专题03 正方形的性质与判定（专项训练）数学鲁教版五四制八年级下册

专题03 正方形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用正方形的性质求解 1 题型二、利用正方形的判定与性质多结论性问题 4 题型三、利用正方形的判定与性质作图（含无刻度作图） 10 题型四、利用正方形的判定与性质解决综合性问题 16 题型五、利用正方形的判定与性质解决折叠问题 24 题型六、利用正方形的判定与性质解决最值问题 27 题型七、利用正方形的判定与性质解决旋转问题 32 题型八、利用正方形的判定与性质解决新定义型问题 37 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用正方形的性质求解 1．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则的度数为 ． 2．如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，连接 ，，若，则的度数为 ． 3．如图，已知正方形的边长为4，对角线与相交于点，点在边的延长线上．若，则 ， ． 4．如图，正方形的一条边与等腰的一条边在同一直线上，分别交，于点，．已知，，则的长为 ． 题型二、利用正方形的判定与性质多结论性问题 5．如图，以等边的一边为边，向形外作正方形，连接、、，则（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确结论的个数是（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，正方形的边长为，延长至点，使得，平分交于点，连接，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 7．在正方形中，，E是对角线上的一动点，连接，作交直线于点F，以，为边作平行四边形，与相交于点H，连接．下列结论正确的是：①四边形是正方形；②；③正方形的面积最小值是4；④当时，．其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤；⑥若，，则．其中正确的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型三、利用正方形的判定与性质作图（含无刻度作图） 9．如图，在正方形中，，是的中点． (1)将正方形翻折使点与点重合，折痕分别交，于点，，请用尺规作图作出线段（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，，求的长． 10．如图，在正六边形的右侧作正方形，连接．请你仅用无刻度的直尺完成以下作图． (1)在图1中，在正方形的内部取点，使点与点关于直线对称； (2)在图2中，在正方形的内部取点，使． 11．如图，在正方形中，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（请保留作图痕迹，不写作法） (1)在图①中，作出边的中点P； (2)在图②中，作出一个面积等于正方形面积的一半的正方形． 12．如图，将正方形折叠，使点与点重合，点与点重合，折痕为． (1)在折痕上作点，在边上作点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）的条件下，求的度数． 题型四、利用正方形的判定与性质解决综合性问题 13．如图，已知四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，过点D作，过点F作，与交于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)求证：平分； (3)若，，求四边形的面积． 14．如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与相交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，直接写出与的数量关系 ． (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 15．综合与探究：如图①，点为正方形内一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，延长交于点，连接． 【证明结论】 （）求证：四边形是正方形； 【解决问题】 （）如图①，若，求的面积； 【问题探究】 （）如图②，若，求证：点是的中点． 16．【问题解决】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边上，，垂足为点G．求证：． 【拓展提升】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边上，，延长到点H，使，连接，求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边上，，，，求的长． 题型五、利用正方形的判定与性质解决折叠问题 17．如图，已知正方形的边长为6，E是正方形的边上的一点，沿将折叠，点A落在点F处，连接，，若，则的长为 ． 18．如图，正方形的边长为4，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长为 ． 19．如图，正方形纸片的边长为3，点E、F分别在边上，将分别沿折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为 ． 20．如图，正方形的边长为，点在边上，，是在边上不与点，重合的一个动点，把沿着折叠，点落在处，若恰为以为腰的等腰三角形，则长为 ． 题型六、利用正方形的判定与性质解决最值问题 21．如图，在正方形中，对角线，交于点，为边上一动点（不与点，重合），过点作于点于点，连接，若，则的最小值为 ． 22．如图，E是正方形中边上一点，连接，点P、Q分别是上的一动点，若， ，则的最小值是 ． 23．如图，正方形的边长为4，点E为与点D不重合的动点，以为一边作正方形，连接，，则的最小值为 ． 24．如图，在正方形中，是边上的一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段（在正方形内），连接，再将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．若，，则的长的最小值为 ，的长的最小值为 ． 题型七、利用正方形的判定与性质解决旋转问题 25．共顶点的正方形绕着正方形旋转，其中，．在旋转一周的过程中，当、、三点恰好在同一条直线上时，此时 ． 26．如图，四边形和都是边长为2的正方形，且、相交于点，现将正方形绕点旋转，则两个正方形重叠部分的面积为 ． 27．如图，边长都为的正方形与正方形，正方形绕顶点旋转一周，在此旋转过程中，线段的长可取的整数值为 ． 28．如图，将边长为的正方形绕点按逆时针方向旋转，得到正方形，连接，，在旋转角从到的整个旋转过程中，当时，的面积为 ．    题型八、利用正方形的判定与性质解决新定义型问题 29．定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形． （1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______； 猜想与验证： （2）①如图1，在四边形中，对角线于点，下列结论正确的是（    ）． A．         B．      C． ②证明①中正确的结论： 拓展思考： （3）如图2，正方形和正方形的边长分别是和，连接，且，的面积和的面积会相等吗？如果会，请证明并求的面积，如果不会，请说明理由． 30．综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1）进行研究． 定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形． （1）在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有______（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 性质探究 （2）如图2，若E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当时，请判断中点四边形的形状并说明理由； （3）如图3，在中，，D为外一点，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积． 31．在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动． 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【概念理解】如图①，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状： 筝形（填“是”或“不是”）； 【性质探究】如图②，已知四边形纸片是筝形，连结，相交于点O． 请补充结论1，再从不同角度写一个正确的结论2． 结论1：筝形的内角和为 ．结论2： ． 【拓展应用】如图③，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G． （1）求证：四边形是筝形； （2）若，，，，求的长． 32．定义．对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______________ A．平行四边形       B．矩形      C．菱形；     D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形性质的一条结论：___________ 问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结． （1）试说明．四边形是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． （2）若，则_________； （3）若的最小值是2，则的长度为_________； 一、单选题 1．如图，已知正方形，以为边作等边三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，在中，．正方形的边长为，它的顶点分别在的边上，则的长为(    ) A．3 B． C．5 D． 4．如图，在正方形外取一点E，连接．过点B作交于点P．若，，下列结论： ①；②点C到直线的距离为；③P是的中点；④． 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，正方形中，动点P从点B出发沿折线做匀速运动，到A点停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间函数图象如右图所示，则下列说法正确的是（    ） A．正方形的边长为8 B．当时， C．当时， D．点P运动的路程越大，的面积越大 二、填空题 6．如图，已知四边形是平行四边形，对角线，且相交于点，请你添加一个条件，使其成为正方形： ．    7．如图，在正六边形和正方形中，连接并延长交于点，则的度数为 ． 8．如图，已知正方形 边长为 2，点 ， 分别在边 ， 上，将正方形沿着 翻折，点 恰好落在 边上的点 处． 如果四边形 与四边形 的面积比为 ，那么线段 的长为 ． 9．如图：点A在线段上，，，是等边三角形，四边形是正方形，点P是上一个动点，连接，则的最小值为 ． 10．如图，正方形中，点P为射线上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点Q，射线交直线于点M，若，当时，的长为 ． 三、解答题 11．如图，以正方形的边为边，在正方形外部作等边，与交于点F，连接． (1)求的度数； (2)若，求的长． 12．如图1，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，为垂足． (1)________°； (2)①求证：四边形是正方形． ②若，求的长． (3)如图2，在中，，底边上的高，，则的长度是________． 13．如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，．    (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长． 14．如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的点处，折痕为．过点作交于，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动． 当点与点重合时（如图），求菱形的边长； 若限定、分别在边、上移动，直接写出菱形的面积的最大值和最小值． 15．四边形和都是正方形，直线，交于点． 【问题解决】 （1）如图1，点在边上，判断线段和的关系说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，将正方形绕点逆时针旋转一个锐角． ①（1）中线段和的关系是否仍成立？说明理由； ②若正方形的边长为，对角线与的交点为，在正方形的旋转过程中，请探究出点与点的距离． 16．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图1，在四边形中，如果，，那么四边形______垂美四边形（填“是”或“不是”）． (2)如图2，探究垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形与正方形，连接，，，与交于点，已知，，求的中线的长． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 正方形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用正方形的性质求解 1 题型二、利用正方形的判定与性质多结论性问题 4 题型三、利用正方形的判定与性质作图（含无刻度作图） 10 题型四、利用正方形的判定与性质解决综合性问题 16 题型五、利用正方形的判定与性质解决折叠问题 24 题型六、利用正方形的判定与性质解决最值问题 27 题型七、利用正方形的判定与性质解决旋转问题 32 题型八、利用正方形的判定与性质解决新定义型问题 37 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用正方形的性质求解 1．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，根据正方形的性质，等边三角形的性质，得到，，等边对等角求出，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵正方形，等边三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 2．如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，连接 ，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形外角的性质．根据正方形的性质得到，由三角形外角的性质得到． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∴， 故答案为： ． 3．如图，已知正方形的边长为4，对角线与相交于点，点在边的延长线上．若，则 ， ． 【答案】 /30度 【分析】本题考查的是正方形的性质、直角三角形的性质和勾股定理．根据正方形的性质得到，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 4．如图，正方形的一条边与等腰的一条边在同一直线上，分别交，于点，．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过E作于M，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，，，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到 【详解】解：过E作于M， ， ， ， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，， 在与中， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 题型二、利用正方形的判定与性质多结论性问题 5．如图，以等边的一边为边，向形外作正方形，连接、、，则（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确结论的个数是（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据正方形的性质，等边三角形的性质，角的和差关系，等边对等角，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵等边，正方形， ∴，，， ∴；故（1）正确； ；故（2）正确； ， ∵， ∴， ∴；故（3）正确； ∵， ∴；故（4）正确； 故选D． 6．如图，正方形的边长为，延长至点，使得，平分交于点，连接，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理得到，如图所示，过点作于点，根据角平分线的性质定理可判定①；根据直角三角形内角和定理可判定②；根据线段大小关系可判定③；运用勾股定理可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 如图所示，过点作于点， 平分交于点， ，且， ， ， ， ∴垂直平分， ，故①正确； ， ， ， ， 平分，故②正确； ， 与不垂直，故③不正确； 设则， ， ， 解得， ， ，故④正确； 综上，正确个数为3个， 选择：C． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识的综合运用，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 7．在正方形中，，E是对角线上的一动点，连接，作交直线于点F，以，为边作平行四边形，与相交于点H，连接．下列结论正确的是：①四边形是正方形；②；③正方形的面积最小值是4；④当时，．其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】过点E作分别交于点M，交于点N，根据题意证明出是等腰直角三角形，得到，然后证明出，得到，进而可判断①；根据题意证明出，得到，，进而判断②；根据题意得到当时，取得最小值，即此时正方形的面积取得最小值，求出，，即可判断③；设，则，得到，，然后根据勾股定理求出，得到，即可判断④． 【详解】如图所示，过点E作分别交于点M，交于点N ∵四边形是正方形 ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是正方形的对角线 ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形，故①正确； ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵只有当点E是中点时，，即此时，故②错误； ∵E是对角线上的一动点， ∴当时，取得最小值，即此时正方形的面积取得最小值 ∵ ∴ ∴ ∴正方形的面积取得最小值为，故③正确； 当时， ∵， ∴， ∴设，则 ∵是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴在中， ∴ ∴（负值舍去） ∴ ∴ ∴ ∵当时， 此时 ∵ ∴，故④错误． 综上所述，其中结论正确的个数是2个． 故选：B． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8．如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤；⑥若，，则．其中正确的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，，利用全等三角形判定推出，可判断①；由全等三角形的性质可得，，可判断②；由和得出，可判断③；由得到，可判断④；利用勾股定理可判断⑤，根据，可判定⑥，即可得出结论． 【详解】解：正方形， ，，，， ， ， ，即， ，故①正确； ， ，， ，即，故②正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 若需证，则需证， 而题目条件无法证明，故③不正确； ， ， ， 正方形， ， 四边形的面积为正方形面积的，故④正确； ， ， ∴，故⑤正确； ∵，， ∴， ∴，， ， ∴， ∴，即， ∴．故⑥正确． 综上所述，其中正确的有①②④⑤⑥，正确的个数是5． 故选D． 题型三、利用正方形的判定与性质作图（含无刻度作图） 9．如图，在正方形中，，是的中点． (1)将正方形翻折使点与点重合，折痕分别交，于点，，请用尺规作图作出线段（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，，求的长． 【答案】(1)作图见详解 (2) 【分析】本题主要考查尺规作垂线，垂直平分线的性质，勾股定理的运用，掌握以上知识，找出数量关系是关键． （1）连接，根据垂直平分线的性质，运用尺规作线段的垂直平分线即可； （2）设，则，在中，，在中，，由此列式，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∵是线段的垂直平分线，交于点， ∴，， ∴是折痕； （2）解：如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是中点， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴． 10．如图，在正六边形的右侧作正方形，连接．请你仅用无刻度的直尺完成以下作图． (1)在图1中，在正方形的内部取点，使点与点关于直线对称； (2)在图2中，在正方形的内部取点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查基本作图，涉及正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、轴对称的性质等知识，正确作出图形是解答的关键． （1）延长交延长线于M，根据正六边形的性质得，，，进而可得，是等边三角形，则，即点与点关于直线对称； （2）连接交延长线于P，由正方形的性质得，进而利用三角形的内角和定理推导出，根据等角对等边可得． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求； （2）解：如图2，点即为所求． 11．如图，在正方形中，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（请保留作图痕迹，不写作法） (1)在图①中，作出边的中点P； (2)在图②中，作出一个面积等于正方形面积的一半的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于点O，连接并延长交于点P即可； （2）在（1）的基础上，连接交于点H，作直线分别交于点G，点F，依次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示点P为所求： ∵点E是的中点，点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵在正方形中，，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点P为边的中点； （2）解：如图所示，正方形为所求： 由（1）知四边形是矩形，是的中位线， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴所在直线垂直平分， ∵， ∴所在直线垂直平分，所在直线垂直平分， ∴所在直线是正方形的对称轴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是正方形，且边长都相等， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， 设正方形的边长为，则，正方形的面积为， ∴， ∴正方形的面积为， ∴正方形的面积等于正方形面积一半． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质以及判定等知识，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质，线段垂直平分线的性质以及判定是解题的关键． 12．如图，将正方形折叠，使点与点重合，点与点重合，折痕为． (1)在折痕上作点，在边上作点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的折叠问题，等边三角形的判定和性质，角平分线的作法，全等三角形的判定和性质： （1）以点B为圆心，为半径画弧交于点F，作的角平分线交于点E，连接即可（根据可证） （2）连接，证明是等边三角形可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，点，点即为求； （2）解：如图，连接， 正方形沿折痕折叠，点A，D与点B，C重合， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ． 题型四、利用正方形的判定与性质解决综合性问题 13．如图，已知四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，过点D作，过点F作，与交于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)求证：平分； (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)四边形的面积为10． 【分析】（1）过点分别作于点，于点，先证出四边形为正方形，根据正方形的性质可得，，再根据矩形的性质可得，从而可得，然后根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据正方形的判定即可得证； （2）先根据正方形的性质可得，，再根据定理可得，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证； （3）连接，利用勾股定理求得，和以及的长，再利用正方形的面积公式求解即可．． 【详解】（1）证明：如图，过点分别作于点，于点，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ， 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形为正方形． （2）证明：∵矩形为正方形， ，， ∵四边形是正方形， ，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （3）解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴，， 由（2）得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 由（1）得四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为10． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键． 14．如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与相交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，直接写出与的数量关系 ． (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和题意得，再根据矩形的判定证得四边形是矩形，由角平分线的定义得，再由等角对等边得，最后根据正方形的判定求证即可； （2）由角平分线的定义得，再由垂线的定义和矩形的性质得，根据等腰直角三角形的判定和勾股定理得，，即可求证； （3）由（2）得、是等腰直角三角形，，利用勾股定理求得，进而求得，再根据正方形的性质得，再根据等腰直角三角形的判定得，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵平分， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴、是等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）得、是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握矩形的判定与性质、正方形的判定与性质是解题的关键． 15．综合与探究：如图①，点为正方形内一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，延长交于点，连接． 【证明结论】 （）求证：四边形是正方形； 【解决问题】 （）如图①，若，求的面积； 【问题探究】 （）如图②，若，求证：点是的中点． 【答案】（）证明见解析；（）；（）证明见解析 【分析】（）由旋转的性质可得，，，即得四边形是矩形，进而由即可求证； （）过点作于点，可证，得到，又由（）可知：，即可得，再根据三角形的面积公式计算即可； （）过点作于点，可得，又由（）可知：，四边形是正方形，即得，由等腰三角形的性质得，即得，得到，即可求证． 【详解】（）证明：∵是由逆时针旋转而得到， ∴，，， ∵是的延长线， ∴ ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （）如图，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（）可知：， ∴， ∴， ∴的面积； （）如图②，过点作于点， 由（）可知：， ∴， 由（）可知：，四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 16．【问题解决】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边上，，垂足为点G．求证：． 【拓展提升】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边上，，延长到点H，使，连接，求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3． 【分析】（1）由矩形的性质可得则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】证明：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 题型五、利用正方形的判定与性质解决折叠问题 17．如图，已知正方形的边长为6，E是正方形的边上的一点，沿将折叠，点A落在点F处，连接，，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质．延长交于点，连接．设，则．由折叠的性质得，，，可证明，可得，从而得到．再证得，可得，从而得到，进而得到然后在中，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接． 四边形为正方形，且边长为6， ，． 设，则． 由折叠的性质得，，， ，． 在和中， ， ， ， ． ， ，， ， ， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得， ， 解得， ． 故答案为：4． 18．如图，正方形的边长为4，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识．先根据正方形的性质得到，，，再根据折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为4，， ∴，，， 由折叠的性质得， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， 即． 故答案为： 19．如图，正方形纸片的边长为3，点E、F分别在边上，将分别沿折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠问题，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的不变性是解题的关键． 由图形折叠可得，，而正方形的边长为3，，求出，，在直角中，运用勾股定理求出，再求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由图形折叠可得，，， ∴， ∴点共线， ， ，，， 在中， ， ， 解得， ． 故答案为：． 20．如图，正方形的边长为，点在边上，，是在边上不与点，重合的一个动点，把沿着折叠，点落在处，若恰为以为腰的等腰三角形，则长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的判定，分类讨论是解题的关键．根据翻折的性质，可得的长，根据勾股定理，可得的长，根据等腰三角形的判定，可得答案． 【详解】（1）当时，过点作，则四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴． 由翻折的性质，得， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）当时，则； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 题型六、利用正方形的判定与性质解决最值问题 21．如图，在正方形中，对角线，交于点，为边上一动点（不与点，重合），过点作于点于点，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，正方形的性质，等腰三角形三线合一，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 连接，根据正方形的性质得到，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，当时，最小，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形，， ∴，，，, ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵当取最小值时，的值最小， ∴当时，最小， ∵，， ， 此时， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 22．如图，E是正方形中边上一点，连接，点P、Q分别是上的一动点，若， ，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】作点C关于的对称点F，作与的交点为即为所求的P点， 证明出，是等腰直角三角形，设，则， ，再由勾股定理，得到，即可求出x的值，继而可求出，即可解答． 【详解】解：作点C关于的对称点F，作与的交点为，有 ，根据“两点之间，线段最短”与“垂线段最短”，可知与的交点即为所求的点P，如图 有，四边形是正方形， ，， ∴，， ∴，， ，是等腰直角三角形，且， ∴， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形，且， 设，则 ， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查最短路线问题，解题中涉及正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等边对等角，“两点之间，线段最短”与“垂线段最短”，正确作出辅助线是解题的关键． 23．如图，正方形的边长为4，点E为与点D不重合的动点，以为一边作正方形，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，证明，可得，从而可得，即当A，E，F，C四点共线时，的值最小，即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当A，E，F，C四点共线时，的值最小，最小值为的值， 如图， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及最值问题，作出辅助线是解题的关键． 24．如图，在正方形中，是边上的一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段（在正方形内），连接，再将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．若，，则的长的最小值为 ，的长的最小值为 ． 【答案】 / 2 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由旋转的性质可得，，则，要使的值最小，即要使的值最小，故当，，三点共线时，的值最小；连接，可证明，得到，则线段的长的最小值即为线段的长的最小值，故当，，三点共线时，最短，即此时最短，据此求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∴要使的值最小，即要使的值最小， ∵， 如图1，当，，三点共线时，的值最小． ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴的长的最小值为， ∴的长的最小值为． 如图2，连接， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长的最小值即为线段的长的最小值． ∴当，，三点共线时，最短，即此时最短， 在中，， ∴的长的最小值为． 故答案为：；2． 题型七、利用正方形的判定与性质解决旋转问题 25．共顶点的正方形绕着正方形旋转，其中，．在旋转一周的过程中，当、、三点恰好在同一条直线上时，此时 ． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三线合一定理，直角三角形的性质，由正方形的性质可得，则由勾股定理可得；再分点E在上方和点E在下方，两种情况画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； 如图所示，当点E在上方时，过点A作于T， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点E在下方时，过点A作于T， 同理可得， ∴； 综上所述，的长为7或17； 故答案为：7或17． 26．如图，四边形和都是边长为2的正方形，且、相交于点，现将正方形绕点旋转，则两个正方形重叠部分的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 利用可证明，则，由此可得四边形面积，即可求解． 【详解】解：如图， ∵O为正方形的对角线的交点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴两个正方形重叠部分的面积 ． 故答案为：1． 27．如图，边长都为的正方形与正方形，正方形绕顶点旋转一周，在此旋转过程中，线段的长可取的整数值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，线段最值的计算，掌握旋转的性质是关键． 根据正方形的性质，勾股定理，旋转的性质得到的最小值为，最大值为，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形都是边长为的正方形， ∴， 在中，，当点共线时，取等号， ∴的最小值为， 如图所示，正方形绕顶点旋转一周， 在中，，当点共线时，取等号， ∴的最大值为， ∴， ∴线段的长可取的整数值为或， 故答案为：或 ． 28．如图，将边长为的正方形绕点按逆时针方向旋转，得到正方形，连接，，在旋转角从到的整个旋转过程中，当时，的面积为 ．    【答案】或 【分析】当点在直线右侧时，如图，过点作于，延长交于，由旋转的可得，，由等腰三角形的性质可求，通过证明四边形是矩形，可得，，由勾股定理可求的长，可得的长，由三角形面积公式可求解；若点在直线的左侧时，过点作于，交于，相同的方法求解即可得． 【详解】解：当点在直线右侧时， 如图1，过点作于，延长交于，    将边长为的正方形绕点按逆时针方向旋转， ∴，， ，， ， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 的面积为； 点在直线的左侧时， 如图2，过点作于，交于，    同理可得：， ， 的面积为； 综上，的面积为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，正确分两种情况讨论，添加恰当辅助线构造矩形是解题的关键． 题型八、利用正方形的判定与性质解决新定义型问题 29．定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形． （1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______； 猜想与验证： （2）①如图1，在四边形中，对角线于点，下列结论正确的是（    ）． A．         B．      C． ②证明①中正确的结论： 拓展思考： （3）如图2，正方形和正方形的边长分别是和，连接，且，的面积和的面积会相等吗？如果会，请证明并求的面积，如果不会，请说明理由． 【答案】（1）菱形或正方形；（2）①B；②证明见解析；（3）会，面积为： 【分析】（1）由“对垂”四边形定义，结合菱形、正方形性质即可得到答案； （2）①由“对垂”四边形定义，根据勾股定理、三角形面积公式求解即可得到答案；②由“对垂”四边形定义，即可证明； （3）连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，进而由三角形面积公式即可得到的面积和的面积相等，代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）菱形的对角线相互垂直， 菱形是“对垂”四边形； 正方形的对角线相互垂直， 正方形是“对垂”四边形； 故答案为：菱形或正方形； （2）①A、， 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 当时，； 而题中并未明确与是否相等，该选项不一定正确，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、由题中四边形的任意性，无法保证，选项错误，不符合题意； 故选：B； ②证明如下：， ； （3）的面积和的面积相等， 证明如下： ∵正方形和正方形的边长分别是和， ， 连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示： ， ，即， 又， ， ， 又，， 的面积和的面积相等； ， 即， 又， ， ， 又， ， ， ∴四边形AECG是“对垂”四边形， ， 又， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查几何综合，涉及新定义几何图形问题、菱形性质、正方形性质、勾股定理、三角形面积公式、三角形全等的判定与性质等知识．理解题中“对垂”四边形定义，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 30．综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1）进行研究． 定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形． （1）在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有______（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 性质探究 （2）如图2，若E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当时，请判断中点四边形的形状并说明理由； （3）如图3，在中，，D为外一点，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积． 【答案】（1）②④； （2）四边形为正方形，理由见解析；（3）或． 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定和性质． （1）根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及“等角线四边形”逐一判断即可； （2）由中位线定理及等角线四边形的定义可得，，，，，，，证明四边形是菱形，然后由，故有，所以，从而证明四边形是正方形； （3）分两种情况讨论，由（2）可得中点四边形为正方形，即可求解． 【详解】解：（1）①平行四边形的对角线不相等，故不是等角线四边形； ②矩形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形； ③菱形的对角线不相等，故不是等角线四边形； ④正方形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形； 综上，一定是等角线四边形的有②④． 故答案为：②④； （2）四边形为正方形，理由如下： ∵E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点， ∴，，，，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （3）分以下两种情况： 当点在的上方时，如图，E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，的中点，对角线，， 由（2）可知，四边形为正方形，且， ∴四边形的面积为； 当点在的下方时，如图，E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，的中点，对角线，， 由（2）可知，四边形为正方形，且， ∴四边形的面积为； 综上，以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积为或． 31．在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动． 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【概念理解】如图①，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状： 筝形（填“是”或“不是”）； 【性质探究】如图②，已知四边形纸片是筝形，连结，相交于点O． 请补充结论1，再从不同角度写一个正确的结论2． 结论1：筝形的内角和为 ．结论2： ． 【拓展应用】如图③，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G． （1）求证：四边形是筝形； （2）若，，，，求的长． 【答案】【概念理解】：是；【性质探究】：，(任选一个即可，答案不唯一)；【拓展应用】：（1）证明见解答过程；（2） 【分析】【概念理解】根据题意得,即可得解； 【性质探究】如图，根据折叠性质可证明,可得,再利用等腰三角形的三线合一的性质即可得到结论； 【拓展应用】(1)先证,再根据“筝形”的定义判断即可；(2)由折叠性质可证四边形是正方形，设,根据勾股定理即可求解． 【详解】【概念理解】解：由折叠性质得：， 四边形是“筝形”， 故答案为：是； 【性质探究】解：如图， 筝形是四边形， 筝形的内角和为， 在和中 ， ， , , 故答案为：，(任选一个即可，答案不唯一)； 【拓展应用】(1)证明：如图，连接， , 和是直角三角形， 在和中， , , , 四边形是四边形是“筝形” (2)解：由折叠性质可得：,,,, , , , 四边形是正方形， , 设,则, 在中，, ,解得：, ． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解决此题的关键. 32．定义．对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______________ A．平行四边形       B．矩形      C．菱形；     D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形性质的一条结论：___________ 问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结． （1）试说明．四边形是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． （2）若，则_________； （3）若的最小值是2，则的长度为_________； 【答案】概念理解：D；性质探究：①，②；问题解决：（1）证明见解析；拓展应用：（2）2；（3）； 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，直角三角形斜边上的中线等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案； 性质探究：由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且E、F、G、H分别是的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； 问题解决：（1）如图2，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（2）如图3，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论； （3）如图4，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，连接交于O，连接、，当点O在上（即M、O、N共线）时， 最小，最小值为的长，再结合（2）的结论即可求得答案． 【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线互相平分，相等且互相垂直， 故选：D； 性质探究：①，②； 理由如下：如图1， 四边形是“中方四边形”， 是正方形且E、F、G、H分别是、、、的中点， ，，，，，， ，． 问题解决：（1）如图2，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， 四边形各边中点分别为M、N、R、L， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，，，， ，，，， 四边形是平行四边形， 四边形和四边形都是正方形， ， 又 ， ， 即， 在和中， ， ， ， 又 ， ， ， 四边形是菱形， ， ， 又 ， ， ， 又 ， ， 菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”； 拓展应用： （2）如图3，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、， 四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， 四边形是正方形， ， ， N，F分别是的中点， , , 若，则． （3）如图4，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时， 最小，最小值为的长， ， 由性质探究②知：， 在和中 又 M，N分别是直角三角形斜边的中点， ， ， ， 由拓展应用（2）知：， 若的最小值是2，则， ． 一、单选题 1．如图，已知正方形，以为边作等边三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，等边三角形的性质的运用．解答时求出，分类讨论是关键． 由图1和图2根据正方形的性质和等边三角形的性质就可以求出是等腰三角形，再由等边三角形的性质就可以求出结论． 【详解】解：如图1，当在正方形外部时， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 如图2，当在正方形内部时， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选D． 2．如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形和正方形的性质．根据矩形的性质和三角形面积计算公式可得，，则，同理可得，则，即可解题． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ 同理可得， ∴， 故选：A． 3．如图，在中，．正方形的边长为，它的顶点分别在的边上，则的长为(    ) A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】过点作于点，则，，证明得出，，设，，根据题意得出，根据勾股定理得出，进而得出，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， 四边形是正方形， 如图，过点作于点，则，， ， ， ， 在和中， ， ，， 设，， ， 在中，由勾股定理得：，则 解得负值舍去， ， 在中， 故选：B． 4．如图，在正方形外取一点E，连接．过点B作交于点P．若，，下列结论： ①；②点C到直线的距离为；③P是的中点；④． 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据正方形性质证明即可判断①，过点作交的延长线于点，利用全等三角形的判定和性质，以及勾股定理求出即可判断②，进而求出即可判断③，利用求出即可判断④． 【详解】解：①四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， 故①正确； ②过点作交的延长线于点， ，， ，， ， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形，即， ， ， ， ， 点C到直线的距离是1， 故②错误； ③， ， ， ， P不是的中点， 故③错误； ④， ， ， ， 故④正确． 综上所述，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的性质和判定，勾股定理，正方形和三角形的面积公式的运用等知识，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 5．如图，正方形中，动点P从点B出发沿折线做匀速运动，到A点停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间函数图象如右图所示，则下列说法正确的是（    ） A．正方形的边长为8 B．当时， C．当时， D．点P运动的路程越大，的面积越大 【答案】C 【分析】本题考查的是动点问题的函数图象，根据点P在不同位置上时，边上的高的变化情况得到面积的变化情况是解决本题的关键．结合函数图象的拐点横坐标可知正方形的边长，当和时，只要找到对应图象上的两点坐标，利用待定系数法求出解析式即可判断正误，点P运动的路程越大即表示x越大，的面积即为y的情况，通过图形可知不是一直在增大的． 【详解】解：结合函数图象的两个拐点位置可知正方形的边长为4，故A选项错误； 如图，当时，图象经过和， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， 所以当时，，故B选项错误； 当时，图象经过和， 设直线的解析式为， 把和代入，得解得 所以直线的解析式为，故C选项正确； 根据函数图象可知，点P运动的路程越大，的面积是先增大，后不变，最后变小，故D选项错误． 故选：C． 二、填空题 6．如图，已知四边形是平行四边形，对角线，且相交于点，请你添加一个条件，使其成为正方形： ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，先由题意得到四边形是菱形，在菱形基础上添加矩形的性质即可得到菱形为正方形．熟记特殊平行四边形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在平行四边形，对角线， 四边形是菱形， 若添加，则由对角线相等的菱形是正方形即可判定， 故答案为：（答案不唯一）． 7．如图，在正六边形和正方形中，连接并延长交于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了正多边形的性质，内角和的计算，等边对等角，根据题意得到，由等边对等角，三角形内角和定理得到，由，即可求解． 【详解】解：正六边形和正方形中，， ∴是等腰三角形， ∴正六边形的每个内角的度数为，正方形的每个内角的度数为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 8．如图，已知正方形 边长为 2，点 ， 分别在边 ， 上，将正方形沿着 翻折，点 恰好落在 边上的点 处． 如果四边形 与四边形 的面积比为 ，那么线段 的长为 ． 【答案】/1.25/ 【分析】连接，过点作于点，根据题意可得四边形为矩形，，设，则，根据已知条件，分别表示出，证明，得出，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可获得答案． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵四边形为正方形，且边长为2，四边形 与四边形的面积比为， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，可有， 即 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 9．如图：点A在线段上，，，是等边三角形，四边形是正方形，点P是上一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作A点关于的对称点，连接与交点为P，则，求得，进而得出，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：作A点关于的对称点，连接与交点为P， ∴， ∴， ∵是等边三角形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 10．如图，正方形中，点P为射线上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点Q，射线交直线于点M，若，当时，的长为 ． 【答案】或6 【分析】本题考查了正方形与折叠，勾股定理等知识，分M在线段延长线上和线段上讨论，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴， ， ∵， ∴， 当M在线段延长线上时，如图，连接， ∵折叠， ∴，，， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 当M在线段延长线上和线段上，如图，连接， 同理可求出， 在中，， ∴， 解得， 综上，的长为或6． 故答案为：或6． 三、解答题 11．如图，以正方形的边为边，在正方形外部作等边，与交于点F，连接． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由正方形的性质得到，，，由等边三角形的性质得到，，进而求出，证明，进而可求得的度数； （2）作，垂足为G，由正方形的性质求出，设为x，由30度角的性质得到为，根据勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：作，垂足为G， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设为x，则为， 在中，可得， 解得（负值舍去）． ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，30度角的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 12．如图1，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，为垂足． (1)________°； (2)①求证：四边形是正方形． ②若，求的长． (3)如图2，在中，，底边上的高，，则的长度是________． 【答案】(1)45； (2)①见解析；②DF的长为2； (3)． 【分析】（1）根据平角的定义得出，由角平分线的定义求出，最后再由三角形内角和定理即可得解； （2）①作于，先证明四边形为矩形，再由角平分线的性质定理得出，即可得证；②设，由正方形的性质得出，证明，得出，同理可得：，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，由（1）（2）得：四边形是正方形，，，，设，则，，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：作于， ， 则， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，外角平分线交于点， ∴，， ∴， ∴四边形为正方形； ②设， ∵， ∴， 由①得四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； （3）解：如图，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点， ， 由折叠得：， ，， ， 由（2）得：四边形是正方形， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题关键． 13．如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，．    (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可解决问题； （2）①作于，于，得到，然后证，则，即可证明； ②证明，可得，，证明，连接，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：①如图，过点E作于，于，   正方形中，， 四边形是矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②正方形和正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，． ， ， 如图，连接，   ， 是等腰直角三角形， ． 正方形的边长为． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，解本题的关键是根据题中所给条件正确作出辅助线构造全等三角形． 14．如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的点处，折痕为．过点作交于，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动． 当点与点重合时（如图），求菱形的边长； 若限定、分别在边、上移动，直接写出菱形的面积的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)菱形的边长为；菱形面积的最大值是，最小值是． 【分析】（）由折叠的性质得出，，，由平行线的性质得出，证出，得出，因此，即可得出结论； （）根据矩形的性质和勾股定理求得的长，再在中求得，即菱形的边长； 当点与点重合时，点离点最近，由知，此时；当点与点重合时，点离点最远，此时四边形为正方形，，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵折叠纸片使点落在边上的点处，折痕为， ∴点与点关于对称， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点与点关于对称， ∴， 在中，， ∴； 在中，，， ∴， ∴， 解得：， ∴菱形的边长为； 如图，当点与点重合时，点离点最近，菱形的面积最小， 由知，此时，， ∴菱形的面积的最小值为， 当点与点重合时，点离点最远，菱形的面积最大，此时四边形为正方形， 由折叠性质可知：， ∴菱形的面积的最小值为， ∴菱形面积的最大值是，最小值是． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，正方形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 15．四边形和都是正方形，直线，交于点． 【问题解决】 （1）如图1，点在边上，判断线段和的关系说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，将正方形绕点逆时针旋转一个锐角． ①（1）中线段和的关系是否仍成立？说明理由； ②若正方形的边长为，对角线与的交点为，在正方形的旋转过程中，请探究出点与点的距离． 【答案】（1），理由见解析（2）①成立，理由见解析 ② 【分析】此题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）证明和全等，可得，即可求解； （2）①证明设交于点I，则，和全等，可得，即可求解； ②连接．根据勾股定理求出，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∴， ∵点G在边AB上， ∴点E，A，D三点在同一条直线上， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①成立，理由如下： 如图，设交于点I，则， ∵四边形和是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴ ∴． 故答案为：． 16．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图1，在四边形中，如果，，那么四边形______垂美四边形（填“是”或“不是”）． (2)如图2，探究垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形与正方形，连接，，，与交于点，已知，，求的中线的长． 【答案】(1)是， (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据勾股定理得出，，即可证明结论； （3）连接、，设，交于点M，证明，得出，证明，根据解析式（2）得出，根据勾股定理求出，根据，求出，最后根据直角三角形的性质求出结果即可． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形．理由如下： ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， ，即四边形是垂美四边形； （2）解：猜想：． 理由：∵， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴． （3）解：连接、，设，交于点M，如图所示： ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵，，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正方形的性质，二次根式的乘法运算，直角三角形斜边上的中线的性质，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 1 / 71 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $