第5讲 双曲线标准方程及几何性质 复习讲义-2025-2026学年高二寒假数学人教A版选择性必修第一册

第5讲双曲线标准方程及几何性质（复习） 知识点1：双曲线的定义 双曲线 知识点2：双曲线的方程、图形与性质 知识点3：双曲线中几个常用的结论 01 思维导图 02 知识梳理 知识点1：双曲线的定义 平面内与两个定点F,F,的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于EF)的点的轨迹叫做双曲线 (这两个定点叫双曲线的焦点).用集合表示为{MMF-MF,=2a(0<2a<FFD} 注意：(1)若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支 (2)当2a=EF,时，点的轨迹是以F和E为端点的两条射线； 当2a=0时，点的轨迹是线段FE的垂直平分线. 当2a>EF,时，点的轨迹不存在. 知识点2：双曲线的方程、图形及性质 标准方程 x2 y2 a-6京=1(a>0,b>0) y2 x2 a26=l(a>0,b>0) 第1页共11页 y= a 图形 焦点坐标 F(-c,0),F(c,0) F(0,-c),F(0,c) 对称性 关于x,y轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 A,(-a,0),A(a,0) A,(0,a),A(0,-a) 范围 ≥a lyza 实轴、虚轴 实轴长为2a,虚轴长为2b 离心率 e= +(e>D 令 。左=0→y=±2， 令y22 ≥一2=0→y=主6 渐近线方程 焦点到渐近线的距离为b 焦点到渐近线的距离为b 设直线与双曲线两交点为A(x,y),B(x2,y2),kB=k· 则弦长18=+度K-=+石-为0， 弦长公式 -=x+x)2-4x= a 其中“a”是消“y”后关于“x”的一元二次方程的 “X2”系数. 通径 通径（过焦点且垂直于FR的弦）是同支中的最短弦，其长为2少 第2页共11页 双曲线上一点P(x,y)与两焦点F,E构成的 P(xo,Yo) △PFE,成为焦点三角形， F 设∠FPF=0，PF=片，PF=5,则 os9=2b,S5=,75sim6=2=6 cy,焦点在x轴上 Fb 1-cos0 0 tan c,焦点在辅上，（顶点 焦点三角形 2 越高，张角越小，分母越小，面积越大) 焦点三角形中一般要用到的关系是： PF-PF =2a(2a >2c) S=PFI-PF∠FPR IFF=PF+PF-2PFIPF COS ZFPE 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线台a=b一离心率e=√2一两 等轴双曲线 渐近线互相垂直一渐近线方程为y=±x台方程可设为x2-y2=1(亿≠0) 知识点3：双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则PF1min=a十c,PF2lmim=c-a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），其长为22，异支的弦中最短的为实轴， 其长为2a. (4)设P,A,B是双曲线上的三个不同的点，其中A,B关于原点对称，直线PA,PB斜率存在且不为0， 则直线PA与PB的斜率之积为b2a2. (5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F,F分别为双曲线的左、右焦点，则 SAPEE =1.1 0,其中0为∠FPF2 tan 2 (6)等轴双曲线 ①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. ②性质：a=b:=2;渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项. (7)共轭双曲线 ①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线： 第3页共11页 ②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1 03 考点突破 考点一双曲线的定义与方程 【例1】√x2+(y-3)2-Vx2+(y+3)2=4表示的曲线方程为() A号-上=1s-2) B.￡-上=1e2) 45 45 c.-=10s-2 D. y2-父=1022) 45 45 【变式11】设点4(-5,0)，B5,0,M为动点，已知直线AM与直线BM的斜率之积为定值；，点M 的轨迹是() A. 9-y=1y≠0 B.-2=1y≠0 c号-r=0o D.3x2y≠o】 【变式1-2】在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆x2+16y2=16有公共焦点，则双曲线的方程是( A. -=1 B. =1 C.2x2 D.? 1 96 69 961 69 考点二双曲线的焦三角形问题 【创2】设双曲线C:于若-1(a0,b0)的左、右熊点分别为，R,离心率为5.P是C上一点 第4页共11页 且FP⊥F2P.若△PFF2的面积为4，则a=() A.1 B.2 C.4 D.8 【变式2】已知R、6是双曲线等茶-b>0的左，右焦点，点P为双储线右支上一点， 且P在以FE为直径的圆上，若PFPF,=12,则tan∠POE=() 3 4 A 4 B3 C. D. 考点三双曲线的离心率问题 【例3】已知双值线C:号名-e>06>0的一个信点Fe0)到C的一条高近线的距离为号c, 则C的离 心率为() A.12 B.35 c.6 D. 16 15 5 15 5 【变式3】已知F,￡是双曲线-广 若广=0>0b>0)的左、右焦点，P为双曲线东支上一点，若P的最 PF 小值为8a,则该双曲线的离心率的取值范围是() A.1,3) B.L,2) C.(1,3] D.1,2] 考点四 直线与双曲线的关系综合问题 【例4】已知双曲线C:手谷-1a>0,>0与椭圆若+苦=1有夫同的焦点，点万)在双由线C 第5页共11页 上 (1)求双曲线C的标准方程： (2)以P(1,2)为中点作双曲线C的一条弦AB,求弦AB所在直线的方程. 第6页共11页 【变式4】己知双曲线方程为号若=1，了，5为双曲线的左，右焦点，离心率为2，点P为双南线在第 一象限上的一点，且满足PE.PE=0,PFPF,=6 (1)求双曲线的标准方程； (2)过点F作直线1交双曲线于A,B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m,0),使得QA·QB为定值，若存 在，请求出的值和该定值，若不存在，请说明理由. 第7页共11页 04课后巩固 1己知双曲线C:号茶=G>06>0的左右焦直分别为R,5,过点万作直线1交双前线C的右支于A,B两 点，其中点A在第一象限，且AE=3BF若AB=AF,则双曲线C的离心率为() 3 B.2 c.5 D.4 2已知发曲线号舌-Ke>06>0的离心幸为、5，左，右焦点分别为R。,以RR为直径的圆与效曲线 右支的一个交点为P若PF上2，则该双曲线的标准方程为() A.x22 =1 r1c若 B.2 =1 4 D.y 821 3.(多选题)定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共 轭双曲线的结论正确的是() A.与x22 云衣-1a>06>0共肥的双酯线是若若-川a>0>0 a 第8页共11页 B.互为共轭的双曲线渐近线不相同 C.互为共轭的双曲线的离心率为e1、e2则ee2≥2 D.互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上 4设P是双曲线父-1上一点，M,N分别是圆(x-5)+)2=4和(x+5列+少2=1上的点，则 916 PM-PN的最大值为，最小值为· 5设斤、B分别为双角线C苦茶-口>06>0的左右我点，且5也为指物线y广8：的的货白，若应 P(0,2b),F,F是等腰直角三角形的三个顶点 (1)双曲线C的方程； (②若直线：)=-1与双曲线C相交于AB两点，求H8 第9页共11页 6已知50小，，0分别是双情线c:苦茶=口>6>0的左、右指点，A为双情线在第一象 限的点，△AFE的内切圆与x轴交于点P1,0). (1)求双曲线C的方程： (2)设圆O:x2+y2=2上任意一点Q处的切线1，若1与双曲线C左、右两支分别交于点M、N,问： 第10页共11页 第5讲 双曲线标准方程及几何性质（复习）01 思维导图 02 知识梳理 知识点1：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2） 当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线； 当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． 当时，点的轨迹不存在． 知识点2：双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则，，（顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） 焦点三角形中一般要用到的关系是： 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 知识点3：双曲线中的几个常用结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. （3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. （4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. （5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2. （6）等轴双曲线 ①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． ②性质：a＝b;e＝；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． （7）共轭双曲线 ①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． ②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1. 03 考点突破 考点一 双曲线的定义与方程 【例1】－＝4表示的曲线方程为（    ） A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2) C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2) 两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合.根据双曲线定义可知， 所以  由焦点在y轴上，所以 ，且到点 的距离比较大所以 即曲线方程为故选：C. 【变式1-1】设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ） A． B． C． D． 【详解】解：设动点，则，则，，， 直线与直线的斜率之积为定值，，化简可得，， 故点的轨迹方程为.故选：C. 【变式1-2】在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】椭圆的标准方程为；易得椭圆焦点坐标为， 又因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以双曲线的焦点在轴上，且，由双曲线虚轴长为6可知，所以；所以，双曲线的标准方程为.故选：B. 考点二 双曲线的焦三角形问题 【例2】设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【详解】，，根据双曲线的定义可得，，即，，，，即，解得，故选：A. 【变式2】已知､是双曲线的左､右焦点，点为双曲线右支上一点，且在以为直径的圆上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】解法一：设，，则.由双曲线定义知，，又，故，由于在以为直径的圆上，所以，故有从而 解法二：同解法一，得到，，则，从而得到双曲线方程为. 设，联立，解得，即.因此，选项A正确. 故选：A 考点三 双曲线的离心率问题 【例3】已知双曲线的一个焦点到的一条渐近线的距离为， 则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】因为的一个焦点到的一条渐近线的距离为，不妨取渐近线方程为，即，所以，，两边平方得.又，所以，化简得，所以.故选：C. 【变式3】已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】由双曲线定义可得：|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1| ≥8a，当且仅当=|PF1|，即|PF1|=2a时取得等号.此时由双曲线的几何性质可得，，即可，又双曲线的离心率，∴.故选:C. 考点四 直线与双曲线的关系综合问题 【例4】已知双曲线C：(a＞0，b＞0)与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上． （1）求双曲线C的标准方程； （2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程． （1）；（2）． 【详解】由已知椭圆方程求出其焦点坐标，可得双曲线C的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，由双曲线定义，即，所以，，所以所求双曲线的标准方程为．（2）设，，因为A，B在双曲线上，所以， ①－②得，所以，，故弦AB所在直线的方程为，即． 【变式4】已知双曲线方程为，，为双曲线的左､右焦点，离心率为，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足，. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点作直线交双曲线于两点，则在轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，请求出的值和该定值，若不存在，请说明理由. （1）；（2）存在，，. 【详解】（1）解法一：由得：，， ，，在中，由得：， 代入，得：解得：，，双曲线方程为：. 解法二：由得：，，设点，则点满足…①， ，，即…②， ，即…③，则由①②得：，代入③得：，，双曲线方程为：. （2）解法一：当斜率为时，，此时，，由得：； 当斜率不为时，设，，，联立得：，则，，，，令，即， 解得：，则，此时；综上所述：存在，使得； 解法二：当斜率为时，，此时，，由得：； 当斜率不为时，设，，，联立得：，则，，，， 若为定值，则，，，此时； 当，斜率为时，； 综上所述，存在，使得； 解法三：当斜率不存在时，，此时，， 若，则；当斜率存在时，设，，， 联立得，则， ，， 若为定值，则，，，此时； 综上所述：存在，使得. 04 课后巩固 1.已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限，且.若，则双曲线的离心率为（ ） A． B．2 C． D．4 【详解】设，因为，可得，由双曲线的定义可得，因为，可得，即，解得，所以，因为，可得，即，整理得， 即双曲线的离心率为.故选：B. 2.已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为.若，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为离心率为，所以，所以，因为，，所以，又，且为以为直角的直角三角形，所以，即，又，所以，解得或（舍去）所以双曲线的标准方程为：故选：A 3.(多选题）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（ ） A．与共轭的双曲线是 B．互为共轭的双曲线渐近线不相同 C．互为共轭的双曲线的离心率为、则 D．互为共轭的双曲线的个焦点在同一圆上 【答案】CD【详解】对于A选项，由共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，A错；对于B选项，双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，B错； 对于C选项，设，双曲线的离心率为， 双曲线的离心率为，所以，，当且仅当时，等号成立，C对；对于D选项，设，双曲线的焦点坐标为， 双曲线的焦点坐标为，这四个焦点都在圆上，D对.故选：CD. 4.设是双曲线上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为______，最小值为______． 【答案】     9     【解析】设双曲线的左、右焦点分别为，，则点为圆的圆心，点为圆的圆心，连接，．当点在双曲线的左支上时（如图）， 由双曲线的定义，可得，由圆的几何性质，得，， 所以，即，此时的最大值为9，最小值为3．同理可得，当点在双曲线的右支上时，的最大值为，最小值为．综上，的最大值为9，最小值为．故答案为：， 5.设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点. (1)双曲线C的方程； (2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求. 【解析】（1）抛物线的焦点为，所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，所以，即，又，所以，所以双曲线方程为.（2）依题意设，，由消去整理得， 由，所以，，所以. 6．已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线在第一象限的点，的内切圆与x轴交于点． (1)求双曲线C的方程； (2)设圆上任意一点Q处的切线l，若l与双曲线C左、右两支分别交于点M、N，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)(2)为定值，且．(1)如图，设，与的内切圆分别交于G，H两点，则，所以，则，则双曲线C的方程为．(2)由题意得，切线l的斜率存在．设切线l的方程为，，．因为l与圆相切，所以，即．联立消去y并整理得，所以，． ． 又 ，将代入上式得．综上所述，为定值，且． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $