精品解析：吉林省普通高中友好学校联合体2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的一个零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为偶函数，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 若最小正周期为，则 C. 若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为 D. 若，则的最小值为2 8. 已知，均为正实数，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列四个命题中，正确是（ ） A. 不等式解集是 B. 当时，最小值是5 C. 若不等式的解集为，则实数的取值范围为 D. 已知，且，则的最小值为 10. 下列结论中正确的有（ ） A. 函数单调递增区间为 B. 已知函数，若，则 C. 已知函数定义域是，则的定义域是． D. 已知在上是增函数，则的取值范围是 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上有最小值 D. 直线是函数的一条对称轴 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的解析式为______. 13. 已知，则__________. 14. 已知函数，，则函数的值域为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤： 15. 设，且. （1）求的值及的定义域； （2）求在区间上的最小值. 16. 已知幂函数的图象关于轴对称. （1）求的解析式； （2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围. 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间； （3）求在区间上的最值． 18. 已知函数是定义域在上的奇函数，且. （1）求a，b的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式 19. 《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展．为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路．某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：其它总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每千克5元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出两个集合，再根据交集含义即可得到答案. 【详解】，，则. 故选：B. 2. 函数的一个零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断在上的单调性，再由零点存在性定理判断即可. 【详解】因为与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，，，所以，所以在上存在一个零点. 故选：B 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简，通过讨论函数和的单调性和取值范围即可得出的大小关系. 详解】解：由题意， ， 在中，函数单调递增，且， ∴， 在中，函数单调递增，且当时，， ∴， ∴， 故选：A. 4. 下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对A，根据反比例函数性质即可判断；对B，利用一次函数单调性即可判断其在上的单调性；对C，利用偶函数的判断方法和对数函数单调性即可判断；对D，根据二次函数性质即可判断. 【详解】对于A：的定义域为，为奇函数，故A错误； 对于B：定义域为，且， 所以为偶函数，当时， 所以函数在上单调递减，故B错误； 对于C：的定义域为， ，故其为偶函数，当时，， 所以函数在上单调递增，故C正确； 对于D：，根据二次函数性质知其对称轴为， 显然不是偶函数，故D错误. 故选：C 5. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和讨论，当时，利用二次函数单调性即可得到不等式组，解出即可. 【详解】当时，，符合题意； 当时，因为其在上单调递增，则二次函数的开口只能向下， 根据二次函数单调性知，解得， 综上所述实数的取值范围是. 故选：C. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 7. 已知为偶函数，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 若的最小正周期为，则 C. 若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为 D. 若，则的最小值为2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据是偶函数求判断A选项；根据最小正周期公式计算可以判断B选项；据有且仅有3个最值点求范围判断C选项；据函数值求参数范围结合给定范围求最值可以判断D选项. 【详解】为偶函数， 则A选项正确； 若最小正周期为，由则，B选项正确； 若在区间上有且仅有3个最值点， 则,C选项正确； 若 ， 则或，， 则 或， 又因为，则的最小值为，D选项错误. 故选:D. 8. 已知，均为正实数，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用基本不等式“1”的代换求题设不等式左式的最小值，根据恒成立有，即可求的取值范围. 【详解】由题设，，当且仅当时等号成立， 要使恒成立，则，可得. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 当时，的最小值是5 C. 若不等式的解集为，则实数的取值范围为 D. 已知，且，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，化为一元二次不等式即可求解；对于B，结合基本不等式即可求解；对于C，对不等式的二次项系数分类讨论求解即可；对于D，求出，代入后结合基本不等式即可求解． 【详解】对于A，因为，所以，等价于， 解得，所以不等式的解集是，故A正确； 对于B，当时，， 则， 当且仅当，即时取到等号，故B正确； 对于C，若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以，解得， 综上．故C错误； 对于D，因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，也即时取等号，故D正确． 故选：ABD． 10. 下列结论中正确的有（ ） A. 函数单调递增区间为 B. 已知函数，若，则 C. 已知函数的定义域是，则的定义域是． D. 已知在上是增函数，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二次函数和指数函数单调性和复合函数“同增异减”原则即可得解判断A；直接代入计算即可求解判断B；由对函数中得到函数中的即可求解判断C；由增函数定义结合二次函数和反比例函数性质列关于a的不等式组即可求解判断D. 【详解】对于A选项：函数的减区间为，函数为减函数， 函数单调递增区间为，A正确； 对于B选项：函数，若，则， 可得，故B错误； 对于C选项：对函数有，则， 所以对于函数有，解得， 所以函数定义域为，故C正确； 对于D选项：因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以若函数在上是增函数， 则，解得，即的取值范围是，所以D正确． 故选：ACD. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上有最小值 D. 直线是函数的一条对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象得到解析式，利用余弦函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图可知，，函数的最小正周期， ∴，∴． 将点代入解析式中可得， ∴，解得， ∵，∴，∴，故A错误. ∵， ∴函数的图象关于点对称，故B正确. 当时，，∴，即最小值为，故C正确． ∵， ∴直线不是函数图象的一条对称轴，故D错误. 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的解析式为______. 【答案】 【解析】 【分析】依题换元，求出新元的范围和函数关于新元的表达式，再将新元改成即得. 【详解】令,因，故，且可得 故 所以. 故答案为：. 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用弦化切可求三角函数式的值. 【详解】, 故答案为： 14. 已知函数，，则函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，由对数函数和二次函数的性质即可求解． 【详解】，， 的定义域为，解得， 所以函数的定义域为， ， 又 ，又， ，即函数的值域为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤： 15. 设，且. （1）求的值及的定义域； （2）求在区间上的最小值. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）由函数值可求得参数值，由真数大于0可得定义域； （2）把函数式变形为，然后确定函数的单调性，从而得最小值． 【详解】（1）由得，解得， 由得，因此，函数的定义域为； （2）由（1）得， 令，由得， 则原函数为，，由于该函数在上单调递减， 所以，因此，函数在区间上的最小值是. 【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内） 增 增 增 减 增 减 减 增 减 减 减 增 16. 已知幂函数的图象关于轴对称. （1）求的解析式； （2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义及奇偶性即可求解； （2）由（1）得，结合二次函数在区间上的单调性即可求解. 【小问1详解】 为幂函数， 所以，所以， 即，解得或2， 当时，为偶函数，图象关于轴对称， 当时，为奇函数，图象关于原点对称，故， . 【小问2详解】 由（1）得，其对称轴为， 当或时满足题意， 或. 所以实数的取值范围为. 17 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间； （3）求在区间上的最值． 【答案】（1）； （2）单调增区间为：，； （3）最小值为0，最大值为2. 【解析】 【分析】（1）先利用三角变换公式把化成的形式，利用求函数周期. （2）整体换元法求函数的单调增区间. （3）整体换元法求函数的值域. 【小问1详解】 因为， 由，所以函数的最小正周期为：. 【小问2详解】 由，得：，， 所以函数的单调增区间为，； 【小问3详解】 因为，所以 所以， 所以函数在上的最小值为0，最大值为2. 18. 已知函数是定义域在上的奇函数，且. （1）求a，b的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合和，列出方程，即可求得的值； （2）由（1）得，根据函数单调性的概念与判定方法，即可证得是上的单调递增； （3）根据题意，把不等式转化为，结合函数的定义域和单调性，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 由函数是定义域在上的奇函数，可得， 又由，可得，解得. 则，其定义域为，关于原点对称， 且，满足函数为奇函数. 【小问2详解】 ，其中， 任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数是上的单调递增函数. 【小问3详解】 因为函数是定义域在上的奇函数，且在上的单调递增函数， 则不等式，即为， 则满足，解得，所以不等式的解集为. 19. 《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展．为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路．某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：其它总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每千克5元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当投入的肥料费用为6元时，该单株农作物获得的利润最大，最大利润为52元 【解析】 【分析】（1）根据利润毛收入成本可得结果； （2）分段求出最大值，再两者中的更大的为最大值. 【小问1详解】 由题意可得， 所以函数函数关系式为 【小问2详解】 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，此时 综上：当投入的肥料费用为6元时，单株农作物获得的利润最大为52元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $