第11讲 导数的概念及其意义 讲义-2026年高二寒假数学人教A版选择性必修第二册预习

第11讲导数的概念及其意义（预习） 知识点1：函数y=f(x)在x=为处的导数 导数的概念及其意义 知识点2：导函数的几何意义 知识点3：函数f(x)的导函数 01思维导图 02知识梳理 知识点1：函数y=fx)在x=x处的导数 lim Ay=lim f(x+△x)-f(xo) 一般地，称函数y=x)在x=0处的瞬时变化率40△xA0 △x 为函数y=x)在x =xo处的导数，记作fxo)或y'Lk=o,即f(xo)=lim=1im. √△x是增量，我们也称为“改变量”，因为△r可正，可负，但不为零. 1.导数定义可以写成多种形式： ①f(ex,)=lim+)-fx） ②f'(xo)=lim f(xo-h)-f(xo) h -h ®f'cxo)=1imf+A)-f) ④f'(x)=1imf)-f) X→Xn △→0 △x x-Xo 第1页共8页 2.求导数值的一般步骤： 1 求函数的增量：△y=f(x,+A)-f(xo), △y-f(x,+△)-f(x) 2求平均变化率：△x △x f(xo)=lim Ay lim f(x+△)-f(x) 3求极限，得导数： △x→0x△x→0 △x 也可称为三步法求导数。 知识点2：导数的几何意义 函数y=f()在x=x0处的导数∫'(xo)的几何意义就是曲线f(,)在x=xo处的切线的斜率，即 k=f'(x)。 曲线y=f(,在x=(或点x,f(xo》)处的切线方程为：切线方程为y一=fo一). 知识点3：函数f(x)的导函数 对于函数y=f(),当x=时，∫'()是一个确定的数。当x变化时，∫"(，便是x的一个函数， 称它为y=f(0)的导函数（简称导数）。 f(x+△x)-f(x) y=f)的导数也记作y,即f)=y_ △x 03考点突破 考点一函数在某点处的导数 【例1山】已知函数在=七处的号数为2'则四6+-f等于() k A.-2B.-1C.2D.1 第2页共8页 【变式11】已知函数fx)的导函数为f（),且=5，则 f1+2A-f0=（) A.2 C.5 D.10 【变式12】设可在x=光处可导，则四玉+/玉-1=（) 2h A.2f'(x】 B.) C.f(xo) D.4f'(x) 1 y=f(x)=- 【例1-2】用导数的定义，求函数 x在x=1处的导数。 【变式1-3】(1)求函数f)=3r在1处的导数 (2)求函数)一x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数. 第3页共8页 考点二导数几何意义的应用 【例2】已知函数y=f(x的图象如图所示，函数y=f(x的导数为y='(x),则() N 3 2 h234x -1 A.f'(2)<f"(3)<f(3)-f(2) B.f'(3)<f'(2)<f3)-f(2) C.f'(2)<f(3)-f(2)<f'(3) D.f'(3)<f(3)-f(2)<'(2) 【变式2】函数y=f(x的图象如图所示，∫"(x)是函数f(x:)的导函数，则下列数值排序正确的是( /y=x) 3 5 A.2f(3)<f(5)-f3)<2f'(5) B.2f'(3)<2f'(5)<f(5)-f(3) C.f5)-f3)<2f'(3)<2f'(5) D.2f(3)<2f'(5)<f5)-f3) 第4页共8页 考点三求曲线“在”与“过”某点的切线 【例2】曲线y=x3-3x在点(2,2)处的切线斜率是() A.9B.6C.-3 D.-1 【变式2-1】求函数f()=x-2x在x=2处的切线方程。 【变式2-2】求函数f(x)=x3-3x2+x的图象上过原点的切线方程. 04课堂练习 1已知y=f(田的图象如图所示，则'(x)与f()的大小关系是（) 第5页共8页 2 B XA A.f(x)>f(xB) B.f(x)<f(xB) C.f(xA)=f(xB) D.不能确定 6-3-2,3)=3,网在66)处切线方程为（） 2.lim= x-→2 x-2 A.2x+y+9=0 B.2x+y-9=0 C.-2x+y+9=0 D.-2x+y-9=0 3.(多选)设fx)在x处可导，下列式子中与'x)相等的是() A.m55-24 2Ax B.lim f(x,+△x)-f(x。-△x △x C.lim+2)f+Ar) Ar Dm5+A-5-24到 △x 4曲线y=f(-在点P处的切线与直线y=子垂直，则点P的坐标为 5.