期末复习专题15 动角问题（7知识点+4大题型+过关检测） 2025-2026学年人教版七年级数学上册期末备考

期末复习专题15 动角问题 （知识点+4大题型+过关检测） 题型导览 知识剖析 动角问题是七年级几何的难点题型，本质是利用角的和差、角平分线性质，结合运动变化分析角的数量关系，需掌握以下基础知识点： 【知识点1 角的基本表示与度量】 · 角的表示：用三个大写字母（如∠AOB）、一个大写字母（如∠O，顶点唯一时）或数字 / 希腊字母（如∠1、∠α）表示。 · 度量单位：度（∘）、分（′）、秒（″），换算关系：1∘=60′，1′=60′′。 【知识点2. 角的和差关系】 · 若射线OC在∠AOB内部，则∠AOB=∠AOC+∠COB； · 若∠AOC=∠AOB+∠BOC，则射线OB在∠AOC内部。 【知识点3. 角平分线的定义】 · 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 · 若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠COB。 【知识点4 动角的核心表示方法】 设动角的旋转速度为v（单位：度 / 秒），旋转时间为t（单位：秒）： · 顺时针旋转：旋转后的角度 = 初始角度 −vt（角度减小，结果需非负，若为负则加360∘）； · 逆时针旋转：旋转后的角度 = 初始角度 +vt（角度增大，若超过360∘，可减360∘取余）。 【知识点5 常见特殊角关系】 · 互余：两个角的和为90∘；互补：两个角的和为180∘； · 平角：一条射线绕端点旋转半周形成的角，度数为180∘； · 周角：旋转一周形成的角，度数为360∘。 【知识点6 核心解题技巧】 动角问题的解题关键是 **“定静为动，以静制动”**，即把运动的角转化为用t表示的代数式，再结合条件列方程求解，具体技巧可总结为 “四步走”： 步骤 1：标初始，定方向 · 明确题目中所有角的初始度数（如∠AOB=60∘）； · 确定动射线的旋转方向（顺时针 / 逆时针）和旋转速度（如3∘/秒）。 步骤 2：写表达式，表动角 · 根据旋转方向和速度，写出t秒后所有相关角的度数表达式（核心步骤，避免出错）； · 若涉及角平分线，结合角平分线性质，写出平分后角的表达式。 步骤 3：列方程，建关系 · 根据题目中的条件（如 “角相等”“互余”“互补”“倍数关系”），建立关于t的方程； · 若涉及绝对值（如 “角的度数为非负数”“两种位置情况”），需分情况讨论。 步骤 4：验结果，下结论 · 求解方程后，检验结果是否符合实际（时间t≥0，角度度数在合理范围，如0∘到360∘之间）； · 舍去不合理解，整理有效解并作答。 关键提醒 1. 分情况讨论：当动射线旋转到不同位置时，角的和差关系可能改变，需根据旋转范围分类； 2. 单位统一：确保旋转速度和时间的单位一致（如速度为 “度 / 秒”，时间为 “秒”）； 3. 数形结合：画图辅助分析，在图中标出初始角和旋转后的角，直观判断数量关系。 【知识点7 解题技巧口诀】 定初始，标方向；写表达式，明度量； 角平分线，分一半；列方程，找关系； 分情况，不遗漏；验结果，合实际； 动角问题不难解，四步走通全掌握！ 题型1 单射线旋转 — 求角度或时间 解题关键：根据旋转方向和速度，写出动角的表达式，结合特殊角关系列方程。 典例精讲 例题 1．如图，O为直线上一点，过点O作射线，，射线从射线出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，到射线停止，要使射线成为的角平分线，射线从射线出发需要旋转 秒． 变式训练 变式1-1．如图，在直线上取一点O，向上作一条射线，使，将一直角三角形的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的上方．将射线以每秒的速度绕点O逆时针方向旋转至，当与第一次重合时停止．在旋转的过程中，若恰好有，则旋转的时间为 秒． 变式1-2．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线是的“启仔等分线”．如图2，，若射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为秒当 时，射线是的“启仔等分线”． 变式1-3．如图，已知是过点且在内部的一条射线，分别平分．当绕点在的内部旋转时，请你探究的度数是否发生变化，并说明理由． 典例精讲 题型2 双射线旋转 — 相遇与角度相等 解题关键：分别写出两条动射线旋转后的角度表达式，利用 “角度相等” 或 “角的和差为定值” 列方程。 例题 2．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若其中一个角的度数是另一个角度数的3倍，则称射线是的“逐光线”，[注：本题研究的角都是小于平角的角]． (1)如图1，，射线是的“逐光线”，则的度数为________________． (2)如图2，若，射线从射线的位置开始，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，旋转的时间为，问：当射线、旋转到一条直线上时，求的值． (3)在（2）的条件下，请直接写出当射线是的“逐光线”时的值． 变式训练 变式2-1．已知，是内部的一条射线，且．    (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 变式2-2．如图，射线在的内部，如果，则称为射线与的“分割值”，记为．例如当，时，则，即，反之，则． (1)如图，射线在的内部，，，则________； (2)如图，，，射线从位置开始，绕点按顺时针方向匀速旋转，到达时立即原速返回，射线从位置开始，绕点按顺时针方向匀速旋转，当到达时，也停止运动，设旋转的时间为秒．若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒． 当时，求的值； 若，求的值． 变式2-3．如图①，运动会的广播操让我们充分体会到了一种整体的图形之美．小田和小栩想从数学角度分析如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图②．为了方便研究，定义两手手心位置分别为A，B两点，两脚脚跟位置分别为C，D两点，平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转． (1)如图②，A，O，B三点共线，且，则_______； (2)第三节腿部运动中，如图③，小田发现，虽然A，O，B三点共线，却不在水平方向上，且，经过计算她发现，代数式的值为定值，请判断小田的发现是否正确？如果正确，请求出代数式的值；如果不正确，请说明理由； (3)第四节体测运动中，小栩发现，两腿左右等距张开（处于竖直方向），开始运动前A，O，B三点在同一水平线上，右手、左手绕点O顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图④． ①运动停止时，_______； ②请帮助小栩求解：当时，运动时间是多少？ 题型3 含角平分线的动角问题 解题关键：结合角平分线性质，写出平分后角的表达式，再根据条件列方程。 典例精讲 例题 3．综合与探究 问题情境： 在数学活动课上，老师给出一个定义，如图1，在内部画出一条射线，得到三个角，分别是，，．若其中两个角之差等于，则称射线是的“和谐线”．（本题中提到的角都是大于且小于的角） 独立思考： （1）若，，请你判断射线是不是的和谐线，并说明理由． 初步探究： （2）如图2，当平分时，试通过计算探究射线是不是的和谐线． 问题解决： （3）若，射线是的和谐线，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 变式训练 变式3-1．是内部的一条射线，且． (1)如图1，若平分平分，求的度数； (2)如图2，是锐角，在内引射线，满足．若平分，判断是不是的平分线，并说明理由； (3)如图3，，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度同时绕着点逆时针旋转，当第一次回到上时，两条射线都停止旋转，设运动时间为秒． ①和分别在和内部时，求和的数量关系； ②若，在旋转过程中，直接写出当时，的值． 变式3-2．【材料阅读】 如图1，数轴上的点A、B表示的数分别为、6，是线段的中点． （1）点表示的数是______． （2）若点P、Q分别从点C、B同时出发，以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则t秒后，点P、Q表示的数分别是______、______．（用含t的代数式表示） （3）在（2）的条件下，若P、Q两点之间的距离为3，求t的值． 【方法迁移】 （4）如图2，，平分，现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．经过秒后，射线、的夹角为，直接写出的值． 变式3-3．如图1，O为直线上一点，过点O在直线的上方作射线，，将一个含（）的直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向转动一周的过程中，如图2，经过t秒后，恰好平分．求t的值； (2)在（1）问的条件下，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿逆时针方向转动一周的过程中，如图3，请通过计算说明经过多长时间直线平分． 题型4 含互余 / 互补的动角问题 解题关键：利用 “互余和为 90°，互补和为 180°” 的关系，列方程求解。 典例精讲 例题 4．如图1，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若三角尺不动，将三角尺绕点O按顺时针方向转动．    (1)如图2，若，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (2)如图3，，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (3)三角尺在转动的过程中，若，计算的大小（用含的代数式表示）； (4)借助（3）中的结论，在备用图中利用画直角的工具画出一个与相等的角． 变式训练 变式4-1．综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点，，在同一条直线上，将一直角三角尺如图放置，直角顶点与点重合，是直角，平分 【问题发现】 (1)若，则的度数为______． (2)将这一直角三角尺如图放置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将这一直角三角尺如图放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (4)将直角三角尺绕点顺时针旋转，旋转过程中始终平分，当时，请直接写的度数． 变式4-2．已知和是互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）． (1)如图1，使三角板的短直角边与射线重合，则　　　． (2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线． (3)如图3，将三角板绕点逆时针转动到使时，求的度数． (4)将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，恰好与直线重合，求的值． 变式4-3．已知，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则______． (2)在图1中，若，则______°（用含a的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，说明理由． 过关检测训练 1．如图，以直线上一点为端点作射线，使，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点处．（注：） (1)如图1，如果直角三角板的一边放在射线上，那么的度数为 ； (2)如图2，将直角三角板绕点按顺时针方向转动到某个位置，如果恰好平分，求的度数； (3)如图3，将直角三角板绕点任意转动，如果始终在的内部，请直接用等式表示和之间的数量关系． 2．【新概念】若为内一条射线，且满足时，我们把射线叫做射线、的等个性线，记作（其中为正整数，为两角的公共边）． 如图1，为内一条射线，，则称是． 【实际应用】已知：为直线上一点，过点作射线． (1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点放在处，另两条边分别为，，当是时， ；（填“是”或“不是”） (2)如图3，将三角板的顶点放在处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由； (3)将图3中的射线绕点逆时针旋转，如图4，此时是否存在正整数使是的同时，也是．若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 3．如图1，点为直线上一点，在直线上方作，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，另一边在直线的下方． (1)_____； (2)如图2，将直角三角板绕点顺时针旋转，使得恰好平分，求的度数； (3)点为射线上一点，将图1中直角三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，射线同时绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与射线重合时，直角三角板和射线同时停止运动，设直角三角板运动时间为秒． ①当时，求的值； ②当大于30时，猜想与的数量关系，并说明理由． 4．已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； (3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 5．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，______； (2)将图1中的三角板绕点O按照顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时______； (3)继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，则______； (4)上述三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，观察三角板边的运动情况．若绕点O按每秒钟的速度旋转，当恰好为的平分线时，此时，绕点O运动时间为______秒，并说明理由． 6．我们学过角的平分线的概念．类比给出新概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条． 例如：如图1，若，则是的一条三分线． (1)如图1，若，是的一条三分线，求的度数； (2)如图2，若，是的两条三分线．现以O为中心，将顺时针旋转度得到，当恰好是的三分线时，则 ． (3)如图3，若，是的一条三分线，分别是与的平分线，将绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若射线恰好是的三分线，则此时绕点旋转的时间是多少秒？（直接写出答案即可，不必说明理由） 7．七年级某数学探究小组设计并创作了一副三角板为背景的圆形钟面．如图①，点为钟面的圆心，，且点在同一直线上，边恰好指向12点方向，线段为时针，线段为分针，时钟运行正常． 【简单认识】 （1）时针每分钟转动_____度，分针每分钟转动_____度； （2）如图②所示，此时时针恰好平分，请在图②中画出这一时刻分针的位置，并写出时针与分针的夹角为_____度（小于平角）． 【深入探究】 （3）若时针与分针同时从（2）中时刻出发，求经过多长时间，（时间限定在30分钟内）． 8．【背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则两点之间的距离．线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）填空： ①线段的中点表示的数为______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为______；点表示的数为______． （2）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． （3）当______秒时，、两点相遇． 【知识迁移】 （4）如图，已知，射线从射线出发以每秒的速度绕点顺时针旋转，到达射线时停止转动，同时射线从射线出发以每秒的速度绕点逆时针旋转，到达射线时停止转动，设运动时间为秒，则______秒时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题15 动角问题 （知识点+4大题型+过关检测） 题型导览 知识剖析 动角问题是七年级几何的难点题型，本质是利用角的和差、角平分线性质，结合运动变化分析角的数量关系，需掌握以下基础知识点： 【知识点1 角的基本表示与度量】 · 角的表示：用三个大写字母（如∠AOB）、一个大写字母（如∠O，顶点唯一时）或数字 / 希腊字母（如∠1、∠α）表示。 · 度量单位：度（∘）、分（′）、秒（″），换算关系：1∘=60′，1′=60′′。 【知识点2. 角的和差关系】 · 若射线OC在∠AOB内部，则∠AOB=∠AOC+∠COB； · 若∠AOC=∠AOB+∠BOC，则射线OB在∠AOC内部。 【知识点3. 角平分线的定义】 · 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 · 若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠COB。 【知识点4 动角的核心表示方法】 设动角的旋转速度为v（单位：度 / 秒），旋转时间为t（单位：秒）： · 顺时针旋转：旋转后的角度 = 初始角度 −vt（角度减小，结果需非负，若为负则加360∘）； · 逆时针旋转：旋转后的角度 = 初始角度 +vt（角度增大，若超过360∘，可减360∘取余）。 【知识点5 常见特殊角关系】 · 互余：两个角的和为90∘；互补：两个角的和为180∘； · 平角：一条射线绕端点旋转半周形成的角，度数为180∘； · 周角：旋转一周形成的角，度数为360∘。 【知识点6 核心解题技巧】 动角问题的解题关键是 **“定静为动，以静制动”**，即把运动的角转化为用t表示的代数式，再结合条件列方程求解，具体技巧可总结为 “四步走”： 步骤 1：标初始，定方向 · 明确题目中所有角的初始度数（如∠AOB=60∘）； · 确定动射线的旋转方向（顺时针 / 逆时针）和旋转速度（如3∘/秒）。 步骤 2：写表达式，表动角 · 根据旋转方向和速度，写出t秒后所有相关角的度数表达式（核心步骤，避免出错）； · 若涉及角平分线，结合角平分线性质，写出平分后角的表达式。 步骤 3：列方程，建关系 · 根据题目中的条件（如 “角相等”“互余”“互补”“倍数关系”），建立关于t的方程； · 若涉及绝对值（如 “角的度数为非负数”“两种位置情况”），需分情况讨论。 步骤 4：验结果，下结论 · 求解方程后，检验结果是否符合实际（时间t≥0，角度度数在合理范围，如0∘到360∘之间）； · 舍去不合理解，整理有效解并作答。 关键提醒 1. 分情况讨论：当动射线旋转到不同位置时，角的和差关系可能改变，需根据旋转范围分类； 2. 单位统一：确保旋转速度和时间的单位一致（如速度为 “度 / 秒”，时间为 “秒”）； 3. 数形结合：画图辅助分析，在图中标出初始角和旋转后的角，直观判断数量关系。 【知识点7 解题技巧口诀】 定初始，标方向；写表达式，明度量； 角平分线，分一半；列方程，找关系； 分情况，不遗漏；验结果，合实际； 动角问题不难解，四步走通全掌握！ 题型1 单射线旋转 — 求角度或时间 解题关键：根据旋转方向和速度，写出动角的表达式，结合特殊角关系列方程。 典例精讲 例题 1．如图，O为直线上一点，过点O作射线，，射线从射线出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，到射线停止，要使射线成为的角平分线，射线从射线出发需要旋转 秒． 【答案】20 【分析】本题考查的是角平分线的有关计算及角的和差计算，先得出，，再根据旋转速度求出旋转时间即可． 【详解】解：如下图， ∵要使射线成为的角平分线，， ， ， ∵射线从射线出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转， ∴射线从射线出发需要旋转时间为秒， 故答案为：20． 变式训练 变式1-1．如图，在直线上取一点O，向上作一条射线，使，将一直角三角形的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的上方．将射线以每秒的速度绕点O逆时针方向旋转至，当与第一次重合时停止．在旋转的过程中，若恰好有，则旋转的时间为 秒． 【答案】2或18 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，几何角度的计算．分两种情况讨论，当在右侧时，当在左侧时，分别用的代数式表示出和，根据，列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，，， 当在右侧时， ∴，， ∵， ∴， 解得； 当在左侧时， ∴，， ∵， ∴， 解得； 综上，旋转的时间为2秒或18秒时，恰好有， 故答案为：2或18． 变式1-2．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线是的“启仔等分线”．如图2，，若射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为秒当 时，射线是的“启仔等分线”． 【答案】秒或5秒或20秒 【分析】本题考查角的运算中的新定义，仔细分析动态过程，确定三种情况是解题的关键． 根据旋转的过程，依次设定，，，四种情况进行分析． 【详解】解：由题意，可分四种情况： 当时，， 所以 秒； 当时，， 所以 秒； 当时，， 所以 秒； 当时，， 不符合条件“当首次等于时停止旋转”，舍去． 故答案为：5秒或秒或20秒． 变式1-3．如图，已知是过点且在内部的一条射线，分别平分．当绕点在的内部旋转时，请你探究的度数是否发生变化，并说明理由． 【答案】，不会发生变化．理由见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，关键是由角平分线的定义得到． 由角平分线的定义得到，因此． 【详解】解：，不会发生变化．理由如下： 因为分别平分， 所以， 所以． 因为， 所以，不会发生变化． 典例精讲 题型2 双射线旋转 — 相遇与角度相等 解题关键：分别写出两条动射线旋转后的角度表达式，利用 “角度相等” 或 “角的和差为定值” 列方程。 例题 2．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若其中一个角的度数是另一个角度数的3倍，则称射线是的“逐光线”，[注：本题研究的角都是小于平角的角]． (1)如图1，，射线是的“逐光线”，则的度数为________________． (2)如图2，若，射线从射线的位置开始，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，旋转的时间为，问：当射线、旋转到一条直线上时，求的值． (3)在（2）的条件下，请直接写出当射线是的“逐光线”时的值． 【答案】(1)或或或 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查角的概念与计算、分类讨论思想的应用，以及动态几何问题中的行程类角度计算．将动态的角度变化转化为含的代数式，再结合已知条件列方程是解题关键． （1）设，则，按“逐光线”的定义分类讨论列方程即可求解； （2）先确定运动总时间：转一周需30秒，设旋转时间为，则转了、转了，结合初始，分情况列方程即可求解； （3）根据“逐光线”定义，需在内部，据此先确定时间范围，用含的式子表示出、、，再分情况列方程即可求解． 【详解】（1）解：已知，射线是的“逐光线”， 设，则， 分情况讨论： 当，，解得； 当，，解得； 当，，解得； 当，，解得． 即的度数为或或或； 故答案为：或或或； （2）解：由题意可得，会先回到出发位置，花费时间为，则运动的时间范围为， 转了、转了， 当射线与射线相遇时，，解得； 当射线运动到射线的反向延长线上时，，解得； 综上，或； （3）解：根据题意，需在内部， 当在射线反向延长线时，，解得， 结合（2）可得，． 当时， ，， ， 解得（舍）； 当时， ，， ， 解得； 当时， ，， ， 解得； 当时， ，， ， 解得． 综上，或或． 变式训练 变式2-1．已知，是内部的一条射线，且．    (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用： （1）根据，可得，根据角平分线的定义可得，，再根据角的和差关系求解； （2）①用含t的式子表示出和，即可求解；②根据角的和差关系，用含t的式子表示出和，根据列方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：①；理由如下： ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ， ∴，， ∴； ②由①知，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 把代入得：， 解得． 变式2-2．如图，射线在的内部，如果，则称为射线与的“分割值”，记为．例如当，时，则，即，反之，则． (1)如图，射线在的内部，，，则________； (2)如图，，，射线从位置开始，绕点按顺时针方向匀速旋转，到达时立即原速返回，射线从位置开始，绕点按顺时针方向匀速旋转，当到达时，也停止运动，设旋转的时间为秒．若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒． 当时，求的值； 若，求的值． 【答案】(1) (2)；或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，角的计算，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据“分割值”的定义即可解答； （2）先求出当时，的值，再根据“分割值”的定义即可解答； 分两种情况讨论：当射线从开始顺时针旋转到时，当射线从原速返回时，分别表示出，，再根据“分割值”的定义列式，求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ； 故答案为：； （2）解：射线旋转的速度为每秒，， ， 当时，到达，射线、均停止运动， 射线旋转的速度为每秒，， ， 当时，到达， 当时，如图所示，， ； 当射线从开始顺时针旋转到时，， 如图所示， 射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒． ，， ， ， 解得； 当射线从原速返回时，， ，， ， ， 解得； 综上，或 ． 变式2-3．如图①，运动会的广播操让我们充分体会到了一种整体的图形之美．小田和小栩想从数学角度分析如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图②．为了方便研究，定义两手手心位置分别为A，B两点，两脚脚跟位置分别为C，D两点，平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转． (1)如图②，A，O，B三点共线，且，则_______； (2)第三节腿部运动中，如图③，小田发现，虽然A，O，B三点共线，却不在水平方向上，且，经过计算她发现，代数式的值为定值，请判断小田的发现是否正确？如果正确，请求出代数式的值；如果不正确，请说明理由； (3)第四节体测运动中，小栩发现，两腿左右等距张开（处于竖直方向），开始运动前A，O，B三点在同一水平线上，右手、左手绕点O顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图④． ①运动停止时，_______； ②请帮助小栩求解：当时，运动时间是多少？ 【答案】(1)90 (2)小田的发现是正确的，代数式的值是 (3)①；②或 【分析】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键． （1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出； （2）由，设，则，分别表示出和，再求比值，可得结论； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图2，∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90； （2）解：∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴小田的发现是正确的，代数式的值是； （3）解：∵， ∴，， 设运动时间为，则，则． ① 运动停止时，即时，旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点C，O，A三点共线时，； ∴当时，，， ∵， ∴， 解得； 当时，， ， ∵， ∴， 解得． 综上所述，当时，运动时间是或． 题型3 含角平分线的动角问题 解题关键：结合角平分线性质，写出平分后角的表达式，再根据条件列方程。 典例精讲 例题 3．综合与探究 问题情境： 在数学活动课上，老师给出一个定义，如图1，在内部画出一条射线，得到三个角，分别是，，．若其中两个角之差等于，则称射线是的“和谐线”．（本题中提到的角都是大于且小于的角） 独立思考： （1）若，，请你判断射线是不是的和谐线，并说明理由． 初步探究： （2）如图2，当平分时，试通过计算探究射线是不是的和谐线． 问题解决： （3）若，射线是的和谐线，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1）射线是的和谐线，理由见解析；（2）射线是的和谐线；（3），或 【分析】本题主要考查了角的和差倍分，解一元一次方程，解题的关键是掌握角的和差倍分． （1）根据角的和差求出各角的度数，然后根据新定义求解即可； （2）根据角平分线的定义表示出各角，最后根据新定义求解即可； （3）假设，则，分情况进行讨论，根据新定义列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）射线是的和谐线，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴射线是的和谐线； （2）射线是的和谐线，理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∴射线是的和谐线； （3）假设，则， 当时， ， 解得， 即； 当时， ， 解得， 即； 当时， ， 解得， 即； 当时， ， 解得， 即； 综上，的度数为，或． 变式训练 变式3-1．是内部的一条射线，且． (1)如图1，若平分平分，求的度数； (2)如图2，是锐角，在内引射线，满足．若平分，判断是不是的平分线，并说明理由； (3)如图3，，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度同时绕着点逆时针旋转，当第一次回到上时，两条射线都停止旋转，设运动时间为秒． ①和分别在和内部时，求和的数量关系； ②若，在旋转过程中，直接写出当时，的值． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)①；②5或9 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案； （2）将中拆为，结合平分即可判断； （3）①先求出，根据题意可得，，由此求出；②根据位置不同，分情况讨论即可． 【详解】（1）解： 平分平分， （2）解：是的平分线，理由如下： ， ， ， 平分， ， ，即， 是的平分线； （3）解：①∵， ， 由题意得：， ， ； ②∵， ∴， ， （i）当时，和分别在和内部， ， ， 若，则，不符合； （ii）， 当时，如图： ， ， ，则，符合； （iii）当和重合时： ， 即，则； 故当时，如图： ， ， ，则，不符合； （iv）当时，如图： 则当时，，解得， ∵的旋转速度大于的旋转速度， ∴时，； 综上所述，的值为5或9． 变式3-2．【材料阅读】 如图1，数轴上的点A、B表示的数分别为、6，是线段的中点． （1）点表示的数是______． （2）若点P、Q分别从点C、B同时出发，以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则t秒后，点P、Q表示的数分别是______、______．（用含t的代数式表示） （3）在（2）的条件下，若P、Q两点之间的距离为3，求t的值． 【方法迁移】 （4）如图2，，平分，现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．经过秒后，射线、的夹角为，直接写出的值． 【答案】（1）2；（2）、；（3）1或7；（4）8或20 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、与角平分线有关的计算等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质列出计算即可得； （2）根据数轴的性质可得点表示的数为点表示的数加上其运动距离；点表示的数为点表示的数加上其运动距离； （3）根据数轴上两点之间的距离可得，化简解方程即可得； （4）先根据角平分线的定义可得，求出，再分两种情况：①在与相遇前，②在与相遇后，根据角的和差建立方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）∵数轴上的点表示的数分别为、6，是线段的中点， ∴点表示的数是， 故答案为：2． （2）∵点表示的数为，点表示的数为2， ∴秒后，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：、． （3）∵秒后，点表示的数为，点表示的数为，两点之间的距离为3， ∴，即， ∴或， ∴或， 综上，的值为1或7． （4）∵，平分， ∴， 由题意得：当旋转一周时，， ∴， ①如图，在与相遇前， 则， 解得，符合题意； ②如图，在与相遇后， 则， 解得，符合题意； 综上，的值为8或20． 变式3-3．如图1，O为直线上一点，过点O在直线的上方作射线，，将一个含（）的直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向转动一周的过程中，如图2，经过t秒后，恰好平分．求t的值； (2)在（1）问的条件下，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿逆时针方向转动一周的过程中，如图3，请通过计算说明经过多长时间直线平分． 【答案】(1)9秒 (2)18秒或36秒 【分析】本题考查角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键． （1）根据，恰好平分，可知，进而可知旋转的度数，结合旋转速度可得时间t； （2）由题意分别根据转动速度关系和平分进行分析． 【详解】（1）解：∵，   ∴． ∵经过t秒后，平分， ． ∴． 解得． 答：t的值是9秒； （2）解：①当射线的反向延长线平分时，如下图， 由题意得：， 则， 解得：； ②当射线平分时，如下图， 由题意得：， 解得：， 即：经过18秒或36秒直线平分． 题型4 含互余 / 互补的动角问题 解题关键：利用 “互余和为 90°，互补和为 180°” 的关系，列方程求解。 典例精讲 例题 4．如图1，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若三角尺不动，将三角尺绕点O按顺时针方向转动．    (1)如图2，若，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (2)如图3，，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (3)三角尺在转动的过程中，若，计算的大小（用含的代数式表示）； (4)借助（3）中的结论，在备用图中利用画直角的工具画出一个与相等的角． 【答案】(1)，= (2)，= (3)． (4)见解析 【分析】本题主要考查了角度的和差计算． （1）由互余先求出的度数，再根据即可；由同角的余角相等可得出； （2）由图形可知，，代入即可；再由角度的和差计算可得出； （3）分两种情况：①当与有重合部分时；②当与无重合部分时，可分别得出结论； （4）由（3）可知，分别以为边，为边作两个直角即可． 【详解】（1）解：由图可知． 因为，所以， 所以， 所以，所以． 故答案为：，=； （2）解：由图可知． 因为， 所以． 因为，， 所以． 故答案为：，=； （3）解：①当与有重合部分时， 由题意可知， 所以，， 所以． 因为， 所以， ②当与无重合部分时， 由题意可知， 所以，， 所以． 因为， 综上，； （4）解：由（3）可知， 如图，即为所求．    变式训练 变式4-1．综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点，，在同一条直线上，将一直角三角尺如图放置，直角顶点与点重合，是直角，平分 【问题发现】 (1)若，则的度数为______． (2)将这一直角三角尺如图放置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将这一直角三角尺如图放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (4)将直角三角尺绕点顺时针旋转，旋转过程中始终平分，当时，请直接写的度数． 【答案】(1) (2) (3)和的度数之间的关系是：，理由见解析 (4)或 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，邻补角的定义，角的计算，理解角平分线的定义，邻补角的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． （1）根据是直角，得，根据平分得，再根据即可得出答案； （2）根据是直角，得，根据平分得，再根据即可得出答案； （3）根据平分得设，则，进而得，，据此即可得出和的度数之间的关系； （4）依题意有以下两种情况：①当在直线的上方时，先求出，根据平分得，再根据可得；②当在直线的下方时，同①得，再根据可得，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：是直角，， ， 平分， ， 点，，在同一条直线上， ， 故答案为：； （2）解：是直角，， ， 平分， ， 点，，在同一条直线上， ； （3）解：和的度数之间的关系是：，理由如下： 平分， 设， ， 点，，在同一条直线上， ， 是直角， ， ； （4）解：依题意有以下两种情况： ①当在直线的上方时，如图①所示： 点，，在同一条直线上，， ， 平分， ， 是直角， ； ②当在直线的下方时，如图②所示： 同①得：， 是直角， ， 综上所述：的度数为或． 变式4-2．已知和是互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）． (1)如图1，使三角板的短直角边与射线重合，则　　　． (2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线． (3)如图3，将三角板绕点逆时针转动到使时，求的度数． (4)将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，恰好与直线重合，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 (4)28或64 【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）代入求出即可； （2）求出，根据求出，，推出，即可得出答案； （3）根据平角等于求出即可； （4）分两种情况：在一周之内，当与射线的反向延长线重合时，三角板绕点旋转了；当与射线重合时，三角板绕点旋转了；依此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， 又， ． 故答案为：． （2）平分， ． ， ，． ． 所在射线是的平分线． （3）设，则， 如图，当射线在的内部时， ，， ． ， ，解得． ． 如图，当射线在的外部时， ， ，解得， 即． ． 综上所述，的度数为或． （4）如图， 分两种情况： 在一周之内，当与射线的反向延长线重合时，三角板绕点旋转了， ，解得； 当与射线重合时，三角板绕点旋转了， ，解得． 所以当秒或64秒时，与直线重合． 综上所述，的值为28或64． 变式4-3．已知，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则______． (2)在图1中，若，则______°（用含a的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②，理由见解析 【分析】本题考查角的计算、角平分线的定义、角的和与差，解题的关键是根据题目中的信息，建立各个角之间的关系，然后找出所求问题需要的条件． （1）利用邻补角定义、角平分线的定义和角的和差的意义解答即可； （2）由第（1）问的求法，可以直接写出的度数； （3）①首先写出和的度数之间的关系，由是直角，平分，，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到和的度数之间的关系； ②首先得到与的度数之间的关系，由，是直角，平分，和的关系，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到与的度数之间的关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴； 故答案是：； （3）解：①，理由： 设，则， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴； ②． 理由：∵，， ∴， 即， ∵，， ∴，又， ∴． 化简，得． 过关检测训练 1．如图，以直线上一点为端点作射线，使，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点处．（注：） (1)如图1，如果直角三角板的一边放在射线上，那么的度数为 ； (2)如图2，将直角三角板绕点按顺时针方向转动到某个位置，如果恰好平分，求的度数； (3)如图3，将直角三角板绕点任意转动，如果始终在的内部，请直接用等式表示和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】本题考查了角的和差关系，准确表达出角的和差关系是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）由角平分线可得，再利用角的和差进行计算即可求解； （3）分别用及的式子表达，然后进行列式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ， ∴， ∴， 故答案为：． 2．【新概念】若为内一条射线，且满足时，我们把射线叫做射线、的等个性线，记作（其中为正整数，为两角的公共边）． 如图1，为内一条射线，，则称是． 【实际应用】已知：为直线上一点，过点作射线． (1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点放在处，另两条边分别为，，当是时， ；（填“是”或“不是”） (2)如图3，将三角板的顶点放在处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由； (3)将图3中的射线绕点逆时针旋转，如图4，此时是否存在正整数使是的同时，也是．若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)是 (2)不是，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义，角的和差运算，互余、互补关系，解答本题的关键是理解新定义的含义． （1）利用互补关系与互余关系即可判断； （2）由题意得，设，用含的式子将和表示出来，即可得猜想结果； （3）由题意得，，则可得，由此得，即，根据是正整数可得的度数，从而求得的值． 【详解】（1）解：是， ． ∴， ，， ，即． ． ． 即是． 故答案为：是． （2）不是，理由如下： 是， ． ． 设，则，， ． ， ． 若是， 则， 即，解得， 此时不满足题意， 不是． 与是重合的， 不是． （3）是，是， ，． ， ． ， ． ． ，且为正整数， ． ． 3．如图1，点为直线上一点，在直线上方作，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，另一边在直线的下方． (1)_____； (2)如图2，将直角三角板绕点顺时针旋转，使得恰好平分，求的度数； (3)点为射线上一点，将图1中直角三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，射线同时绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与射线重合时，直角三角板和射线同时停止运动，设直角三角板运动时间为秒． ①当时，求的值； ②当大于30时，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)150 (2) (3)①或．②，见解析 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的定义，一元一次方程的应用等知识． （1）根据计算即可； （2）由角平分线的定义得，然后根据求解即可； （3）①分当在左侧时和当在右侧时两种情况求解即可； ②先求出当大于30时，在的右侧，根据得到，而，则，即可得到与的数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 故答案为：150； （2）解：平分， ， ． （3）解：①由题意得，，， 如图，当在左侧时，， 解得； 如图，当在右侧时，， 解得：； 综上所述或． ②，理由如下： ∵当时，，， ∴当大于30时，在的右侧， ， ． 而 ∴ ． 4．已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； (3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案； （2）先求出，则，进一步求出，由角平分线的定义得到，进而可得； （3）①先求出，，根据题意可得，由此求出，，则；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴，， ∴； ②由①知， ∵， ∴， ∵，， ∴， 把代入得： 解得， ∴若，当时，． 5．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，______； (2)将图1中的三角板绕点O按照顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时______； (3)继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，则______； (4)上述三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，观察三角板边的运动情况．若绕点O按每秒钟的速度旋转，当恰好为的平分线时，此时，绕点O运动时间为______秒，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或，理由见解析 【分析】本题考查了角的和差，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，并求出角的度数是解题的关键． （1）根据，，即可求得和的度数； （2）根据题意，利用，即可解答； （3）表示出，，作差即可； （4）分类讨论，即当绕点O顺时针旋转时或当绕点O逆时针旋转时，分别求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ， 故答案为：；； （2）解：在图2中，， ， 故答案为：； （3）解：在图3中，， ， ， 故答案为：； （4）解：或，理由如下： 如图， ， 当恰好为的平分线时，， ， 当绕点O顺时针旋转时，旋转的角度为， 秒， 当绕点O逆时针旋转时，旋转的角度为， 秒， 故答案为：或． 6．我们学过角的平分线的概念．类比给出新概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条． 例如：如图1，若，则是的一条三分线． (1)如图1，若，是的一条三分线，求的度数； (2)如图2，若，是的两条三分线．现以O为中心，将顺时针旋转度得到，当恰好是的三分线时，则 ． (3)如图3，若，是的一条三分线，分别是与的平分线，将绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若射线恰好是的三分线，则此时绕点旋转的时间是多少秒？（直接写出答案即可，不必说明理由） 【答案】(1)或； (2)或； (3)25，26，28或29秒 【分析】本题主要考查角的和差倍分运算，根据题意，画出图形，分类讨论，是解题的关键． （1）由是的一条三分线，分类讨论，即可求解； （2）以O为中心，将顺时针旋转n度得到，当恰好是的三分线时，分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求解即可； （3）由是的一条三分线，，得或，分两种情况讨论：当时；当时，分别求出绕点O沿顺时针方向旋转的度数，进而即可求解． 【详解】（1）解：，是的一条三分线， ，或， 或． （2）解：现以O为中心，将顺时针旋转n度得到，当恰好是的三分线时，分两种情况： 当是的三分线，且时，如图2②， ， ， ， 当是的三分线，且时，如图2③， ， 或50； 故答案为：或；． （3）解：是的一条三分线，， 或， ，分别是与的平分线， ， 当时，如图3， 或， 绕点O沿顺时针方向旋转或时，是的一条三分线， （秒）或（秒）； 当时，如图， 或， 绕点O沿顺时针方向旋转或时，是的一条三分线， （秒）或（秒）； 综上，绕点O沿顺时针方向旋转的时间是25，26，28或29秒． 故答案为：25，26，28或29秒． 7．七年级某数学探究小组设计并创作了一副三角板为背景的圆形钟面．如图①，点为钟面的圆心，，且点在同一直线上，边恰好指向12点方向，线段为时针，线段为分针，时钟运行正常． 【简单认识】 （1）时针每分钟转动_____度，分针每分钟转动_____度； （2）如图②所示，此时时针恰好平分，请在图②中画出这一时刻分针的位置，并写出时针与分针的夹角为_____度（小于平角）． 【深入探究】 （3）若时针与分针同时从（2）中时刻出发，求经过多长时间，（时间限定在30分钟内）． 【答案】（1）0.5；6；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查钟面角的计算方法，掌握钟面中每一个大格的度数，每一小格的度数，时针每分钟走的度数，分针每分钟走的度数，结合角度的关系，以及路程问题等知识是解题的关键． （1）根据钟面的特点，分别算出每一个大格的度数，每一小格的度数，时针每分钟走的度数，分针每分钟走的度数； （2）根据角的和差与角平分线可求出，得到此时时间为，即可解答； （3）设经过t分钟，时针转过的角度，分针转过的角度为，根据时针与分针所成夹角为，列出方程分别计算，注意有两种情况． 【详解】解：（1）钟面中，相连两个整数之间，即每一个大格是，每大格中相连的每一个小格是， ∴时针每分钟走，分针每分钟走， 故答案为：0.5；6 （2）∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴时针从12点开始转过了， 即从12点经过了（分钟）（时）， ∴这时时间为，时针指向10，分针指向12，它们之间有两个大格， ∴时针与分针的夹角． （3）， 时针与分针同时出发，分钟之内，经过t分钟，时针与分针的夹角等于． ∴时针转过的角度，分针转过的角度为， 当时针与分针夹角等于时， 或， 解得：或， ∴经过或分钟，． 故答案为：或 8．【背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则两点之间的距离．线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）填空： ①线段的中点表示的数为______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为______；点表示的数为______． （2）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． （3）当______秒时，、两点相遇． 【知识迁移】 （4）如图，已知，射线从射线出发以每秒的速度绕点顺时针旋转，到达射线时停止转动，同时射线从射线出发以每秒的速度绕点逆时针旋转，到达射线时停止转动，设运动时间为秒，则______秒时，． 【答案】（1）①3：②，；（2）点在运动过程中．线段的长度不变，线段的长为5；（3）；（4）或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，角度的相关计算，一元一次方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）①利用线段的中点表示的数，可求出线段的中点表示的数； ②根据点，的出发点、运动方向、运动速度及运动时间，即可用含t的代数式表示出点，表示的数； （2）当运动时间为t秒时，用t表示出点表示的数，用t表示出点表示的数，结合“点M为的中点，点为的中点”，可得出点M表示的数，点表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，可求出，进而可得出结论． （3）根据相遇得到、两点表示的数相等，列方程并解方程即可； （4）分射线和射线相遇前和射线和射线相遇后两种情况分别列方程，并解方程即可． 【详解】（1）解：①线段的中点表示的数为． 故答案为： 3． ②t秒后，点表示的数， 点表示的数为． 故答案为：，； （2）当运动时间为t秒时，点表示的数，点表示的数为， ∵点M为的中点，点为的中点， ∴点M表示的数为， 点表示的数为， ∴， ∴点在运动过程中．线段的长度不变，线段的长为5． （3）、两点相遇，则，解得， 故答案为： （4）解：由题意可知，当射线和射线相遇前， 则， 解得，符合题意； 当射线和射线相遇后， ， 解得，符合题意， 故答案为：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $