专题08 排列组合11大题型（寒假复习讲义）高二数学人教B版

专题08 排列组合11大题型 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：排列的定义及排列数 1.排列的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. 2.排列数:从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示. 3排列数公式:,并且.从形式上看排列数等于从开始的个连续自然数相乘. 全排列:特别地,个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列. 的阶乘:正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用!表示.规定:, 知识点2：组合的定义及组合数 组合的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素作为一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示. 组合数公式：,这里,并且. 规定. 组合数的性质:（1） ;（2） 知识点3：排列数的应用 1.没有限制条件的排列问题：对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,分清元素和位置即可. 2.有限制条件的排列问题：分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法. 3.相邻问题：采用捆绑法；不相邻问题：采用插空法 4.定序问题：可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列. 5.有限制条件的组合问题：①直接法：“特殊元素优先选取”的原则；②间接法：先不考虑限制条件计算选法种数,然后排除不满足条件的选法 6.平均分组问题：一般先分堆，再除以. 7.不平均分组问题：先分堆，其中有组个数一样，再除以 8.相同元素的“分配”问题：“隔板法”：将个相同的元素分成份,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中， 【题型01 两个计数原理的应用】 1．甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为（   ） A．7 B．12 C．81 D．64 【答案】D 【详解】甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座， 即每人去听一个讲座共有种选择，则三人各选一个讲座种数为． 故选：D． 2．如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】元件不通，设备从a到b的电路工作不正常，共有种， 元件正常，当且仅当元件都不通，设备从a到b的电路工作不正常，只有1种， 所以. 故选：B 3．在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．19 C．90 D．200 【答案】B 【详解】按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为. 故选：B. 4．用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 【答案】D 【详解】用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数个位数字有2种情况，首位数字有3种情况，十位数字有3种情况， 所以三位奇数的个数为种情况. 故选：D. 5．2025的正因数的个数为 个.（用数字作答） 【答案】15 【详解】因为， 则根据正因数个数定理，2025的正因数个数为个. 故答案为：15. 6．如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有 种． 【答案】 【详解】解：参观路线分步完成： 第一步，选择三个“环形”路线中的一个流览，有3种选法； 而在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针2类方法完成； 第二步，选择余下的两个“环形”路线中的一个游览，有2种方法， 同理，在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针两类方法完成； 第三步，游览最后一个“环形”路线，也可以按顺时针或按逆时针两类方法完成， 根据分步乘法计数原理可知不同的参观路线共有种. 故答案为： 【题型02 排列数、组合数的化简与证明】 7．计算（    ） A．252 B．126 C．84 D．63 【答案】B 【详解】． 故选：B． 8．（多选）下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以A正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C正确； 由组合数的性质可得，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】A选项，由组合数性质得，A正确； B选项，由组合数计算公式得，B正确； C选项，不妨设，则， 显然，C错误； D选项，，D正确. 故选：ABD 10．计算： ． 【答案】48 【详解】由题意可得：. 故答案为：48. 11．（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【分析】 【详解】（1）证明：由组合数的计算公式，可得， 又由，所以； （2）解：设， 则， 两式相加，可得， 所以，即. 12．（1）计算:; （2）. 【答案】（1）2；（2）0 【分析】 【详解】解:（1）， 【题型03 排列组、组合数的方程及不等式】 13．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以， 所以，又，， 所以， 所以不等式的解集为， 故选：D. 14．已知，则 【答案】或 【详解】由组合数的性质，得或，解得或． 经检验和均满足且，故的值为4或7. 故答案为：4或7 15．已知组合数，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】不等式， 即不等式， 解得，又因且为正整数， 所以原不等式的解集为． 故答案为：. 16．解关于x的方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）由排列数公式，可得， 化简得， 解得或或或． 又因为x要满足，且， 所以原方程的解为． （2）由条件，结合组合数的性质，可得或， 则或 （舍去） 又因为， 可得， 即， 把代入上式，解得． 17．解下列方程. (1)若，求. (2) (3). 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1）由题意得， 则， 则同除得， 同乘得到， 则，又，故解得. （2）因为，所以， 又因为，所以，解得. （3）由题意得， 即，因为，所以， 得到，则， 化简可得，解得或， 又，即，所以解得. 【题型04 相邻问题和不相邻问题】 18．某学校组织学生体检，高二年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队的不同安排方案共有（    ） A．240种 B．120种 C．188种 D．156种 【答案】B 【详解】甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有（种），将剩余的三个班全排列， 安排到剩下的3个位置，有（种）情况，此时有（种）安排方案； 甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有（种），将剩下的三个班全排列， 安排到剩下的三个位置，有（种）情况，此时有（种）安排方案； 甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有（种），将剩下的三个班全排列， 安排到剩下的三个位置，有（种）情况，此时有（种）安排方案 由分类加法计数原理可知共有（种）方案． 故选：B． 19．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．24种 B．36种 C．72种 D．144种 【答案】D 【详解】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故选：D. 20．某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动.活动期间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（    ） A．16 B．20 C．24 D．26 【答案】C 【详解】因为A与B的画像不相邻，所以先排再插空排有种排法， 又因为E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为种排法. 故选：C. 21．7个人站成一排照相，其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻，则共有 种不同安排方式. 【答案】1200 【详解】甲乙两人相邻的情况：将甲乙捆绑，再与其他5人作全排列， 所以共有种情况， 其中甲乙、甲丙都相邻的情况：乙丙在甲的两侧并作捆绑，再与其他4人作全排列， 所以共有种情况， 所以甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻共有种. 故答案为： 22．某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有 种． 【答案】2016 【详解】先将4名高三学生全排列， 若高一、高二学生不相邻，站法有， 若高一学生与高二学生相邻，站法有， 共有种站法． 故答案为：2016 【题型05 定序问题】 23．在一次交流活动中，有4名男同学（包含甲）和3名女同学共7名同学排成一行，则男同学甲的右侧（可不相邻）没有其他男同学的排法种数为（    ） A．468 B．540 C．720 D．1260 【答案】D 【详解】要使排列符合题意，甲在4名男同学的排列中位于最右边，则排列的方法数为1260. 故选：D. 24．6名同学相约去游乐场游玩，进场时按顺序验票，则甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有 种;进场后他们选定了3个游玩项目，每人都只玩1个项目，且每个项目都有人玩，则A项目恰有2个人游玩的不同分配方法有 种.(请用数字作答) 【答案】 120 210 【分析】 【详解】甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有=120种， A项目恰有2人游玩的组合有(+)=210种. 故答案为：；. 25．甲乙丙丁等二十人排队，并从左至右依次编号1～20．甲乙丙丁所对应的编号为a，b，c，d．则满足c＞b＞a＞d的概率为 ． 【答案】 【详解】二十人排队共有种排列方法， 因为甲乙丙丁排列顺序唯一确定，则满足条件的情况数为， 所以满足条件的概率为， 故答案为：. 26．自然对数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中位数字设置一个位数的密码，则不同的密码有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】六个数的全排列共有个， 因为出现次，出现次， 所以不同的密码有个. 故选：C. 27．将3面红旗、4面蓝旗、2面黄旗依次悬挂在旗杆上，问：可以组成多少种不同的标志？ 【答案】1260 【详解】将3面红旗、4面蓝旗、2面黄旗全排列共有种排法， 由于每个颜色的旗都一样，所以相同颜色的旗不需要排序， 所求的标志数目为种． 【题型06 多面手问题】 28．某出版社的名工人中，有人只会排版，人只会印刷，还有人既会排版又会印刷，现从人中选人排版，人印刷，有（    ）种不同的选法. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设只会印刷的人中被选中人数为，则的可能取值有、、， ①当时，从只会印刷的人中选人，有种情况， 再安排既会排版又会印刷的人印刷，有种情况，最后从只会排版的人中选人，有种情况， 则共有种情况； ② 当时，先从只会印刷的人中选人，有种情况， 再从既会排版又会印刷的人中选人印刷，有种情况，最后从剩余会排版的人中选人，有种情况，则共有种情况； ③当时，先从只会印刷的人中选人，有种情况， 再从会排版的人中选人，有种情况，则共有种情况； 综上所述，共有种情况； 故选：A. 29．“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（    ） A．15种 B．18种 C．19种 D．36种 【答案】C 【详解】根据题意，记只会划左桨的两人，只会划右桨的两人，既会划左桨又会划右桨的两人； 则不同的选派方法有以下三种： （1）从中选择2人划左桨，划右桨的在中选两人，共有种， （2）从中选择1人划左桨，则从中选1人划左桨，再从剩下的3人中选2人划右桨，共有种； （3）从中选择0人划左桨，则中的两人划右桨，从中选2人划左桨，共有 所以，不同的选派方法共有19种. 故选：C 30．已知某射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有 种．（用数字作答）． 【答案】 【详解】若从只会韩语中选3人，则种， 若从只会韩语中选2人，则种， 故不同的选人方案共有种． 故答案为： 31．有名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要表演一个人唱歌人伴舞的节目，则不同的选派方法共有 种（写出具体数字结果）． 【答案】 【详解】由题意可知：名演员中，既会唱歌又会跳舞的演员有：人， 则有人仅会唱歌，人仅会跳舞； ①仅会唱歌的人中有人表演唱歌节目，则选派方法有种； ②仅会唱歌的人中有人表演唱歌节目，则选派方法有种； ③仅会唱歌的人中无人表演唱歌节目，则选派方法有种； 由分类加法计数原理可知：不同的选派方法有种. 故答案为：. 32．某旅行社有导游人，其中有人会英语，有人会日语。现在需要选名英语导游和名日语导游，完成一项导游任务，则不同的选择方法为 . 【答案】 【详解】由题意， 有导游人，其中有人会英语，有人会日语， ∴有人只会英语，人只会日语，人两种语言都会， 若 1 个会双语的导游都不选，则有 种选择方法， 若恰好选1个会双语的导游，则有 种选择方法， 若恰好选 2 个会双浯的导游，则有 种选择方法, 故不同的选择方法有种. 故答案为：. 【题型07 涂色问题】 33．如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．84种 【答案】B 【详解】由题意可知，使用了3种颜色则只有和颜色相同，或只有和颜色相同， 则涂色方法共有种. 故选：B 34．如图，一个环形的花坛被分成了编号为A、B、C、D的四个区域，现有4种不同的种子，要求同一区域种植同一种种子，且相邻区域种植的种子不同，则共有（   ）种不同的种植方法． A．36 B．60 C．84 D．120 【答案】C 【详解】设k种种子排成环形的n个区域种植不同的方法数为， 若先考虑排成一行的区域种植且相邻区域种植不同种子，则方法数应为， ①若区域1和区域n种植不同种子时，则把区域1和区域n粘在一起成一个环状时满足条件： ②若区域1和区域n种植相同种子时，把区域1和区域n粘在一起成一个环状时不满足条件，此方法数需从种方法中被减掉． 所以，依题意，易得，则， 即． 故选：C. 35．用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（    ）    A．72 B．96 C．120 D．144 【答案】C 【详解】设四种颜色分别为1、2、3、4， （1）四种颜色都用： 先涂区域，有4种填涂方案，不妨设涂颜色1， 再涂区域，有3种填涂方案，不妨设涂颜色2， 再涂区域，有2种填涂方案，不妨设涂颜色3， 若区域填涂颜色2，则区域填涂颜色1、4或4、3， 若区域填涂颜色4，则区域填涂颜色1、3或4、3， 共4种不同的填涂方法.由分步乘法计数原理可得，共有种不同的涂法. （2）四种颜色只用其中的三种颜色： 即当同色，同色，同色，共有种不同的涂法. 综上所述，根据分类相加计数原理可得，共有种不同涂法. 故选：C 36．重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）： “中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物； “十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香； “四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知中间格只有一种放法； 十字格有四个位置，种适合放入，所以有一种放两个位置，共有种放法； 四角格有四个位置，种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置， 有种放法，或每种都放两个位置，有种放法，故四角格共有种放法； 所以不同放法共有种. 故选：C. 37．（多选）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（    ） A B E C D A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 【答案】AB 【详解】对于A，每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择，则有种不同涂法，A正确； 对于B，若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则B和D同色，A和E同色，则共有种不同涂法，故B正确； 对于C，因4种不同颜色全部用上，B，D同色，相邻区域不同色，故可以先涂B，D区域，有种涂法， 因三个区域都与B，D相邻，故只需将余下的3种颜色在上全排，有种涂法，则共有种涂法，故C错误； 对于D，按照ABC的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 因B，D不同色（D只有一种颜色可选），此时ABCD四块区域所用颜色各不相同，涂E只能与A同色，此时共有24种涂法，故D错误． 故选：AB. 38．用四种不同颜色给图中的 4 个区域涂色，如果每一个区域涂一种颜色，相邻两区域不能涂同一种颜色，共有 种不同的涂色方法. 【答案】84 【详解】先涂A有4种情况，下一步涂B有3种情况， 再涂D，分D与B同色或不同色两种情况分类， 当D与B同色，C有3种情况，当D与B不同色，C有2种情况， 所以涂色方法有种情况. 故答案为：84. 【题型08 分组分配问题】 39．兰大附中计划开展“学长经验分享会”，要将6名优秀毕业生分配到高一、高二、高三3个年级进行经验宣讲，要求每个年级至少有1名，至多有3名，则不同的分配方案共有（   ） A．360种 B．450种 C．540种 D．900种 【答案】B 【详解】6名毕业生分配到3个年级，每个年级至少有1名，至多有3名，可分为两类： ①各年级人数分别为1，2，3： 先将6人分为三组（1人，2人，3人），再分配到3个年级，方法数为种； ②各年级人数均为2： 先将6人平均分为三组，再分配到3个年级，方法数为种， 所以所求方案共有种方法． 故选：B 40．从5名学生中选择4人对A，B两种不同算法的加密文件进行破译，每人选择一种文件，每个文件2人破译，则不同的人员安排共有（ ） A．40种 B．48种 C．30种 D．72种 【答案】C 【详解】从5名学生中选择4人，共有种， 将4人分成两组，共有种， 再将2组进行全排列，对应A，B两种文件，共有种， 则不同的人员安排共有种． 故选：C 41．甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．150 D．240 【答案】B 【详解】第一步，从六名学生中选名，分配给甲指导，有种不同的方法， 第二步，将剩余名学生分成两组，分配给乙、丙指导，有种不同的方法， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有种. 故选：B. 42．现安排5名师范生到某高中（三年制）学校实习，每个年级至少安排1名，每名师范生都安排了实习，且只安排到一个年级实习，则所有的安排种数为（    ） A．138 B．240 C．300 D．150 【答案】D 【详解】由题意，5名师范生可以分成或三组，分别分配给一个年级， 故有种安排方法. 故选：D 43．某校园诗歌朗诵大赛共有5名同学进入决赛，决赛要求这5名同学均从《琵琶行》《蜀道难》《离骚》中选择1篇进行参赛，且这3篇诗歌中每篇均有同学选择，则这5名同学诗歌篇目的选择情况共有（    ） A．150种 B．240种 C．180种 D．120种 【答案】A 【详解】5名同学分配到3篇诗歌（每篇至少1人），人数分配只能是 “2,2,1” 或 “3,1,1” 两种组合， 若人数分配为“2,2,1”，则有种不同选择情况； 若人数分配为“3,1,1”，则有种不同选择情况； 综上，共有种不同选择情况. 故选：A 44．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.年月日分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.年，中国空间站将正式进入运营阶段假设空间站要安排甲、乙等名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有   (用数字作答) 【答案】450 【详解】由题知，名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，可分两种情况考虑： 第一种，分人数为的三组，共有种； 第二种，三舱人数都为2，共有种； 所以不同的安排方法共有种． 故答案为：450 【题型09 隔板法】 45．方程的正整数解的个数为（   ） A．15 B．35 C．40 D．20 【答案】D 【详解】原问题相当于将7个相同的小球装入4个不同的盒子里，每个盒子中至少有1个小球， 可采用隔板法，将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空位上插入3个隔板， 故共有种方法. 故选：D 46．某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中（1）班有2个志愿者队长，本次志愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则共有（   ）种分配方法. A．90 B．60 C．126 D．120 【答案】C 【详解】若每个班至少3人参加，由于（1）班有2个志愿者队长， 故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额， 再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额， 故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，有种分配方法. 故选：C. 47．把个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子最多放个小球，则不同方法有 种（用数字作答）. 【答案】 【详解】先考虑个相同的小球放入个不同的盒子的情形，那么其中有空盒， 可考虑在每个盒子中各加一个球，问题转化为将个相同的小球放入个不同的盒子， 每个盒子中至少有个球，由隔板法可知，不同的方法种数为种； 接下来考虑把个相同的小球放在同一个盒子的情形，有种情况. 由间接法可知，不同的方法种数为种. 故答案为：. 48．展开式共 项. 【答案】286 【详解】可以看作10个相同的小盒子，每个盒子里都4个不同的数， 展开式的每一项都是从10个盒子里取一个数，然后相乘构成的， 若选一个数，能构成不同的项种， 若选2个数，先选2个数有种选法，然后把10个盒子分给这2个数，利用隔板法可得分法为种，故能构成不同的项种， 若选3个数，同理可知能构成不同的项种， 若选4个数，可构成不同的项种， 由分类加法计数原理可得，共有种， 故答案为：286 49．将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为 ，恰有一个空盒子的方法数为 ． 【答案】 35 175 【详解】先把8个相同的小球排成一行， 然后在8个小球之间的7个空隙中任选4个空隙各插入一块隔板， 每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式， 故每个盒子都不空的方法数共有种； 若恰有一个空盒子，先选出一个空盒子，有种选法， 并在8个小球之间的7个空隙中任选3个空隙各插入一块隔板，有种插法， 故由分步乘法计数原理恰有一个空盒子的方法数共有种. 故答案为：35；175. 50．（1）求方程的正整数解的个数； （2）求方程的正整数解的个数. 【答案】（1）21；（2）34 【分析】 【详解】（1）方法一： 当时，，则一共有6种；当时，，则一共有5种； 当时，，则一共有4种；当时，，则一共有3种； 当时，，则一共有2种；当时，，则一共有1种. 所以方程的正整数解的个数有种 方法二：利用挡板法可得正整数解的个数为； （2）当时，方程转化为，由（1）知一共有21种； 当时，方程转化为，则一共有10种； 当时，方程转化为，则一共有3种； 当时，不合题意； 综上所述，方程的正整数解的个数为. 【题型10 数字排列问题】 51．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是，为纪念祖冲之在圆周率上的成就，把称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某数学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的位数字进行随机排列，整数部分不变，那么可以得到大于的不同数字有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】由于这7位数字中有2个相同的数字1，故进行随机排列，可以得到的不同情况有， 而只有小数点后前两位为11或12时，排列后得到的数字不大于3.14，故小于3.14的不同情况有， 故得到的数字大于3.14的不同情况有； 故选：C． 52．一个密码有9位，由4个自然数、3个“”、1个“”和1个“”组成，其中与不相邻，和不相邻，数字可随意排列，且数字之积为6，这样的密码有（    ）. A．10200个 B．13600个 C．40800个 D．81600个 【答案】B 【详解】根据题意，这4个自然数为“2，3，1，1”或“6，1，1，1”，简记为“2311”和“6111”． （1）对“2311”分两类： ①把“”视为一个整体，则“2311”与“”一起排列，有（种）； ②按“数字”的顺序排列，先排“2311”，再插入，最后插入“”，有（种）. （2）对“6111”分两类： ①把“”视为一个整体，则“6111”与“”一起排列，有（种）； ②按“数字”的顺序排列，先排“6111”，再插入，最后插入“”，有（种）. 综上，由加法原理得，（个）． 故这样的密码有13600个， 故选：B． 53．从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有 个. 【答案】167 【详解】当百位数小于3时，共有个； 当百位数为3，十位数小于2时，此时共有个； 当百位数为3，十位数为2时，共有个. 综上所述，共有个. 故答案为：167 54．初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是任意正整数都可以表示为不超过4个自然数的平方和，例如．设，其中均为自然数，则满足条件的有序自然数数组的个数为 ． 【答案】60 【详解】由题意知均为不超过6的自然数，下面分情况讨论： ①当最大数为6时，，此时共有种情况； ，此时共有种情况； ②当最大数为5时，，此时共有种情况； ③当最大数为4时，，此时共有种情况； 综上，满足条件的有序自然数数组的个数为， 故答案为：60 55．某人工智能模型在自然语言处理中，使用位置编码表示词序，每个位置编码需用一个6维向量表示．若某位置编码可以写成（a，b，c，d，e，f）的形式，其中，则在仅考虑前3个位置的情况下，恰好取2个不同值的编码共有 个． 【答案】18 【详解】先从这3个数中选2个，有种选法； 再分配2个数到3个位置，必有2个位置的数是相同的， 选择出现1次的数：从选中的2个数中选1个，有种选法， 选择出现1次的数的位置：有种选择； 共有种编码. 故答案为：18 56．用1，2，3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个2相邻出现，则这样的四位数有 个.（用数字作答） 【答案】60 【详解】若四位数中没有2，共有个， 若四位数中有1个2，共有个， 若四位数中有2个2，共有个， 因此共有60个. 故答案为：60 【题型11 排列组合其他综合问题】 57．设有编号为1，2，3，4的四个球和编号为1，2，3，4的四个盒子，现将这四个球放入这四个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种数为 ． 【答案】8 【详解】先确定恰好编号相同的那个球和盒子，从个球中选个，有种选法， 假设选中号球放入号盒子，此时剩下号球和号盒子，要求这个球的编号与盒子编号均不相同， 即求个元素的错位排列数，个元素的错位排列（记为）有种情况：和. 因此，总投放方法种数为. 故答案为： 58．某单位安排甲、乙、丙、丁4人在国庆7天假期值班，要求每天只有1人值班，甲连续值班3天，乙连续值班2天，丙、丁各值班1天，则不同的值班安排方法种数为（    ） A．28 B．24 C．20 D．16 【答案】B 【详解】记国庆7天假期的编号依次为1，2，⋯，7， 则甲、乙值班安排方法的情况及相应值班安排方法种数如下表： 甲 乙 不同的值班安排方法种数 1，2，3 4，5 5，6 6，7 2，3，4 5，6 6，7 3，4，5 1，2 6，7 4，5，6 1，2 2，3 5，6，7 1，2 2，3 3，4 根据分类加法计数原理可知共有（种）不同的值班安排方法. 故选：B． 59．学校的食堂菜品丰富，让人垂涎欲滴. 新年伊始，学校为学生们准备了免费汤圆，但为了避免浪费，每人每次至少取1颗，最多取3颗，最多取5次. 已知小张一共取了10颗汤圆，那么他取汤圆的方式有 种. 【答案】61 【详解】由题意知，小张只能取4次或5次. 取4次的情况，可有组合3,3,3,1和组合3,3,2,2， 组合3,3,3,1:共4个位置，其中选1个位置放1个，剩余位置放3个，排列数； 组合3,3,2,2：共4个位置，选2个位置放3个，剩余位置放2个，排列数； 取4次时共种. 取5次的情况，可有组合3,3,2,1,1、组合3,2,2,2,1和组合2,2,2,2,2， 组合3,3,2,1,1：共5个位置，其中选2个位置放3个，剩余3个位置选1个放2个，剩余位置放1个，排列数； 组合3,2,2,2,1：共5个位置，其中选1个位置放3个，剩余4个位置选3个放2个，剩余位置放1个，排列数； 组合2,2,2,2,2：共5个位置，每个位置放2个，排列数为1； 取5次时共种. 综上，共种. 故答案为：61. 60．将3名男生和3名女生排成一排，若从左边第一个学生开始依次往右数，无论数到几人，男生人数都大于或等于女生人数，则有 种不同的排法．（结果用数值表示） 【答案】 【详解】由题可知，从左边开始第一个学生为男生有种安排方法： ①若第二位为男生： 第三位为男生时的方法数为种， 第三位为女生时第四位为男生时有种，第四位为女生时种， 综上，第二位为男生的方法总数为； ②若第二位为女生： 第三位必为男生，则第四位为男生时有种，第四位为女生时种， 综上，第二位为女生的方法总数为； 根据分类分步计数原理可得总方法数为种不同的排法． 故答案为：. 61．已知集合.若九位数满足，且，，，如212323212，则称这个九位数为“九曲正弦数”，则共有 个“九曲正弦数”. 【答案】 【详解】因，，， 则这5个数至少取集合中3个不同的数字，至多取5个不同的数字， 且为最大的数，为最小的数， ①取3个数：，分别自动选取最大的数和最小的数（以下均采取相同的做法，不再赘述），则取剩下的数，共有种； ②取4个数：共有种； ③取5个数：则从剩下的3个中各自匹配一个数，共有种； 故共有个“九曲正弦数”. 故答案为： 一、单选题 1．某人计划去四川南江旅游，打算从光雾山、米仓山、十八月潭、元顶山、诺水河这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．60 B．20 C．12 D．10 【答案】D 【详解】从5个景点中选3个景点去游玩，是组合问题， 不同的选择方法种数为. 故选：D. 2．如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（   ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】B 【详解】按照焊接点脱落的个数分类讨论，若脱落1个，则有共2种情况， 若脱落2个，则有共6种情况， 若脱落3个，则有共4种情况， 若脱落4个，则有共1种情况， 由分类加法计数原理，情况种数共有种． 故选：B． 3．已知，则（   ） A．7 B．21 C．35 D．42 【答案】B 【详解】由，得或，且， 解得或， 当时，， 当时，. 故选：B． 4．有学员甲、乙、丙、丁、戊参加某培训，现要分配到三个不同的项目组：项目A需1人，项目B和C各需要2人.分配方案数为，甲和乙被分配到同一项目的概率为，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】第一步：先从5人中选1人分配到项目A， 第二步：从剩下4人中选2人分配到项目B， 第三步：从剩下2人中选2人分配到项目C， 所以分配方案数为； 其中甲、乙2人分在同一组，则甲乙只能分配到项目B或项目C， 第一种情况，甲、乙在项目B，则从剩下3人中选1人到项目A，剩下2人到项目C，有种方案； 第二种情况，甲、乙在项目C，则从剩下3人中选1人到项目A，剩下2人到项目B，有种方案； 所以甲、乙2人分在同一组共有种分配方案， 设事件“甲和乙被分配到同一项目组”， 所以，即. 故选：B． 5．第二十七届哈尔滨冰雪大世界主塔名为“冰灯启梦”．景观以雪花托举的“山”字为意象，是对冰雪童话世界的诗意呼应，更是借山之坚韧与巍峨，隐喻生态与发展共生共荣的永恒力量．冰雪大世界现招募志愿者，从哈三中的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（   ） A．102种 B．105种 C．210种 D．288种 【答案】C 【详解】先从8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作， 共有种. 其中甲乙丙3人有一人负责语言服务工作，有种， 故符合条件的选法共有种. 故选：C. 6．给如图所示的六块区域，，，，，涂色，有四种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都要使用），要求相邻区域涂不同颜色，则不同的涂色方法种数是（    ）    A．192 B．168 C．224 D．208 【答案】A 【详解】第一步，给，，三块区域涂色，有种涂色方法； 第二步，给区域涂色，有种涂色方法； 第三步，给区域涂色，有种涂色方法； 第四步，给区域涂色，有种涂色方法， 综上，不同的涂色方法种数是，故A正确. 故选：A. 二、多选题 7．为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（   ） A．若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法 B．若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法 C．若课程“射”“御”排在不相邻两个月，则课程共有480种排法 D．若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有504种排法 【答案】ACD 【详解】学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有种不同的选法，A正确； 课程“乐”排在“书”前面，可得课程共有种排法，B错误； 课程“射”“御”排在不相邻两个月，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，C正确； 课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，利用分类加法计数原理，当“数”在第六个月时共有种； 当“数”既不在第一个月也不在第六个月时，共有种， 故课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，课程共有种排法，D正确． 故选：ACD 8．2025年重庆市“心之向往，渝跑渝爱”主题马拉松赛事设置了全程马拉松、半程马拉松、健康跑和亲子跑四个项目．在渝大学生踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和健康跑、亲子跑四个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是（   ） A．若全程马拉松项目必须安排2人，其余三项各安排1人，则有60种不同的分配方案 B．若每个比赛项目至少安排1人，且每人均被安排，则有240种不同的分配方案 C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法 D．安排这5人排成一排拍照，若甲不站排头或排尾，则有72种不同的站法 【答案】ABD 【详解】对于A，先从5人中选2人安排到全程马拉松项目，有种方法， 然后剩下3人安排到其余两个项目，每个项目安排1人，有（种）， 则由分步乘法计数原理可知共有种分配方案，故A正确； 对于B，将5个人分成4组，且每组至少1人，则分法为1，1，1，2， 则不同的分配方案有（种），故B正确； 对于C，先将甲、乙捆绑在一起看成一个整体，再与剩下的3人进行全排列， 所以不同的站法有（种），故C错误； 对于D，安排这5人排成一排拍照，若甲不站排头或排尾，则甲有3个位置可以选择， 余下4人在剩下的4个位置全排列，则有种不同的站法，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 9．已知正整数满足，则 . 【答案】5 【详解】由题意得，且，得，即. 故答案为：5. 10．某芯片研发部门共有8名核心工程师，其中3人精通算法，另外5人精通硬件架构，现需分为两个小组进行技术攻关，每组4人，每组满足以下要求：①至少有1名算法工程师，②指定一名组长，组长由硬件架构工程师担任．则有 种不同的分组方法（用数字作答）． 【答案】180 【详解】先从3个精通算法的工程师中选1人，从5个精通硬件架构的工程师中选3人，再从3个精通硬件架构的工程师中选1人做组长，有种选法， 此时第二组的人员已经确定，由2个精通算法的工程师和2个精通硬件架构的工程师组成，选1个精通硬件架构的工程师做组长，有种选法. 综上，满足条件的分组方法有种. 故答案为：180 11．从单词“”中选取5个不同的字母排成一排，含有“”（其中“”相连且顺序不变）的不同排列共有 种．（用数字作答） 【答案】480 【详解】要选取5个字母，首先从其它6个字母中选3个有种结果， 再将选出的3个字母与视为一个整体的“”进行全排列共有 种. 故答案为：480 四、解答题 12．（1）求的值； （2）解不等式. 【答案】（1）280；（2） 【分析】 【详解】（1）； （2）由，得， 化简得，解得.① 又，所以.② 由①②及，得， 即不等式的解集为. 13．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】 【详解】（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种， 则唱歌节目排在两头，有种排法； （2）2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有种， 则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻， 有种； （3）7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种. 14．家家户户贴春联是春节的传统，流传下来的很多经典的春联，包含着人们对未来生活的祝福和向往，比如一副春联的上联为“一帆风顺年年好”，下联为“万事如意步步高”．将该春联上联的7个字随机排成一排，求相同字之间有2个字的概率．这道题的解法是将上联的7个字随机排成一排，共有种排法，而相同字之间有2个字有种排法，故相同字之间有2个字的概率为． 分析上面所给解法是否正确，如果不正确，请说明理由，并给出正确解答． 【答案】不正确，理由见解析 【详解】所给解法不正确．理由：排列时忽略了相同元素，且最后计算结果也不正确． 正确解答：因为两个“年”字是相同元素，所以将上联的7个字随机排成一排时，共有种排法， 相同字之间有2个字有种排法， 则相同字之间有2个字的概率为． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 排列组合11大题型 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：排列的定义及排列数 1.排列的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. 2.排列数:从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示. 3排列数公式:,并且.从形式上看排列数等于从开始的个连续自然数相乘. 全排列:特别地,个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列. 的阶乘:正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用!表示.规定:, 知识点2：组合的定义及组合数 组合的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素作为一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示. 组合数公式：,这里,并且. 规定. 组合数的性质:（1） ;（2） 知识点3：排列数的应用 1.没有限制条件的排列问题：对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,分清元素和位置即可. 2.有限制条件的排列问题：分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法. 3.相邻问题：采用捆绑法；不相邻问题：采用插空法 4.定序问题：可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列. 5.有限制条件的组合问题：①直接法：“特殊元素优先选取”的原则；②间接法：先不考虑限制条件计算选法种数,然后排除不满足条件的选法 6.平均分组问题：一般先分堆，再除以. 7.不平均分组问题：先分堆，其中有组个数一样，再除以 8.相同元素的“分配”问题：“隔板法”：将个相同的元素分成份,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中， 【题型01 两个计数原理的应用】 1．甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为（   ） A．7 B．12 C．81 D．64 2．如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．19 C．90 D．200 4．用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 5．2025的正因数的个数为 个.（用数字作答） 6．如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有 种． 【题型02 排列数、组合数的化简与证明】 7．计算（    ） A．252 B．126 C．84 D．63 8．（多选）下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 9．（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 10．计算： ． 11．（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 12．（1）计算:; （2）. 【题型03 排列组、组合数的方程及不等式】 13．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 14．已知，则 15．已知组合数，则关于的不等式的解集为 ． 16．解关于x的方程： (1)； (2)． 17．解下列方程. (1)若，求. (2) (3). 【题型04 相邻问题和不相邻问题】 18．某学校组织学生体检，高二年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队的不同安排方案共有（    ） A．240种 B．120种 C．188种 D．156种 19．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．24种 B．36种 C．72种 D．144种 20．某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动.活动期间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（    ） A．16 B．20 C．24 D．26 21．7个人站成一排照相，其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻，则共有 种不同安排方式. 22．某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有 种． 【题型05 定序问题】 23．在一次交流活动中，有4名男同学（包含甲）和3名女同学共7名同学排成一行，则男同学甲的右侧（可不相邻）没有其他男同学的排法种数为（    ） A．468 B．540 C．720 D．1260 24．6名同学相约去游乐场游玩，进场时按顺序验票，则甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有 种;进场后他们选定了3个游玩项目，每人都只玩1个项目，且每个项目都有人玩，则A项目恰有2个人游玩的不同分配方法有 种.(请用数字作答) 25．甲乙丙丁等二十人排队，并从左至右依次编号1～20．甲乙丙丁所对应的编号为a，b，c，d．则满足c＞b＞a＞d的概率为 ． 26．自然对数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中位数字设置一个位数的密码，则不同的密码有（    ）个 A． B． C． D． 27．将3面红旗、4面蓝旗、2面黄旗依次悬挂在旗杆上，问：可以组成多少种不同的标志？ 【题型06 多面手问题】 28．某出版社的名工人中，有人只会排版，人只会印刷，还有人既会排版又会印刷，现从人中选人排版，人印刷，有（    ）种不同的选法. A． B． C． D． 29．“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（    ） A．15种 B．18种 C．19种 D．36种 30．已知某射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有 种．（用数字作答）． 31．有名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要表演一个人唱歌人伴舞的节目，则不同的选派方法共有 种（写出具体数字结果）． 32．某旅行社有导游人，其中有人会英语，有人会日语。现在需要选名英语导游和名日语导游，完成一项导游任务，则不同的选择方法为 . 【题型07 涂色问题】 33．如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．84种 34．如图，一个环形的花坛被分成了编号为A、B、C、D的四个区域，现有4种不同的种子，要求同一区域种植同一种种子，且相邻区域种植的种子不同，则共有（   ）种不同的种植方法． A．36 B．60 C．84 D．120 35．用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（    ）    A．72 B．96 C．120 D．144 36．重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）： “中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物； “十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香； “四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（ ） A． B． C． D． 37．（多选）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（    ） A B E C D A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 38．用四种不同颜色给图中的 4 个区域涂色，如果每一个区域涂一种颜色，相邻两区域不能涂同一种颜色，共有 种不同的涂色方法. 【题型08 分组分配问题】 39．兰大附中计划开展“学长经验分享会”，要将6名优秀毕业生分配到高一、高二、高三3个年级进行经验宣讲，要求每个年级至少有1名，至多有3名，则不同的分配方案共有（   ） A．360种 B．450种 C．540种 D．900种 40．从5名学生中选择4人对A，B两种不同算法的加密文件进行破译，每人选择一种文件，每个文件2人破译，则不同的人员安排共有（ ） A．40种 B．48种 C．30种 D．72种 41．甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．150 D．240 42．现安排5名师范生到某高中（三年制）学校实习，每个年级至少安排1名，每名师范生都安排了实习，且只安排到一个年级实习，则所有的安排种数为（    ） A．138 B．240 C．300 D．150 43．某校园诗歌朗诵大赛共有5名同学进入决赛，决赛要求这5名同学均从《琵琶行》《蜀道难》《离骚》中选择1篇进行参赛，且这3篇诗歌中每篇均有同学选择，则这5名同学诗歌篇目的选择情况共有（    ） A．150种 B．240种 C．180种 D．120种 44．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.年月日分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.年，中国空间站将正式进入运营阶段假设空间站要安排甲、乙等名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有   (用数字作答) 【题型09 隔板法】 45．方程的正整数解的个数为（   ） A．15 B．35 C．40 D．20 46．某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中（1）班有2个志愿者队长，本次志愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则共有（   ）种分配方法. A．90 B．60 C．126 D．120 47．把个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子最多放个小球，则不同方法有 种（用数字作答）. 48．展开式共 项. 49．将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为 ，恰有一个空盒子的方法数为 ． 50．（1）求方程的正整数解的个数； （2）求方程的正整数解的个数. 【题型10 数字排列问题】 51．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是，为纪念祖冲之在圆周率上的成就，把称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某数学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的位数字进行随机排列，整数部分不变，那么可以得到大于的不同数字有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 52．一个密码有9位，由4个自然数、3个“”、1个“”和1个“”组成，其中与不相邻，和不相邻，数字可随意排列，且数字之积为6，这样的密码有（    ）. A．10200个 B．13600个 C．40800个 D．81600个 53．从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有 个. 54．初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是任意正整数都可以表示为不超过4个自然数的平方和，例如．设，其中均为自然数，则满足条件的有序自然数数组的个数为 ． 55．某人工智能模型在自然语言处理中，使用位置编码表示词序，每个位置编码需用一个6维向量表示．若某位置编码可以写成（a，b，c，d，e，f）的形式，其中，则在仅考虑前3个位置的情况下，恰好取2个不同值的编码共有 个． 56．用1，2，3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个2相邻出现，则这样的四位数有 个.（用数字作答） 【题型11 排列组合其他综合问题】 57．设有编号为1，2，3，4的四个球和编号为1，2，3，4的四个盒子，现将这四个球放入这四个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种数为 ． 58．某单位安排甲、乙、丙、丁4人在国庆7天假期值班，要求每天只有1人值班，甲连续值班3天，乙连续值班2天，丙、丁各值班1天，则不同的值班安排方法种数为（    ） A．28 B．24 C．20 D．16 59．学校的食堂菜品丰富，让人垂涎欲滴. 新年伊始，学校为学生们准备了免费汤圆，但为了避免浪费，每人每次至少取1颗，最多取3颗，最多取5次. 已知小张一共取了10颗汤圆，那么他取汤圆的方式有 种. 60．将3名男生和3名女生排成一排，若从左边第一个学生开始依次往右数，无论数到几人，男生人数都大于或等于女生人数，则有 种不同的排法．（结果用数值表示） 61．已知集合.若九位数满足，且，，，如212323212，则称这个九位数为“九曲正弦数”，则共有 个“九曲正弦数”. 一、单选题 1．某人计划去四川南江旅游，打算从光雾山、米仓山、十八月潭、元顶山、诺水河这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．60 B．20 C．12 D．10 2．如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（   ） A．11 B．13 C．15 D．17 3．已知，则（   ） A．7 B．21 C．35 D．42 4．有学员甲、乙、丙、丁、戊参加某培训，现要分配到三个不同的项目组：项目A需1人，项目B和C各需要2人.分配方案数为，甲和乙被分配到同一项目的概率为，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 5．第二十七届哈尔滨冰雪大世界主塔名为“冰灯启梦”．景观以雪花托举的“山”字为意象，是对冰雪童话世界的诗意呼应，更是借山之坚韧与巍峨，隐喻生态与发展共生共荣的永恒力量．冰雪大世界现招募志愿者，从哈三中的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（   ） A．102种 B．105种 C．210种 D．288种 6．给如图所示的六块区域，，，，，涂色，有四种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都要使用），要求相邻区域涂不同颜色，则不同的涂色方法种数是（    ）    A．192 B．168 C．224 D．208 二、多选题 7．为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（   ） A．若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法 B．若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法 C．若课程“射”“御”排在不相邻两个月，则课程共有480种排法 D．若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有504种排法 8．2025年重庆市“心之向往，渝跑渝爱”主题马拉松赛事设置了全程马拉松、半程马拉松、健康跑和亲子跑四个项目．在渝大学生踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和健康跑、亲子跑四个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是（   ） A．若全程马拉松项目必须安排2人，其余三项各安排1人，则有60种不同的分配方案 B．若每个比赛项目至少安排1人，且每人均被安排，则有240种不同的分配方案 C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法 D．安排这5人排成一排拍照，若甲不站排头或排尾，则有72种不同的站法 三、填空题 9．已知正整数满足，则 . 10．某芯片研发部门共有8名核心工程师，其中3人精通算法，另外5人精通硬件架构，现需分为两个小组进行技术攻关，每组4人，每组满足以下要求：①至少有1名算法工程师，②指定一名组长，组长由硬件架构工程师担任．则有 种不同的分组方法（用数字作答）． 11．从单词“”中选取5个不同的字母排成一排，含有“”（其中“”相连且顺序不变）的不同排列共有 种．（用数字作答） 四、解答题 12．（1）求的值； （2）解不等式. 13．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 14．家家户户贴春联是春节的传统，流传下来的很多经典的春联，包含着人们对未来生活的祝福和向往，比如一副春联的上联为“一帆风顺年年好”，下联为“万事如意步步高”．将该春联上联的7个字随机排成一排，求相同字之间有2个字的概率．这道题的解法是将上联的7个字随机排成一排，共有种排法，而相同字之间有2个字有种排法，故相同字之间有2个字的概率为． 分析上面所给解法是否正确，如果不正确，请说明理由，并给出正确解答． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $