第14讲 简单复合函数的导数 预习讲义-2025-2026学年高二寒假数学人教A版选择性必修第二册

第14讲简单复合函数的导数（预习) 知识点1：复合函数的概念 知识点2：复合函数的求导法则 简单复合函数的导数 知识点3：求复合函数导数的步骤 01思维导图 02知识梳理 知识点1：复合函数的概念 一般地，对于两个函数y=f(四和“=(0)，如果通过中间变量“，y可以表示成x的函数，那么称这 个函数为y=f四和“=8(0的复合函数，记作y=f(g(》 知识点2：复合函数的求导法则 一般地，复合函数y=f(g(》的导数和函数y=f四），u=8()的导数间的关系为=W,即y 对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 规律：从内到外层层求导，乘法连接。 知识点3：求复合函数导数的步骤 第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数： 第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数： 第三步相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步变量回代：把中间变量代回。 >求复合函数的导数注意以下几点： 第1页共8页 (1)分解的函数通常为基本初等函数： (2)求导时分清是对哪个变量求导： (3)计算结果尽量简洁。 03考点突破 考点一简单复合函数 【例1】指出下列函数的复合关系 0)y=(a+h: (2)y=ne*+2 (3)y=3og2x2-2x+3: 4=f+ 【变式1】写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数： (0y=sin-2x+5, 2y=n(3r-l; (3)y=2-1 第2页共8页 考点二简单复合函数的导数 【例2-1】求下列函数的导数. ①)P=(2x-10 (2P1023 (3)'=sin'x+cos°x 【变式2-1】求下列函数的导数： 1 y=- 1)-2x: (2)y=51og21-x): 6)=sim2x+3 【例2-2若f八国=(-，则f-2024-() 1 1 A.-2024 B.-2024 C.2024 D.2024 【变式2-2】已知函数=s血2x,则f0)= 【例2-3】曲线y=e+1在点(0,2)处的切线方程为() A.y=x-2 B.y=-x+2 C.y=x+2 D.y=-X-2 第3页共8页 3 【变式2-3】曲线f)=ln(x+2)+2在点(0，f0)处的切线方程为一 04 课堂练习 1.下列求导数运算错误的是( A.(3)'=3ln3 B.(x2Inx)=2xlnx+x coSx xsinx-cosx C x2 D.(2-2xn2.2rw x2+1 2.若函数/=e2+e ,则f'0=( 4.e B.2e2 C.3e2 D.4e2 3.函数y=e的导函数为() A.y=-e* B.y=-ex C.J=ex D.y=e-x 4.函数y=42-x+3x2)的导数是（) 第4页共8页 A.82-x+3x2) B.2(-1+6x)2 c.82-x+3x2)(6x-1 D.42-x+3x2）(6x-1 5.已知fc)=ln(3x-1),则f'(1)=_ 13 6函数y=x+的导数为 7.已知f(x)=sinV,则f"π2)= 8已知。”满足-+刘=0，且问a处的切线与y=2x41T行，则m+= 9.求下列函数的导数： (1)y=103x-2: (2)y=ln(e+x2): (3)y=x1+x2 第5页共8页 05课后巩固 1.下列求导运算正确的是() B.(x'e')=2xe C.3o ow2x2sin2. 2.函数y=c0s1+X)+4的导数是() A.2xsin(1+x) B.-sin(1+x2) C.2cos(1+x2) D.-2xsin(1+x2) 3.y=3x2+2x)的导数是() A.53r2+2x(6x+2) B.(6x+2 c.10(3x+2)4 D.53x+2)4(6x+2 第6页共8页 4.函数y=xcos2x的导数为() A.y'=2xcos 2x-xsin 2x B.y'=2xcos 2x-2x'sin 2x C.y'=x'cos 2x-2xsin 2x D.y'=2xcos 2x+2x'sin 2x 5.下列求导结果正确的是() B.(3=3 C.(log:x)'=logz e D.(sin2x)=cos2x 6.曲线y=e2在点(0,1)处的切线垂直于直线2x-y=0,则a=() A.1B.-1 C. D. 7.记知函数=n(1-刘，则f(刘= 8求下列各函数的导数： (1)y=h(3x-2): (2)f(x)=emte (3)y=V1-2x2 9.求下列函数的导数： 第7页共8页 连8并连8能 +g6 xSOOx乙us-x=(8) xzus=()r() :x,S00=(9) 【-x乙个=() +r23=(E) (b+x9j四=（⑦） ,亿-xc)=(⑩第14讲简单复合函数的导数（预习） 知识点1：复合函数的概念 知识点2：复合函数的求导法则 简单复合函数的导数 知识点3：求复合函数导数的步骤 01 思维导图 02知识梳理 知识点1：复合函数的概念 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数，那么称这 个函数为y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x) 知识点2：复合函数的求导法则 一般地，复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(),u=g(x)的导数间的关系为yx'=y'·u',即y 对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积， 规律：从内到外层层求导，乘法连接。 知识点3：求复合函数导数的步骤 第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数： 第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数： 第三步相乘：把上述求导的结果相乘： 第四步变量回代：把中间变量代回。 >求复合函数的导数注意以下几点： (1)分解的函数通常为基本初等函数； 第1页共10页 (2)求导时分清是对哪个变量求导； (3)计算结果尽量简洁。 03 考点突破 考点一简单复合函数 【例1】指出下列函数的复合关系. (①)y=(a+bx)°； (2)y=lne+2 (3)y=3l0g2x2-2x+3): (4)y=sin 【答案】(I)y=u,u=a+bx Q2)y=Inu,u=03,v=e'+2 1 (3)y=310g2μ，u=x2-2x+3 (4)y=u3,u=sinv,=x+ x 【详解】(1)对于y=(a+bx)',可分解为y=u,μ=a+bx (2)对于y=ne+2,可分解为y=nu,u=D3,D=e+2 (3)对于y=3log2x2-2x+3),可分解为y=3log24,H=x2-2x+3. (4)对于y=sin 1 可分解为y=u3,u=sinD,D=x+- 【变式1】写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数： (1)y=sin(-2x+5): (2)y=ln(3x-1: (3)y=2x-1; 【答案】(1)u=-2x+5,y:=-2c0s-2x+5 3 ②w=3-1，三3r a加=2-1，g-2x-1月 【详解】(1)令w=-2x+5,因为y=y,y=(sinu)'(-2x+5y=cosu·(-2)=-2cos(-2x+5)；. (2)令u=3x-1,因为y=g4,以=0mw6x-y=3-,3 43x-1 第2页共10页 （3)令u=2-1,因为=g4,=2x-=3u2=子2x- 2 考点二简单复合函数的导数 【例2-1】求下列函数的导数. (1)y=(2x-1)‘; (2)y=102+3; (3)y=sinx+cosx. 【答案】(1)y'=8(2x-1)3 (2)y'=2ln10-102x*3 (3)y'=-sin4x 【详解】(1)令u=2x-1，则y=w，y:=y4=4u3(2x-1)y=4w3·2=8(2x-1)3; (2)令u=2x+3,则y=10”,y=y4=10”ln10(2x+3)y'=2n10102+3 3)y=5nx+cosx=6mx+cos-2sin2xos3x=1-分sn2x=1-0-os40 3+cos4x所以y 3 4 4 cos4x =-sin 4x 4 【变式2-1】求下列函数的导数： 1 (0y=-2x' (2)y=5log2(1-x); (3)y-sin(2x+) 5 【答案】()0-2x)2 ②x-1)n2 2co2x+ (1)解：由函数y= 1=0-2)2, V1-2x 段4w=2可特Y三w0252=0-2 (2)解：由函数y=5log,(1-x), 设y=51og2u,u=1-x,则y=50og,w-1-xy=5x1 uln2 (x-)n2 第3页共10页 (3)解：由函数y=sin(2x+了， 令y=sin,u=2x+号，则y=(6in0y-(2x+y=COx2=2cos(2x+ 【例2-2】若f(x)=ln-x),则f'(-2024=() 1 1 A.- B.-2024 C. D.2024 2024 2024 【答案】A【详解】f八=子则/八-2024到=09 故选：A -2024 【变式2-2】已知函数f(x)=sin2x,则f'(0)= 【答案】2【详解】由f(x)=sin2x,则'(x)=2cos2x,所以f'(0)=2cos0=2.故答案为：2 【例2-3】曲线y=e+1在点(0,2)处的切线方程为() A.y=x-2 B.y=-x+2 C.y=x+2 D.y=-x-2 【答案】B 【解析】由题知y=-e，y儿。=-e=-1, 所以，曲线y=e+1在点(0,2)处的切线方程为y-2=-1(x-0),即y=-x+2.故选：B 【变式2-3】曲线f)=1(x+2)+在点(0，f0)处的切线方程为一 【答案】x-2y+2ln2+3=0 【解折】因为=+2+号所以了)=中2则/0=方又0=n2+ 所以线在点0,0川处的切线方程为)-1h2-氵，即-2y+2n2+3=0.故答案为 x-2y+2ln2+3=0 04 课堂练习 1.下列求导数运算错误的是（) A.(3)'=3ln3 B.（x2lnx=2xlnx+x 第4页共10页 cOSx xsinx-cosx D.(22=2xln2.22 x x2+1 【答案】C【详解】A选项，(By=3n3,A正确；B选项，(xnx=2xnx+x2.1=2xnx+x,B正确： C选项， g,c维美D选项，mj=2r2女+- x2 D正确故选：C 2.若函数f(x=e2r+e2,则f(1)=() A.e B.2e2 C.3e2 D.4e2 【答案】B 【分析】由导数运算法则计算即可得 【详解】f'(x)=e2x.2+0=2e2,则f"(1=2e2 故选：B 3.函数y=ex的导函数为() A.y=-e* B.y=-e-x C.y=e* D.y=e* 【答案】B【详解】y=(e)=e(-x'=e×(-)=-e,故选：B 4函数y=42-x+3x2）的导数是() A.8(2-x+3x2) B.2(-1+6x)月 C.82-x+3x2)(6x-1) D.42-x+3x2(6x-1) 【答案】C【详解】y=4×2(2-x+3x2)(2-x+3x2)/=82-x+3x2)(-1+6x故选：C 5.己知f(x)=ln(3x-1),则f'(1)= 【信类】【样1到=6-小，则)=之所ur0-号 第5页共10页 故答案为： 3-2 6.函数y= + 的导数为 【等案1r=5x+〔-宁)x学0《解1质敌y=x+(x字0是函数y=与u=+约 复合通政，则以=gg=5+-宁)小x*0减答案为：5c+:=0 7.已知f(x)=sin,则f'(π2）= 【答】左【详解】由/=sn,可释=6os(- 故f'(π2）=cos元=-1 1 故答案为：- 2π2π 2π 8已知f-e-m满足-+fx)=0,且fx在(m)处的切线与y=2x+1平行，则 m+n= 【答案】1 【解析】函数f(=e“-m的定义域为R,因为了(-x+(x)=0,所以函数f(是R上的奇函数， ex m0,解容m,经橙验成立所以则s2e.e-e北 e2r e 在几/八处的切线与y=2x+1平行，所以了m十2，解存a=0,所以m 9.求下列函数的导数： (1)y=103x-2; (2)y=ln(ex+x2): (3)y=xV1+x2 隆Dy0,Qyar+M" 1+x2 【详解】(1)令u=3x-2,则y=10.所以yx=yW,=10n10(3x-2/=3×103x-2n10. (2)令u=e+,则y=ny=y.W=1(e+y=e+2x e'+x2 第6页共10页 (3)y'=cV1+x2y =++x+}=+r+2r 2W1+x2 =V+x+x V1+x2 =1+2x2)W1+x 1+x2 05课后巩固 1.下列求导运算正确的是（) ax到 B.（x2e=2xe C.(3*cos 2x)=3*(In3.cos2x-2sin 2x)D. (.in2 【答案】C【详解】 nx到是流-egey-rnB (3*cos 2x)=(3*)'cos 2x+3*(cos 2x)'=3*In 3cos2x-2.3*sin 2x=3*(In 3.cos 2x-2sin 2x),CI 确； ln三+log2x 1,D错.故选：C xI 2.函数y=cos(1+x2)+4的导数是() A.2xsin(1+x2) B.-sin(1+x2) C.2c0s1+x2) D.-2xsin(1+x2) 【答案】D【详解】y=cos(1+x2)+4, ∴y=[cos(1+x2)]+4'=-sin(1+x2)-(1+x2y+0=-2xsin(1+x2)故选：D. 第7页共10页 3y=(3x2+2x)的导数是() A.53x2+2.x(6x+2) B.(6x+2 C.10(3x+2) D.53x+2(6x+2 【答案】A【详解】令u=3x2+2x,则y=n3,4=6x+2,y=5u, y=y4=53x2+2x(6x+2) 4.函数y=x2cos2x的导数为() A.y'=2xcos 2x-x2sin 2x B.y'=2xcos 2x-2x2sin 2x C.y'=x2cos 2x-2xsin 2x D.y'=2xcos 2x+2x2sin 2x 【答案】B【详解】y'=(x2)'cos2x+x2(cos2x)'=2xcos2x+x2(-sin2x)(2xy'=2xcos2x-2x2sin2x 5.下列求导结果正确的是（) π cos- =-sin B.(3)=x3 6 C.(logx)'logze D.(sin 2x)=cos2x 【答案】C【详解】对于A选项， cos Z =0,A选项错误； °6 对于B选项，(3）=3ln3,B选项错误： 对于C选项，(og,x=L1og,e,C选项正确 对于D选项，(sin2x)'=cos2x-(2x)'=2cos2x,D选项错误 故选：C 6.曲线y=e2a在点(0,1处的切线垂直于直线2x-y=0,则a=() A.1 B.-1C.4 D. 第8页共10页 【答案】D 【解析】/=2ae2,所以y=20,因为在点0，)处的切线垂直于直线2x-y=0,放切线的斜率为号 故2a=-即a=子故选：D 1 2 7.已知函数f(x)=n(1-x),则f'(x= 【爷】 【分析】利用复合函数的求导法则可求得∫'(x) 【1f=1-小因能。儿=古1-了-该答案为司 x-1 8.求下列各函数的导数： (1)y=ln(3x-2);(2)f(x=e2x1+e+e2,(3)y=v1-2x2. 【%案1Dy3322f1=-2em+e:8yy-2盆 V1-2x2 【10y-2xaf时=e-2e2e+: 82 9求下列函数的导数： (1)y=(3x-22: (2)y=ln(6x+4); (3)y=e21; (4)y=V2x-1; (5)y=sin 3x- 4: (⑥)y=cos2x; (7)/(x)=sin2x (8)y=x-sin 2xcos2x; In(2x+1) (9)y= 大 【答案】(1)6(3x-2)=18x-12 ②3x+2 (3)2e2r+H (⑤3cos3x-4 2xcos2x-sin 2x (42x- (6)-sin 2x (7 第9页共10页 2x-(2x+1)In(2x+1) (8)1-2cos4x (9) (2x+1)x2 【详解】1)y=23x-23x-2=63x-2=18r-12:2)y=16x+4=,1, 6x+4 3x+2 8yr-em2x+-2sm,wy2N322r-小-2 1 5）y=os3x-到}3x-9=3cos3x-4到：(60y=2 o=-2o5sinx=-sn2x (7)f=sin2x-x'sin2_2xcos2x-sim2x;(8)因为y=x-sin2x,cos2x,所以 x x in4r,所以y=1- y=x-1 (2x+-n(2x+0 =2x+1 ,3-n2x+2x-2x+n2x灯 2x+1 x2 （2x+1)x2 第10页共10页