第8讲 数列的通项公式an 复习讲义-2026年高二寒假数学人教A版选择性必修第二册

第8讲 数列的通项公式a,(复习) 01 思维导图 知识点1：Sn与an求通项公式 知识点2：累加法求通项公式 数列的通项公式 知识点3：累乘法求通项公式 知识点4：构造法求通项公式 02 知识梳理 知识点1：Sn与a,求通项公式 S ,(n=1) 1.使用范围：若已知数列的前n项和Sn与a,的关系，求数列{an}的通项an可用公式an= Sn-Sn-,n≥2)' 构造两式作差求解. 2.要点：用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a,和 a,合为一个表达，（要先分n=1和n≥2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）. 知识点2：累加法求通项公式 1.使用范围：适用于a+1=an十n),可变形为a+1一an=(n) 2.要点：利用恒等式an=(an-an-)+(an-1-an-2)+…+(a2-a)+a1(22,n∈N)求解 知识点3：累乘法求通项公式 1.使用范围：适用于a+1=n)an,可变形为an+1an=n) 2要点：利用恒等式a,=.二…马a(a0,P2,mN求解 … 0n-10m-2a1 知识点4：构造法求通项公式（构造等差、等比数列） 1.对于不满足an+1=a,十n),a+1=n)an形式的递推关系，常采用构造法 第1页共7页 2要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解 形如an1=pan+q（其中P,9均为常数且p≠0)型的递推式： (1)若p=1时，数列{an}为等差数列： (2)若9=0时，数列{an}为等比数列； (3)若p≠1且9≠0时，数列{a,}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有 如下： 设a1+元=p(an+2),展开移项整理得a1=pa。+(p-1)2，与题设a1=pa,+9比较系数（待定系数法） 得A=品p0pa+号pa+ →a+9 p-11 pa+是，即+ -1 p-1 构成以 、a+。号为首项，以P为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出·。+9的 的通项整理可得 03 考点突破 考点一已知Sn求通项公式a, 【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn, +n=3a,+1,a=写则a。=（） .1 n A.20 B.19 C.18 D.17 【答案】B 【解析】因为3S+n=3a,+1,所以3S。+m2=3na,+n①， n 当n≥2时，3Sn1+(n-1)2=3n-1)an-1+(n-1②， ①-②得，3(Sn-Sn)+2n-1=3nan-3(n-l)an1+1, 所以3到n-la,-3(n-4=2n-1,又n≥2，得a,-a4= 3 所以a是等整数列，公差d子又4= 1 议a=2n-1,则a=3×30-1=19.故选： 【变式1-1】已知数列an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+3n+1,则数列{an}的通项公式为 第2页共7页 【答案】an=2n+2,n≥2；a1=5,n=1 【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式即得 【详解】数列{a,}中，S.=n+3n+1,4,=S,=5,当n22时， a,=Sn-Sn1=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2,显然a=5,不满足上式，数列{an}的通项公式为 an=2n+2.故答案为：an=2n+2,n22;a1=5,n-1 【变式1-2】已知各项均为正数的数列{an}的前项和为Sn,且a+2a,=4S。·求Sn; 【答案】(1)Sn=n2+n;【解析】(1)由题意得 a+2a.=4S。 a1+2a1=4Sn1 。，两式作差得 (a+1+an)(a+1-an-2)=0, 又数列{an}各项均为正数，.an1-an-2=0,即a+1-a,=2，当n=1时，有a+2a,=4S,=4a1,得 a(a-2=0,则a=2,故数列{a,为首项为2公差为2的等差数列，÷5，=na+mm-d=r+n. 2 考点二累加法求通项公式am 【例2】若数列an}满足：a=1,a+1=an+2”,则数列an}的通项公式为an= 【答案】2"-1 【解析】由a+1=an+2”,得an+1-an=2”,所以当n22时，an=(an-a)+(an-an-2)++(a2-a)+a1 =20-1+2-2+…+2+1= 11-21=2-1… 1-2 而a=1满足上式，所以a=2”-1.故答案为：an=2”-1 【变式2】已知数列{an}中，a=1,an+1=an+n,则数列{an}的通项公式为() A.a=tn 2 B.a=u-n 2 C.a,=n-n+2 D.a=n2-n+1 2 第3页共7页 【详解】因为a1=an+n,所以an=aa-1+n-1(n≥2) 又a=1,利用累加法，有 an=(an-a-i)+(am-1-an-2+…+(a2-a)+a =n-1+n-2)+…+1+1 (n-1+1)(a-1)+1 故选：C 2 n2-n+2 2 考点三累乘法求通项公式a, 【例3】在数列{an}中，已知a,=1,有na-1=(n+1an(n之2)，求数列an}的通项公式。 解析：a,=%2.22.44=””1-2321=2 an-1 an-2 an-3 a2 a n+1nn-143n+1 义4也满足上式：a,=2 (nEN) n+1 【变式3】在数列a,中，4=1,8=03≥2引，求数列a的通项公式。 am-12n+1 3 【答案】a.(2n+l(2n- 【解析】在数列a,中，a=1,2-2n-3 0,2n+in≥2)， 则当n≥2时，4，=424.g.8..-1× 1357v,.x2n-92n-72n-52n-3 a az a3 a an-an-3 an-2 an1 2n-52n-32n-12n+1 3 (2n+12n-1)' 而a=1满足上式，所以a,2m+1(2n-可 考点四构造法求通项公式a。 【例4】在数列{an}中，a=1,当n≥2时，有an=3an+2,求数列{an}的通项公式。 第4页共7页 解析：设an+t=3an1+t,则an=3an+2t ∴.t=1,于是an+1=3(an-1+1),.{an+1是以a,+1=2为首项，以3为公比的等比数列。 .an=2.3m-1-1 【变式4-1】已知数列{an}中，a,=1,且an=2am-1+3(n≥2，且n∈N),则数列{an}的通项公式 为 【答案】21-3 【解析】由a,=2a1+3,得a.+3=20+3),即8+3-2由所以4+3=1+3=4. 0m-1+3 于是数列{an+3是以首项为4，公比为2的等比数列，因此a,+3=4×2”-,即a,=21-3, 当n=1时，a,=21-3=1,此式满足a,所以数列{an}的通项公式为a。=2+1-3 故答案为：2+1-3 【变式42】各项均正的数列a,}满足4=4，a1=2a,+2,则4，等于 【答案】(n+1)2” 【解析】根据a=2a,+21可得0=+1，即可构造出等差数列 2+1 由等差数列的性质可求出 2 受=n+1,即可求得4， 【详解】将a=2a,+2两边同除以2，得==+1，则是首项为2.公差为1的等差数列， 2"+2 2 2”s2+n-1×1=n+l,则a。=(n+: 故答案为：(n+1)2”. 04 课后巩固 1.已知数列{an}满足条件12a1十122a2十123a3十..十12man=2n+5,则数列{an}的通项公式为(B) A.an =2n+1 B.an=14(n=1),2n+1(n22)) C.an=2n D.an=2n+2 第5页共7页 2.在数列{an}中，a1=1，an+1=an+lg(1+),则数列{an}通项公式an= 【答案】·an=1+lgn 3.在数列{a}中，已知an+2=3a1-2an,a1=1,42=3，则数列{a}的通项公式a, 【答案】2”-1【解析】解：将an+2=3a+1-2an两边同时减去an+1得， a2-01=2(a1-0,),a-a=2,82-81=2,即a1-4是等比数列，其首项为2，公比为2， an+i-an 所以a+1-an=(a2-a)2"-=2”，从而当m≥2时，an=(a。-an-)+(a-1-an-2+…+(a2-a)+a =2-1+2"-2+…+2+1= 11-21-2°-1 1-2 又a1=1=2-1,故an=2”-1故答案为：2”-1. 4.已知数列{an}中，若a1=1,a1=2”an,则an= 【答案】2 【解析】：a1=2”an, a1=2”, .0m1×am×0m-l×.a2=2".2-l.2m-2.…2, a an an-1 an-2 a 24,2散答案为： (n-1)n a 5.己知数列{an}中，a1=3,an1=3an+2×3+,neN`,求数列{an}的通项公式： 【答案】an=(2n-13”. 【分析】由已知可得数列 an 3 是首项为1，公差为2的等差数列，求其通项公式，可得数列{an}的通项公 式： 【解解，由a=3+2xm,得：学号+2，小号=号-2 第6页共7页 即数列3 是首项为1，公差为2的等差数列，：=2n-1,得a。=(2n-小3”. 3 6.已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=(n+1)a(n∈N*),且a,=2. (1)求数列{an}的通项公式： (2)设b,=(a,-1)2.求数列bn}的前n项和Tm. ·(1)a,=2m;(2)7=20+6n-5到401 9 9 【分析】(1)由数列的递推关系可得2a1=(n+2)an1-(n+1a。,整理可知 为常数列，进而可得 n an=2n.（2)由(1)可得b,=(2n-1)4”,求出T,、4Tn,运用错位相减法求和. 【详解】解：(1)因为2Sn=n+l)am,neN,所以2Sn1=(n+2)an+1,n∈N, 两式相减得2a1=(n+2)a1-(n+a,整理得na1=(n+a,即a=a,n∈N, n+l n 所以侣}为常数列，所以号=吕=2，所以a=2, n 1 (2)由(1)可得bn=(a,-12=2n-14",所以T,=1×4+3×42+5×43+.+2n-14", 4T,=1×42+3×43+…+2n-3)4”+(2n-1)4"1，两式相减得：-3T,=4+2×42+43+…+4”）-（2n-1)4m, 4+2子二2n-山4，化得7206M列4 9 9 第7页共7页第8讲 数列的通项公式a,(复习) 知识点1：Sn与an求通项公式 知识点2：累加法求通项公式 数列的通项公式 知识点3：累乘法求通项公式 知识点4：构造法求通项公式 01 思维号图 02 知识梳理 知识点1：Sn与a,求通项公式 1,使用范围：若已知数列的前n项和S,与a,的关系，求数列a,的道项a可用公式a,= 4,(n=1) Sn-Sn1,(n≥2)1 构造两式作差求解， 2.要点：用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即，和 a,合为一个表达，（要先分n=1和n≥2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）. 知识点2：累加法求通项公式 1.使用范围：适用于an+1=an十n),可变形为a+1一an=n) 2.要点：利用恒等式an=(a,-a-)+(a-1-an-2)+…+(a2-4)+a(m≥2，n∈N内求解 第1页共7页 知识点3：累乘法求通项公式 1.使用范围：适用于am+1=n)am,可变形为an+lan=fn) 2要点：利用恒等式a,=a.0L.2a(a0,22,neN求解 an-1 an-2 a 知识点4：构造法求通项公式（构造等差、等比数列) l.使用范围：对于不满足a+1=an十m),am+1=n)a,形式的递推关系，常采用构造法 2要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解 形如an1=pan+q(其中p,9均为常数且p≠0)型的递推式： (1)若p=1时，数列{an}为等差数列； (2)若q=0时，数列{a}为等比数列： (3)若p≠1且9≠0时，数列{a,}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如 下 设am1+入=p(an+),展开移项整理得an+1=pan+(p-I)2,与题设an1=pan+q比较系数（待定系数法） 构成以 p-1 4+。号为首项。以P为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出口，+ p-1 的通项整理可得 a 03 考点突破 考点一已知Sn求通项公式a, 【例1】已知数列a,的前n项和为S,+n=3a,+1,a=弓则a=《) n A.20 B.19 C.18 D.17 第2页共7页 【变式1-1】已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+3n+1,则数列{an}的通项公式为 【变式1-2】已知各项均为正数的数列{an}的前项和为Sn,且a+2a=4Sn·求Sn; 考点二累加法求通项公式a 【例2】若数列{an}满足：a4,=1,a1=an+2",则数列an}的通项公式为an=- 【变式2】己知数列an}中，a,=1,an+1=an+n,则数列{an}的通项公式为() A.a=tn 2 B.a=W-n 2 C.a,=n-n+2 D.a=n2-n+1 2 考点三累乘法求通项公式am 第3页共7页 【例3】在数列{an}中，己知a,=1,有na1=(n+1)an(n≥2)，求数列{an}的通项公式。 【变式3】在数列a,中，a=1,-”-3(n≥2，求数列{a的通项公式。 am-12n+1 考点四构造法求通项公式a 【例4】在数列{an}中，a=1,当n≥2时，有an=3an1+2,求数列{an}的通项公式。 第4页共7页 【变式4-1】己知数列{an}中，a,=1,且an=2an-1+3(n≥2，且n∈N),则数列{an}的通项公式 为 【变式4-2】各项均正的数列{an}满足a,=4,a1=2a,+2,则a,等于 04课后巩固 1.已知数列{an}满足条件12a1+122a十123a3十..十12man=2n+5,则数列{an}的通项公式为() A.an =2n+1 B.an=14(n=1),2m十1(n22)) C.an=2n D.an=2n+2 2.在数列{an}中，4=1，a1=a,+lg(1+),则数列{an}通项公式a.= 第5页共7页 3.在数列{a}中，已知an+2=3a+1-2a,4=1,a3=3,则数列{a}的通项公式a, 4.已知数列{an}中，若a1=1，a1=2"a。’则an= 5.己知数列{an}中，a,=3,a+1=3an+2×3,n∈N,求数列{an}的通项公式： 第6页共？页 6.已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=(n+1a(n∈N*),且a=2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设b。=(a,-1)2.求数列bn}的前n项和Tm. 第？页共？页