意画两个半径不相等的圆，这两个圆组成的图形至少有两条对称轴。( ) 15．（24-25六年级上·浙江湖州·期末）如果两个圆半径的比是6∶1，那么这两个圆的面积比也是6∶1。( ) 三、选择题 16．（24-25六年级上·河南南阳·期末）一根长125.6厘米的铁丝分别围成圆形、长方形、正方形，这三种图形的面积（    ）大。 A．圆 B．长方形 C．正方形 D．一样 17．（24-25六年级上·江西萍乡·期末）甲、乙、丙三名小朋友用相同的正方形手工纸剪图形，甲剪了一个最大的扇形，乙剪了一个最大的圆，丙剪了四个最大的圆，如下图，三个人对手工纸的利用率相比（    ）。 A．甲更高 B．乙更高 C．丙更高 D．三人都相同 18．（24-25六年级上·山东临沂·期末）将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形（如图），圆的面积是（    ）cm2。 A．9.42 B．15.7 C．28.26 D．113.04 19．（24-25六年级上·广东佛山·期末）如图是莉莉用圆规画圆的过程，她所画的这个圆的周长是（    ）cm。 A．2 B．2π C．4π D．8π 20．（24-25六年级上·贵州六盘水·期末）汽车厂需要生产一批齿轮，下面是它的平面设计图。空心部分是一个圆形，半径为2.5厘米，中间部分用锻钢打造，齿轮的外半径是6厘米，外缘部分用铸钢打造，这个齿轮锻钢部分的面积是（    ）平方厘米。 A．314 B．50.24 C．93.415 D．19.625 四、计算题 21．（24-25六年级上·河北唐山·期末）求阴影部分的周长。 22．（24-25六年级上·新疆巴音郭楞·期末）计算下面图形中涂色部分的面积。 五、作图题 23．（24-25六年级上·浙江温州·期末）画一个圆，再在圆中画一个圆心角为90°的扇形。 24．（24-25六年级上·新疆巴音郭楞·期末）下面方格纸中的每个小正方形的边长表示1厘米，按要求在方格纸中画图。 （1）画出左边图形的1条对称轴。 （2）以点O为圆心画一个周长为18.84厘米的圆。 六、解答题 25．（25-26六年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）王爷爷要装修房子，工人叔叔要把一个长4.5米、宽1.5米的长方形铁架从圆形拱门抬进院子里来，这个圆形拱门的周长是7.85米，长方形铁架能通过圆形拱门吗？用计算说明理由。 26．（24-25六年级上·河南南阳·期末）福建土楼被誉为“东方古城堡”，2008年被列为世界文化遗产。最具特色的是圆形“土楼”，楼顶近似环形，如图所示，这座圆环形土楼最外侧的周长为125.6米，楼顶宽10米。这座圆环形土楼的房屋占地面积是多少平方米？ 27．（24-25六年级上·重庆开州·期末）聪聪和乐乐从圆形鱼池边上的某一地点出发，沿着鱼池边相背而行，4分钟两人相遇，聪聪每分钟走72米，乐乐每分钟走85米。这个圆形鱼池的占地面积是多少平方米？ 28．（25-26六年级上·河北保定·期中）某家比萨店的致歉声明：亲爱的顾客朋友们，很抱歉地通知大家，中午客流量大，店内直径为30cm的比萨已经售罄，我们将为您换成相同口味的2个直径为20cm的比萨（厚度相同），祝您用餐愉快！如果仅考虑比萨大小方面的原因，你觉得这样换，顾客有没有吃亏？请说明你的理由。 29．（24-25六年级上·山西长治·期末）如图，学校图书室的窗户上面是半圆，下面是正方形，这个窗户的面积是多少平方米？（得数保留整数） 30．（24-25六年级上·山东临沂·期末）如图，院子两堵墙的长度分别为5米和7米，墙外是一片草地，如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4米（绳子两端连接处忽略不计），这只小羊能吃到草的面积是多少？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $