精品解析：湖北省黄冈市蕲春县第一高级中学2025-2026学年高二上学期元月月考数学试题

蕲春一中高二元月月考数学试题 一、单选题 1. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为，则这8个点数的中位数为4.5的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）． A. B. C. D. 6. 设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 数列的前项和为，，则（ ） A. B. 0 C. D. 8. 已知椭圆的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在点P，使得，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ） A. 目标恰好被命中一次的概率为 B. 目标恰好被命中两次的概率为 C. 目标被命中的概率为 D. 目标被命中概率为 10. 已知数列的前n项和为，则（ ） A. B. 是递减数列 C. 有最大项 D. 有最大值 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣弦长最大值为 D. 阴影区域的面积小于4 三、填空题 12. 已知直线与平行，则与的距离为______． 13. 在数列中，已知，，且数列是等差数列，公差为d，则______． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆的离心率______. 四、解答题 15. 四边形的四个顶点坐标分别为. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若四边形为平行四边形，求顶点坐标及四边形的面积. 16. 已知数列的前项和为，且满足，. （1）求证：数列是等差数列； （2）记，求数列的前项和. 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求证：数列为等差数列； （2）若，是否存在正整数，使，，成等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18. 如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，平面平面PCD． （1）证明：； （2）若四边形ABCD为直角梯形，，，，，，球O为三棱锥的外接球． （i）求直线AO与平面PBC的夹角正弦值； （ii）求平面PBC截球O截面面积． 19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5.过点的直线与抛物线交于不同的两点、. （1）求抛物线的标准方程； （2）若的面积为20，求直线的方程； （3）若直线交轴于点，直线交轴于点，且，，求证：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蕲春一中高二元月月考数学试题 一、单选题 1. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为，则这8个点数的中位数为4.5的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数的定义，将得到的点数从小到大排列，讨论不同情况，即可求解. 【详解】由题意，这8个点数的中位数为4.5，只有三种情况： ①将抛掷8次，得到的点数从小到大分别为， 此时中位数为； ②抛掷8次，得到的点数从小到大分别为， 此时中位数为； ③抛掷8次，得到的点数从小到大分别为， 此时中位数为或； 综上，x的点数只能为5，或者6，故概率为， 故选：D. 2. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列递推公式，依次计算数列的项，判断数列的周期，进而求出结果. 【详解】由题意可得，，， 所以数列是周期为3的周期数列，即， 则. 故选：D. 3. 如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用多边形法则即可求解. 【详解】，因为在棱上，且，所以， 又为中点，所以， 故， 故选：A 4. 已知为等比数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意先求出基本量，再把目标式转化为等比数列求和，进而利用公式法求解即可. 【详解】由题意得为等比数列，则设首项为，公比为， 因为，，所以， 联立方程组，解得， 结合题意可得是首项为1，公比为4的等比数列的前50项和， 由求和公式得前50项和为，故D正确. 故选：D 5. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线的焦点求出，进而可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】由于抛物线的方程为，所以焦点坐标为. 因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，所以. 解得，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 6. 设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式可得，由圆心到直线的距离，再利用点线距公式建立方程，解之即可. 【详解】由三角形的面积公式可得， 得，由，得， 所以为等腰直角三角形， 所以圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得，解得. 故选：C 7. 数列的前项和为，，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知当为奇数时，.易得.根据的周期性，可求得. 【详解】当为奇数时，. 因为函数的最小正周期为. 所以当为奇数时，. ， . 所以. 所以. 故选：C. 8. 已知椭圆的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在点P，使得，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易知，设，根据，可得方程在区间上有解，，由，，可得，求解即可. 【详解】易知，设，则. 所以， 即， 即方程在区间上有解. 令， 因为，， 所以只需，即，解得， 故的最小值是. 故选:C. 二、多选题 9. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ） A. 目标恰好被命中一次的概率为 B. 目标恰好被命中两次的概率为 C. 目标被命中的概率为 D. 目标被命中的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件、对立事件的概率公式可判断各选项的正误. 【详解】甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次， 在A中，目标恰好被命中一次的概率为，故A错误； 在B中，由相互独立事件概率乘法公式得：目标恰好被命中两次的概率为，故B正确； 在CD中，目标被命中的概率为，故C错误，D正确． 故选：BD． 10. 已知数列的前n项和为，则（ ） A. B. 是递减数列 C. 有最大项 D. 有最大值 【答案】CD 【解析】 【分析】根据前项和公式求出通项公式，再逐一判断每个选项即可. 【详解】A，当时，， 当时，， 故，故A错误， B，由于，故B错误； C，单调递减，故有最大项，C正确； D，，故当时，有最大值，D正确， 故选：CD. 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积小于4 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点的坐标，即得；对于C，将直线与抛物线方程联立求出的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断. 【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为， 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故A正确； 对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得， 由图象对称性，可得，故，即B正确； 对于C， 如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点， 由解得，由解得，， 即得， 则弦长为：， 由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0， 即在第一象限部分满足，不妨设，则，且， 代入得，，（） 由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即C正确； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值. 如图， 在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行， 因，由可得，即得， 因，则点到直线的距离为， 于是，由图知，半个花瓣的面积必大于， 故原图中的阴影部分面积必大于，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12. 已知直线与平行，则与的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两直线平行求出，然后求出平行直线间的距离即可. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得. 所以直线变为，即. 则与的距离为. 故答案为：. 13. 在数列中，已知，，且数列是等差数列，公差为d，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据是等差数列，分别求出和，根据即可求解. 【详解】设，数列是等差数列， 则，， ，得. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆的离心率______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆焦点三角形面积公式可得，设的外接圆半径为，内切圆半径为，则，，利用外接圆与内切圆的面积关系求解即可. 【详解】 令，，设的外接圆半径为，内切圆半径为， 则，，即，， 又的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则，即， 即，即0，即，又，即. 故答案为：. 四、解答题 15. 四边形的四个顶点坐标分别为. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若四边形为平行四边形，求顶点坐标及四边形的面积. 【答案】（1） （2），13 【解析】 【分析】（1）由坐标求出BC的中点为，又由BC的斜率即可求出与BC垂直的直线的斜率，最后由直线的点斜式即可求解； （2）由四边形为平行四边形可得，联立方程组即可求得顶点的坐标，由点到直线的距离公式即可求得点到直线BC的距离，根据面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以边BC的中点为， 又因为边BC的斜率为， 所以边BC的垂直平分线的斜率为， 所以边BC的垂直平分线的方程为， 化简得； 【小问2详解】 因为四边形为平行四边形，顶点， 所以，且， 联立，解得， 所以顶点. 因为边BC的斜率为， 所以直线BC的方程为， 化简得， 所以点到直线BC的距离为， 又， 所以平行四边形的面积为 16. 已知数列的前项和为，且满足，. （1）求证：数列是等差数列； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知等式变形得出，结合等差数列的定义可证得结论成立； （2）求出数列的通项公式，化简的表达式，结合等差数列的求和公式可求出数列的前项和. 【小问1详解】 因为， 所以，即 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知， 可知，当时，，， 当时，，， 所以数列的前项和为 . 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求证：数列为等差数列； （2）若，是否存在正整数，使，，成等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）存在， 【解析】 分析】（1）当时，，由，可得：， 即可得证； （2）假设存在正整数满足题意，先利用（1）求出，得到，，， 利用等比中项的定义得到关于的方程，解出的值． 【小问1详解】 已知， 当时，， 由，上述两式相减得： 即 即，由得： ， 故数列是公差为2的等差数列； 【小问2详解】 假设存在正整数满足题意， 由（1）知是公差的等差数列，且，则： ， 故， 故， 又，， 若，，成等比数列，则，代入得： ，因为为正整数，解得， 验证：当时，，等式成立. 故存在正整数，使，，成等比数列. 18. 如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，平面平面PCD． （1）证明：； （2）若四边形ABCD为直角梯形，，，，，，球O为三棱锥的外接球． （i）求直线AO与平面PBC的夹角正弦值； （ii）求平面PBC截球O截面面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）证明线面垂直即可证明； （2）（i）由，可知点为的中点，易证平面平面，过作于,则平面，易得，延长至使得，过作且，则直线AO平面，所以即为直线AO与平面PBC所成的角，易得，，.即可求解直线AO与平面PBC的夹角正弦值； （ii）求出点到面的距离.设平面PBC截球O的截面圆的半径为，球的半径，由，解得，即可求解. 【小问1详解】 如图： 因为平面平面，面平面， 过作于，则平面， 平面，故. 又平面,平面,所以，， 所以平面,平面， 所以. 【小问2详解】 （i）点为的中点，理由如下： 由（1）知平面，平面，. 又平面,平面,所以. 点为的中点时，故O为三棱锥的外接球的球心. 因为平面,所以，又，， 所以平面，平面，所以平面平面， 过作于,则平面. 延长至使得，过作且， 则直线AO平面， 所以即为直线AO与平面PBC所成的角， 易得， . 过作于，则, 设，则，， 由（1）知，则，即，解得. 故，又，解得. 所以直线AO与平面PBC的夹角正弦值； （ii）点为的中点，故点到面的距离是点到面的距离的二分之一， 又，所以点到面的距离等于点到面的距离， 点到面的距离为，故点到面的距离. 设平面PBC截球O的截面圆的半径为，球的半径， 由，即，解得， 所以平面PBC截球O的截面圆的面积为. 19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5.过点的直线与抛物线交于不同的两点、. （1）求抛物线标准方程； （2）若的面积为20，求直线的方程； （3）若直线交轴于点，直线交轴于点，且，，求证：为定值. 【答案】（1）； （2）或； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，求出，从而得出抛物线的标准方程； （2）设直线的方程为，联立，由韦达定理，得，， 的面积，结合， 解得，从而求出直线的方程； （3）由在抛物线上，求出，得到直线的方程为：，即得， 由得，同理得，结合韦达定理得，，可解得，为定值. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离， 即：，解得，故抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）得焦点，又，则， 易得直线的斜率是存在的，设直线的方程为， 联立，消去，整理得： ，设， 由，得， 由韦达定理，，， 故的面积，代入得： ,得， 又，故： ，解得 满足，因此直线的方程为或； 【小问3详解】 由在抛物线上，代入得， 又，故，即， 易得直线的斜率是存在的，设直线的方程为， ，，由（2）知，， 直线的斜率为：， 故直线的方程为：， 令，得，即，又 故，，由，得 故，即， 同理，直线交轴于，得， 故 代入，，得 故，为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $