第4讲 椭圆标准方程及几何性质讲义-2026年高二寒假数学人教A版选择性必修第一册复习

第4讲 椭圆标准方程及几何性质（复习） 知识点1：椭圆的定义 椭圆 知识点2：椭圆的方程、图形与性质 知识点3：椭圆中几个常用结论 01 思维导图 02 知识梳理 知识点1：椭圆的定义 平面内与两个定点F,F,的距离之和等于常数2a(2a>FF,|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫 做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2，定义用集合语言表示为： PPF+PF,2a(2a >FF,=2c>0) 注意：当2a=2c时，点的轨迹是线段； 当2a<2c时，点的轨迹不存在. 知识点2：椭圆的方程、图形与性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 第1页共12页 y超 F 图形 B ， 0 0 B: 标准方程 x2,y2 a+6京=l(a>b>0) 第一定义 到两定点F、F,的距离之和等于常数2a,即PF+PF=2a(2a>FE) 范围 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a A（-a,0)、A2a,0 A(0,-a、A2(0,a 顶点 B1(0,-b)、B,(0,b) B1-b,0、B2(b,0 轴长 长轴长=2a,短轴长=2b 长轴长=2a,短轴长=2b 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 焦点 E(-c,0)、E(c,0) F(0,-c、F2(0,c 焦距 EF=2c(c2=a2-b2) 离心率 e- a'-b 1-a (0<e<)(注：离心率越小越圆，越大越扁) 准线方程 x=ta2 ①c0s9=2b -l,6mx=LFBF,(B为短轴的端点) 焦点三角形 rb 面积 ②SPFR= 2 sin0=b2 tan c,焦点在x轴上 cx,焦点在y轴上 (0=∠FPF) 第2页共12页 P(XoYo) 0 0 「当P点在长轴端点时，(r)min=b2 ③ 当P点在短轴端点时，(r)max=a 焦点三角形中一般要用到的关系是 PE|+|PE2=2a(2a>2c) %-克听PE血RPE) EEPF+PF-2 PF PE cos EPF 焦半径 焦半径最大值a+c,最小值a-c 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2上（最短的过焦点的弦) 设直线与椭圆的两个交点为A(x,y),B(x2,2),k4B=k, 4B=1+压-=V1+k2V+)2-4x西 则弦长 =y++为-4=+F 弦长公式 a (其中a是消y后关于x的一元二次方程的x的系数，△是判别式) 知识点3：椭圆中的几个常用结论 (1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b2,过焦点最长弦为长轴. (2)过原点最长弦为长轴长2α，最短弦为短轴长2b (3)与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)有共同焦点的椭圆方程为x2a2+十y2b2+=1(>-b2). (4)焦点三角形：椭圆上的点P(o,yo)与两焦点F1,F构成的△PFF叫做焦点三角形， 若h=PF,n=PF2,∠FPF2=0,△PF1F2的面积为S,则在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中： 第3页共12页 ①当n=2,即点P为短轴端点时，最大； ②S=12 PFPF2sinO=cyol,当yol=b,即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc: ③△PFF2的周长为2(a+c), 03 考点突破 考点一椭圆的定义与方程 【例1】已知圆M:(x+2)2+y2=36,定点N(2,0),A是圆M上的一动点，线段AN的垂直平分线交 MA于点P,则P点的轨迹C的方程是() A.+-1 B.+上-1C.+ -=1 D.+=1 3 9 5 3 4 59 由题可得圆心M(-2,0),半径为6，P是垂直平分线上的点，PA=PN, PM+PN=PM+PA=6,:P点的轨迹是以M,N为焦点的椭圆，且2a=6,c=2,a=3, B=a2-c25,敌P点的轨迹方程为。+5=1故选： 【变式1小已知满酒C号+若=a>b0的左右信点分别为R,F,离心幸为 3,过E的直线1交 3 C于A,B两点，若△AFB的周长为4√5则，椭圆C的方程为() A.+=1 3+2 B.x2 ”2+2=1 D.+=1 12+4 解：由题意可行4如=45，解将0=万，c=1,所以公-e2,所以箱圆C的方程为 ￡+=1， 32 第4页共12页 故选：A 变式12】以椭圆C。+,川>b>0的短釉的一个%和两焦点为顶点的三布形为等边三角形，自 椭圆C上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆C的标准方程为() A. 4 -=1 B.亡+=1 c.+ 8 =1 D.+=1 3 4 1612 6448 解：由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则a=2c,椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即 a+C=6, 则a=4,c=2,b=2√5.则椭圆的标准方程为： x+少=1故选：C 一十 1612 考点二椭圆的焦三角形问题 【例2】已知P是销题5号=1上的点，个、B分别是瑞顺的左、右焦点，若所P网宁，则 PE·PE 259 △FPF,的面积为() A.3W5 B.9√5 C.5 D.9 PE·PE 【答案】A【解析】因为 PFPF. P网PEcs∠FPS-os∠KPR-0s∠RPK,S PF.PF. 所以∠RPR=号，又c=G-F=4记PR=,P=,则 2+n2-mn=4c2=64.① m+n=2a=10.…② @-①整理得：mm2,所以SFs)mnsin二=×I2×=3V3故选：A 32 2 第5页共12页 0 【变式2-1】已知椭圆 土(2》的两焦点分别为正.若精圆上有一点卫，便 ∠F,PF,=120°，则△PFF的面积为() A.3 2 B.4V5 C.3 D.25 3 【答案】D 【分析】利用点P在椭圆上得出定义表达式，运用余弦定理，联立求得m的值，再运用三角形面积公式 即得. Y 【详解】 如图，不妨设|PF=m,PF=n,由点P在椭圆上可得：m+n=2a①，由余弦定理可得： m2+n2-2 nn cos120°=4c2，化简得：m2+n2+mn=4c2②，由①式两边平方再减去②式，得： mm=4a2-4c2=46-8,于是aPFR,的面积为sin120=×8×5=2V5故选：D 2 2 【变式2-2】己知点F,F分别是椭圆C的左、右焦点，P(4,3)是C上一点，△PFF,的内切圆的圆心为 I(m,1),则椭圆C的标准方程是() A.心+广=1B.+ =1 C.y =1 D. 2427 2821 5213 6412=1 【答案】B【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式，结合椭圆的定义求解即得 .169 【详解】依题意，设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由P（4,3)在C上，得之+6三少 第6页共12页 显然aPFG的内切圈与直线F5村切，则该画半径为1，面S52a+21=a+, 又SPF,R=2 203=30,于是a2c,6=a-c=40,因此。+片1，解得a2=28,b22 所以椭圆C的标准方程是+上=1故选：B 2821 考点三椭圆的离心率问题 【例3】已知椭圆c:号+若=1a>b>0)的左，右焦点分别为斤，月，过B直线与椭圆C交于M,N两点， 设线段NE的中点D,若MD·NF=0,且MF/1DF,,则椭圆C的离心率为() A.1 3 B.3 D.2 3 C. 2 因为MD.NF=0,所以MD⊥NE,又D是NE中点，所以MF=MN,因为MF1/DF,,所以E是MW 中点，则M=,因此MN上x轴，设MF=m,则M=2m,MF+MF,=3m=2a,m=2a, 3 在△M5中，由勾股定理得（智+(-(，变形可符e=- .故选：B a 3 式3】卫知R,分别泥椭服C。十Q>0,6>0的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一 过F作∠PF的外角平分线的垂线，垂足为A,O为坐标原点，若OA=√3b,则该椭圆的离心率为 【答案】V6 【解析】如图所示： 3 第7页共12页 延长FA,交PF于点Q,:PA是∠FPF的外角平分线，AQ=AF,,|PQ=PF,又O是FE的中 点，∴QE∥A0,且lgFl=2OA=23b.又QF=PF+|PQ=PEl+PF=2a,.2a=2√5b, a2=3=3(a2-c),离心率为=6故答案为：6 3 考点四直线与椭圆的关系综合问题 【例4】已知椭圆C:x +示=1（ab0)的左，右焦点分别为R,E,FF=25,经过点万的直线 (不与x轴重合)与椭圆C相交于A,B两点，△ABF,的周长为8. (1)求椭圆C的方程； (2)经过椭圆C上的一点Q作斜率为k,k2(k≠0，k2≠0)的两条直线分别与椭圆C相交于异于Q 点的M,N两点。若M,N关于坐标原点对称，求kk,的值 y14 【分析】 【详解】解：(1)：FF=2W5,c=√.：△ABF2的周长为8，.4a=8,a=2 :a2=B+c2,:b=1.椭圆C的方程为+y=1 (2)设M(x,y),Qxo,yo, ,西场，为好、学+分=1，草+听=1两式相减，得手至+-好-=0. 4 44 场要安按妹安之号 x-x0-x1-04 第8页共12页 【变式4在平面xO中，已知随圆C名+a>>0过点U,且腐心率图 2 (1)求椭圆C的方程； 2)直线1方程为少)x+m，直线1与椭圆C交于A,B两点，求APAB面积的最大值 0管+号i:a2 4 1 详解】D因为圆C名+茶a>h>0过点P,且离心率eA所以 a2-c2-1 3 十 3 c 3 la 2 解得a=2反，c=6,则6=2，所以椭圆方程为：亡+广=1 82 (2)设直线方程为y=一x+m,Ax,y)、B(x2,), 2 1 y=2+m 联立方程组 x2,y2 整理得：x2+2mx+2m2-4=0,所以x1+x2=-2m,xx2=2m2-4, + =1 82 由弦长公式得：A8=V54-m),点P到1的距离为d=2m测 /5 所以5=48a=54-m3 5 -m4-m心+4-m)=2当且仅当㎡=2，即m=±2时取到 2 最大值，最大值为：2 04课后巩固 1.几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段，某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去 截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面 与底面成30°角，则该椭圆的离心率为() 第9页共12页 A.2V2 B.3 c.6 3 2 D. 【详解】如图所示：切面与底面的二面角的平面角为∠BAM,设圆半径为r, 则AM=2r,AB= ,C0=2放2a=45,26=2r,藏a=25,6=,0=0-5, 4V3 3 3 所以e=￡= a 2 故选：D 2已知椭圆E:三+广-1m>10)的离心率为5，则椭圆E的长轴长为《) m10 3 A.15 B.2W5 C.215 D.45 【答案】C【解析】因为椭圆E的方程为+=1m>10,所以a2=m,公=10，c=a2-b=m-10 m10 又椭圆E的离心率为3所以”10-子，解待m=15,所以a=15,所以椭圆E的长轴长为25， 3 故选：C 3。(多选题)已知M是椭题C:专+号-1上一点，，乃是其左右焦点，则下列选项中正确的是（) 第10页共12页第4讲 椭圆标准方程及几何性质（复习） 知识点1：椭圆的定义 椭圆 知识点2：椭圆的方程、图形与性质 知识点3：椭圆中几个常用结论 01 思维导图 1、椭圆的定义 椭圆 2、 椭圆的标准方程和几何性质 3、椭圆中的几个常用结论 02 知识梳理 知识点1：椭圆的定义 平面内与两个定点F,F,的距离之和等于常数2a（2a>FF,|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫 做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2，定义用集合语言表示为： PPF+PF,2a(2a >FF,=2c>0) 注意：当2a=2c时，点的轨迹是线段； 当2a<2c时，点的轨迹不存在. 知识点2：椭圆的方程、图形与性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 第1页共10页 y超 F 图形 B ， 0 0 B: 标准方程 x2,y2 a+6京=l(a>b>0) 第一定义 到两定点F、F,的距离之和等于常数2a,即PF+PF=2a(2a>FE) 范围 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a A（-a,0)、A2a,0 A(0,-a、A2(0,a 顶点 B1(0,-b)、B,(0,b) B1-b,0、B2(b,0 轴长 长轴长=2a,短轴长=2b 长轴长=2a,短轴长=2b 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 焦点 E(-c,0)、E(c,0) F(0,-c、F2(0,c 焦距 EF=2c(c2=a2-b2) 离心率 e- a'-b 1-a (0<e<)(注：离心率越小越圆，越大越扁) 准线方程 x=ta2 ①c0s9=2b -l,6mx=LFBF,(B为短轴的端点) 焦点三角形 rb 面积 ②SPFR= 2 sin0=b2 tan c,焦点在x轴上 cx,焦点在y轴上 (0=∠FPF) 第2页共10页 P(XoYo) 0 0 「当P点在长轴端点时，(r)mim=b2 ③ 当P点在短轴端点时，(r)max=a 焦点三角形中一般要用到的关系是 PE|+|PE2=2a(2a>2c) 1 S=PPF Isin∠EPE,) EEPF+PF-2 PF PE cos EPF 焦半径 焦半径最大值a+c,最小值a-C 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2分 (最短的过焦点的弦) 设直线与椭圆的两个交点为A(x,y),B(x2,2),k4B=k, 则弦长 4B=+R丙-=+及V+)》P-4x 弦长公式 -石+-4-iF合 (其中a是消y后关于x的一元二次方程的x?的系数，△是判别式) 知识点3：椭圆中的几个常用结论 (1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b2,过焦点最长弦为长轴. (2)过原点最长弦为长轴长2α，最短弦为短轴长2b (3)与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)有共同焦点的椭圆方程为x2a2+十y2b2+=1(>-b2). (4)焦点三角形：椭圆上的点P(xo,yo)与两焦点F1,F2构成的△PFF2叫做焦点三角形. 若h=PF,n=PF2,∠FPF2=0,△PF1F2的面积为S,则在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中： 第3页共10页 ①当n=2,即点P为短轴端点时，最大； ②S=12 PFPF2sinO=cyol,当yol=b,即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc; ③△PFF2的周长为2(a+c), 03 考点突破 考点一椭圆的定义与方程 【例1】已知圆M:(x+2)2+y2=36,定点N(2,0),A是圆M上的一动点，线段AN的垂直平分线交 MA于点P,则P点的轨迹C的方程是() A.父+-1 43 41 D.+ -=1 5 9 【变式11】已知桶圆C若+=口>b>0)的左右指点分别为R,,离心李为 2,过的直线1交 3 C于A,B两点，若△AFB的周长为4√3则，椭圆C的方程为() A.+2 3+2=1 B. 12+2=1 D.y 12￥1 【支式12】以输圆C:号卡-。>b0的短轴的一个清点和两您点为顶点的三角形为等边三角形，且 椭圆C上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆C的标准方程为() A.+ =1 B.y =1 C. 43 84 16*121 D. 6448 考点二椭圆的焦三角形问题 第4页共10页 【例2】已知P是椭圆￡十上-1上的点，F、B分别是椭圆的左、右焦点，若 259 隔-州 △FPF的面积为() A.35 B.95 C.5 D.9 【变式2-1】已知椭圆兰+号=1(a>反)的两焦点分别为R、B.若椭圆上有一点P,使 a2 2 ∠EPF,=120°，则△PFF,的面积为() A.3 B.4v5 C.3 D.25 2 3 【变式2-2】己知点F,F2分别是椭圆C的左、右焦点，P(4,3)是C上一点，△PFF的内切圆的圆心为 I(m,1),则椭圆C的标准方程是() A+=1B.+=1 C. =1 D. =1 2427 2821 5213 6412 考点三 椭圆的离心率问题 【例3】已知椭圆c: 6=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F,B,过乃直线与椭圆C交于M,N两点， 设线段NF的中点D,若MD.NF=0,且MF,/1DF,则椭圆C的离心率为() A. B.3 C. D.V2 3 3 2 第5页共10页 变式3】卫知，E分别足椭圆C名+口>06>0的左、石焦点，点P在椭圆上，且在第一象限 过E作∠FPF的外角平分线的垂线，垂足为A,O为坐标原点，若OA=√5b,则该椭圆的离心率为 考点四直线与椭圆的关系综合问题 4已知圆C+b>0的定，右焦点分别为，，323，经过点F (不与x轴重合)与椭圆C相交于A,B两点，△ABF的周长为8. (1)求椭圆C的方程； (2)经过椭圆C上的一点Q作斜率为k,k2(k≠0，k2≠0)的两条直线分别与椭圆C相交于异于Q 点的M,N两点。若M,N关于坐标原点对称，求kk2的值. 第6页共10页 【变式利在平面0中，已知端圆C:若+后=a>b>0过点P2,且资心津e-点 2 (1)求椭圆C的方程； (2)直线1方程为y=2r+m,直线1与椭圆C交于A,B两点，求△PAB面积的最大值 第7页共10页 04 课后巩固 1.几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段，某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去 截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面 与底面成30°角，则该椭圆的离心率为() 4.22 3 B.3 c. 3 D.3 第8页共10页 m+101(m>10)的离心率为 2已知椭圆E:亡+广 3 ,则椭圆E的长轴长为（). A.5 B.2V5 C.215 D.45 3.(多选题)已知M是树圆C:号+号1上一点，斤，乃是其左右焦点，则下列选项中正隆的是（) A.椭圆的焦距为2 B.椭圆的离心率e= 2 C.MF +MF,=2v2 D.△MFF的面积的最大值是4 4已知P为椭圆+=1上的一点，若M,N分别是圆(x+3)+y2=2和(x-3》+y2=1上的点，则 2516 IPM|+|PNI的最大值为 5.已知椭圆E:亡+上=1m>0)的右焦点为F,过点F的直线交椭圆E于小，B两点，若AB的中 2m m 点坐标为(1，-1)，则椭圆E的方程为 6已知P4,2)是直找1饭椭颜5+号-1所截得的线段的中点，求直线的方程 369 第9页共10页 7.设椭圆+少2 。+京=(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为5，A6=V5. 3 (1)求椭圆的方程； (2)设直线：y=kx(k<O)与椭圆交于P,Q两点，I与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若 △BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值. 第10页共10页