第13讲 导数的四则运算法则 讲义-2026年高二寒假数学人教A版选择性必修第二册

第13讲导数的四则运算法则（预习） 知识点1：导数的加法法则 知识点2：导数的减法法则 导数的四则运算 知识点3：导数的乘法法则 知识点4：导数的除法法则 01 思维导图 02知识梳理 导数的四则运算法则 己知x),g(x)为可导函数，且gx)≠0. 知识点1：加法法则：[x)汁gx)]'=fx)汁g(x). 知识点2：减法法则：[x)一gx)]'=fx)一g(x). 知识点3：乘法法则：[x)g(x]'=f(x)g(x)+x)g(x) 知识点4：除法法则：‘= 第1页共9页 。求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. 注查：0C-f'=C1刊，这里C为常数： [11=-8' -(g(x)≠0) ②g(x)g(x 国6…fxr=ff(国…f+f(x)/…f.)+…+f国/… 03考点突破 考点一导数的加减法则 【例1-1】求下列函数的导数 0=2-x (2)f(x)=e*+Inx+sinx 【变式1-1】求下列函数的导数： ()y=r-x+3 (2)=2*+cos.x 第2页共9页 【例121若商数=加-2x1,宽引() B.3 c A.0 D.2 【变式12】已知儿小=r-1,则=（) A.0 B.1 C.2 D.-1 【例13】已知函数f=f0r+,则f)+f②() A.-12 B.12 C.-26 D.26 【变式1-3】已知函 fx到=cosx+2f .则}) A.-1 B.0 C.1 D. 罗 考点二导数的乘除法则 【例2-1】函数'=er 的导数是() e A.x B.elnx C.e'In D.ee'lnr 第3页共9页 【变式2-1】（多选题）下列运算不正确的是() sinx xcosx+sinx A.3*)=3*Inx B. c.〔= D.(1ogx'=1 xln2 【变式2-2】求下列函数的导数. (1)y=2x3-3x2-4; (2)v=xInxi (3)v=Cosx =r+ ⑤rrt2r x2 第4页共9页 【例22】若函数)=5，则0等于() 1 1 A.1 B.0 C.2 D. 【变式2-3】已知=xc0sx,则引 考点三导数的混合运算 【例3】求下列函数的导数： (1)y=(2x2-103x+1) (2)y=excosx; (3)y=sinx sinx (4)y=e'tanx (5)y=x (6)y=x+1 x-1 第5页共9页 04课堂练习 1.已知f=cosx,则f0)=(） A.-1 B.0 C.1 D.e 2.下列求导运算正确的是() 的=1+过 B.(og2)=_1 xIn2 c.(3*)=3*loge D.(x2cosx)'=-2xsinx 3.已知函数满足f()=rf'0+21血x,则f'(2)=() A.6 B.7 C.-6 D.-7 4.已知直线y=+b是曲线f(x)=xe在点1，f1)处的切线方程，则k+b= 5.求下列函数的导数： 1)y=r-3x2-5x+6 (2)y=x3e* 第6页共9页 x2 (3)y=(2x2+3)3x-2): (4)y=sinx· 05课后巩固 1.下列求导运算中错误的是() 1-Inx A.(3y=31n3 B x2 c.( D.(sinx.cosx)=cos2x 2.函数y=x+3的导数是() x2+6x x2+6x -2x 3x2+6x A.(x+3)2 B.x+3 C.(x+3)2 D.(x+3)2 3.已知函数/d=2+x,则f2列= 4.已知函数f(x)=3x3-4xf'(0)+8x,则f'(0)= 5求下列函数的导数. 第7页共9页 连6并连8熊 ‘(x)f￥D 9I-x+x=(x)f廉y已9 +=(8) (亿-x1-x)=((L) X x+x+1 ((9) :xs00,a=((S) s00Is-zx=(（) ·乙。 I+={() :∂+x乙-2E=((⑦) ‘x+zx=((TD X可 (2)求曲线)=∫)过点(2，-14的切线的方程. 第9页共9页第13讲导数的四则运算法则（预习) 知识点1：导数的加法法则 知识点2：导数的减法法则 导数的四则运算 知识点3：导数的乘法法则 知识点4：导数的除法法则 01 思维导图 02知识梳理 导数的四则运算法则 己知x),g(x)为可导函数，且gx)≠0. 知识点1：加法法则：[x)十g(x)]'=f(x)+g(x). 知识点2：减法法则：[x)一gx)]'=f(x)一g(x). 知识点3：乘法法则：[x)gx]'=f(x)g()+x)g(x) 第1页共13页 知识点4：除法法则：'=. ?求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导 注意：①[C·f(x]'=Cf(x),这里C为常数： ②Jr=-g⊙(g≠0.小 8()g2( ③[f(x)f(x…fn(x]'=f(x)f(x)…fn(x)+f(x)f2'(x)…fn(x)+…+f(x)f2(x)…fn'(x) 03考点突破 考点一导数的加减法则 【例1-1】求下列函数的导数 0f刘=)x-x-1 2 (2)f(x)=e*+Inx+sinx 【答案】0f到=-+1 x2 (2)()+cx 【分析】()(2)利用求导法则可求得川 【详解】(1)解：因为 到2-x ,则到=1-24 2)解：因为f=c+1nx+sinr,则fd=e++cosx. 【变式1-1】求下列函数的导数： (1)少=P-x+3 (2)=2*+cos.x 第2页共13页 【答案】(0'=3-1 (2'=2*h2-simx 【详解】(1)y=x-x+3)=x-(x+3)=3x2-1 (2)=(2*+cosx)=(2*)+(cosx)=2*In2-sinx. 【剂若通数国=r-2x+1,份)：) A.0 B. C.2 D.2 【答案】A【详解】 -2.所慰2-2=0 故选：A. 【变式12】已知=-1，则W=（) A.0 B.1 C.2 D.-1 【答案1C【详解1由八)=-1，则八=2x,所以0=2. 故选：C. 【例1-3】已知函数f)=f'0x2+x2 则f)+f'2() A.-12 B.12 C.-26 D.26 【答案1C【详解】因为商数)=/0+，所以八国=3/0+2x,令x=1则， f刊=3+2，解得0=-，所以f)=+,=-3+2x,所以0)=-3+32=-18 f2)=-3x2+2x2=-8,所以f3)+f②)=-26故选：C 第3页共13页 【支式1已为数=2r月，则)() A.-1 B.0 C.1 D. 【答案】C 【详解】由已知可得， mx2r.斯以.)经+2r12r. 所以， 故选：C. 考点二导数的乘除法则 【例2-1】函数少=elnr 导数是() e A.x B.e'Inx C. e'Inx+e D.ec'le 【答案】C 【详解】f)=(ehx+e,m)=enx+ x故选：C 【变式2-1】（多选题）下列运算不正确的是() sinx xcosx+sinx A.(3=3nx x x2 c.〔=1 D.(og. xln2 第4页共13页 sinx xcosx-sinx 【答案】ABC【详解】A选项，3)=3ln3,A选项错误；B选项， x2 ,B选项错误： C选项， =1+文，C选项错误；D选项，根据对数函数的求导公式知其正确故选：ABC 【变式2-2】求下列函数的导数. (1)y=2x3-3x2-4 (2)y=xInx: (3)=Cos.r x· =r 【答案】0y=6r-6x2,=nrHO)y/=K-cos x2 (4)y=3x2-2 1+2x血2-2nx-2” 【详解】(1)因为y=2x-3x2-4,所以y=(2x-3x2-4,所以y=6x2-6x: (2)因为y=xnx,所以y=(xln'=(x'nx+x(lnx刘'，所以y=nxH: ,所以y= (3)因为y=c0s cosx (cosx).x-(x).cosx x2 ，所以y'=-xsin x-cosr 2 (+2ln2)x2-mx+2)2x1+2xn2-2nx-2 (5)y'= x 第5页共13页 【例22】若函数)=5，则0等于() 1 1 A.1 B.0 C.2 D.4 【答案】C 【详解】函数)=2，定义战为-0，-2-2，+网小. sinx f)=x+2小cosx+sinx (x+22 折以(oD=(0+2)cos0+sin01 (0+2)2 2,故选：C. 【变式2-3】已知fx=xcOSx,则 【答案】一2【详解】由题意可得：f'(x)=(x'cosx+x(cosx')=cosx-xsinx,所以 兀.兀元 =c0s sin- 2 2222故答案为：2. 考点三导数的混合运算 【例3】求下列函数的导数： (1)y=(2x2-103x+1) (2)y=excosx; (3)y=Sinx sinx (4)y=e'tanx (5)y=x 6别 xcosx-sinx 【答案】(1)y=18x2+4x-3;(2)y=ex(cosx-sinx)；(3)y= x2 一；(4) 第6页共13页 e" y=e*tanx+- s2: (5广=cosr-nsny y'=- 2 x ；(6)(x-102 【详解】（)因为=(2r-3x+》=6+2-3-,所以y=18r+4r-3: (2)y'=(excosx)'=(ex)'cosx+ex(cosx)'=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx): sinx (sinx)x-sinx.x xcosx-sinx (3)y=( x2: (4)由y=e'tanx,则 =(e)tanr+e(tanx刘-cnx cos2x,即 y=e*tanx+ cos2x ，则y=COS-nsinx (5)由y=sinx x+1 ，(6)由y=7,m川 y=x+)×x=D-(x+0)x-D-2 (x-1)2 (x-1)2 04课堂练习 1.已知f)=e"cosx,则f'0)=（) A.-1 B.0 C.1 D.e 由题意，函数fx)=sx,可得f=cos-sinx,所以f(0)=l,故选：c 第7页共13页 2.下列求导运算正确的是() A+的=1+ B.(og2)'=1 xIn2 C.(3*)=3*log;e D.(x'cosx)'=-2xsinx 【答案1B【1A+=1,放A不E:g:刘： tln2,故B正确： C.3=3ln3,故C不正确；D.x2cosx=2 xcOSx+-x2sinx,故D不正确.故选：B 3.已知函数)满足f=rf'四+21血x,则f'(2)=() A.6 B.7 C.-6 D.-7 登案】D详解1了0=x0+2n海/)=20+.则70三2/0士 故f0=-2,()=-4x+ ,故∫'(2)=-7. 4.已知直线y=cr+b是曲线f(x)=在点1，f1)处的切线方程，则k+b= 【答案】e 【解析】由题设，fI)=e且f'(x)=(x+l)e,则f')=2e, 所以，切线方程为y-e=2e(x-l),即y=2ex-e, 所以k=2e,b=-e,故k+b=e, 5.求下列函数的导数： 1)y=x4-3r2-5x+6 (2)y=xer x2 (3)y=(2x2+3)3x-2): (4)y=sinx. 第8页共13页 【答案】1)y=4x2-6x-52)y=(3r+r)e③)18x2-8x+9,4 2xsinx-x2cosx sin2x 【详解】1因为y=r-3-5x+6,所以广=4r-6x-5: 2)因为y=xe,所以y=(3r+r)e（3)y=2r+3y6x-2+2r2+3M3x-2y=43r-2)+ (x2)'sinx-x2(sinx)'2xsinx-x cosx 3(2x2+3)=18r2-8x+9.(4)y'= sin2x sin2x 05课后巩固 1.下列求导运算中错误的是() n 1-Inx A.(3*)y=3*n3 B x2 D.(sinx.cosx)'=cos2x 【答案】C,A选项：(3y=3n3A正确：B选项： =(Inx).x-x.Inx 1-Inx,B x x2 1 确；C选项： x+x -c错误：D选项 第9页共13页 (sinx.cosx')=(sinx'·cosx+(cosx)·sinx=cos2x-sin2x=cos2x,D正确 故选：C x2 2.函数y=x+3的导数是() x2+6x x2+6x A.(x+3) B. x+3 -2x 3x2+6x C.(x+3)2 D.(x+3)2 【答案】A解：因为y= 3,g=）+-x+3到2+3)-+6 (x+32 (x+3)2(x+37 3.已知函数 f(x)=2x2+x ,则/2) 【答案】9 【分析】求出函数导数计算即可 【详解】因为fx)=2x2+x 所以(=4x+1,f2)=4×2+1=9 故答案为：9 4.已知函数f(x)=3x3-4xf'(0)+8x,则f'(0)= 【答案】 【解析】函数fx)=3x3-4xf'(0)+8x,求导得f'()=9x2-4f"(0)+8, 令x=0则0=40+8解得0=多 所以了0-等故答案为：习 第10页共13页