专题06 含辅助线证明题分类训练（8种类型64道）（期末复习压轴题专项训练，重庆专用）八年级数学上学期新教材人教版

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06含辅助线证明题 类型倍长中线 类型2截长补短 类型3半角模型 类型4作垂直 含辅助线证明题 类型5作平行 类型6角平分线相关辅助线问题 类型7探究线段数量关系 类型8等边三角形相关辅助线问题 目目 类型01 倍长中线 1.【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，ABC中，若AB=10,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过思考： (1)由己知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)求得AD的取值范围是 A.8<AD<10B.8≤AD≤10C.1<AD<9D.1≤AD≤9 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证 1/149 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的结论集合到同一个三角形中。 【问题解决】 (3)如图2，AD是ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB,∠BAC=∠BCA,求证：AE=2AD E 图1 图2 【答案】(1)B(2)C(3)见解析 【详解】(1)解：延长AD到E,使DE=AD,连接BE,如图1， :AD是BC边上的中线， .CD=BD, 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠BDE=∠ADC, AD=ED △ADC≌△EDB(SAS), 故选：B; (2)解：由(1)知ADC≌EDB, .BE=AC=8, AB-BE AE AB+BE,AB=10, 即10-8<AE<10+8, .2<AE<18, AE =2AD, 1<AD<9, 故选：C (3)证明：延长AD到点F,连接CF,如图， 2/149 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D,0 F :AD是ABC的中线， .BD CD, 在△ABD和△FCD中， BD=CD ∠ADB=∠FDC, AD=FD △ABD≌△FCD(SAS), AB=FC,∠B=∠FCD, :CE =AB, .CE=FC, 又∠B=∠FCD, ∴∠ACB+LFCD=∠ACB+∠B=180°-LBAC, :∠BAC=∠BCA, .∠ACB+∠FCD=180°-∠BCA=∠ACF, 而∠ACE=180°-∠BCA, ·LACF=LACE, 在△ACF和△ACE中， CF =CE ∠ACF=∠ACE, AC=AC .△ACF≌△ACE(SAS), ·AE=AF, AF =2AD, AE=2AD. 3/149 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.如图，在ABC中，AD为BC边上的中线. B B (1)按要求作图：延长AD到点E,使DE=AD;连接BE, (2)求证：△ACD≌△EBD. (3)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围. 【答案】(1)图形见解析 (2)证明见解析 (3)1<AD<4 【分析】本题考查三角形中线的性质、全等三角形的判定(SAS)及三角形三边关系.解题关键是用“中线 倍长法"构造全等三角形，将分散的边(AC)转化为△ABE的边(BE),再利用三边关系求范围；易错点 是辅助线作法不规范，或全等三角形对应边/角匹配错误，以及三边关系的不等式方向混淆。 (1)按要求作辅助线：延长AD到E使DE=AD,连接BE. (2)证全等：由AD是中线得BD=CD,结合对顶角∠I=∠2、DE=AD,用SAS证△BDE=△CDA, (3)求AD范围：由全等得BE=AC=3、AE=2AD,在△ABE中用三边关系AB-BE<AE<AB+BE, 代入得5-3<2AD<5+3,化简得1<AD<4. 【详解】(1)如图所示： D (2) B :AD是BC边上中线， 4/149 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BD =CD, 在BDE和△CDA中， BD=CD ∠1=∠2， DE=AD △ACD兰△EBD(SAS. (3)由全等得BE=AC=3,AE=2AD: 在△ABE中，用三边关系AB-BE<AE<AB+BE, 代入得5-3<2AD<5+3,化简得1<AD<4. 3.【方法呈现】 (1)如图1：在ABC中，若AB=6,AC=4,点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围. 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD,再连接BE,可证△ACD≌△EBD,从而把AB 、AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围为 这种方法我们称为倍长中线法： 【问题背景】 (2)如图2，ABC中，∠B=90°，AB=2,AD是ABC的中线，CE⊥BC,CE=4,且∠ADE=90°， 求AE的长； 【构建联系】 (3)如图3，在△ABM中，AM=BM,∠AMB=90°，点D是线段AM上的一点，点C在BM延长线上的 一点， 且MD=MC,连接BD,AC,点E是△ABM外一点，EC=AC,连接ED并延长交BC于点F,且点F是线 段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF. B 0 D E 图1 图2 图3 【答案】(1)1<AD<5;(2)6;(3)见解析 5/149 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：(1)如图，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, D CD是BC的中点， E :BD=CD, :∠ADC=∠BDE, aACD≌△EBD(SAS), :BE=AC=4, 在AABE中，AB-BE<AE<AB+BE, .6-4<AE<6+4, 2<AE<10, 1<AD<5, 故答案为：1<AD<5; (2)延长AD交EC的延长线于点F,如图所示： E Q y D、 F :∠B=90°，CE⊥BC, .∠B=∠DCF=90°， :AD是ABC的中线， .BD=CD, :∠ADB=∠CDF, △ABD≌△FCD(ASA), .AD=DF,AB=CF=2, ∠ADE=∠FDE=90°，DE=DE, ∴△ADE≌△FDE(SAS), 6/149 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AE=EF=EC+FC=6; (3)∠AMB=90°， .∠BMD=∠AMC=90°， AM BM,MD=MC, ∴.△AMC≌ABMD(SAS), ∴AC=BD; 延长EF,截取FN=EF,连接BN，,如图所示： B N :点F为BC的中点， :BF=CF, :∠BFN=∠CFE, .△BFN≌△CFE(SAS), ∴BN=CE,∠N=∠CEF, EC=AC, ∴BD=BN, ∠N=∠BDF, .∠BDF=∠CEF. 4.(1)如图1，在ABC中，AD为BC边上的中线，AD=DE,求证：ADC≌EDB; (2)如图2，在ABC中，AD为BC边上的中线，AC=4,AB=6,设AD=x,则x的取值范围为 ； (3)如图3，已知D为ABC的边BC上一点，CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线，求证： AC =2AE 7/149 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D E A B 图1 图2 图3 【答案】(1)见解析；(2)1<AD<5;(3)见解析 【详解】(1)证明：：AD为BC边上的中线， :BD =DC, :AD=DE,∠ADC=∠EDB, :△ADC≌△EDB(SAS: (2)解：将AD延长至G,使AD=DG,连接BG,如图所示： D G 在△ADC和△GDB中， CD=BD ∠ADC=∠GDB, AD=DG AADC≌△GDB(SAS), .AC BG=4, 在△ABG中，AB-BG<AG<AB+BG, 6-4<2AD<6+4 1<AD<5; 故答案为：1<AD<5; (3)解：将AE延长至F,使AE=EF,连接DF,如图所示： 8/149 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 在△ABE和FDE中， BE=ED ∠AEB=∠FED, AE=EF .△ABE≌△FDE, AB=DF,∠EAB=∠F, AB∥DF, ∠ADF+∠BAD=180°， :∠ADC+LBDA=180°，∠BDA=∠BAD, .∠ADC=∠ADF, :CD=AB,AB=DF, .CD=DF, :AD=AD, △ADC≌aADF(SAS, .AC=AF=2AE 5.(1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝 试：如图1，AD是ABC的中线，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,利用全等将边AC转化到BE,在 这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是-，另外他还得到了AC和BE的位置关系是-； (2)间题解决：如图2，AD是ABC的中线，∠BAC=∠ACB,点Q在BC的延长线上，QC=AB,求证： AO=2AD: (3)问题拓展：如图3，ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D在线段CB上，连接AD,EA⊥AD, ∠ACE=∠ABD,若点F为CD中点，AF交BE于点G,求BE和AF的数量关系. 9/149 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D E 图2 图3 图1 【答案】(1)SAS;AC∥BE;(2)见解析；(3)BE=2AF 【详解】解：(1)：AD是ABC的中线， :BD=CD, 在△ADC和△EDB中， LAD-ED ∠ADC=∠EDB, BD=CD :△ADC≌EDB(SAS, ∴∠CAD=∠E, .AC∥BE, 故答案为：SAS;AC∥BE; (2)证明：如图所示，延长AD至点E,使DE=AD, A B D 图2 同(1)可得△ACD≌△EBD .AC=EB,∠ACD=∠EBD, AC∥BE, ∠BAC+∠ABE=180°， :∠ACB+∠ACQ=180°，∠BAC=LACB, ∴.∠ABE=∠ACQ, 在△ABE和△ACQ中， 10/149命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06含辅助线证明题 类型倍长中线 类型2截长补短 类型3半角模型 类型4作垂直 含辅助线证明题 类型5作平行 类型6角平分线相关辅助线问题 类型7探究线段数量关系 类型8等边三角形相关辅助线问题 目目 类型01 倍长中线 1.【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，ABC中，若AB=10,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过思考： (1)由己知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)求得AD的取值范围是 A.8<AD<10B.8≤AD≤10C.1<AD<9D.1≤AD≤9 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证 1/28 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的结论集合到同一个三角形中， 【问题解决】 (3)如图2，AD是ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB,∠BAC=∠BCA,求证：AE=2AD E 图1 图2 2.如图，在ABC中，AD为BC边上的中线. B B (1)按要求作图：延长AD到点E,使DE=AD;连接BE. (2)求证：△ACD≌△EBD. (3)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围. 3.【方法呈现】 (1)如图1：在ABC中，若AB=6,AC=4,点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围， 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD,再连接BE,可证△ACD≌△EBD,从而把AB 、AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围为 这种方法我们称为倍长中线法： 【问题背景】 (2)如图2，ABC中，∠B=90°，AB=2,AD是ABC的中线，CE⊥BC,CE=4,且∠ADE=90°， 求AE的长； 【构建联系】 (3)如图3，在△ABM中，AM=BM,∠AMB=90°，点D是线段AM上的一点，点C在BM延长线上的 一点， 2/28 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 且MD=MC,连接BD,AC,点E是△ABM外一点，EC=AC,连接ED并延长交BC于点F,且点F是线 段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF. B D E 图1 图2 图3 4.(1)如图1，在ABC中，AD为BC边上的中线，AD=DE.求证：ADC≌EDB; (2)如图2，在ABC中，AD为BC边上的中线，AC=4,AB=6,设AD=x,则x的取值范围为 (3)如图3，已知D为ABC的边BC上一点，CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线，求证： AC =2AE D A B 图1 图2 图3 5.(1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝 试：如图1，AD是ABC的中线，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,利用全等将边AC转化到BE,在 这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是-，另外他还得到了AC和BE的位置关系是-： (2)问题解决：如图2，AD是ABC的中线，∠BAC=∠ACB,点Q在BC的延长线上，QC=AB,求证： A0=2AD; (3)问题拓展：如图3，ABC中，AB=AC,LBAC=90°，点D在线段CB上，连接AD,EA⊥AD, LACE=LABD·若点F为CD中点，AF交BE于点G,求BE和AF的数量关系. 3/28 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D D 图2 图3 图1 6.【感知】如图①，在Rt△ABC中，LACB=90°，CD1AB于点D,写出图中与△ACD相似的三角形，并用 相似符号连接 【探究】如图②，在ABC中，点D为边AB上一点，连接CD. 若∠ACD=∠B,求证：AC2=AD·AB 【应用】如图③，在ABC中，CD是边AB的中线.若∠ACD=∠B,BC=2,则CD的长为 ▣ D B D B D B 图① 图② 图③ 7.问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=4,AC=3,求BC 边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE =AD,则得到△ADC≌△EDB,小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：-（用字母表示）： 问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.请写出小明解决问题的完整过程； D B E B M 图1 图2 拓展应用：以△ABC的边AB,AC为边向外作△ABE和△ACD,AB=AE,AC=AD,∠BAE=∠CAD=90°， M是BC中点，连接AM,DE.当AM=3时，求DE的长. 8.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在ABC中，AB=8,AC=10,D是BC 的中点，求BC边上的中线AD的取值范围， 4/28 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E、 A B D 图1 图2 图3 【方法探索】 (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE 根据SAS可以判定△ADC≌△EDB,得出AC=BE.这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中， 利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是 ；(提示：不等式的两边都乘或除以同 个正数，不等号的方向不变，例如：若3x<6,则x<2) 【问题解决】 (2)由第(1)问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在ABC中，D是BC边上的一点，AE是 △ABD的中线，CD=AB,∠BDA=∠BAD,试说明：AC=2AE; 【问题拓展】 (3)如图3，AD是ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC,使得AE=AB,AF=AC,判 断线段EF与AD的数量关系与位置关系，并说明理由， 目目 类型02 截长补短 9.已知，点D为ABC内部一点，分别连接DB、DC,且DB=DC,∠BAC=∠DBC+∠ACD. 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AB=CB; 5/28 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，延长BD交AC于E,若∠AEB=60°，求证：EB+EC=EA; (3)如图3，在(2)的条件下，连接AD,作∠ADC的平分线DF交AC于点F,若EF+EA=ED+16, △ADB的面积为68，求BC的长， 10.如图，在ABC中，AD平分∠BAC,∠ACB=2LB,求证：AB=CD+AC,(提示：在AB上取点E, 使得AE=AC) B D 11.如图，已知在四边形ABCD中，CE⊥AB,CB=CD,AC平分∠BAD. D A E 求证： (1)∠B+∠ADC=180°； (2)AD+AB=2AE. 12.如图，ABC为等腰直角三角形，AB=AC,∠BAC=90°，点D在线段AB上，连接CD, ∠ADC=60°，AD=2,过C作CE⊥CD,且CE=CD,连接DE,交BC于F. (1)求△CDE的面积； (2)证明：DF+CF=EF, 13.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是ABC的角平分线，DE⊥AB于E. 6/28 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 E D 图1 图2 图3 (1)如图1，连接CE,求证：BC=AE; (2)如图2，点M为CE上一点，连接BM,作等边△BMN,连接EN,求证：CM=EN; (3)如图3，点P为线段AD上一点，连接BP,作∠BPQ=60°，PQ交DE延长线于Q,求证： DO=AD+DP 14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，∠BAC与∠ACB的平分线AD,CE交于点0. D (1)求∠A0E的度数： (2)求证：AC=AE+CD 15.如图，E是AD中点，BE平分∠ABC. A E D C (1)若∠A=∠D=90°，求证：CE平分∠DCB. (2)若BE⊥EC,求证：AB+CD=BC. 16.ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB,BC上，若BD=EC. 7/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠AFD=60°； (2)如图2，FH为∠AFC的平分线，点H在FM的延长线上，连接HA、HC,∠AHC+∠AFC=180,求证： AF+CF=FH; (3)如图3，在(2)的条件下，延长AF交CH的延长线于点K,点G在线段AH上，GH=CK,连接CG交 FH于点M,FN=3,AK=8,求FH的长 目目 类型03 半角模型 17.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若 ∠EAF=,∠BAD,可求得EF、BE、FD之间的数量关系为 ·(只思考解题思路，完成填空即可， 2 不必书写证明过程) (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+LADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点， 若∠E4F-B4D,判断EF、BE、FPD之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，谐说 明理由. B E 图1 图2 18.己知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC· (1)如图1.连接BD,若∠BAD=90°，求证：AD=CD, (2)如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：∠PBQ=∠ABP+∠QBC; 8/28 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3)若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ=AP+CQ,请写出 ∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程， D D 图1 图2 图3 19.(1)如图1，四边形ABCD是边长为5cm的正方形，E,F分别在AD,CD边上，∠EBF=45°.为了求 出ADEF的周长.小南同学的探究方法是：如图1，延长EA到H,使AH=CF,连接BH,先证 △ABH≌ACBF,再证△EBH≌△EBF,得EF=EH,从而得到△DEF的周长=cm; (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=100°，LB=LADC=90°.E,F分别是线段BC,CD上 的点.且∠EAF=50°.探究图中线段EF,BE,FD之间的数量关系； (3)如图3，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是线段BC,CD上的点，且 2∠EAF=∠BAD,(2)中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由. D H Bh E E 图1 图2 图3 20.问题探究：(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,AB⊥CB,AD⊥CD,E,F分别是BC,CD上 的点，且∠EAF= 2∠D1B,探究图中EF,BE,DF之间的数量关系。小明同学探究此问题的方法是：延长 CB到点G,使BG=DF.连接AG,先对比△ABG与△ADF的关系，再对比△AEF与△AEG的关系，可得 出EF、BE、DF之间的数量关系，请问：他的结论是-；并对此问题给出完整解题过程 理解运用：(2)已知：在四边形ABCD中，AB=AD,LABC+LADC=180°，点E、点F分别在直线BC、 直线CD上，且∠EAF-BAD:知图2，点E、点F分别在边CB、DC的延长线上：如图3，点E、点F 分别在边BC、CD的延长线上.请从图2和图3中任选一种，写出线段EF、BE、FD之间的数量关系， 并说明理由. 拓展延伸：(3)如图4，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点F在CB的延长线上， 9/28 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点E在CD的延长线上，若EF=BF+DE,请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系. G B B D 图1 图2 图3 图4 21.已知，在四边形ABCD中，AB=AD,LB+∠ADC=180,E、F分别是边BC、CD上的点，且 ∠EAF=I ∠BAD. 2 D B 图1 图2 图3 (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当4B=∠ADC=90°时. 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG. 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路 小明的解题思路：先证明△ABE≌一；再证明了△AEF≌一，即可得出BE，EF,FD之间的数量 关系为一 (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC=180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的 结论，如果不成立，请说明理由 (3)如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他己知条件不变，此时线段EF,BE,FD之间 的数量关系为·（不用证明） 22.如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,点E,点F分别在边BC,CD上，己知∠EAF=∠DAB, 2 ∠ABC+∠ADC=180°， 10/28