精品解析：辽宁省朝阳市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题（人教版）

2026年全市八年级学业水平适应性考试 数学试卷（人教版） （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 体育运动对青少年的成长具有积极影响．它不仅能强健体魄、磨砺意志、调节情绪，更有助于塑造正确的价值观与优良品德，为青少年终身发展奠定坚实基础．在以下的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 4，5，10 C. 5，6，9 D. 6，7，13 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 随着科学技术的迅猛发展，我国国产光刻机分辨率进步显著，浸没式光刻机套刻精度达到的水平，相当于米，数字用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则m的值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 如图，若，点E在AB上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 若分式值为0，则m的值是（ ） A. 0 B. C. D. 3 8. 如图，在中，，平分交于点D，点E为的中点，若，，则的面积是（ ） A 8 B. 6 C. 4 D. 2 9. 若，，则的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，作射线，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 12. 如图，将一副分别含，角的直角三角板叠放在一起，角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果，那么为______度． 13. 计算：______． 14. 如图，在中，，，直线是边的垂直平分线，点P是直线上一动点，则周长的最小值为______． 15. 如图，直线l与坐标轴相交于A，B两点，，，点C为线段上一点，将沿所在直线翻折，点B的对应点为点D，当时，点D的坐标为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F．求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于x轴对称的图形，写出点C的对称点F的坐标； （2）求面积． 19. 为了测量平地上一个水池两边相对的两点间的距离，某数学兴趣活动小组开展了综合与实践活动． 【活动准备】 1．考察水池周围地理环境； 2．准备好皮尺、测角仪等测量工具． 【设计方案】 1．如图，水池两边分别放置标识物，标识点A和点B； 2．在水池边的空地上作的垂线，在上取两点C，D，通过测量使； 3．过点D画出的垂线，并且使点E与点A，C在一条直线上． 【数据采集】经测量得出DE的长度为52米． 请根据以上信息，求A，B两点的距离． 20. 如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，四个角上各有一个边长为b米的小正方形空地，开发商计划在空地之外的部分（阴影部分）进行绿化． （1）求该小区绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； （2）若，，绿化成本为40元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 21. 为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类，用350万元购买甲型机器人和用490万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为120万元，甲、乙两种型号机器人单价分别是多少万元？ 22. 数学活动课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形、用一张A种纸片，一张B种纸片，两张C种纸片拼成如图2的大正方形．利用图2大正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：． （1）小明用图1中的三种纸片拼成一个如图3的大长方形．观察图3，多项式分解因式的结果为______； （2）小丽也用图1中的三种纸片仿照上面的拼接方式拼成一个长为，宽为的大长方形，请通过计算求出A，B，C三种纸片分别用了多少张； （3）运用公式可以整体求值，例如：已知，，求ab的值．小刚的解题过程是： 由可知，，即． 请解答下面问题： 已知，求的值． 23. 问题初探】 （1）如图1，在中，，，交边于点D． 求证：． ①如图2，思路一：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，思路二：延长至点F，使，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一种解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图4，将（1）中的“，交边于点D”改为“是的角平分线”，其他条件不变，请判断线段与的和等于图中哪条线段的长，并证明你的结论． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，是的中线，点E在边上，连接交于点F，且，点G在的延长线上，．若，请直接写出面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年全市八年级学业水平适应性考试 数学试卷（人教版） （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 体育运动对青少年的成长具有积极影响．它不仅能强健体魄、磨砺意志、调节情绪，更有助于塑造正确的价值观与优良品德，为青少年终身发展奠定坚实基础．在以下的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义判断即可，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，故选项符合题意； B、不是轴对称图形，故选项不符合题意； C、不轴对称图形，故选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 4，5，10 C. 5，6，9 D. 6，7，13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了构成三角形的条件，通过比较两条较短线段的长度之和与较长线段的长度的大小关系，即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故选项不符合题意； B、，不能构成三角形，故选项不符合题意； C、，且其他组合如均成立，能构成三角形，故选项符合题意； D、，不能构成三角形，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除，积的乘方，幂的乘方．根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误； B. ，原计算错误； C. ，原计算错误； D. ，计算正确； 故选：D． 4. 随着科学技术的迅猛发展，我国国产光刻机分辨率进步显著，浸没式光刻机套刻精度达到的水平，相当于米，数字用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 5. 若，则m的值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解，把因式分解，然后根据对应系数相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 6. 如图，若，点E在AB上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，由三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 若分式的值为0，则m的值是（ ） A. 0 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据分式的值为时，分子为而分母不为解答即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故选：D． 8. 如图，在中，，平分交于点D，点E为的中点，若，，则的面积是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，作于点，根据角平分线的性质，得到，再利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：作于点， ∵平分交于点D，，即， ∴， ∵点E为的中点，， ∴， ∴； 故选C． 9. 若，，则的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法逆用，利用指数运算法则，将 分解为 ，然后整体代入计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 10. 如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，作射线，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作角平分线，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角，连接，根据作图可知，得到为等边三角形，进而得到，证明，得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知：， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，先提取公因式x，再根据完全平方公式即可解答． 【详解】解：， 故答案：． 12. 如图，将一副分别含，角的直角三角板叠放在一起，角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果，那么为______度． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据平角的定义，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：100． 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方逆用、零指数幂，先将化为，再根据积的乘方逆用和零指数幂运算，然后运算减法计算． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，直线是边的垂直平分线，点P是直线上一动点，则周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，线段垂直平分线的性质，连接，设与交于点，由题意得到点关于对称，，则当和重合时，的值最小，最小值为的长，解此题的关键是找出的位置． 【详解】解：连接，设与交于点，如图： ∵直线是边的垂直平分线， ∴点关于对称，， ∴当和重合时，的值最小，最小值为的长， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 15. 如图，直线l与坐标轴相交于A，B两点，，，点C为线段上一点，将沿所在直线翻折，点B对应点为点D，当时，点D的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折性质，坐标与图形，勾股定理，如图，当时，过点D作轴，勾股定理求出的长，设，则，根据折叠可得，进而得出，，在中，利用勾股定理进行求解即可． 详解】解：如图，当时，过点D作轴， 则，， ∵，， ∴， 设，则， 根据折叠可得， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：或0（舍去）， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算和分式化简求值，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先利用完全平方公式和单项式的除法计算，然后合并同类项解答即可； （2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式． 17. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据等边对等角，得到，等角的余角相等，结合对顶角相等，得到，即可得证． 【详解】证明：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于x轴对称的图形，写出点C的对称点F的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）图见解析，点C的对称点F的坐标为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）分别作出点关于x轴对称的对应点，依次连接，由图得出点的坐标即可； （2）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 由图可得：点C的对称点F的坐标为； 【小问2详解】 解：的面积． 19. 为了测量平地上一个水池两边相对的两点间的距离，某数学兴趣活动小组开展了综合与实践活动． 【活动准备】 1．考察水池周围地理环境； 2．准备好皮尺、测角仪等测量工具． 【设计方案】 1．如图，在水池两边分别放置标识物，标识点A和点B； 2．在水池边的空地上作的垂线，在上取两点C，D，通过测量使； 3．过点D画出的垂线，并且使点E与点A，C在一条直线上． 【数据采集】经测量得出DE的长度为52米． 请根据以上信息，求A，B两点的距离． 【答案】A，B两点的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，即可得出答案，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 在和中， ， ∴， ∴，即A，B两点的距离为． 20. 如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，四个角上各有一个边长为b米的小正方形空地，开发商计划在空地之外的部分（阴影部分）进行绿化． （1）求该小区绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； （2）若，，绿化成本为40元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【答案】（1）平方米 （2）完成绿化共需要15040元 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法与几何图形的面积，代数式求值，正确的列出代数式是解题的关键： （1）用长方形的面积减去四个小正方形的面积，求解即可； （2）把，，代入（1）中代数式，求出总面积，再乘以单价，即可得出结果． 【小问1详解】 解： （平方米）； 【小问2详解】 解：当，时，， （元）； 答：完成绿化共需要15040元． 21. 为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类，用350万元购买甲型机器人和用490万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为120万元，甲、乙两种型号机器人单价分别是多少万元？ 【答案】甲型机器人单价为50万元，乙型机器人单价为70万元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲型号机器人单价为万元，则乙型号机器人单价为万元，依题意列出方程，求解即可得出答案，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设甲型号机器人单价为万元，则乙型号机器人单价为万元，依题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（万元）， 答：甲型机器人单价为50万元，乙型机器人单价为70万元． 22. 数学活动课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形、用一张A种纸片，一张B种纸片，两张C种纸片拼成如图2的大正方形．利用图2大正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：． （1）小明用图1中的三种纸片拼成一个如图3的大长方形．观察图3，多项式分解因式的结果为______； （2）小丽也用图1中的三种纸片仿照上面的拼接方式拼成一个长为，宽为的大长方形，请通过计算求出A，B，C三种纸片分别用了多少张； （3）运用公式可以整体求值，例如：已知，，求ab的值．小刚的解题过程是： 由可知，，即． 请解答下面问题： 已知，求的值． 【答案】（1）； （2）需要A种纸片6张，B种纸片2张，C种纸片7张； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方式，多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由长方形面积的两种不同表示方法即可得出答案； （2）由，即可得出答案； （3）由完全平方公式的变形可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴要拼成了一个长为，宽为的大长方形，则需要A种纸片6张，B种纸片2张，C种纸片7张； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 23. 【问题初探】 （1）如图1，在中，，，交边于点D． 求证：． ①如图2，思路一：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，思路二：延长至点F，使，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一种解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图4，将（1）中的“，交边于点D”改为“是的角平分线”，其他条件不变，请判断线段与的和等于图中哪条线段的长，并证明你的结论． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，是的中线，点E在边上，连接交于点F，且，点G在的延长线上，．若，请直接写出面积． 【答案】（1）见解析（2），证明见解析（3） 【解析】 【分析】（1）思路一：易得垂直平分，得到，等边对等角，结合三角形的外角的性质，推出，得到，再根据，等量代换即可得出结论；思路二：等边对等角，结合三角形的外角的性质，推出，再根据等角对等边，三线合一，得到，再根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论； （2）在上截取，证明，得到，，三角形的外角，推出，得到，进而得到，再根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论； （3）连接，三线合一，得到垂直平分，进而得到，等边对等角结合三角形的外角以及角的和差关系推出，进而得到，推出为含30度角的直角三角形，求出的长，根据，求出，得到为等腰直角三角形，，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：（1）思路一：在上截取，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 思路二：延长至点F，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），证明如下： 在上截取，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接， ∵，是的中线， ∴， ∴垂直平分， ∵点在上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，点在上，点在射线上， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角，含30度角的直角三角形，中垂线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $