第7讲 等差数列与等比数列讲义-2026年高二寒假数学人教A版选择性必修第二册复习

第7讲等差数列与等比数列（复习） 知识点1：等差、等比数列的定义 知识点2：等差中项与等比中项 知识点3：等差、等比数列的通项公式 等差数列与等比数列 知识点4：等差、等比数列的前n项和公式 知识点5：等差、等比数列的判定方法 知识点6：等差、等比数列的性质 01 思维导图 02 知识梳理 等差数列与等比数列： 等差数列 等比数列 定义 an+-a,=d an1=q(q≠0) a 等差中项与 a,A,b成等差数列台A= a+b a,G,b成等比数列三G2=b 等比中项 通项公式 a,=a +(n-1)d an=a1·q"(a1·q≠0) 第1页共9页 前n项和 na,g=1 S.=m(a+a,)=na+ (n-Dd 公式 2 2 Sn= 41-9") 9≠1 1-q (1)定义法 (①)定义法： (2)中项公式法： (2)中项公式法：2a+1=am+am+2 anam2=an (n∈N*)(an≠0)台 n∈N*)台{an}为等差数列； 判定方法 {an}为等比数列 (3)通项公式法：an=pn+q(p,q为常 (3)通项公式法：a,=cg”(c,g均是不为0 数，n∈N*)台{an}为等差数列； 的常数，n∈N*)台{an}为等比数列 (1)若m,n,p,q∈N,且 (1)若m,n,p,9∈N,且 m+n=p+g,am +an =ap +ag m+n=p+q,则aman=apag 性质 (2)a,=an +(n-m)d (2)an=am9”-m (3)等差数列依次每n项和，即 (3)等比数列依次每n项和(Sn≠0)，即 S,S。-S,Sn-S2n’.仍成等差数列 Sn,S2n-Sn,Sn-S2n,.仍成等比数列 03 考点突破 考点一等差数列的综合问题 【例1-1】已知{an}为等差数列，Sn为其前项和，a2=-1,S,-S=8,则S,=() A.36 B.45 C.54 D.63 【变式1-1】《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气 晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、 处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的 第2页共9页 所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为() A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺 【例1-2】己知等差数列an}为递增数列，Sn为其前n项和，a+a,=34,a4a6=280,则S,=（) A.516 B.440 C.258 D.220 【变式2】等差数列QD的mU项和分别定S与，且立-M©N,则 【变式1-3】在等差数列an}中，已知S6=10,S2=30,则S1g=() A.90 B.40 C.50 D.60 【例1-3】在数列{an}中，an是1与anan1的等差中项，求证：数列 是等差数列. 【变式14】记S为数列a,的前项和，已知2+n=2a,+1.证明：a,是等差数列： n 第3页共9页 一==一。一。=一-=一一 考点二等比数列的综合问题 【例21】记S.为等比数列a,的前n项和.若as-0=12,6-a424,则9=（） a A.2-21- B.2n-1 C.2-2m-1 D.21-"-1 【变式2-1】Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4,S,S成等差数列，则{an}的公比q的值为() A.号 B.-2 C.1 D.-2或1 【例2-2】等比数列an}中，已知a1+a2+a3=6,a4+a;+a6=-3,则a7+ag+a,=() A.24 B c D.-27 8 【变式2-2】在正项等比数列{an}中，若a4a=2,则l0g2a2+2l0g2a6+l0g2a10= 【例2-3】数列an}的前n项和为Sn,a=1,Sn1=4an+2(neN). (1)设b,=a-2am,求证：{bn}是等比数列； 第4页共9页 （2》设6品号采证：化是等比数列 考点三等差、等比数列的综合问题 【例3】已知公比大于1的等比数列an}满足：a1+a4=18,a2a=32. (1)求{a,}的通项公式： (2)记数列b,}的前n项和为Sn,若Sn=2b,-a.,n∈N,证明： 是等差数列. 第5页共9页 【变式3】设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a=2,S=20. 第6页共9页 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若ap、30、S,成等差数列，a、18、S,成等比数列，求正整数卫、q的值； (3)是否存在k∈N,使得Va4+1+16为数列an}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不 存在，请说明理由 第7页共9页 04课后巩固 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,若am1+am+am-1=18,且Sm=28,则m的值为(） A.7 B.8 C.14 D.16 2.设公差不为0的等差数列(a,}的前项和为S,若S,=2S,则g=(） b. 1 11 D. 2 3.等比数列{an}中，每项均为正数，且asas=81,则log3a1十log3a2十…十log3a1o等于（) A.5 B.10 C.20 D.40 4已知各项均为正数的等比数列a}中，4=1，其前项和为S,若24a,a,成等差数列，则S,-S。= () 第8页共9页 A.128 B.64 C.32 D.1 5.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,下列说法正确的是() A.若Sn=(n+1),则{an}是等差数列 B.若Sn=2”-1,则{an}是等比数列 C.若(an}是等差数列，则S2m=(2n-1an D.若{an}是等比数列，则Sn,S2n-Sn,Sn-S2n成等比数列 S5= Q已知等差数列a,和D的前项和分别为S和T,若答·则疗 7.设{an}是等差数列，前项和为Sn;{bn}是各项均为正的等比数列，其前n项和为Tn,己知b=1, b2=b3-2,b4=a3+a5,b=a4+2a6. (1)求an和Tn; (2)若Sn+2T,=2an+4bn,求正整数的值. 第9页共9页第7讲 等差数列与等比数列（复习） 01 思维号图 知识点1：等差、等比数列的定义 知识点2：等差中项与等比中项 知识点3：等差、等比数列的通项公式 等差数列与等比数列 知识点4：等差、等比数列的前n项和公式 知识点5：等差、等比数列的判定方法 知识点6：等差、等比数列的性质 2 0 知识梳理 等差数列与等比数列： 等差数列 等比数列 定义 aml -an =d anu=q(q≠0) an 等差中项与 a,A,b成等差数列台A= a+b a,G,b成等比数列→G2=ab 等比中项 通项公式 a,=a,+(n-1)d an=a1·q"-(a1·9≠0) 前n项和 na,q=1 S.=a+a)=ma+ (n-Dd 公式 2 2 S= a,1-g") ,9≠1 1-q (1)定义法： (1)定义法 (2)中项公式法：2an+1=an+an+2 (②)中项公式法： 判定方法 (n∈N*)台{an}为等差数列； andm2 =and (n∈N*)(an≠0)台 (3)通项公式法：an=pn+q(p,9为常 {an}为等比数列 第1页共9页 数，n∈N*)台{an}为等差数列； (3)通项公式法：an=cq”(c,9均是不为0 的常数，n∈N*)台{an}为等比数列 (1)若m,n,p,q∈N.,且 (1)若m,n,p,q∈N,,且 m+n=p+g,am +an=ap+ag m+n=p+q,则aman=apag 性质 (2)a,am +(n-m)d (2)）an=am9"-m (3)等差数列依次每n项和，即 (3)等比数列依次每n项和(S,≠0)，即 Sn,S2n-Sn,Sm-S2n’.仍成等差数列 Sn,S2n-Sn,Sn-S2n,仍成等比数列 03 考点突破 考点一等差数列的综合问题 【例1-1】已知{an}为等差数列，Sn为其前项和，a2=-1,S,-S,=8,则S,=() A.36 B.45 C.54 D.63 【答案】B 【解折】设公差为d,由4=-1,5-S=8,待+d= a,+a=2a+7d=8'解得 4=-3 d=2, 所以a,=2n-5,所以S,=9a+a=94,=9×5=45故选：B 2 【变式1-1】《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气 晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、 处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的 所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为() A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺 【详解】：夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成 第2页共9页 「S,=49.5 .[9a,+36d=49.5「a,=1.5 等差数列an},设其首项为a,公差为d,根据题意 4+4+4,=10.53a+6d=105→d=1，立 秋的晷长为a4=1.5+3=4.5故选：D 【例1-2】已知等差数列a}为递增数列，Sn为其前n项和，4+a,=34,a4a6=280,则S,=() A.516 B.440 C.258 D.220 【答案】D 【解析】等差数列(an}为递增数列，则a,<a6,由a+a=34,得a4+a。=34,而a4a6=280,解得 a,=14,a=20,所以S,=1@+a=1a,=220故选：D 2 【变式12】等差数别o,D,的前项和分别是S与Z,且子-牛口N，则兰 b 【答*1名 【解析】由等差数列的前硕和公式，得S=ma十，工=m他+b）,又由等差数列的性质，得 2 2 a+an 11(a+a) a,=8+1,6-4+,而 a三ne,隋以86+60+)712% 2 2 -S1-3×11+1-34_17 2 2 T,n+1 2 2 故答案为： 6 【变式1-3】在等差数列{an}中，己知S6=10,S2=30,则S18=（) A.90 B.40 C.50 D.60 【答案】D 【解析】因为an}为等差数列，所以S6,S12-S6,S1g-S12成等差数列， S6=10,S2-S6=20,故S18-S2=2(S12-S6)-S6=30, ∴.S1g=30+30=60.故选：D 【例1-3】在数列an}中，an是1与a,a+1的等差中项，求证：数列 是等差数列. a-1 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为an是1与anan+的等差中项， 所以2an=1+ana1,即am+1= 2an-1 an 所以a1-1=20,-1-1=9-1, an 第3页共9页 所以1=4=-1+1=1+1 a41-1a。-1an-1 1 1 即 a+1-1an-1 =1,是常数， 1 故数列 是等差数列 a-1 【变式14】记3为数列a,的前项和.已知2+m=2a,+1.证明：a,是等差数列： 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为2S+n=2a,+1,即2S,.+m2=2n0,+nO, 当n≥2时，2Sn1+(n-1)2=2(n-1)am-1+(n-1)②， ①-②得，2Sn+n2-2Sn1-(n-1=2nan+n-2(n-1)an-1-(n-1, 即2an+2n-1=2nan-2(n-1)an-1+1, 即2n-1)an-2(n-1an-1=2(n-1, 所以an-am-1=1,n22且n∈N, 所以{an}是以1为公差的等差数列. 考点二等比数列的综合问题 【例2-1】记为等比数列{a,的前n项和.若as-4g=12,a6a424,则=《 a. A.2-21-n B.2-1 C.2-2n-1 D.21-"-1 a9-a,92=12q=2 【详解】设等比数列的公比为S,由a,-4=12,a。-44=24可得： a93-a,g3=24a=1' 所以a,=4g=2,3=0-g2-1-2=2”-1,因此=2二=2-2故选：A 1-91-2 4n2-1 【变式2-1】Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4,S,S成等差数列，则{an}的公比q的值为() A. B.-2 C.1 D.-2或1 【答案】B 【解析】因为S4,S3,S成等差数列，则2S,=S,+S4,则S;-S,+(S4-S;)=0,整理得a,+2a4=0, 第4页共9页 又因为{an}为等比数列，则a≠0,9≠0，且a,+2a4=a19+2ag3=a93(q+2)=0,解得q=-2故选：B. 【例2-2】等比数列an}中，已知a1+a2+a3=6,a4+a;+a6=-3,则a2+ag+a=() 3 A.24 c.2 D.-27 8 J设等比数列a的公比为S,则0：+4+a,=9a+“,+,即6g=-3,可得9 因此，a,+ag+a,=q3(a4+a5+a6) x-3-故选：C 【变式2-2】在正项等比数列{an}中，若a4ag=2,则log2a2+2log2a6+log2a1o=· 【答案】2 【解析】在正项等比数列{an}中，因为a,ag=2,可得a6=a2ao=a,ag=2,则 log2a2+2l0g2a6+log2a1o=l0g2a2a1o+l0g2a6=l0g22+l0g22=2.故答案为：2 【例2-3】数列an}的前n项和为Sn,a,=1,Sn1=4a,+2(neN). (1)设b。=a,-2a,,求证：{bn}是等比数列； (2）设6品，求证：c是等比数列 【答案】（1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】(1)证明：由Sn+1=4an+2(neN)可得n=1时，S2=a1+a2=4a+2,a=1,则a2=5;当n≥2 时，a1=S1-Sn=4a+2-4a-1-2),即an+1=4an-4an-1,故an41-2an=2(an-2an1),即bn=2bn-1, 由么=a,-23可知60故62，故0是等比数列 (回由)可得6=×，故-2a,=3×2”,所以尝号即 an 为等差数列，首项为； 公差力}，所以号-+2-川，即，3加-2，所以c品=2，则 2- 9222 故{cn}是等比数列 考点三等差、等比数列的综合问题 【例3】已知公比大于1的等比数列{an}满足：a,+a4=18,a2a=32. (1)求{an}的通项公式： (2)记数列{bn}的前n项和为Sn,若Sn=2bn-a,n∈N,证明： b 是等差数列. a. 【答案】(1)a,=2”；(2)证明见解析 【解析】(1)方法1：设公比为G, 第5页共9页 因为an}是等比数列，所以a,a=a,a4=32, 4=2.4=16 又a1+a4=18,解得 或{ a4=16a4=2 41=2 又9>1，所以 ,=16'所以g=8,9=2. 因此an=a,g"1=2”"; 方法2：设公比为S, 由等比数列性质得出4+4g=18 (9492=32’解得 %-2.4=16 或{1， q=29=2 又9>1，所以 4=2 9=2, 因此an=a,g"=2”. (2)由(1)得S。=2b-2”，所以S1=2b1-21, 两式作差可得Sn41-Sn=2b1-2”1-(2bn-2"）, 即b1=2bn+1-2”-2b.,整理得bn1-2bn=2”，n∈N. 方程同除以2得， ant an 2 (nEN'). 所以数列 是公差为5的等差数列， a 【变式3】设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,S,=20. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若ap、30、S,成等差数列，ap、18、S,成等比数列，求正整数p、q的值； (3)是否存在k∈N,使得Vaak+1+16为数列{a}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不 存在，请说明理由。 【详解】(1)a=2,S,=20=5×2+5×4× ×d,所以d=1, 2 .an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1. 第6页共9页 (2)由(1)可得5.=+3n.因为，30,5，成等差数列，0,18S,成等比数列，故 a,+S,=60 2 a,×Sn=182=324' ap=6ap=54 ,=6所以 p+1=6 p+1=54 5,=54或 g+39=10s或{g+3g=6 (因S不是正整数，舍，故P5 9=9 (3)假设存在k∈N使得√aak1+16为数列an}中的项，故√aak1+16=n+1,其中n∈N, V(k+2)(k+1)+16=n+1,.(2n+2)2-(2k+3)2=63,故(2n+2k+5)2n-2k-1)=63,而 2n+2k+5=9 2n+2k+5>2n-2k-1,所以 2n-2k-1=7 (无正整数解，舍)或 2n+2k+5=21「2n+2k+5=63 2m-2k-1=3或{2m-2k-1=1 n=5n=15 故 k=3k=14' 、或 所以k=3或k=14, 04 课后巩固 1.己知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,，若am+1+am+am-1=18,且Sm=28,则m的值为（) A.7 B.8 C.14 D.16 【详解】因为{an}是等差数列，所以am-1+am+am1=3am=18,解得：am=6, 所以S-ma+a_m1+6=28,解得：m=8.故选：B. 2 2 2.设公差不为0的等差数列a,}的前项和为S,若S,=2S,则%=() a 9 A.11 B. 11 9 C. 2 11 11 D. 2 【详解1设a的公鉴为d0,因为5=2双，所以1a+山01-=2个3如+5兰 2 整理可得：4=-35d,所以a,=a+2d=-3d,a,=4+8d=-27d所以=-27-9 a-33d11 第7页共9页 故选：A 3.等比数列{a,}中，每项均为正数，且a3as=81,则1og3a41十log3a2十…十1og3a1o等于（) A.5 B.10 C.20 D.40 {an}是等比数列，则a,a1o=a2a,=a;ag=a,a,=a5a6,所以log341十log3a2十…十log3410 =log(a,a2…a1o）=l0g,(aag)3=5log,81=20.故选：C. 4.已知各项均为正数的等比数列{a}中，4=l1,其前项和为S,若2a0,a,成等差数列，则S,-S, () A.128 B.64 C.32 D.1 【详解】解：设{a,}的公比为G.2a24,a,成等差数列，a,=2a,+a,即a,g=2a,g+aq， 化简得g2-q-2=0,解得q=2或9=-1.由己知，9=2，.S,-S6=a,=a9=26=64.故选：B. 5.（多选题)已知数列an}的前n项和为Sn,下列说法正确的是() A.若Sn=(n+1),则{an}是等差数列 B.若Sn=2”-1,则{an}是等比数列 C.若{an}是等差数列，则S2m-1=(2n-l)an D.若{an}是等比数列，则Sn,S2n-Sn,Sm-S2n成等比数列 【详解】当Sn=(n+1)时，a=S,=4;an=S。-Sn-1=(n+1)2-n2=2n+1(n≥2)，a=4不满足上式， 所以数列{an}不是等差数列，选项A错误；当Sn=2”-1时，4，=S,=1,an=Sn-Sn-1=2”-1-（2--1=2-1 ,且4=1满足上式，所以此时数列an}是等比数列，选项B正确；根据等差数列的性质可知： $-2a+a小-2(2a)-2-a:成选顶C正确：当a,=-时，a是等比数列、面 S2=-1+1=0,S4-S2=0,S6-S4=0,不能构成等比数列，选项D错误.故选：BC. 第8页共9页 知等差数列Q和D的前原和分别为S和，若套测会 15(a1+a15 S5= 2 24-“=4故答案为： 4 7156+266=3 7.设{an}是等差数列，前项和为S,;{b,}是各项均为正的等比数列，其前n项和为T,已知b=1, b2=b-2,b4=a3+a5,b=a4+2a6 (1)求an和Tn; (2)若Sn+2Tn=2an+4bn,求正整数的值. 【答案】(1)an=n,T,=2"-1;(2)4 【解析】(1)设等比数列bn}的公比为qq>0), 由b=1,b2=b-2,可得q2-q-2=0, .9=2,.b=2- 7=1-2=2-1 1-2 又设等差数列an}的公差为d, 由b,=a3+a5,可得4+3d=4; 由b=a4+2a6,可得3a1+13d=16, .4=d=1,.an=n. (2)S.=nn+ 2 由S.+27,=2a,+4h.有0++2(2-l)=2n+2, 2 ∴.n2-3n-4=0,解得n=4或n=-1(舍)， 故的值为4. 第9页共9页