第9讲 数列的前n项和sn 复习讲义-2025-2026学年高二寒假数学人教A版选择性必修第二册

第9讲数列的前n项和Sn(复习) 知识点1：公式法求和 知识点2：分组法求和 数列的前n项和公式 知识点3：错位相减法求和 知识点4：裂项相消法求和 01 思维号图 02 知识梳理 知识点1：公式法求和 1等差数列a的前n项和S=(a+a）=na,+ n-山d,推导方法：倒序相加法. na1,9=1 2.等比数列{a}的前n项和Sn= a,1-q") 推导方法：乘公比，错位相减法 1-q 9≠11 3.一些常见的数列的前n项和： ①∑k=1+2+3++n=n0n+1):∑2k=2+4+6+…+2n=nn+1） k=l L-1 ②(2k-1)=1+3+5+…+(2n-1)=n2; ③k2=12+2+32+…+m2=1m+12n+10; 第1页共14页 @④k=1P+2+3+…+n=+ 2 知识点2：分组法求和 1.适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注 意在含有字母的数列中对字母的讨论。 2.常见类型： ①若an=bn±cn,且{bm},{cn}为等差或等比数列； ②通项公式为an=bn,n为奇数，c,n为偶数)的数列，其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列 知识点3：错位相减法求和 1适用范围：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列 的前n项和即可用错位相减法来求 2基本步骤： g展开Sn-arbita2b2t+aa1bn1 +axbn① 乘公比qSn=a1b2+a2bgt…+an-bntan bn② 。错位相减 ①-②：得(1-q）Sn=a1bita2b2t…+aa-rbn-tamb, (arb2tazb++a =arb1+d(b2+b3t…+b.-aaba+1③ 求和 Sn= rbi+d(b2+b3+-+b)-ab 1-q 3.注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形， ②在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S一qS”的表达式. ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比9=1和q1两种情况求解。 4.等差乘等比数列求和，令cn=An+Bg”,可以用错位相减法 T =(A+B)g+(2A+B)g2+(3A+B)g3+...+(An +B)g"1 qTn=(A+B)q2+(2A+B)g3+(3A+B)g4+…+(An+B)g"+1② ①-②得：(1-q)T,=(A+B)q-(An+B)q”1+A(g2+q3+…+9). 9'91g-p-(84 整理得：，=（加+BA 9-1g-029. 知识点4：裂项相消法求和 第2页共14页 1适用范围：如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将 一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和. 2用裂项法求和的裂项原则及规律 (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止. (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相 消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项。 3裂项相消法中常见的裂项技巧： (1)1=11 (2)1=111 n(n+1)nn+l 咖+灯衣分n中 9》 1 11 1 (4) (5)1 1 1,11 n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+10(n+2) n(n2-1）n(n-10(n+1)2(n-1)nn(n+l) n21 1 1 (6) 1+ ==√n+1-Vn 4n2-14(2n+1)(2n-1) (7)a.=n+n+ 03 考点突破 考点一公式法求和 【例1】已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3a+1-3 (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{Sn}的前n项和. -1 【答案】(1)an 5 【分析】(1)利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；(2)利用分组求和法即可求S 【详解】(1)因为2Sn=3an+1-3,故2Sn1=3a,-3,所以2a.=3a+1-3a.(n≥2)即5a,=3a1故等比数列的 第3页共14页 公比为g=号放24=34，-3=3a×33=5a-3,故a=1,故a=(图) 1× (2)由等比数列求和公式得S,= 所以数列{S,的前n项和了，=S+S,+S,++S,= r++] 2 1- 2m=43 【变式1】已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an=Sn+2. (1)求{a}的通项公式： (2)若bn=log2a2m-1,求数列b,}的前n项和T, 【答案】(1)an=2”；(2)T,=n 【解析】(1)法一：由an1=Sn+2,得 a2=S1+2, a3=S2+2, (9-g-)2解得2成=之 4(9-1)=2, 设等比数列{a}的公比为9，所以 9=2或9=0（舍.所以a=2 法二：因为a+1=Sn+2,① 所以当n≥2时，an=Sn1+2,② ①-②得a1=2a,所以等比数列a,的公比9=8L=2.由①式得a,=4,+2,得4，=2，所以a,=2. (2)法-：b.=log2a1=log222-=2n-1,故6=1，b。-b1=2n-1-[2(n-1-1]=2(n≥2）， 所以b,}是首项为1，公差为2的等差数列，所以7=6+b-n1+2n-:m. 2 2 法二：Tn=b,+b2+…+bn=l0g2a1+l0g2a3+…+l0g2a2m-1=l0g2a,a3…a2m-l) =l0g22*3++2-l [+(2n-]n =l0g22 2 =1n。 考点二分组法求和 【例2】已知数列{an}中，a1=1,ant1=2an+n-1,bn=an+n. 第4页共14页 (1)求证：数列{bn}是等比数列： (2)求数列{an}的前n项和Sn· 【答案】(1)证明见解析(2)S,=21_n1+m-2 2 【解析】(1)证明：因为an+1=2an+n-1,bn=an+n 质以b=0+n+=2a,+n-1+n+=2(0,+川=2b,又因为么=4+1=2≠0，则6=2 所以数列{b}是首项为2，公比为2的等比数列. (2)由(1)知an+n=bn=2”,所以an=2”-n,所以S。=(2-1)+22-2）+23-3+…+2”-n =(2+22+23+…+2"）-(1+2+3+…+n 21-2）_n1+川-2_n1+m-2 1-2 2 2 【变式2】已知数列a的前n项和为s,且a2≥，S,-=,-川a,+ (1)求数列{an}的通项公式： (2)求数列{an+2}的前n项和为T 【答案】(1)an=2n+1(2)n2+2n+ 84”-1) 3 [S,n=1 【分析】(1)根据an= S。-S,n≥2’作差得到a,-2=a,从而得到a.-2=a1,再由等差数列的 定义及通项公式计算可得 (2)由(1)可得a,+2,=2n+1+2×4”,利用分组求和法计算可得. 【详解】1少因为S,-a=a-a,+, 第5页共14页 即4S。-4n=a-1, 当n=1时4S,-4=a2-1,解得a1=3或a1=1(舍去)， 当n≥2时4S-1-4n-1=a-1-1, 所以4S。-4n-4Sm-1+4n-1=a-1-a2+1, 即4an-4=a-a2-1, 即a-4a,+4=a2,即(an-2=a2 又an≥3，所以an-2=an-1,即an-an1=2, 所以{an}是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以an=2n+1 (2)由(1)可得an+2,=2n+1+22m=2n+1+2×4”, 所以Tn=3+2×4+5+2×42+…+2n+1+2×4" =(3+5+…+2n+1)+(2×4+2×42+…+2×4"） -5+2n+n,81-4-+2n+84- 一十 2 1-4 3 考点三错位相减法求和 【例3】已知数列o,满足4-号，且3，-2a,+2a=0,aeN (1)证明： 2 为等差数列，并求{an}的通项公式； a. 2” (2)令Cn= ,Sn=C+c2+…+cn,求Sn a. 第6页共14页 （1D证明：3041-2a,+201=0,2-2=3,neN, 2 等差数列，首项为二=5，公 an+an 差为32=5+30-》=3加+2，即a,=3n2neN 2 a (2)解：根据题意，得cn=(3n+2)2-,S,=5+8×2+11×22+…+(3n+2)2-1,① 2Sn=5×2+8×22+…+(3n-1)2-1+(3n+2)2",②，①-②得-Sn=5+3×2+3×22+…+3×2m-1-(3n+2)2" =5+3(2"-2)-(3n+2)2",故S,=(3n-1)2"+1. 【变式3-1】数列a,}满足：a+a+%++0,=(3-1 2 (1)求{an}的通项公式； (2)若数列bn}满足an=3,b，求{bn}的前n项和T. 【答案1a=；2元子204 【解析】(1)令S,aa3aan,n=1时，a=1,n22时，an S S.131，a=1 满足所以a,=3；2》由a,=3%，6。m写” Inbb…b 3 2 。2分…a2 3 身款。时 1( 工 【变式3-2】设数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2am-a1且a,a2+1,a成等差数列 (1)求数列{an}的通项公式： 第7页共14页 (2)设数列{nan}的前n项和为Tn,求Tn. 【答案】(1)a,=2”(2)T=n-1)2m1+2 【分析】(1)利用an,Sn的关系可知{an}是等比数列，再求出首项，可得通项公式： (2)利用错位相减法可求答案 【详解】(1)当n≥2时，Sn=2an-a1,Sm-1=2an-1-a1,两式相减可得an=2an-1, 因为a1,a+1,a3成等差数列，所以a1+a3=2a2+1,即a1+4a1=2(2a1+1, 解得a=2,所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列： 所以an=2×2-1=2” (2)nan=n…2",Tm=1×2+2×22+…+n…2", 2Tn=1×22+2×23+…+n…2", 两式相减可得-1，=2+22+23+…+2”-n·21_2-2”×2 -n.2 1-2 =(1-n21-2, 所以T.=(n-121+2 考点四裂项相消法求和 【例4】己知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn,若a2+ag=22,且a4,a1,a12成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式： ②》者=可十行+，证明：飞< 11 1 4 【答案】(1)a。=2n+1;(2)证明见解析. 第8页共14页 10 【解析】(1)：数列{a,}为等差数列，且4+4，=22,4=24，+a)=11. a4,a,a12成等比数列，.a72=a4a2,即11+2d)=11-d(11+7d), 又d≠0，.d=2,.a1=11-4×2=3,.an=3+2(n-1=2n+1n∈N*. @:山aa8-a+ag招 2 安gg…小 【变式4】在各项均不相等的等差数列(an}中，a=1,且a,a2,a等比数列，数列b}的前n项和Sn满足 S,=20+1-2. (1)求数列an}、{bn}的通项公式： ②求散列L}的前膜和工 anan 【答案】0a.=2-1,6=2②2 【分析】(1)设数列(an}的公差为d,由已知可得(a,+d)=a,(a+4d,解得d=0(舍去)或 d=2a1=2,可求数列{an}的通项公式，利用Sn与bn的关系可求得{b}的通项公式： (2)利用1=11 1 aa122n-12n+1 可求数列 的前n项和 ara 【详解】(1)设数列an}的公差为d,则a2=a1+d,a;=a,+4d, a1,a2,a成等比数列，.a=a,a5,即(a1+d)=a(a1+4d), 第9页共14页 整理得d2=2a,d,解得d=0(舍去)或d=2a1=2, .an=a1+n-1d=2n-1, 当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=2m1-2-2”-2=2+1-2”=2×2”-2”=2”, 当n=1时，b=2满足上式， 所以数列b,}的通项公式为b,=2” 1 (2) 11(1-1 a,a4(2n-1(2n+1)22n-12n+1 则数列 1 anan a-号号+点024小 04课后巩固 1、已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足2an=Sn+n-1. (1)求证：{an+1为等比数列 2” 2)设6a,+2a1+2' 数列{bn}的前n项和为Tn,求证：Tn<1 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】(1)利用an=Sn-Sn-1可得an=2an-1+l(n≥2)，再利用等比数列定义可得； (2)由裂项相消法求得工，即可证明. 【详解】(1)当n=1时，2a=a+1-1,.a1=0 当n22时，2an=Sn+n-1，∴.2an-1=Sn-1+(n-1)-1, 第10页共14页第9讲数列的前n项和Sn(复习) 知识点1：公式法求和 知识点2：分组法求和 数列的前n项和公式 知识点3：错位相减法求和 知识点4：裂项相消法求和 01 思维导图 02知识梳理 知识点1：公式法求和 1等差数列{a,的前n项和S,=na+a -=na1+ 2 +nn-山d,推导方法：倒序相加法. 2 na,q=1 2.等比数列{an}的前n项和Sn= 4(1-9") 推导方法：乘公比，错位相减法 1-9 9≠1 3.一些常见的数列的前n项和： ①k=1+2+3++n=}n0n+10:2k=2+4+6++2n=n+1)） 2 ②(（2k-1)=1+3+5+…+(2m-1）=m2: ③k2=P+22+32+…+m2='nm+1(2n+1: 6 @∑=P+2+3+…+m=a+ 2 知识点2：分组法求和 第1页共11页 1适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注 意在含有字母的数列中对字母的讨论。 2常见类型： ①若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列； ②通项公式为an=bn,n为奇数，cn,n为偶数)的数列，其中数列{bn},{cm}是等比数列或等差数列. 知识点3：错位相减法求和 1适用范围：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列 的前n项和即可用错位相减法来求 2基本步骤： &展开Sn=a1b1+a2b2t…+an-1bn1+anbn① 乘公比qSn-a1b2ta2bg+…+an-bntanb1② 。错位相减 ①-②：得(1-q）Sn=arbi+a2b2t+am-rbnm-tab, (arb2tazba++a =a1b1+db2+b3+…+bn)-amba+1③ 求和 Sn-arb,+d6,h,t…+b,ar6a 1-9 3.注意解题“3关键' ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形 ②在写出“Sm”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S,一qS”的表达式. ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比9=1和91两种情况求解。 4.等差乘等比数列求和，令c,=An+B)·g”，可以用错位相减法 T=(A+B)g+(2A+B)g2+(3A+B)g3+...+(An +B)q" gT =(A+B)g2+(2A+B)g3+(3A+B)q+...+(An +B)q"+ ①-②得：(1-q)T,=(A+B)g-(An+B)g"+1+A(g2+q3+.+q"). 9-1g-1gF为1-(8,4 整理得：=（加+BA 9-1gP9: 知识点4：裂项相消法求和 1适用范围：如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将 一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前项和. 2.用裂项法求和的裂项原则及规律 (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止. 第2页共11页 (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相 消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项。 3裂项相消法中常见的裂项技巧： (1) 111 (2) 3)1，=,1-,1) n(n+1)nn+1 4n2-122n-12n+1 1 1 (4) (5)、1 1111 n(n+1(n+2)2n(n+1) (n+10(n+2) n(n2-1)n(n-1)(n+1）2(n-1)nn(n+l) 6) n21 1 1+ =Vn+1-/n 4n2-14 (2n+1)(2n-1) (7)an= Vn+√n+1 03 考点突破 考点一公式法求和 【例1】已知等比数列{an}的前项和为Sn,且2S。=3an+1-3 (1)求{an}的通项公式； (2)求数列Sn}的前n项和 第3页共11页 【变式1】已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an=Sn+2. (1)求{an}的通项公式： (2)若b,=log2a2m-1,求数列b}的前n项和T,. 考点二分组法求和 【例2】己知数列{an}中，4=1，an+l=2an+n-1,bn=an+n. 第4页共11页 (1)求证：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn· 【变式2】已知数列a的前项和为S,且a2≥3,3。-n=a.-川a,+) (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an+2}的前n项和为Tn 第5页共11页 考点三错位相减法求和 【例3】已知数列{an}满足a,= 且3a,a1-2a,+2a1=0,neN 2 (1)证明： 2 为等差数列，并求{an}的通项公式； an (2)令Cn 2” ,Sn=C+c2+…+cn,求Sn an 【安式3】数列a,满远：4+4+a++a号3-刂 (1)求{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足a,=3b,求{bn}的前n项和Tn 第6页共11页 【变式3-2】设数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-a1且a,a2+l,a成等差数列 (1I)求数列{an}的通项公式： (2)设数列nan}的前n项和为T,求T, 第7页共11页 考点四裂项相消法求和 【例4】已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn,若a2+ag=22,且a4,a1,a2成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2)若工三5+S,5·证明：刀<3. 一十一十…+ 【变式4】在各项均不相等的等差数列{an}中，a,=1,且a,a2,a等比数列，数列{b,}的前n项和Sn满足 S,=21-2 (1)求数列an}、{b}的通项公式： (2)求数列 1 的前n项和Tn anan) 第8页共11页 04 课后巩固 1.已知数列{an}的前n项和为S,且满足2a,=Sn+n-1. (1)求证：{an+1为等比数列 2” 2②)设，a,+2a+2:数列b,}的前0项和为Z求证：7<1 2已数别a满是42，Q对。=4写产 第9页共11页 (1)求证：数列{bn}是等比数列； 2)设数列a,的前n项的和为S，求证：S,< 3.已知数列{an}前n项和是Sn,且an+S。=3n-1. (1)设bn=3-an,证明：数列{bn}是等比数列； (2)设cn=nbn,求数列{cn}的前n项和Tn. 第10页共11页