第3讲 圆的方程 复习讲义-2025-2026学年高二寒假数学人教A版选择性必修第一册

第3讲圆的方程（复习） 知识点1：圆的定义与方程 知识点2：点与圆的位置关系 圆的方程 弦长 知识点3：直线与圆的位置关系 、切线方程 知识点4：圆与圆的位置关系 01 思维导图 02知识梳理 知识点1：圆的定义与方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 圆心(a,b) 标准 -a)2+y-b)2=2(>0) 半径为x 方程 充要条件：D2+E2-4F0 一般 x2+y2+Dx+Ey+F=0 圆心坐标：(-D2,一E2) 半径r=12D2+E2-4F 知识点2：点和圆的位置关系 圆的标准方程为x一a)2+0y一b)2=r2,圆心A(a,b),半径为r.设所给点为M,o),则 第1页共8页 判断方法 位置关系 几何法 代数法 点在圆上 |MA|=r≌点M在圆A上 点M0,yo)在圆上÷(xo-a)2+0o-b)2=2 点在圆内 |MA|<r台点M在圆A内 点Mxo,y0)在圆内÷(0一a)2+yo-b)2<2 点在圆外 MA>r≌点M在圆A外 点Mx,yo)在圆外÷(co-a)2+(0y0-b)2>2 点M到圆上点的最大距离为M4+虹 点M到圆上点的最小距离为MA- 知识点3：直线和圆的位置关系 直线Ax十By十C=0与圆x一a)2+y一b)2=2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 图形 交点个数 2 几何法：设圆心到直线的距离d=|Aa十Bb十C d<r d=r d>r 判断 \r (A2+B2) 方法 代数法：由Ax+By十C=O, x-a2+ 4>0 △=0 △<0 y-b2=r2)消元得到一元二次方程的判别式4 判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法 令圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： (1)几何法：因为半弦长L2、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L=22一d2. (2)代数法：若直线y=十b与圆有两交点A(:1,y),B(,y2), 则有AB=1+k2x1一x2=1k2M一y2 令圆的切线方程 (1)过圆上一点的圆的切线 第2页共8页 ①过圆x2十y2=r2上一点Mxo,yo)的切线方程是xox十yoy=2. ②过圆(x-a)2+y-b)2=2上一点Mo,y)的切线方程是(x0-a)x-a)十yo-b)0y-b)=2 (2)过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M,yo)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜 率k,从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x=x: 知识点4：圆与圆位置关系的判定 ()几何法：若两圆的半径分别为，2，两圆连心线的长为d,则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 (nyn. 30 d与n,2的关系 d>n+n d=n+2 In-n<d<n+r d=n-2 d<n-n (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1:x2+y2+D1x+Ey+F1=0(D21+E21-4F1>0),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E22-4F2>0), 联立方程得x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0,) 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 1 0 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 03 考点突破 考点一圆的方程 【例1】以直线ax-y-3-a=0(a∈R)经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是() A.x2+y2-2x+6y+6=0 B.x2+y2+2x-6y+6=0 C.x2+y2+6x-2y+6=0 D.x2+y2-6x+2y+6=0 第3页共8页 【变式1-1】经过M4,0),N(0,4)两点，且半径为4的圆的标准方程： 【变式1-2】经过点(0,0,0,4)，3,3)的圆的方程为 考点二圆的弦长问题 【例2m=1”是“直线x-y+m=0被圆(x-1)2+y2=5所截得的弦长等于2√3”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式2-1】直线1：x-y-1=0被圆C:x2+y2-2x-4y=0截得的弦AB的长为 【变式2-2】已知以点A(-1,2)为圆心的圆与，过点B(-2,0)的动直线1与圆A相交于M,N两点、 从①直线x+2y+7=0相切；②与圆(x-3)+y2=20关于直线2x-y-1=0对称；③圆(x-32+(y-2=5 的公切线长1这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题。 (1)求圆A的方程： (2)当|MW=2W19时，求直线1的方程. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 第4页共8页 考点三圆的切线问题 【例3】过坐标原点且与圆x2+y2-4x+2y+ 5 2 =0相切的直线方程为() A.y=-3x或y=。x B.y=3x或y=-二x 3 3 1 C.y=-3x或y=-。x D.y=3x或y=。x 3 3 【变式3】过圆x2+y2=1上点P √2V2 2’2 的切线方程为」 考点四圆的切线长或最值问题 【例4-1】若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点(a,b向圆C所作的切 线长的最小值是() 第5页共8页 A.2 B.4 C.3 D.6 【例4-2】圆x2+y2-2x-2y-2=0上的点到直线3x+4y+8=0的最大距离是 【变式4】直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆-2)2+y2=2上，则△ABP面积的取 值范围是() A.[2,6] B.[4,8] C.[v2,35] D.[22,32 考点五圆与圆的位置关系 【例5】已知圆C:(x+1)2+(y+1)=2,圆C2:x2+y2-4x-4y=0,则两圆的公切线条数为() A.4 B.3 C.2 D.1 【变式5】圆C:x2+y2-2x=10与圆C2:(x+2)2+(y-4)2=16的公共弦长为(). A.2W7 B.√7 C.6 D.2√6 考点六圆的轨迹方程 【例6】动点P与定点A(-1,0),B(1,0)的连线的斜率之积为-1，则点P的轨迹方程是 第6页共8页 【变式6】已知圆M:(x-2)2+y2=4,过点N(1,0的直线I与圆M交于A,B两点，D是AB的中点，则D 点的轨迹方程为 04 课后巩固 1.已知在圆M:x2+y2-4x+2y-4=0内，过点00,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则四边形 ABCD的面积为() A.6 B.8 C.10 D.12 2.光线从点A(-5,2)射到x轴上，经x轴反射后经过圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的点B,则该光线从点A到 点B的路线长的最小值是() A.9 B.10 C.11 D.12 3.已知⊙C:x2-2x+y2-1=0,直线：y=x+3,P为1上一个动点，过点P作⊙C的切线PM,切点为M, 则PM的最小值为() A.1 B.√2 C.2 D.√6 4.(多选题)在平面直角坐标系x0y中，直线1与圆(x-2)+y2=2相切，则直线1的方程可以是() A.x+y=0 B.x+y-2=0 C.x-y=0 D.x+y-4=0 第7页共8页 5.(多选题)圆O:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则有() A.公共弦AB所在直线的方程为x一y=0 B.线段AB中垂线的方程为x十y一1=0 C.公共弦AB的长为 2 D.P为圆O上一动点，则P到直线AB距离的最大值为巨+1 2 6.过点P(3,-2)且与圆C:x2+y2-2x-4y+1=0相切的直线方程为 7.已知圆C的圆心在直线x-2y=0上，且与y轴相切于点(0,1) (I)求圆C的方程； (Ⅱ)若圆C与直线1：x-y+m=0交于A,B两点， ，求m的值.从下列两个条件中任选 一个补充在上面问题中并作答：条件①：∠ACB=120°；条件②：AB=2V3注：如果选择多个条件分别 作答，按第一个解答计分 第8页共8页 第3讲 圆的方程（复习） 01 思维导图 02 知识梳理 知识点1：圆的定义与方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F>0 圆心坐标：(－，－) 半径r＝ 知识点2：点和圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 │MA│＝r⇔点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 │MA│<r⇔点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点在圆外 │MA│>r⇔点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点M到圆上点的最大距离为│MA│+r, 点M到圆上点的最小距离为 知识点3：直线和圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 图形 交点个数 2 1 0 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d=r d＞r 代数法：由消元得到一元二次方程的判别式△ △＞0 △=0 △＜0 判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法 · 圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： （1）几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. （2）代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. · 圆的切线方程 （1）过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. （2）过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. 知识点4：圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2 1 0 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 03 考点突破 考点一 圆的方程 【例1】以直线经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 解：因为直线方程为，即，所以直线过定点， 所以圆方程为，即，故选：A. 【变式1-1】经过，两点，且半径为4的圆的标准方程： ． 【答案】（或）【解析】设所求圆的标准方程为：，则有，解得或，所以所求圆的标准方程为：或. 【变式1-2】经过点的圆的方程为 . 【答案】 【解析】设圆的一般方程为，代入点可得： ，解得 故圆的一般方程为：故答案为： 考点二 圆的弦长问题 【例2】“”是“直线被圆所截得的弦长等于”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为圆的圆心，半径.又直线被圆截得的弦长为. 所以圆心C到直线的距离，因此，解得或， 易知“”是“或”的充分不必要条件；故选：A. 【变式2-1】直线被圆截得的弦的长为___________. 【详解】圆的方程化为：，则圆心，半径， 于是圆心C到直线的距离，从而得，所以弦的长为. 故答案为： 【变式2-2】已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线与圆相交于，两点、从①直线相切；②与圆关于直线对称；③圆的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. （1）选①②③均有：；（2）或． （2）由弦长求得圆心到直线的距离，设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数得直线方程，注意直线斜率不存在的情形的讨论． 【详解】解：选①（1）由直线与圆相切知圆的半径为点到直线的距离 即，所以圆的方程为． （2）记线段的中点为，依据可得 且，，则 即点到直线的距离为1，若直线的斜率存在设为，直线：即， 所以，解得，直线的方程为． 若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意． 综上直线的方程为或． 选②由与圆关于直线对称知圆的半径， 所以圆的方程为． （2）同上.选③（1）圆的公切线长，设圆的半径为则 ，解得，或，舍去． 所以圆的方程为．（2）同上． 考点三 圆的切线问题 【例3】过坐标原点且与圆相切的直线方程为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A解：化为标准方程，即得圆心和半径， 当切线斜率不存在时，切线方程为，此时，圆心到切线的距离为，不符题意，故舍去；当斜率存在时，设过坐标原点的切线方程为，即，∴线心距，平方去分母得，解得或，∴所求的切线方程为或，故选：A. 【变式3】过圆上点的切线方程为 ． 【答案】 【解析】由题知，，则切线斜率，所以切线方程为，整理为． 故答案为： 考点四 圆的切线长或最值问题 【例4-1】若圆关于直线对称，则由点 向圆C所作的切线长的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】圆可化标准方程为， 可知圆心C为，半径 圆 关于直线 对称， 则圆心C在直线上，即 圆心C到直线 的距离为则由点 向圆C所作的切线长的最小值是，故选B 【例4-2】圆上的点到直线的最大距离是___________. 【详解】由题意可得，圆的标准方程为，圆心的坐标为，半径 ∴圆心到直线的距离，从而所求最大距离为：故答案为：5. 【变式4】直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x-2)2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】圆心到直线AB的距离d=，设点P到直线AB的距离为d'，易知d-r≤d'≤d+r，即，又，所以，因为，所以， 即△ABP面积的取值范围是.故选：A. 考点五 圆与圆的位置关系 【例5】已知圆 圆则两圆的公切线条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】圆标准方程为，则已知两圆圆心分别为，半径分别为，圆心距为，因此两圆外切，它们有三条公切线， 【变式5】圆与圆的公共弦长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为，即可利用点到线的距离公式以及圆的弦长公式求解. 【详解】的圆心和半径分别为,，故两圆相交， 将两个圆的方程作差得，即公共弦所在的直线方程为， 又知，，则到直线的的距离， 所以公共弦长为，故选:A． 考点六 圆的轨迹方程 【例6】动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是 . 【答案】（） 【解析】由题意可知：，则点的轨迹是以为直径的圆（除外），即以的中点为圆心，半径为1的圆，所以点的轨迹方程是.故答案为：. 【变式6】已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】圆，所以圆心为，半径为2，设，由线段的中点为，可得，即有，即，所以点的轨迹方程为．故答案为： 04 课后巩固 1.已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D【解析】圆由题意可得，最长弦为直径等于6， 最短的弦由垂径定理可得，则四边形的面积为，故选D. 2.光线从点射到轴上，经轴反射后经过圆上的点，则该光线从点A到点的路线长的最小值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】求出点关于x轴的对称点，则最短路径的长为减去圆的半径，计算求得结果 【详解】由题意可得圆心，半径点关于x轴的对称点，所以，该光线从点A到点的路线长的最小值为，故选：A 3.已知，直线，为上一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【详解】如图所示，化简圆的方程为，可得圆心，半径，因为为圆的切线且为切点，所以，由勾股定理可得， 所以当最小时，取得最小值，因为，所以，即的最小值为.故选：D. 4.（多选题）在平面直角坐标系中，直线与圆相切，则直线的方程可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD因为圆的圆心为，半径为；对于A，圆心到直线的距离，正确；对于B，圆心到直线的距离，不正确；对于C，圆心到直线的距离，正确；对于D，圆心到直线的距离，正确；故选：ACD. 5.（多选题）圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有（ ） A．公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0 B．线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0 C．公共弦AB的长为 D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1 【答案】ABD 【详解】对于A，由圆与圆的交点为A，B， 两式作差可得，即公共弦AB所在直线方程为，故A正确； 对于B，圆的圆心为，，则线段AB中垂线斜率为， 即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确； 对于C，圆，圆心到的距离为 ，半径 所以，故C不正确；对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D正确. 6.过点且与圆：相切的直线方程为 【答案】或 【解析】将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆的切线，满足题意；当过点的直线斜率存在时，可设直线方程为，即，利用圆心到直线的距离等于半径得，解得，即此直线方程为，故答案为：或 ． 7.已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）若圆与直线：交于，两点，_____________，求的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【详解】Ⅰ）设圆心坐标为，半径为.由圆的圆心在直线上，知：. 又∵圆与轴相切于点，∴，，则.∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为.（Ⅱ）如果选择条件①：，而， ∴圆心到直线的距离，则，解得或. 如果选择条件②：，而，∴圆心到直线的距离，则，解得或. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $