精品解析：江苏省新区实验初级中学2025～2026学年上学期八年级上学期数学第一次月考试卷(1)

实初教育集团初二数学 一.选择题． 1. 已知一个三角形的两边长分别为8和4，则下列各数不可能是这个三角形的第三边长的是（ ） A. 7cm B. 6 cm C. 8 cm D. 12 cm 【答案】D 【解析】 【分析】设第三边的长为x，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】设第三边的长为x， 三角形的两边长分别为8和4， 8-4<x<8+4,即4<x<12. 故答案选D. 【点睛】本题考查的知识点是三角形三边关系，解题的关键是熟练的掌握三角形三边关系. 2. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用完全平方公式：，进而判断得出答案． 【详解】解：A.，不能用完全平方公式进行因式分解； B.，不能用完全平方公式进行因式分解； C.，能用完全平方公式进行因式分解； D.，不能用完全平方公式进行因式分解； 故选C． 【点睛】本题考查用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练运用完全平方公式. 3. 如果，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. -1 D. -5 【答案】C 【解析】 【分析】将右侧式子展开，与左侧式子比较即可得出结果. 【详解】解：， 解得：k=-1， 故选C. 【点睛】本题考查整式乘法，熟练掌握运算法则是解题关键. 4. 如果把中的与都扩大3倍，那么这个代数式的值（ ） A. 扩大9倍 B. 扩大3倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：原式===， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 5. 如图，已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，由平行线的性质可得，由全等三角形的性质可得，，即得，得到，再根据角的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，延长到E，使，再连接，再证明可得，然后再根据可得答案． 【详解】解：延长到点E，使得，连接，则， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：B． 7. 若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法等知识．等式右边利用多项式乘以多项式法则，将化简成形式即可解题． 【详解】解： ， ，， 故选：C． 8. 中，于F，于为的中点，若的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的两底角相等求出和，再根据平角的定义求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【详解】解：，为的中点， ， ， ， ， ， ，为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键． 9. 如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD．其中正确的有（   ） 个 ． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】①∵BD为△ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△EBC中， BD=BC，∠ABD=∠CBD，BE=BA， ∴△ABD≌△EBC(SAS)， ∴①正确； ②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA， ∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA， ∵△ABD≌△EBC， ∴∠BCE=∠BDA， ∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°， ∴②正确； ③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA， ∴∠DCE=∠DAE， ∴△ACE为等腰三角形， ∴AE=EC， ∵△ABD≌△EBC， ∴AD=EC， ∴AD=AE=EC， ∴③正确； ④因为BD是△ABC的角平分线，且BA>BC,所以D不可能是AC的中点，则AC≠2CD， 故④错误. 故选：C. 【点睛】此题考查角平分线定理，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理、三角形的面积关系等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键. 10. 如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确的是( ) A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由ASA证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴， 在和中， ∴（ASA），故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴（SAS）， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③， 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明是解答的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共16分） 11. 不等式的解集是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查不等式大于零的条件，根据题意得到且，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得且， 故答案为：且． 12. 在等腰三角形中，已知，则顶角的大小为________度． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，可知的角可能是顶角，也可能是底角，利用三角形内角和定理，可求解． 【详解】解：当顶角为时，则这个等腰三角形的顶角为； 当底角为时，顶角为， 故答案为：或． 13. 如果是一个完全平方式，那么的值是________． 【答案】或 【解析】 【分析】这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4的积的2倍，故，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 14. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，因式分解；先根据已知求出，，然后把提取公因式分解因式，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴将代入可得， ∴， 故答案为：． 15. 一个三角形的三边长分别为xcm、（x+2）cm、（x+4）cm，它的周长不超过39 cm，则x的取值范围是______． 