第12讲 基本初等函数的导数 讲义-2026年高二寒假数学人教A版选择性必修第二册预习

第12讲基本初等函数的导数（预习） 01 思维号图 02知识梳超 知识点1：基本初等函数的导数公式 基本初等函数的导数 知识点2：几个常见函数的导数 知识点1：基本初等函 数的导数公式 原函数 导函数 fx)=c(c为常数) f(x)=0 x)=x(n∈Q) f6x)=x1-1 f(x)=sinx P(x)=cosx Ax)=cosx f(x)=-sinx fx)=ar(a>0且a41) P(x)-alna fx)=e* f(x)=ex Ax)=logx(x-0,a-0 Hat1) f(x)=Ixln a Ax)=Inx (x-0) f(x)=Ix >导函数的常用结论： 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数. 知识点2：几个常见函数的导数 函数 导数 第1页共8页 f(x)=c(c为常数) f'(x)=c'=0 f(x)=x f'(x)=x'=1 f(x)=x2 f'(x)=(x2)y=2x f=1 f(x)=Vx f()-2 1 03考点突破 考点一利用导数公式求函数的导数 【例1-1】函数f(x)=sinx,则f'(0)的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A【详解】f'(x=cosx,则f'(0)=cos0=1故选：A 【变式1-1】已知y=sin30°，则y等于() A. B.3 2 C.0 D.不存在 【答案】C【详解】因为y=sm30)所以y=0故述：C 【变式12】设函数f)=x4,则"(x)=（) A.xa 5 B.x C.-5 4 D 【答案】D【详解1了=-宁.-x.故选：D 41 【变式1-3】下列求导运算中正确的是() 第2页共8页 A.(4)'=2 B.(3=x31 C.(nx'=1 xIn10 D.(x)=5x 【答案】D【详解】对于A,(4'=0,故A错误；对于B,(3)=3ln3,故B错误；对于C, (h=子故C错误：对于D,(x厂=5，故D正确故选：D 【例1-2】（多选题）已知函数fx)=1,且f"(m=-1,则m的值可以为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 【答案】AB 【详解】=到=草，则了网=京=，则微选：AB 【变式1-4】若f(x)=x3,f'(x)=3,则x的值等于() A.±1 B.±2 C.±3 D.±3 【答案】A 【详解】因为f(x=x3,所以f'(x)=3x2,又∫'(x=3,所以3x=3,所以x。=1.故选：A 考点二 切线方程 【例2】已知函数f(x=x3 (1)求f(x的导数'(x: (2)求曲线f(x)在1，f1)处切线的方程 【答案】(1)f'(x=3x2 (2)y=3x-2 【分析】(1)利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算作答；(2)求出∫'(1)，再利用导数的几 何意义求出切线方程. 第3页共8页 【详解】(1)函数f(x=x3定义域为R,'(x=3x2. (2)由(1)知，f'(1=3,而f(1=1,于是得函数f(x的图象在点(1，f(1)处的切线方程是 y-1=3(x-1), 即y=3x-2. 【变式2】若f(x)=e,则f(x)在点(-1，f(-1)处的切线与坐标轴所围成的面积为 【答案】2 【详解】易知f(x)=e→∫(-)=，又f(-1)=,所以在(-1，f-)处的切线方程为： -x+1=x+2,则切线与坐标轴的交点分别为-2,0、0，) Y- ,围成的三角形面积为 ee e 外2小水故答案为 1 2 ee e 04 课堂练习 1.下列各式中正确的是() A.(log)=1 B.(log)-In10 C.(3)'=-3x D.(3)'=31n3 【答案】D【分析】根据求导公式直接可判断【详解】ogyL,可知4，B均错，由(3y33 xIna 可知D正确.故选：D 2.设函数)=cosx A.0 B.1 C.-1 D.以上均不正确 【答案】A【分析】根据常数的导数为0可直接得解【详解】因为∫ cos- =0为常数，所以 第4页共8页 0故选：A 3.己知函数f(x)=√x的导函数为f'(x,则f'(4)= 【答案】寻025【详解】解：因为函数=，所以f八=2，则(4到-2N44,故答案为： 11 4.已知f(x)=2,则f In 2 【答案】eln2 【解折】因为f=2,所以f)=2*h2,所以/位}f"og,e=20n2=en2 5.曲线y=ex在点(0,1)处的切线与y轴交点的纵坐标是 答案：1 【解析】因为y'=ex,所以y|x=o=e0=1,所以切线方程为y-1=x即y=x+1,令x=0,则y=1. 6.求下列函数的导数！ (1)y= x2 2)y= (3)y=lgx; (4)y=5; (5)y=c0s 【答案10Dy=5x,2)y=2,(3)y= 2 =xln10(4)y=5n5:(5)y=cosx. x2x23 详解)D专三x，心-5r2)归 3 x}2 .y'=2x2 8》y=lg,/h0④）y=5,y=5h5,):y=co S2-x=sinx, ∴.y'=cosx. 第5页共8页 05 课后巩固 1.已知f(x)=2,则f'(x)=() A.2 B.x.2-1 C. 2 D.2*.In2 In2 【答案】D【解析】由求导公式(a)'=alna可知f'(x)=2.ln2 2.已知数f到=，则)) A.- B.一8 1 C.-8 D.-16 4 子，因此， 【皆案1D【解1：八到=子=，到=-2 =-16 3.己知函数f(x)=x3,f(x)是f(x)的导函数，若f'(x)=12,则x。=( A.2 B.-2 C.±2 D.2 【答案】C【解析】依题意'(x)=3x2,故3x=12,解得x=±2 4.直线y=12x十b是曲线y=nxx>0)的一条切线，则实数b的值为() A.2 B.In 2+1 C.In2-1 D.In2 【答案】C【解析】y=lnx的导数y=1x,令1x=12,得x=2,.切点为(2，n2). 代入直线y=12x+b,得b=ln2-1 5.(多选题)在曲线x)=1x上切线的倾斜角为34π的点的坐标为() A.(1,1) B.(-1,-1) C.\alvs4 alcol(f(12),2) D.\awvs4\alcol(2,\f(12)) 第6页共8页 【答案】AB【解析】因为x)=1x,所以fx)=一1x2,因为切线的倾斜角为34π，所以切线斜率为-1， 即fx)=-1x2=-1,所以x=±1，则当x=1时，1)=1： 当x=-1时，1)=一1，则点的坐标为(1,1)或(-1，一1). 6.已知f(x)=cosx,则 【答案】-【详解】因为f=cos,所以了=-sn,则 -m5故答案为： 32 7.曲线y=2√x在点(1,2)处的切线方程为 【解折1设y==2,则了八=左，所以f刊=1，所以切线方君为y-2=-1,即 y=x+1 8求下列函数的导数： (1)y=x°(x≠0)； @-: (3)y=Igx; (4ys2 : =2cos (⑥y=F: (⑦y=log3x: (8)y=cosx 1 【答案】(1)0 (2) (3)1 (⑤)-sinx 3 xIn10 (O5F (⑦1 (8)-sinx In3 【详解】(1)：y=x°=1(x≠0)，y=0 3 (2)y= 3 .n (3)y=1 3 xIn10 (4y= =,y- 2 5y=2o登1=0w,y=-sm6y=源-.y-g 3 = 2 5x2 1 (7)y'= xIn3 (8)y'=-sinx 第7页共8页 第8页共8页第12讲基本初等函数的导数（预习） 01思维导图 知识点1：基本初等函数的导数公式 基本初等函数的导数 知识点2：几个常见函数的导数 02 知识梳理 知识点1：基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 x)=c(c为常数) fx)=0 fx)=x(n∈Q f(x)=nx-I fx)=sinx f(x)=cosx fx)=cosx f(x)=-sinx x)=ad(a>0且a≠1) f(x)-alna fx)=e f(x)=e* fx)=logx(>0,a>0且a≠1) f(x)= fx)=Inx(x-0) f(x)= >导函数的常用结论： 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数. 第1页共7页 知识点2：几个常见函数的导数 函数 导数 fx)=e(C为常数) f'(x)=c'=0 f(x)=x f'(x)=x'=1 f(x)=x2 f'(x)=(x2)'=2x 1 f6x)片x2 f(x)=/x f)=、 2 03考点突破 考点一利用导数公式求函数的导数 【例11】函数=snx,则0的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 【变式1-1】己知=sim30 ,则等于() 第2页共7页 § A.2 B.2 C.0 D.不存在 【变式12设函数=x,则∫x=（) A. B. 【变式1-3】下列求导运算中正确的是（) A.(4'=2 B.(3)'=x31 C.(i D.(x'=5r 【例12】（多选墨）已知函数八到=，且了八网=-小，则m的值可以为《） A.1 B.-1 C.2 D.-2 【变式141若=，)=3，则的值等于《) A.1 B.2 C.3 D.+V3 第3页共7页 考点二切线方程 【例2】已知函数f()=x (①求f的导数' ②求曲线八四在) 处切线的方程 【变式2】若=©，则d在点-f-川处的切线与坐标轴所围成的面积为一 04 课堂练习 1.下列各式中正确的是() 1 In10 A.(logax)'x B.(logax)'=x C.(3)'=3x D.(3=31n3 第4页共7页 2.设函数x)=cosx, A.0 B.1 C.-1 D.以上均不正确 3.已知函数f=的导函数为了，则4-一 4.已知f到-=2，则品)月 5.曲线y=e在点(0,1)处的切线与y轴交点的纵坐标是 6求下列函数的导数. (1)y=I 2)ys2 (3)y=lgx: (4)y=5; (5) 第5页共7页 05课后巩固 1.已知 =2,则f)=() 2 A.2 B.x2- C.In2 D.2*.In2 1 A.一4 D.K C.8 D.-16 3.已知函数f)=×,f(是四的导函数，若f'(,)=12,则=（) A.2 B.2 C.±2 D. 4.直线y=x十b是曲线y=lnxx>0)的一条切线，则实数b的值为() A.2 B.In 2+1 C.In 2-1 D.In 2 5.(多选题)在曲线x)=上切线的倾斜角为π的点的坐标为() 第6页共7页 A.(1,1) B.(-1,-1) C. D. 6已知到=cosx,则f} 7.曲线y=2√x在点12) 处的切线方程为 8.求下列函数的导数： x2 (1)y=x(x≠0)： ®： (3)y=lgx; (4)= x: (6y=2cos71. (6)y=F; (7)y=log,x; (8)y=cosx 第7页共7页