重庆市巴蜀中学校2025-2026学年高三上学期数学周练15试题

周练15参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A D AB BD 题号 11 答案 ACD 1,B【详解】由题意可得： 11 之D【详解制图为Mc,所以信26→05m54 3.B【详解】从4,5,6,7,8这五个数中任取两个数，包含的基本事件有：(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(5,6)， (5,7),(5,8),(6,7),(6,8),(亿，8)共10个；则这两个数都是奇数包含的基本事件有：(5,7)，共1个： 所以这两个数都是奇数的概率是P=。故选：B 4.A【详解】因为D为边4C的中点，所以D=+C)+6),又因为E为BD的中点， 所似丽=2D呢=-2D=-20+-5故选：A 5.A【详解】由题意，抛物线C:y2=12x的焦点F(3,0),准线方程为x=-3,因为点P在抛物线C:y2=12x上， 所赵4=PF,所以4+P四+d联立方程组，得：￥-红+16=0，则A=-4x16=-48<0 所以直线x-y+4=0与抛物线C:y2=12x无公共点，如图所示，P可+d2的最小值即为点F(3,0)到直线x-y+4=0 的距离，所以最小值为P+≥B-0+4_75,即4+4的最小值为 2 2 D 6.C【详解】如图，作出符合题意的图形，因为E,F分别是AD,CD的中点， 所以花=D,D示-丽，则际=-花=D+D丽-花=D+西， 因为点G在线段EF上，设EG=1EF,1∈[0，]，则 衣-正+c-花+面而+而+到号+什到而 若G=丽+而，则子，号，所以A+以=+片当=1时，A+有最大值为 7.C【详解】设y=e的切点为(：，e-),y=x2的切点为(，)，y=(e)=c，y=(x2)=2x, 所以y=e在(：，e)处的切线方程为y=e(x-x)+e-,即y=e-x+(1-x)e-1, y=x2在(x2,x)处的切线方程为y=2x,(x-x)+x号，即y=2xx-x故e=2x且(1-x)e1=-x好， 答案第1页，共7页 数-=号-（侣，即46--c,令5-1，的镜/0-和-. 则f()=4-e',当rn4,f"()》0,f)在区间(-∞，ln4)单调递增，1>ln4,)<0,f)在区间(n4,+o)单调递减， 故f)m=f(h4)=4(n4-1)>0,且当1→-∞，f→-o,1→+o,f0-→-o,故f0=41-c=0有两个不相 等的实数根，故公切线的条数为2， 8.D【详解】由题意可得4E=4F=4G=8×三=6，所以△EFG为等边三角形，设AEFG的中心为T, 则ET⊥GF,因为EA⊥平面AGF,GFc平面AGF,所以EA⊥GF,又ET∩EA=E,ET,EAc平面AET, 所以GF⊥平面AET,ATc平面AET,所以GF⊥AT,同理可证GE⊥AT, 而GF,GEc平面EFG,GFnGE=G,所以AT⊥平面EFG, D=5,所以FG0BD,又4C⊥BD,所以FGL4G,又CC⊥FG,CCA4G=C,C 面ACC,所以FG⊥平面ACC,ACc平面ACC,所以FG⊥AC,同理证明EG⊥AC, 又GF,GEc平面EFG,GFnGE=G,所以AC⊥平面EFG,所以A,T,C三点共线，设点A到平面EFG的距离 为d=4T,而EF=BG=FG=6+6=6反，8.em=x65x62xsin60°=185 由24e=em,得号×6x6x6=×135d,解得d=25,即4=25，又4C=85,所以7C=65, 因为45-2V5=25<4,所以该球不是正方体的内切球，连接AC,交FG于点M,连接EM,AC,AC, 由对称性可得球的球心位于线段TC上，且该球与平面EFG相切，与平面ABCD相切， 设球心为0，球的半径为，则07-R,受-号-5，故0C=R】 所以65=R+√5R,所以R=9-3√5，所以所求球形饰品的半径的最大值为9-3√5， 9.AB 【详解】对于A选项，函数了)的最小正周期为T=受=，A对：对于B选项，因为 /(食5sm2x骨-引5sn0=0,所以函数y的图象关于点管0对称，B对： 对于C选项得月5m2受到引5如子点：5，所以直线号不是例图象的一条对将箱.C特 2 对于D选项，当0<x时，<2x-吾<妥，故函数/()在0引上不单调，D错故选：ΛB 10BD【译解1人由愿意可知QP2为将边三角形，如图，0吧，=4：则怎受 答案第2页，共7页 因为点R在确线y店上，可角5-吾，解得么-号我40（合，又暖整可知△Q0为边长为包的等边 三角影，则Q=,则4+号9小可得子，解得孩4号会故人错头 4 B由QQ为边长为a,的等边三角形，可得上(+学，9 2,之a故B正确：C由点，在曲线y=反上，则 9收+受，整理得80…由1>0，可如8-，-衣放C错碳： D当≥2时，可用8-，所以a=8---(得-） 2 可化为(a4+a,(a-a,）=a+a,因为a,>0,则a+a,>0,所以a1-4,=号，n22, 又因为4-4号号手符合上式。故a1-品，-子neN,则数列a,}是以号为首项，号为公笼的等笼数列。 所型到发要会大为号-小好-兰所。昼到.广，故D正确即 2 3 1l.ACD【详解】A选项，f(x)=-x2+2+x=x,即x2(x-a)=0,得x=0或a, 故a是f(x)的不动点，A正确：B选项，f(x)=-x+x2+x+c,则f(2)=c-2,f()=c+1,则f(2)<f), 故当x2=1时，f(x)<f(x2+)不成立，故B错误：C选项，因为x,x,为是f()的三个零点， 则f()=-(x-x)x-x)(x-x)=-x3+(+x2+x)x2-(x2+x+x2)x+xx=-x2+2+bx+c, 散55=05%+b55=0,又5+5=3%：得气-号，5-告-6裙即4e=加君 16 故3d+64c 3a+16-ba-3c 16 -16ab-16'故C正确：D选项，因为f()=-(x-)(x-名c-5), ab ab ab 所以f(x)=-[(x-x)(x-x)+(x-x)x-x)+(x-x)x-x门，则f()=-(:-x)3-x), f()=-(3-x)x2-x),f(3)=-(3-x)s-x),故 f6)飞)_飞-xx-+s-)s-)-名+-=-1，故D正确 f'(x)(x2)(名-x)(x-)(x2-x)(名-为)-x22-为 12.-1【详解】已s知n(a-)=-},则s血nacosD--o9=号因为ma=2an0,则 me=2img→sincos=2 co,代入上式可得2 cossi--cosasin=-了解得 1 cosa cosB cws0=-方now0-子则ne+=aacs0+0=-号-l, 13.328【详解】末位是0时：末位有1种选法，十位有9种选法，百位有8种选法，故末位是0的三位偶数有1×9×8=72： 末位不是0时：个位有4种选法，百位有有8种选法，十位有8种选法，故末位不是0的三位偶数有4×8×8=256： 答案第3页，共7页 所以共有72+256=328个.故答案为：328 P(MN) 14.②3@【详解】对于①，P(N1M)=PM 2 -石：①错误：对于@.P(W=P(个-(M网号号号， 又P(w)P0W)-号×名-号故PN)=Pw)PM),事件M.V相互立，@正 2.5517 对于③，P(MUN)=PM)+PW)-POION上号。)18，@正确：对于④，N∈(MUN),故Nn(MUN=N, P(N) 15 故P(N IMUN)=PMUN立 17,④正确，故答案为：②③@ 18 15.04=5②7 【详解】(1)因为在VABC中，csinA+5 acosC=v56,故sinCsinA+√3 sinAcosC=√3sinB,而 sinB=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC,sinCsind+3sinAcosC=(sinAcosC+cosAsinC ) 即snCi4=5eo心k如C,又Ce0,,snC>0,可得sm4=5co84,ta4=5,又4e0,列.A-背： 2由于4cn-餐AC=5,c0=l,故 AD2=AC2+CD2-2:AC-CD60s∠4CD=(5+P-2x5x1xcos5孤=7， 6 5π n∠4CD"sim∠CAD'故sinC4D=CD-sin∠4CD_1xs AD CD 则AD=√7；义 n6.1后 AD =72W714 又∠CAD为锐角，cos∠C4D=-m'ZC4D=32所以 14 s血LBD=加G∠CADs血as∠CMD-cosn∠C4D-5x3号x5-27, 214214 7 4Dsm0-x万x29-i: 7 16)证明见解折：2)号万， 【详解】(I)取CD的中点G,连接FG,EG,因为E为PD中点，所以GE为△CPD的中位线， 所以GEIIPC,因为GE￠平面PBC,PCc平面PBC,所以GEi平面PBC, 因为FGIIBC,FGt平面PBC,BCc平面PBC,所以FGI/平面PBC,又GE∩GF=G,GE1平面EFG,FGc 平面EFG,所以平面EFGII平面PBC,因为EFc平面EFG,所以EFII平面PBC (2)由题意知△PAD为等腰直角三角形，ABCD为直角梯形，取AD中点O,连接BO,PO, 因为AD⊥PO,AD⊥OB,所以∠POB为二面角P-AD-C的平面角，所以∠POB=60°， 因为PO=OB=2,所以aPBO为等边三角形，取BO的中点H,则PH⊥BO,因为AD⊥PO,AD⊥OB, 答案第4页，共7页 所以AD⊥平面POB,所以PH⊥AD.又AD∩BH=O,所以PH⊥平面ABCD, 以O为原点，分别以OB,OD为x轴，y轴，过点O平行于HP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P1,0,5),4(0,-2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),所以PA=(-1,-2,-√5)，PB=L,0,-√3)，BC=(0,2,0), 设n=(x,,)为平面PAB的一个法向量，由 你阳0海+2+=0 iPA=0 32=0 令2=V5,得n=(3,-3,√5)，设m=(x2,2,2)为平面PBC的一个法向量， 由mP吸-0 油停C海经8=0，◆：=5，得元0 2y2=0 12 设平面PAB与平面PBC所成的锐二面角为0，则cos9= 1.0证期见架折，a=←rg6①又=上e3:国)名 16 【详解11)由题意知合分+》=2，令d“得，则d+d-2, 由1，可得d=d=d,=4=山，所以对任意meN,d=山，即=1， 所以数列 是常数列，所以a。=(-3) (2)(i)bn=n×(-3)-,则Sn=1×(-3)°+2×(-3)+…+n×(-3), -3Sn=1×(-3)'+2×(-3)2+…+n×(-3y,所以 我=生+士-nx3仁x(Tn+x 所以3=1(4+x-3) 16 （由题意知-（和+x(-3之mx-3驴+，即+之m. 16 1616×(-3)” 令Cn= 要高4 当n为奇数时，cn>0,所以c+2<c,{c}单调递减，当n为偶数时，C,<0,所以c2>c,{c}单调递增. 1 所以当”=2时，c,有最小值，且9=16，所以m的最大值为-6 180片号-1回①E明过程见解折，心3) 3 【详解】1)由椭圆定义得2a=4,解得a=2,又因为离心率e=。2 .cI 答案第5页，共7页 所以c=1,则=02-c2=4-1=3,因此椭圆标准方程为父+上-1。 43 (2)(i)证明：设过点NL,0)的直线P的方程为x=my+1(m≠0)且斜率不为0，设P(:,),(:,y), x=my+I 由椭圆方程可知A(-2,0),B(2,0),联立 任+上-整理得(Br+4r+6m-90, 43 由根与系数的关系得%+⅓=34=3m设直线4的方程为y十2+2)，直线2的方程为 6m 9 y产2-2，设M(小则产26+2小产-2).将=m+=%g+1入得 产6+2小产-2)，同时将根与系数关系式代入上式，化简整理得4-x0+3列）-0， 因为直线P2的斜率不为0，片，2不能同时为0，且若假设y+32=0,%=-3y2, 6m 代入到%+%3+4得为3+4：代入到=3m+4得=3m+4 3m 9 3 指%”34代入到公中，整理得99m+2,即0=12牙眉，故假设不成立。 即片+3y2≠0，故只能4-x=0,即。=4，因此点M在定直线x=4上 (i)由题可知S=4B×=2×4×=2l,且到BM=l,&,=Bw×y-y=y-, 所以这-为-为由D可知%+%43’4且30+)2 6m 设一学<0，则名=外，令石物音代入到限与系数关系中即 4y 为+）=3n,403m+4将上式化简整理得+少.一r 6m 9 3m㎡2+4'再结合 9 30+)=2m04,=6m产+可消去为后得m2(6x+10+列4+八，又因为m>01<0,1-l 感税质可得+0，解降个3写》汉眉为受-石尚放产尚经的道指图为， 19.)在(0，e)单调递增，在(e,+o)单调递减，最大值为。（2)[2，+o)3)i证明见解析 【详解】（)g)-严，令g(倒=0，解得x=e,所以当xeQ9时，g(句>0g单润递增。 当x∈(e,+o)时，8冈<08()单调递减，所以当x=e时，g()取得最大值启 所以)在(Qe)单调遥增，在（仁+网）单调递减，g国的最大值为} 答案第6页，共7页 (2)依题意， 他受，两式相除可得能-务不物设子=0：小.所似，所以属岩 Inx,=ax, 所限x2g加兴如票，使心：：小则) 1 -2lnx 1-1 设m)-士22≥小则m=1+宁子少，0，所以（句单调造瑞，所以 m(m包)--2加2=B-4h2到小>0，所以H(y>0,A倒单调道增，所以A≥A2)=3咖2. 所以x+nx,的取值范围为[3ln2,+o). （3)设p(=f+2-f,p)=r6x+2-)=n(+2_r-血+2-+2mr x+2 x (x+2)x 设F=(+2小-e+习m,则F倒-22华2 ®66-子小则6间-1仁o x2 所以G(句单调递减，G<G0=0,所以F)=G(生0F)单调递减，因为F包)=2h4-42=0, 所以(x)在(0,2）)单调递增，在（亿，+o)单调递减，所以(x)s(2)=f(4)-f(2), 由1)知，8间日，所以函数(=f)-。单调递减，所以f)-子f)兰，即了4)-/包)子 所以fe+2f是 答案第7页，共7页周练15 一、单选题 1.