已知fw)=Vx+2,求f'(),f(2) 第6页共8页 05课后巩固 1.已知函数y=f(x)的图象如图所示，f(x)是函数f(x)的导函数，则() y=f(x) A.f2<f4),f②<f4 2 B.f4)<f2)<f4)-f2) 2 C.f(2)<f4)<4)-f2) D.f4,f2<f4<f2 2 2.已知函数f在x=x处的导数为2，则m f(xo+Ar)-f(xo)=( ) △x A.-2B.2C.-1D.1 3.如图所示，函数y=f八x)的图象在点P处的切线方程为y=-2x+5,则f(2)+f(2)= y=-2x+5 4对于函数)=心)=子，其导数值等于函数值的点是 5曲线八=名在点ML-2处的切线方程为 6试求过点P(1,-3)且与曲线y=x相切的直线的斜率. 第7页共8页 1 7.已知函数x)= >0求 的值. 1+x2,x≤0f'(4)f'(-1) 第8页共8页第11讲导数的概念及其意义（预习） 知识点1：函数y=f(x)在x=%处的导数 导数的概念及其意义 知识点2：导函数的几何意义 知识点3：函数fx)的导函数 01 思维导图 02 知识梳理 知识点1：函数y=x)在x=x处的导数 一般地，称函数y=在=西处的瞬时变化率1iy=1imf(,+△)-f）为函数)y=在x Ax→0△x △r→0 △x =xo处的导数，记作fxo)或y'=o,即f(xo)=lim\s do5(△x→0)lim\s\do-4(k→0)☑yx=1 imis\do4(k→0) lim\s\do5:(△x→0)f(x0+x)-f(x0). √△x是增量，我们也称为“改变量”，因为△r可正，可负，但不为零 1.导数定义可以写成多种形式： ①f'x,)=1imf+)-f) f(x-h)-f(x） h ②f'(x)=lim -h ®f'(x)=1imf+A)-f) ④f'(xo)=lim f(x)-f(xo) △x x→X0 x-Xo 2.求导数值的一般步骤： ①求函数的增量：△y=f(x+△)-f(x); 第1页共10页 ②求平均变化率： △y=f(x,+△x)-fx」 △x △x ③求极限，得导数：∫'(x)=lim y=lim f(x。+△x)-f(x) 4x→0△XAr→0 △x 也可称为三步法求导数。 知识点2：导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x。处的导数f'(x。)的几何意义就是曲线f(x)在x=x。处的切线的斜率，即 k=f'(x)。 曲线y=f(x)在x=x。（或点(xo,f(x,)》)处的切线方程为：切线方程为y一%=fo)x一xo): 知识点3：函数f(x)的导函数 对于函数y=f(x),当x=x时，∫'(x)是一个确定的数。当x变化时，'(x)便是x的一个函数，称 它为y=f(x)的导函数（简称导数）。 y=f)的导数也记作人，即f"(x)=y'=1imfx+A)-f △x→0 △x 03考点突破 考点一函数在某点处的导数 【例1-1】已知函数f(x在x=x,处的导数为-2，则li f(,+)-f3等于() k一0 A.-2 B.-1 C.2 D.1 【答案】A 【解析】根据导数的定义可知mx+-f=f)=-2,故选：A 0 k 【变式11】已知函数f(x)的导函数为f"(x,且f"()=5,则i f1+2△)-f但-() A.2 B. C.5 D.10 第2页共10页 【答案】D 【解析】因为了"=5，所以m1+2A-f但=2m1+2A-心=2山=10，故选：D. △x 2△x 【变式12】设f(在x=x处可导，则im+创-x--（). 2h A.2f'(xo) B.) C.f(xo) D.4f'(xo) 【答案】C 【解析】：f在6处可导，m+,。-小=飞)，故选：C 2h 【例12】用导数的定义，求函数y=)=左在X处的导数。 【解析】：Ay=f0+△)-f0=一1 -1 V1+△x =1-+A =1-1-Ax -△x V1+△x(1+V1+△x)W1+△x(1+V1+△x)W1+△x Ay= ∴.f')=lim △y--1 △x(1+V1+△x)V1+△x Ar→0△x2 【变式1-3】(1)求函数f(x)=3x2在x=1处的导数 (2)求函数fx)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数. 【答案】(1)△y=f1+△x)-f(I)=31+△x)2-3=6△x+3(△x)2 Ay_6Ar+3A=6+3A,四(6+3Ax)=6,即了0=6.所以函数f)=3x在1处的导数 △x △x △→ 为6. (2)依照定义，x)在x=-1的平均变化率，为两增量之比， 需先求△y=f(x,+△x)-f(x)=-(-1+△x)2+(-1+△r)-2=3△x-(△x)2, 再求： △y_3Ax-(A=3-A,即为-x2+x在x=-1附近的平均变化率。 △x 第3页共10页 再由导数定义得： f'(-1)=1imAy=1im(3-Ar)=3 Ax→0△x 考点二导数几何意义的应用 【例2】已知函数y=f(x的图象如图所示，函数y=∫(x)的导数为y=f'(x),则() 不 3 2 0 h234x -1 A.f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2) B.f'(3)<f'(2)<f3)-f(2) C.f'(2)<f3)-f2)<f'(3) D.f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2) 【答案】D 【解析】由f)图象可知∫3<3)-f2<f2),即f3<3到-2)<f2).故选：D 2-1 【变式2】函数y=fx)的图象如图所示，'(x)是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( y /y=fx) 3 5 A.2f'(3<f(5)-f3<2f'(5) B.2f'3<2f'(5<f(5)-f3 C.f(5)-f(3)<2f'3)<2f'(5 D.2f'(3)<2f'5)<f(5)-f(3 【答案】A 【解析】由图知：3<f5)-f③)<'5)，即2"3)<f5)-f3)<2f5).故选：A 5-3 考点三求曲线“在”与“过”某点的切线 【例2】曲线y=x-3x在点(2,2)处的切线斜率是() A.9 B.6 C.-3 D.-1 第4页共10页 【答案】A 【解析】：△y=(2+△x)3-3(2+△x)-23+6=9△r+6(△x)2+(△x)3, :4=9+64x+4x2, △x :imAy-im9+64x+(A2]=9, △r0△x△r0L 由导数的几何意义可知，曲线y=x-3x在点(2,2)处的切线斜率是9；故选：A 【变式2-1】求函数f(x)=x2-2x在x=2处的切线方程。 解折：y=f2+△0)-f2)-2+A △x △x k=f'(2)=lim(2+△x)=2 Ar0 所以切线为y-f(2)=2(x-2),即y=2x-4 【变式22】求函数f(x)=x'-3xr'+x的图象上过原点的切线方程 【答案】x-y=0或5x+4y=0 【解析】设切点坐标为)，则。。-3x,+x, A=f(x,+△)-(x=(x,+△x)3-3x,+△x)2+(+△x)-(x,3-3x,2+x,） =3x3r+3ay°-6A+1a-3+a是=3+3Ar-6,+1a-3 川6=m是-3-6+ 所以切线方程为y-(x,-3x,2+x,)=(3x,2-6x,+1)x-x,) 因为切线过原点，所以=3。+x3=6x+即2x3x=0解程0成方=马 2, 所以切线方程为x-y=0或5x+4y=0 04 课堂练习 1.已知y=f(x)的图象如图所示，则f'(x4)与f'(xB)的大小关系是() 第5页共10页 A.f(xAf(xB) B.f(xA)<f(x8) C.f(xA=f(xB) D.不能确定 【答案】B【分析】根据导数的几何意义，结合图象可得答案 【详解】由导数的几何意义可知，fc),fx)分别是切线在点A、B处切线的斜率， 由图象可知fx)<f(x).故选：B 21imf5-)-3=2,f3)=3,f)在(3，f3)处切线方程为() x-2 A.2x+y+9=0 B.2x+y-9=0 C.-2x+y+9=0 D.-2x+y-9=0 【答案】B 【解折】由已知，im5-)-3=2,8)=3,令Ax=x-2, x-2 ÷m3-a)包=m3-△包--2，解)=-2. △x -△x :f(x)在(3，f(3)处切线方程为y-3=-2(x-3),即2x+y-9=0,故选：B. 3.(多选)设f(x)在x处可导，下列式子中与∫'(x)相等的是() Am-f5-24 2△x B.m+A-f-A创 △x C.lim f(+2△x)-f(x+△x) D.lim(+Ax)-f(-2Ax) △x △x 【答案】AC 【解折】对于A,四)-f八。-2A=n伍-2A+2-f-2A=x,A满足： 2Ax 2△x 对于B,lim +Af玉-A=2m-Ax+2A-fK。-A=2fx,B不满足： △x 2Ax 对于C,m+2-f6+A=川，C满足： Ax-0 △r 对于D,1imfx+A)-fx-2Ad=3imfx-2Ar+3A-f-2A △x 3Ar40 3△x =3f'(xo), 第6页共10页 D不满足，故选：AC 4曲线y=f()=在点P处的切线与直线y=子x垂直，则点P的坐标为 【答案】 222 【解析】易知曲线在点P处的切线的斜率为-4，设P元 1 11 因为fx+△x-fxo=,+△x -△ △x △x △xx,+△x)xx,+△x) 当△x→0时， fx+A-f,-马 △x 1 所以- =-4→=±2 则点P的标为（习 故答案为： 2(刘 5.已知f(x)=√x+2,求f'(x),f'(2) 【答案】因为△y=√x+△x+2-√x+2,所以 △y=Vx+△x+2-Vx+2_(x+△x+2)-(x+2) 1 △x △x △x(Wx+△x+2+Vx+2)Vx+△x+2+√x+2 当△x一0时， 1，当x=2时， f'(2)= 11 f'(x)= 2Wx+2 2√2+24 05 课后巩因 1.已知函数y=f(x)的图象如图所示，f(x)是函数f(x)的导函数，则() y=f(x) 1 第7页共10页 A.f2<4,f②<f4 2 B.f"(4)<f2)<4)-f2) 2 C.f"2)<f4)<f4)-f2 D.4,f②<f4<f2 2 2 【答案】A 【解析】如图所示，根据导数的几何意义， y=f(x)h 可得f'(2)表示曲线在A点处的切线的斜率，即直线的斜率k,, ∫'(4)表示曲线在B点处的切线的斜率，即直线的斜率k, 又由平均变化率的定义，可得④)，②表示过4，B两点的制线的斜率k, 2 结合图象，可得长，<k<。,所以∫2<4)，f②<4.故选：A 2 2.已知函数f闭在x=x处的导数为2，则m+△)-f八x-（) A.-2 B.2 C.-1 D.1 【答案】B 【解析】：函数f(x)在x=x处的导数为2， .lim f(x+A)-fx】=2.故选：B A￥40 △x 3.如图所示，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程为y=-2x+5,则f(2)+f'(2)=· ↑y 2 y=-2c+5 【答案】-1 【解析】“函数y=(x)的图象在点2，f(2)处的切线方程是y=-2x+5,·∫'(2)=-2， f(2)=-4+5=1, f(2)+f'(2)=-2+1=-1,故答案为：-1. 第8页共10页 4对于函数)=)=，其导数值等于函数值的点是 【答案】 24 1 1 +0-画么+A三=专，由题意知，f)=x),即 2 【解析】f'(xo)=im △x △x 2 好96=-2→%=4 故答案为： 2,4 5曲线x)=-2在点M(1,-2)处的切线方程为 【答案】2x-y-4=0 【解析】因为fI+△-f但=1+△x 2+22，当△x→0时， f1+A-f0)2, △x △x 1+△x △x 所以f'（1)=2,即切线的斜率k=2,所以切线方程为y+2=2(x-1),即2x-y-4=0.故答案为： 2x-y-4=0 6.试求过点P(1,-3)且与曲线y=x2相切的直线的斜率. 【答案】-2或6 【解析】设切点坐标为，，则有，=.因为y=mAy=m《+△-式=2x,所以k=2x. Ar-→0△xAr→0△x 切线方程为y-y。=2x(x-x),将点(L,-3)代入，得-3-x=2x-2x,所以x-2x-3=0,得x=-1或 x。=3.当x。=-1时，k=-2；当x。=3时，k=6.所以所求直线的斜率为-2或6 1 7.已知函数x) >0 求(4)f'(-)的值. 1+x2,x≤0 【答案】 8 1,111V4+△x-2 【解折】当x=4时，△y=4+A+424+△ △x 2V4+△x 2V4+△x(V4+x+2) △x2V4+△x(V4+△x+2) 1 1 1 mXm24+A4+x+22x4xN4+2)16 .lim f'(4)=, 16 当r=-1f,Ay.f-I+A)-f-_1+-I+AP-1--Ax-2 △r △x △x 由导数的定义，得f'(-)=im(Ax-2)=-2, 4f06×(-2=日 8 第9页共10页 第10页共10页