【答案】2<x≤11 【解析】 【分析】根据三角形的周长和三角形三边关系建立关于x的不等式组，解不等式组即可． 【详解】根据题意可得： 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系及不等式组的应用，掌握三角形三边关系是解题的关键． 16. 如图，分别是、的中线．若，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质（中线平分三角形面积），解题中运用了三角形面积等分的思想，通过中线的性质逐步推导各部分三角形的面积，关键是利用 “中线将三角形分成面积相等的两部分” 这一性质，从已知的小三角形面积推导出大三角形的面积． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为4． 17. 若不论x取何实数时，分式总有意义，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，利用完全平方公式进行配方等知识，难度较大．根据分式总有意义，得到，变形为，即可得到，从而得到． 【详解】解：∵分式总有意义， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为 18. 如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上中点，M为线段上一动点，则的周长最小值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了轴对称——最短路线问题，连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论，熟知等腰三角形三线合一的性质，两点之间线段最短是解答此题的关键． 【详解】解：连接，    ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得：（）， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短（）， 故答案为：8． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）先通分，再计算减法； （2）先通分，计算括号里的减法，再将除法转化为乘法计算； （3）先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 20. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解； （1）先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先展开合并，然后运用完全平方公式因式分解； （3）先利用完全平方公式，再运用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：． 21. 两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．） 【答案】 P就是山庄的位置． 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可知：到CD和CE的距离相等的点在∠DCE的角平分线上，所以第一步作：∠ECD的平分线CF；根据中垂线的性质可得：到A、B的距离相等的点在AB的垂直平分线上，所以第二步作线段AB的垂直平分线MN，其交点就是P点. 【详解】略 22. 先化简，再求值：，其中实数x、y满足． 【答案】，2． 【解析】 【详解】试题分析：先对括号内的进行通分，然后进行加减，最后按顺序进行计算，在求值时先利用非负数的性质求出x、y的值，然后代入即可. 试题解析：原式＝＝＝. ∵|x－2|＋y2－2y＝－1，∴|x－2|＋（y－1）2＝0，∴x＝2，y＝1，∴原式＝＝2． 23. 如图，是等边三角形，D是边上的一点，以为边作等边三角形，使点E、A在直线的同侧，连接．求证：． 【答案】 证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∵在和中， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据等边三角形性质推出，，，求出，根据证，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定，证明是解题的关键． 24. 如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想． 【答案】 猜想：DE+BF=EF． 证明：延长CF，作∠4=∠1，如图： ∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB， ∴∠1+∠2=∠3+∠5，∠2+∠3=∠1+∠5， ∵∠4=∠1， ∴∠2+∠3=∠4+∠5， ∴∠GAF=∠FAE， 在△AGB和△AED中， ， ∴△AGB≌△AED（ASA）， ∴AG=AE，BG=DE， 在△AGF和△AEF中， ， ∴△AGF≌△AEF（SAS）， ∴GF=EF， ∴DE+BF=EF． 证毕． 【解析】 【详解】试题分析：通过延长CF，将DE和BF放在一起，便于寻找等量关系，通过两次三角形全等证明，得出结论． 略 考点：全等三角形的判定与性质． 25. 请仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：．我们知道，假分数可化为带分数，例，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：． （1）将分式化为带分式； （2）当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ （3）当______时，分式的最大值是______． 【答案】（1） （2） （3）当时，分式的最大值是5 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算与变形，分式的值等知识． （1）根据材料提供方法变形即可求解； （2）由（1）得，根据分式的值是整数，得到为整数，即可得到当x取整数时，是3的整数因数，得到或，即可求出； （3）变形为，即可得到当取最小值时，分式有最大值．根据，得到，求出当时，，问题得解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵由（1）得， ∵分式的值是整数， ∴为整数， ∴当x取整数时，是3的整数因数， ∴或， ∴； 【小问3详解】 解：， ∴当取最小值时，分式有最大值． ∵， ∴， ∴当即时，， 故当时，分式的最大值是5． 26. 已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点． （1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　 　，QE与QF的数量关系式　 　； （2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明． 【答案】解：（1）AE∥BF，QE=QF; （2）QE=QF，证明如下： 如图，延长FQ交AE于D， ∵AE∥BF， ∴∠QAD=∠FBQ． 在△FBQ和△DAQ中， ∵， ∴△FBQ≌△DAQ（ASA）． ∴QF=QD． ∵AE⊥CP， ∴EQ是直角△DEF斜边上的中线． ∴QE=QF=QD，即QE=QF． （3）（2）中的结论仍然成立．