24.2 .2 直线和圆的位置关系 切线的判定和性质定理 课件-2024-2025学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上册 直线和圆的位置关系--切线 1 教学目标 01 02 会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理. 03 能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. 2 01 重点：理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理. 02 难点：能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. 重难点 3 引入新课 4 直线和圆的位置关系 相　交 相　切 相　离 图　形 公共点个数 公共点名称 － 直线名称 － 距离 d 与半径 r 的关系 l O d r l O A B d r l O A d r 2 个 交点 割线 1 个 切点 切线 d＜r d=r d＞r 没有 回顾旧知 判断直线与圆的位置关系的方法 5 课堂导入 情景1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的? 情景2：用砂轮磨刀时擦出的火花，:是沿着什么方向飞出的？ 推进新课 回顾直线与圆相切： .O 直线与圆相切 切线 . 切点 判断直线和圆相切有哪两种办法？ 知识回顾 7 01 切线概念及判定定理 8 ． d r O l 直线 l和⊙O相切 切线 切点 怎样判定切线？切线有什么特征？ 1. 和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线. 1.切线和圆只有一个公共点. 2.圆心到切线的距离等于半径. 切线具有的性质 定义法： 2. 圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线. 数量关系法（d=r ）： 新知探究 图中直线l满足什么条件时是⊙O的切线？ 探究： O l 方法1：直线与圆有唯一公共点 方法2：直线到圆心的距离等于半径 注意：实际证明过程中，通常不采用第一种方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的判定方法。 11 请在⊙O上任意取一点A，连接OA，过点A作直线l⊥OA。思考： （1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系? （2）二者位置有什么关系？为什么？ （3）由此你发现了什么？ O l A 操作与观察： 12 (1)直线l经过半径OA的外端点A； (2)直线l垂直于半径0A． 则:直线l与⊙O相切 这样我们就得到了切线的判定理．(从“位置”的角度) A O l 发现： 由d=r 直线 l 是⊙O的切线． A B C O 13 知识要点 切线的判定定理 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ． 注意 圆的切线有无数条． 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. OA为⊙O的半径 BC ⊥ OA于A BC为⊙O的切线 Ｏ A B C 切线的判定定理 应用格式 O 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ O. A O. A B A O (1) (2) (3) (1)不是，因为没有垂直. (2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A. 在切线的判定定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 注意 判断: 1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ） × × × O r l A O r l A O r l A 利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直. 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 要 点 归 纳 例如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。 O B A C 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。 例题： 有交点，连半径，证垂直. 证明：连结OC(如图)。 ∵ OA＝OB,CA＝CB. ∴ AB⊥OC。 ∵ OC是⊙O的半径 ∴ AB是⊙O的切线 19 例如图，已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。 求证：⊙O与AC相切。 O A B C E D 无交点，作垂直，证相等. 证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB. ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ OE是⊙O的半径 OE⊥AC AC是⊙O的切线。 20 O B A C O A B C E D 归纳： 例1与例2的证法有何不同? (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直. (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：无交点,作垂直,证相等. 21 如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB. 求证：直线AB是⊙O的切线. C B A O 如图，OA＝OB=5，AB＝8, ⊙O的直径为6. 求证：直线AB是⊙O的切线. C B A O 对比思考 ？ 作垂直 连接 方法归纳 (1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径. 证切线时辅助线的添加方法 例1 例2 有切线时常用辅助线添加方法 见切点，连半径，得垂直. 切线的其他重要结论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 要 点 归 纳 1. 如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB. 求证：AT是⊙O的切线. 练习 证明：∵ AT=AB ∴∠T=∠ABT=45° ∴∠TAB=90° ∴BA⊥AT ∴AT是⊙O的切线 A B . O T 2. 如图， AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A，B是切点. l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论. 解： l1 ∥ l2. 证明：∵直线l1，l2是⊙O的切线。 ∴ AB ∥ l1 ， ∴ AB ∥ l2。 ∴ l1 ∥ l2. A B . O l2 l1 练习 例如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，点A,且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线. 分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可. 证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°。 ∴∠ACB＝∠ABC＝45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC- ∠ACB=90°. ∵AB是☉O的直径。 ∴ AC是☉O的切线. A O C B 通过证明角是90°判断圆的切线 考点 26 如图 所示，线段 AB 经过圆心 O，交⊙O 于点A、C，∠BAD＝∠B＝30°，边 BD 交圆于点D.BD 是⊙O 的切线吗？为什么？ 图 24-2-11 解：BD 是⊙O 的切线． 连接 OD, ∵OD＝OA，∠A＝30°。 ∴∠DOB＝60°. ∵∠B＝30°，∴∠ODB＝90°. ∴BD 是⊙O 的切线． 例2已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线. O B A C 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB。 ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径。 ∴ AB是⊙O的切线. 通过证明垂直判断圆的切线 考点 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E. 求证：AC 是⊙O 的切线． B O C E A 分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE. F 证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC. ∵⊙O 与AB 相切于E。 ∴OE ⊥ AB. 又∵△ABC 中，AB ＝AC。 O 是BC 的中点． ∴AO 平分∠BAC。 F B O C E A ∴OE ＝OF. ∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC. ∴AC 是⊙O 的切线． 又OE ⊥AB ，OF⊥AC. 02 切线的性质定理 31 下雨天快速转动雨伞时飞出的水滴，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线方向飞出． 1. 当你在下雨天快速转动雨伞时，水滴顺着伞的什么方向飞出去的？ 2. 砂轮打磨零件时，溅出火星沿着砂轮的什么方向飞出去的? 生活中的数学 新知探究 思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？ A l O ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点。 ∴直线l ⊥OA. 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径． 几何语言 知识点 切线的性质定理 例如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (1)求证：△ACB≌△APO； (2)若AP＝ ，求⊙O的半径． 分析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°. 由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO； O A B P C (2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长. 切线性质的应用 考点 34 (1)求证：△ACB≌△APO； O A B P C 在△ACB和△APO中. ∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB. ∴△ACB≌△APO（ASA）. 证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点. 又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°. 又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形． ∴AB＝AO，∠ABO＝60°. 又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. ∴∠OAP＝90°. 35 (2)若AP＝ ，求⊙O的半径． O A B P C ∴AO＝1. ∴CB＝OP＝2. ∴OB＝1. 即⊙O的半径为1. 解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP = . 36 如图所示，点 A 是⊙O 外一点，OA 交⊙O 于点 B，AC 是⊙O 的切线，切点是 C，且∠A＝30°，BC＝1.求⊙O 的半径． 解：连接 OC. ∵ AC 是⊙O 的切线， ∴ ∠OCA ＝90°. 又∵ ∠A＝30° ∴ ∠COB＝60° ∴ OBC 是等边三角形． ∴ OB＝BC＝1，即⊙O 的半径为 1. 37 03 巩固总结 38 ①过半径外端; ②垂直于这条半径. 切线 ①圆的切线; ②过切点的半径. 切线垂直于半径 切线判定定理： 切线性质定理： 比较： O A l 39 1、如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？ 巩固： 注：已知切线、切点，则连接半径，应用切线的性质定理得到垂直关系，从而应用勾股定理计算。 40 2：如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D. 求证:AC平分∠DAB B A C O 1 2 3 D 证明: 连结OC ∵CD是⊙O的切线∴OC⊥CD 又∵CD⊥AD∴OC∥AD ∴∠1=∠3 又∵OA=OC ∴∠2=∠3 ∴ ∠1=∠2 即AC平分∠DAB 如图,AB为⊙O的直径, C为⊙O上一点,AD⊥CD,AC平分∠DAB. 求证: CD是⊙O的切线 变式1 变式2 如图,AB为⊙O的直径, AC平分∠DAB ,CD是⊙O的切线. 求证: AD⊥CD 3 2 1 B O A C D 1.判断下列命题是否正确. （1）经过半径外端的直线是圆的切线. （ ） （2）垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） （3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ） （4）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） （5）过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ） × × √ √ √ 基础巩固题 2. 如下图所示，A是☉O上一点，且AO=5, PO=13, AP=12,则PA与☉O的位置关系是 . A P O 相切 3. 如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）. A．40° B．35° C．30° D．45° P O D A B C C 4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4, PA=2,则⊙O的半径多少？ O P B A 解：连接OB，则∠OBP=90°. 设⊙O的半径为r,则OA=OB=r. OP=OA+PA=2+r. 在Rt△OBP中 OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2. 解得 r=3， 即⊙O的半径为3. 46 切线的判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1个公共点，则相切。 d=r，则相切。 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 课堂小结 切线的 性质 有1个公共点 d=r 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。 有切线时常用辅助线 添加方法：见切线，连切点，得垂直. 同学们，请不要停止探究的步伐。 　　　　数学源自于对生活的热爱 …… 感谢所有的同行，感谢同学们。　　　　再见！ 谢 谢 再 见 下课了! 50 月光（放松轻音乐纯音乐钢琴曲） 心灵解压屋 唯美/放松/减压/舒缓/哄睡轻音乐 101148.18 XXX - 酷我音乐 $$