24.3　正多边形和圆 课件 2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正多边形和圆，涵盖概念（中心、半径、边心距等）、画法（等分圆周、尺规作正方形和正六边形）及相关计算。通过问题导入联系三角形、四边形与圆的旧知，构建知识支架，引导学生逐步深入。 其亮点在于以活动操作（画正多边形）和任务驱动（角度、边长计算）为主线，结合几何直观（数学眼光）、推理计算（数学思维）和模型表达（数学语言）。如通过变式探究∠MON与正n边形边数关系，培养学生空间观念与创新意识，为教师提供分层教学资源，提升教学效率。

24.3　正多边形和圆 单击此处编辑母版文本样式 24.3　正多边形和圆 单击此处编辑母版文本样式 1.知道正多边形和圆的关系,知道正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念. 2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题. 3.会用量角器等分圆,会用尺规作图作圆内接正方形和正六边形. ◎重点:正多边形和圆的关系以及正多边形的画法. ◎难点:正多边形中关于角、半径、边心距、边长等的计算. 学习目标 单击此处编辑母版文本样式 前面我们学习了三角形和圆的关系、四边形和圆的关系,今天我们接着学习另外一种多边形——正多边形.那么,什么样的多边形是正多边形呢?它们又和圆有怎样的关系呢? 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 正多边形的有关概念   请按照你对正多边形相关概念的理解进行填空. 如图,等边△ABC是☉O的　 　三角形,☉O是等边△ABC的　　圆,　　是△ABC的中心,　 　是△ABC的半径,　 　是△ABC的中心角,　 　的长是边心距.    内接 外接 点O OA(或OC) ∠AOC OD 单击此处编辑母版文本样式 正多边形的画法   活动一:一般正n边形的画法 请根据课本中提供的方法,在下图中画出圆的内接正五边形,并试着总结正多边形的画法.   单击此处编辑母版文本样式 解: 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结　在圆内作相等的　 　可以等分圆周,顺次连接各分点,即可得正多边形.  圆心角 单击此处编辑母版文本样式 活动二:特殊的正n边形的画法 请按照课本中所提供的特殊正多边形的画法,在下面两个圆中分别画出圆内接正方形和正六边形. 单击此处编辑母版文本样式 解 单击此处编辑母版文本样式 正多边形的半径、边长、边心距之间的关系 1.如图,四边形ABCD是☉O的内接正方形,若正方形的面积等于4,求☉O的面积. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:连接OB、OC. ∵正方形的面积为4, ∴BC=2. 在Rt△BOC中,OB=OC, 根据勾股定理得OB2+OC2=BC2, ∴OB2=2, ∴☉O的面积为2π. 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 正六边形的边心距与边长之比为  　.  方法归纳交流　正多边形的半径、边心距和边长的一半构成　 　三角形,可以用勾股定理求解.  单击此处编辑母版文本样式 与正多边形有关的角的计算 2.如图,正八边形ABCDEFGH内接于圆O,P是 上任意一点,则∠CPE的度数为( ) A.30° B.15° C.60° D.45° D 单击此处编辑母版文本样式 　变式演练　 如图1、2、3、…、n,M、N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n+2边形ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM,ON. 单击此处编辑母版文本样式 (1)求图1中∠MON的度数. (2)图2中∠MON的度数是　　　　,图3中∠MON的度数是　　　　.  (3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.(直接写出答案) 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)如图,连接OB,OC. ∵等边△ABC内接于☉O, ∴∠OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°. ∵BM=CN,OB=OC,∴△OBM≌△OCN, ∴∠BOM=∠CON,∴∠MON=∠BOC=120°. (2)90°;72°.(3)∠MON=. 单击此处编辑母版文本样式 1已知正六边形的外接圆半径为a,则正六边形的周长是 ( ) A.3a B.6a C.12a D.24a 2如果一个圆形纸片的直径是8 cm,用它完全覆盖正三角形,那么正三角形的边长最大不能超过( ) A.2 cm B.2 cm C.4 cm D.4 cm 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B D 分层作业 单击此处编辑母版文本样式 3中心角是45°的正多边形的边数是　 　.  4如果正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于　 　度.  8 144 单击此处编辑母版文本样式 5如图,正六边形ABCDEF的边长为6 cm,求这个正六边形的外接圆的半径R、边心距r6、面积S6. 单击此处编辑母版文本样式 解:如图,连接OA,OB,过点O作OG⊥AB于点G. ∵∠AOB=60°,OA=OB,∴△AOB是等边三角形, ∴OA=OB=6 cm,即R=6 cm. ∵OA=OB=6 cm,OG⊥AB, ∴AG=AB=×6=3(cm), ∴在Rt△AOG中,r6=OG==3(cm), ∴S6=×6×6×3=54(cm2). 单击此处编辑母版文本样式 6同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是 ( ) A. B. C. D. A 单击此处编辑母版文本样式 7如图,正五边形ABCDE内接于☉O,点F在上.若∠CDF=96°,则∠FCD的大小为( ) A.38° B.42° C.48° D.58° C 单击此处编辑母版文本样式 8如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的,则☉O与半圆P的半径之比为　 　.  9若一个正三角形与一个正六边形的周长相等,则它们的面积之比值是　 　.  2∶1 2∶3 单击此处编辑母版文本样式 10正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为多少? 解:设正三角形的边长为a,则高h1=a,外接圆半径R=a,边心距h2=a, 所以h1∶R∶h2=3∶2∶1. 单击此处编辑母版文本样式 11按下列要求分别在图中画出☉O的内接正多边形.(不写作法,保留作图痕迹) (1)等边三角形. (2)正方形. (3)正八边形. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)等边三角形如图1所示: (2)正方形如图2所示: (3)正八边形如图3所示: 图1 图2 图3 单击此处编辑母版文本样式 12如图,这是7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格,正六边形的顶点称为格点,已知每个正六边形的边长为1,△ABC的顶点都在格点上,则△ABC的面积是( ) A. B.2 C. D.3 B 单击此处编辑母版文本样式 13图1、2、3、4…分别是☉O的内接正三角形、正方形、正五边形、…、正n+2边形…,点M,N分别从点B,C开始以相同的速度在☉O上逆时针运动. 单击此处编辑母版文本样式 (1)求图1中∠APN的度数. (2)图2中∠APN的度数是　　　　,图3中∠APN的度数是　　　　.  (3)试探究∠APN的度数与正n边形边数的关系.(直接写出答案) 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)∵等边△ABC内接于☉O, AB=BC,∠ABC=∠BCA=60°,=, ∴∠BAM=∠CBN,∴∠APN=∠ABN+∠BAM=∠ABN+ ∠CBN=60°. (2)90°;108°. (3)∠APN=. 单击此处编辑母版文本样式 END 感谢观看 下节课再会 单击此处编辑母版文本样式 32 $