证明如下： 如图，延长EQ、FB交于D， ∵AE∥BF， ∴∠1=∠D． 在△AQE和△BQD中， ， ∴△AQE≌△BQD（AAS）， ∴QE=QD． ∵BF⊥CP， ∴FQ是斜边DE上的中线． ∴QE=QF． 【解析】 【分析】（1）证△BFQ≌△AEQ即可． （2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可． （3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可． 【详解】（1）如图，∵Q为AB中点， ∴AQ=BQ． ∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ． 在△BFQ和△AEQ中，， ∴△BFQ≌△AEQ（AAS）． ∴QE=QF． （2）略 （3）略 27. 过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”． （1）下列三角形中，不存在“友好分割线”的是__________（只填写序号）； ①直角三角形；②等边三角形；③顶角为的等腰三角形 （2）如图，在中，，，过点作射线，若为的“友好分割线”，求的度数； （3）如图，中，为边上的高，，，，为的中点，过点作直线交边于点，作，，垂足为．若射线为的“友好分割线”，求的最大值． 【答案】（1） （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（）根据“友好分割线”的定义判断即可； （）分三种情形：①当时；②当时；③当时，分别画出图形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可求解； （）作于点，由“友好分割线”的定义可得，即得，再证明，推出，根据垂线段最短可得，，推出，即，据此即可求解． 【小问1详解】 解：当三角形是直角三角形时，如图，，点为斜边的中点， 由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，, ∴和为等腰三角形， 即射线为直角的“友好分割线”， ∴直角三角形存在“友好分割线”，不合题意； 当三角形为顶角为的等腰三角形时，如图，存在“友好分割线”，不合题意； 当三角形为顶角为等边三角形,不存在“友好分割线”； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； ③当时，， ∴； 综上，当为的“友好分割线”时，的度数为或或； 【小问3详解】 解：如图，作于点， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴不是等腰三角形， ∵为 的“友好分割线”， ∴和中至少有一个是等腰三角形， ∴是等腰三角形，且， ∵， ∴， ∵于， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中，， ∴，， ∴， 即， ∴ ， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，直角三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实初教育集团初二数学 一.选择题． 1. 已知一个三角形的两边长分别为8和4，则下列各数不可能是这个三角形的第三边长的是（ ） A. 7cm B. 6 cm C. 8 cm D. 12 cm 2. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. -1 D. -5 4. 如果把中的与都扩大3倍，那么这个代数式的值（ ） A. 扩大9倍 B. 扩大3倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 5. 如图，已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 8 8. 中，于F，于为的中点，若的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD．其中正确的有（   ） 个 ． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确的是( ) A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共16分） 11. 不等式的解集是________． 12. 在等腰三角形中，已知，则顶角的大小为________度． 13. 如果是一个完全平方式，那么的值是________． 14. 已知，则的值为________． 15. 一个三角形的三边长分别为xcm、（x+2）cm、（x+4）cm，它的周长不超过39 cm，则x的取值范围是______． 16. 如图，分别是、的中线．若，则________． 17. 若不论x取何实数时，分式总有意义，则a的取值范围是________． 18. 如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上中点，M为线段上一动点，则的周长最小值为___________． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）； （3）． 20. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 21. 两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．） 22. 先化简，再求值：，其中实数x、y满足． 23. 如图，是等边三角形，D是边上的一点，以为边作等边三角形，使点E、A在直线的同侧，连接．求证：． 24. 如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想． 25. 请仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：．我们知道，假分数可化为带分数，例，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：． （1）将分式化为带分式； （2）当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ （3）当______时，分式的最大值是______． 26. 已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点． （1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　 　，QE与QF的数量关系式　 　； （2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明． 27. 过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”． （1）下列三角形中，不存在“友好分割线”的是__________（只填写序号）； ①直角三角形；②等边三角形；③顶角为的等腰三角形 （2）如图，在中，，，过点作射线，若为的“友好分割线”，求的度数； （3）如图，中，为边上的高，，，，为的中点，过点作直线交边于点，作，，垂足为．若射线为的“友好分割线”，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $