5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1.理解参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响，掌握由函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)图象的规律。 2.能够根据函数y=Asin(ωx+φ)的解析式画出其图象，也能根据图象确定其解析式中的参数A、ω、φ的值。 3.体会数形结合思想在研究函数图象变换中的应用，提升直观想象和逻辑推理核心素养。 教学内容 教学重点：参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响； 由y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)图象的规律。 教学难点：理解参数ω对函数图象周期的影响，以及φ对函数图象左右平移的影响（尤其是平移单位的确定）；多种变换顺序的综合应用。 教学过程 1、 情境导入 1.展示实际问题：简谐运动是物理学中常见的运动形式，如单摆的摆动、弹簧振子的振动等，其位移y与时间x的关系可以用函数y=Asin(ωx+φ)来表示。请同学们思考：这个函数与我们之前学过的y=sinx有什么关系？其中的参数A、ω、φ分别代表什么含义呢？ 2.回顾旧知：引导学生回忆函数y=sinx的图象、定义域、值域、周期、奇偶性等性质，为后续探究做好铺垫。 3.引出课题：本节课我们就来深入研究函数y=Asin(ωx+φ)，探究参数A、ω、φ对函数图象的影响，以及它与y=sinx图象之间的变换关系。（板书课题） 2、 新知探究 1. 探究参数A对函数图象的影响（振幅变换） 自主探究：让学生在同一坐标系中画出函数y=sinx、y=2sinx、y=sinx的图象（选取x∈[0,2π]的区间）。 小组讨论：观察图象，思考以下问题： （1）这三个函数的图象形状有什么关系？位置有什么关系？ （2）函数y=Asinx（A>0且A≠1）的图象与y=sinx的图象相比，发生了怎样的变换？ （3）参数A的几何意义是什么？ 总结归纳：教师引导学生总结得出：当A>0且A≠1时，函数y=Asinx的图象可以由y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<1）到原来的A倍，横坐标不变得到。参数A叫做振幅，决定了函数图象的“高矮”。 拓展：若A<0，函数y=Asinx的图象如何变换？（先关于x轴对称，再进行振幅变换） 2. 探究参数ω对函数图象的影响（周期变换） 直观演示：利用几何画板展示函数y=sinx、y=sin2x、y=sin(x)的图象，让学生直观观察图象的变化。 问题引导： （1）这三个函数的周期分别是多少？（y=sinx的周期是2π，y=sin2x的周期是π，y=sin(x)的周期是4π） （2）函数y=sinωx（ω>0且ω≠1）的图象与y=sinx的图象相比，发生了怎样的变换？ （3）参数ω与函数周期T之间有什么关系？（T=） 合作探究：让学生分组验证上述猜想，通过取特殊点的方式，对比y=sinx与y=sinωx的坐标变化，总结变换规律。 总结归纳：教师引导学生总结得出：当ω>0且ω≠1时，函数y=sinωx的图象可以由y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短（ω>1）或伸长（0<ω<1）到原来的倍，纵坐标不变得到。参数ω决定了函数的周期，进而决定了函数图象的“宽窄”。 3. 探究参数φ对函数图象的影响（相位变换） 自主画图：让学生在同一坐标系中画出函数y=sinx、y=sin(x+)、y=sin(x-)的图象（选取x∈[0,2π]的区间）。 问题探究： （1）函数y=sin(x+φ)的图象与y=sinx的图象相比，发生了怎样的平移变换？ （2）平移的方向和单位与φ的符号有什么关系？（当φ>0时，向左平移φ个单位；当φ<0时，向右平移|φ|个单位） 易错点强调：通过具体例子（如y=sin(x+)与y=sinx的图象对比），让学生明确平移的是“x本身”，而不是其他形式，避免出现“把y=sinx的图象向左平移个单位得到y=sinx+的图象”这类错误。 总结归纳：当φ≠0时，函数y=sin(x+φ)的图象可以由y=sinx的图象上所有点向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位得到。参数φ叫做相位，决定了函数图象的左右位置。 4. 综合变换：由y=sinx的图象得到y=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0）的图象 问题提出：如何由y=sinx的图象通过平移、伸缩变换得到y=2sin(2x+)的图象？ 小组讨论：让学生分组讨论变换顺序，可能出现两种不同的顺序： （1）先平移，后伸缩：y=sinx → y=sin(x+)（向左平移个单位）→ y=sin(2x+)（横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变）→ y=2sin(2x+)（纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变）。 （2）先伸缩，后平移：y=sinx → y=sin2x（横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变）→ y=sin[2(x+)]=sin(2x+)（向左平移个单位）→ y=2sin(2x+)（纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变）。 重点强调：两种变换顺序的区别在于平移的单位不同，先伸缩后平移时，平移的单位是，而不是|φ|。通过几何画板演示两种变换过程，帮助学生理解其中的原因。 总结规律：由y=sinx的图象得到y=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0）的图象，常见的两种变换顺序： （1）平移→周期伸缩→振幅伸缩：y=sinx → y=sin(x+φ) → y=sin(ωx+φ) → y=Asin(ωx+φ)。 （2） 周期伸缩→平移→振幅伸缩：y=sinx → y=sinωx → y=sin[ω(x+φ/ω)]=sin(ωx+φ) → y=Asin(ωx+φ)。 3、 典例分析 例1.画出函数 的简图。 解：画法1（图象变换） （1） 画出 的图象 （2）向右平移 个单位长度，得到 （3）横坐标缩短为原来的 ，得到 （4）纵坐标伸长为原来的2倍，得到 画法2（五点法作图） 设 ，则当 取 时，对应正弦函数的关键点。 列表如下： 0 0 2 0 -2 0 描出这五个点： 连接成光滑曲线，即可得到一个周期内的简图。 总结：（1）变换顺序一般为：平移 → 伸缩（横）→ 伸缩（纵），注意相位变换时先提取 ； （2）使用换元法（如令 ）可简化五点法计算； （3）掌握参数意义： 　　：振幅，决定最大值与最小值（范围为 ）； 　　：角频率，决定周期 ； 　　：初相，决定相位移动 。 巩固练习： 1. 将函数y=sinx的图像进行怎样的变换可以得到y=3sin(2x-)的图像？ （两种变换顺序都要写出） 2. 已知函数y=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0）的图像如图所示（课件展示），求其解析式。 3.若函数y=sin(ωx+φ)（ω>0）的最小正周期为，且图像过点(,1)，求ω和φ的值。 4.已知函数y=2sin(2x+φ)的图像关于x=对称，求φ的最小正值。 反馈讲解：学生完成练习后，教师进行巡视指导，对共性问题进行集中讲解，强调解题思路和易错点。 四、课堂小结 1.引导学生回顾本节课的主要内容： （1）参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图像的影响（振幅、周期、相位变换）。 （2）由y=sinx的图像变换得到y=Asin(ωx+φ)图像的两种常见顺序及注意事项。 （3）数形结合思想在解题中的应用。 五、课后作业 1.教材习题5.6第1、2、3题。 2.思考：若函数y=Asin(ωx+φ)+b（A>0，ω>0），参数b对函数图像有什么影响？（拓展探究） 学科网（北京）股份有限公司 $