已知i为虚数单位，则=() A.i B.-i C.1 D.-1 2.已知集合M={xm<x<m+2),N={x0<x<6),若McN,则实数m的取值范围为(） A.(1,2) B.[2,4 c.0,6 D.[0,4] 3.从数字4,5,6,7,8中随机抽取两个数，则这两个数都是奇数的概率为( A吉 1 B.0 c号 D品 4.在VABC中，D为边AC的中点，E为BD的中点，设EA=a,EC=i,则DB=(） A.-a-b B.a-B C.-a+B D.a+b 5.已知点P是抛物线C:y2=12x上的-点，设点P到直线x=-3和x-y+4=0的距离分别为4，d,则d+d,的最 小值为() A.5 2 B C.3+2W2 D.4W2 6.在平行四边形ABCD中，E,F分别是AD,CD的中点，点G在线段EF上若AG=AB+4AD,则元+μ的最 大值为() A. B.1 c D,2 7.曲线y=e与y=x2的公切线的条数为() A.0 B.1 C.2 D.3 8.如图，现有棱长为8的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥4-EFG,且E,F,G分别为棱AA, AB,AD上离4最远的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的半径的最大值为() D A.4 B.3 C.36-95 D.9-35 G 2 A B 二、多选题 D g.已知函数f)=5sm2-到，则（冫 A.f()的最小正周期为π B。()的图象关于点餐0对称 C.x=是f(x)图象的一条对称轴 D.f()在[0习上单调 试卷第1页，共4页 10.如图，曲线y=√F下有一系列正三角形，设第n个正三角形Ow,P2.(Q。为坐标原点)的边长为a。,则() A.a2=1 B起成为数列a的前”项和，则，为+学9 C.记S为数列a}的前n项和，则S1-4+0 D.数列{a,}的前n项和为S=+” 3 11.对于定义域为D的函数f(x),若存在x∈D,使得f(x)=,,则称x为f(x)的不动点已知 f(x)=-x+am2+bx+c(a≠0)有三个零点x,x2,(名<x2<),则（) A.当b=1,c=0时，a是f(x)的不动点 B.当a=b=1时，f(2)<f(x2+1) C.若b≠0，名+5=3，则30+64c为定值 ab 得得 三、填空题 12.已知sin(a-)=-子，tana=2aB,则sn(e+)= 13.从0-9这十个数字中选取3个数，能组成无重复数字的三位偶数 一个.（用数字作答） 14.设M,N是随机事件，已知P(M)=子，P(W)=,P(M网=)则下列四个结论中，正确的是 ①P(M)号②事件M,N相互独立， @P0U0-g:@P0NMUM-号 四、解答题 15.如图，平面四边形ABDC中，∠ACD-,4C=5,CD=1VBC的三个内角A,B,C的对边分别是a, b,c,csinA+acosC=. (1)求角A: (2)若AB=√7，求△BAD的面积. 试卷第2页，共4页 16.如图1，在平面五边形PABCD中，△PAD为等腰直角三角形，AP⊥PD,AD/IBC,AD L DC, AD=2DC=2BC=4,点E,F分别为PD,AB的中点，将△PAD沿AD折到如图2的位置. (1)证明：EF1/平面PBC; (2)若二面角P-AD-C为60°，求平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值. P D B 图1 图2 17.已知数列{a}满足a=1,a1=3a+2×(-3)” ()证明：数列 -3 是常数列，并求数列{a}的通项公式； (2)设b=na,Sn为{他}的前n项和 (i)求Sn: (i)若VneN',，Sn≥m×(-3)2”+,二恒成立，求实数m的最大值 16 试卷第3页，共4页 18.已知椭圆C: 。十片>h>0的离心率为O为坐标原点，椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为 (1)求椭圆C的方程： (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,过点N(L,0)且斜率不为0的直线交椭圆C于P,2两点，直线AP与直线B2 相交于点M. (i)求证：点M在定直线上： (i)设△PB和△PB2的面积分别为S,S,求是的取值范围 S 19。已知函数/(y的定义城为(Q+m),其号函数为g),且8)- (1)求g(x)的单调区间与最大值： (2)已知关于x的方程g(x)=a恰有两个实数根x,,若2≥2，求+l此，的取值范围； 6)证明：f(x+2)-f()<名 试卷第4页，共4页