24.2.2　直线和圆的位置关系 第2课时课件2025-2026学年人教版数学九年级上册

九年级·数学·人教版·全一册册 24.2　点和圆、直线和圆的位置关系 单击此处编辑母版文本样式 24.2.2　直线和圆的位置关系 第2课时　圆的切线 单击此处编辑母版文本样式 1.会过圆上一点画圆的切线,通过探索得出切线的判定定理和性质定理. 2.能运用切线的判定定理和性质定理解决有关问题. ◎重点:切线的判定定理和性质定理. ◎难点:切线的判定定理和性质定理的综合运用. 学习目标 单击此处编辑母版文本样式 下雨天,当你转动雨伞时,发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出,水珠是顺着什么样的方向飞出的? 用机器打磨铁制零件,铁屑是沿什么方向飞出的? 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 切线的判定定理    认真阅读课本课时第一个“思考”,回答其中的问题,并试着说一说你是如何判断直线l与☉O的位置关系的. 答:圆心到直线l的距离是OA,即圆的半径,所以直线l是☉O的切线,根据的是“如果圆心到直线的距离等于圆的半径,那么这条直线就是圆的切线”. 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结　经过半径的　 　并且　 　于这条半径的直线是圆的切线.  温馨提示　根据圆的切线的判定定理,当一条直线同时满足以下两个条件时,才是圆的切线,缺一不可.①过半径的外端;②与这条半径垂直. 外端 垂直 单击此处编辑母版文本样式 切线的性质定理    认真阅读课本本课时的第二个“思考”,回答其中的问题. 归纳总结　圆的切线垂直于过　 　的半径.  温馨提示　切线的性质定理的几何语言表示:∵直线AB切☉O于点M,∴OM⊥AB. 答:半径OA和直线l一定垂直. 切点 单击此处编辑母版文本样式 证明一条直线是圆的切线的方法 1.如图,四边形ABCD内接于☉O,BD是☉O的直径,过点A作AE⊥CD,交CD的延长线于点E,DA平分∠BDE. (1)求证:AE是☉O的切线. (2)已知AE=8 cm,CD=12 cm,求☉O的半径. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)证明:如图,连接OA. ∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD. ∵DA平分∠BDE,∴∠ODA=∠EDA, ∴∠OAD=∠EDA,∴EC∥OA. ∵AE⊥CD,∴AE⊥OA. ∵点A在☉O上, ∴AE是☉O的切线. 单击此处编辑母版文本样式 (2)如图,过点O作OF⊥CD,垂足为F. ∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°, ∴四边形AOFE是矩形.∴OF=AE=8 cm. 又∵OF⊥CD, ∴DF=CD=6 cm. 在Rt△ODF中,OD==10 cm, 即☉O的半径为10 cm. 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　上述证切线的方法可简称为“连半径,证垂直”,当直线与圆的公共点不明确时(公共点没有用大写字母表示出来),过圆心作直线的　 　,再利用“圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线”即可证明,简称为“作垂线,证相等”.  垂线段 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 1.如图,已知☉O的半径为5,直线EF经过☉O上一点P(点E,F在点P的两旁),下列条件能判定直线EF与☉O相切的是( ) A.OP=5 B.OE=OF C.点O到直线EF的距离是4 D.OP⊥EF D 单击此处编辑母版文本样式 2.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AB上一点,DE=DC,以点D为圆心,DB的长为半径作☉D,AB=5,EB=3. (1)求证:AC是☉D的切线. (2)求线段AC的长. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)证明:如图,过点D作DF⊥AC于点F. ∵AB为☉D的切线,∴∠B=90°, ∴AB⊥BC. ∵AD平分∠BAC,DF⊥AC, ∴BD=DF, ∴AC与☉D相切, ∴AC是☉D的切线. 单击此处编辑母版文本样式 (2)在△BDE和△FDC中, ∵BD=DF,DE=DC, ∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL),∴EB=FC. ∵AB=AF, ∴AB+EB=AF+FC, 即AB+EB=AC, ∴AC=5+3=8. 单击此处编辑母版文本样式 切线的性质定理的应用 2. 如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,大圆的弦AB切小圆于点C,求AB的长. 单击此处编辑母版文本样式 解:如图,连接OA,OC. ∵弦AB切小圆于点C,∴OC⊥AB. 根据垂径定理可得AC=BC. 在Rt△OAC中,根据勾股定理可得AC=4, ∴AB=8. 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 1.两个同心圆,大圆的弦AB切小圆于点C,AB=8,则圆环的面积为　 　.  16π 单击此处编辑母版文本样式 2. 如图,AB是☉O的直径,P是AB延长线上的一点,PC切☉O于点C,PC=3,PB=1,求☉O的半径. 单击此处编辑母版文本样式 解:如图,连接OC.∵PC切☉O于点C, ∴OC⊥PC. 设OC=OB=r,则OP=r+1. 在Rt△COP中,根据勾股定理可得r2+32=(r+1)2, 解得r=4, ∴☉O的半径是4. 单击此处编辑母版文本样式 3.如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的切线,C是切点,弦CF⊥AB于点E,连接AC. (1)求证:AC平分∠DCF. (2)若AD⊥CD,BE=2,CF=8,求AD的长. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)证明:如图,连接OC. ∵CD切☉O于点C,∴∠OCD=90°, ∴∠ACD+∠ACO=90°.∵CF⊥AB, ∴∠AEC=90°, ∴∠ACF+∠CAE=90°. ∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAE, ∴∠ACD=∠ACF,∴AC平分∠DCF. 单击此处编辑母版文本样式 (2)由(1)可知,∠ACD=∠ACF. ∵CF⊥AB,CF=8,∴CE=CF=4. 设☉O的半径为r,则OE=r-2, 在Rt△OEC中,OC2=OE2+CE2,即r2=(r-2)2+42, 解得r=5,∴AE=AB-BE=10-2=8. ∵∠ACD=∠ACF,AD⊥CD,CF⊥AB,∴AD=AE=8. 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　运用切线的性质解题时,连接半径,构造　 　,利用　 　三角形的性质来解题.  垂直 直角 单击此处编辑母版文本样式 1如果AB是☉O的直径,要判定直线l与☉O相切,还需要添加的条件是 ( ) A.直线l经过端点A B.直线l经过圆心 C.直线l过AB的端点B,且l⊥AB D.以上说法都不对 C 分层作业 单击此处编辑母版文本样式 2如图,在△ABC中,AB=BC=2,以AB为直径的☉O与BC相切于点B,则AC等于 ( ) A. B. C.2 D.2　　　　　 　　　　　 　　　　　 C 单击此处编辑母版文本样式 3如图,☉O的直径AB与弦AC的夹角为30°,切线CD与AB的延长线交于点D,若☉O的半径为3,则CD的长为( ) A.6 B.6 C.3 D.3 D 单击此处编辑母版文本样式 4如图,PA是☉O的切线,切点为A,PA=2,∠APO=30°,则☉O的半径长为　　.  2 单击此处编辑母版文本样式 5如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的圆交斜边AB于点P,E是BC的中点,连接PE.求证:PE是☉O的切线. 单击此处编辑母版文本样式 证明:如图,连接PO. ∵OE是△ABC的中位线, ∴OE∥AB, ∴∠POE=∠OPA=∠PAO=∠EOC, 可证得△EPO≌△ECO. ∴∠OPE=∠OCE=90°, ∴PE为切线.   单击此处编辑母版文本样式 6如图,在平面直角坐标系中,☉P与x轴分别交于A、B两点,点P的坐标为(3,-1),AB=2.若☉P与x轴相切,则需将☉P沿着与y轴平行的方向平移的距离为( ) A.1 B.2 C.3 D.1或3 D 单击此处编辑母版文本样式 7如图,已知△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,NM与☉O相切,切点为A,若∠MAB=30°,则∠B=　 　度.  60 单击此处编辑母版文本样式 8 如图,半径OA⊥OB,P是OB延长线上一点,PA交☉O于点D,过点D作☉O的切线CE交PO于点C,求证:PC=CD. 单击此处编辑母版文本样式 证明:如图,连接OD. ∵CE切☉O于点D, ∴OD⊥CE,∴∠2+∠3=90°. ∵OA⊥OB,∴∠P+∠A=90°. ∵OD=OA,∴∠3=∠A,∴∠P=∠2. 又∵∠1=∠2,∴∠P=∠1,∴PC=CD. 单击此处编辑母版文本样式 9如图,AO是△ABC的中线,☉O与AB边相切于点D. (1)要使☉O与AC边也相切,应增加条件　　　　　　(任写一个).  (2)增加条件后,请你说明☉O与AC边相切的理由. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)AB=AC(或∠B=∠C或AO平分∠BAC或AO⊥BC). (2)理由:如图,过点O作OE⊥AC于点E,连接OD. ∵AB切☉O于点D,∴OD⊥AB. ∵AB=AC,AO是BC边上中线, ∴OA平分∠BAC. 又∵OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E, ∴OE=OD,∴AC是☉O的切线. 单击此处编辑母版文本样式 10如图1,AB是半圆O的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.延长PD交圆的切线BE于点E. 单击此处编辑母版文本样式 (1)判断直线PD是否为半圆O的切线,并说明理由. (2)如果∠BED=60°,PD=,求PA的长. (3)如图2,将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF,点F正好在☉O上,求证:四边形DFBE为菱形. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)直线PD为☉O的切线. 理由:如图,连接OD. ∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°, ∴∠ADO+∠BDO=90°. 又∵DO=BO,∴∠BDO=∠PBD. ∵∠PDA=∠PBD,∴∠BDO=∠PDA, 单击此处编辑母版文本样式 ∴∠ADO+∠PDA=90°,即PD⊥OD. ∵点D在半圆O上,∴直线PD为半圆O的切线. (2)∵BE是半圆O的切线, ∴∠EBA=90°. ∵∠BED=60°,∴∠P=30°. ∵PD为☉O的切线,∴∠PDO=90°. 在Rt△PDO中,∠P=30°,PD=, 单击此处编辑母版文本样式 ∴OD=1, ∴PO==2, ∴PA=PO-AO=2-1=1. (3)(方法一)证明:依题意得∠ADF=∠PDA,∠PAD=∠DAF. ∵∠PDA=∠PBD,∠ADF=∠ABF, ∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF. ∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°. 单击此处编辑母版文本样式 设∠PBD=x°,则∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°. ∵四边形AFBD内接于☉O,∴∠DAF+∠DBF=180°, 即90°+x+2x=180°,解得x=30°, ∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°. ∵BE、ED是☉O的切线,∴DE=BE,∠EBA=90°, ∴∠DBE=60°, ∴△BDE是等边三角形. 单击此处编辑母版文本样式 ∴BD=DE=BE. 又∵∠FDB=∠ADB-∠ADF=90°-30°=60°, ∠DBF=2x°=60°, ∴△BDF是等边三角形,∴BD=DF=BF, ∴DE=BE=DF=BF,∴四边形DFBE为菱形. 单击此处编辑母版文本样式 (方法二)证明:依题意得∠ADF=∠PDA,∠APD=∠AFD. ∵∠PDA=∠PBD,∠ADF=∠ABF,∠PAD=∠DAF, ∴∠ADF=∠AFD=∠BPD=∠ABF, ∴AD=AF,BF∥PD,∴DF⊥PB. ∵BE为切线,∴BE⊥PB, ∴DF∥BE,∴四边形DFBE为平行四边形. ∵PE、BE为切线,∴BE=DE,∴四边形DFBE为菱形. 单击此处编辑母版文本样式 END 感谢观看 下节课再会 单击此处编辑母版文本样式 45 $