24.1.2 垂直于弦的直径 课件 2025-2026学年人教版九年级数学上册

九年级·数学·人教版·全一册册 24.1　圆的有关性质 单击此处编辑母版文本样式 24.1.2　垂直于弦的直径 单击此处编辑母版文本样式 1.通过折叠、作图等方法,理解圆的轴对称性. 2.利用圆的轴对称性,探索垂径定理,理解垂径定理的内容. 3.会用垂径定理进行简单的证明和计算. ◎重点:垂径定理、推论及其简单应用. ◎难点:根据题目特点,灵活应用垂径定理及其推论. 学习目标 单击此处编辑母版文本样式 利用课本中“例2”关于赵州桥的资料,向学生提出问题“你能够计算赵州桥桥拱的半径吗?” 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 圆的轴对称性    阅读课本本课时“探究”至“圆是轴对称图形……”,解决下列问题. 1.按照课本“探究”的要求折纸,可以发现折线两侧的半圆　　,所有的折痕都交于一点,这点就是　 　.  2.要证明圆是轴对称图形,只需要证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在　 　.  圆心 重合 圆上 单击此处编辑母版文本样式 3.如图,P为☉O上任意一点,AB为☉O的任意一条直径,请说明☉O关于直线AB对称,补全下面的说理过程. 证明:过点P作PM⊥AB于点M,延长PM交☉O于点P',连接OP,OP'. 单击此处编辑母版文本样式 在△OPP'中,　 　,且PP'⊥AB,  ∴　 　(等腰三角形三线合一),  即 　 　是PP'的垂直平分线,  ∴圆上任意一点P关于直线AB的对称点也在圆上, ∴☉O关于直线　 　对称.  OP=OP' PM=P'M AB AB 单击此处编辑母版文本样式 　归纳总结　圆是　 图形,对称轴是　 　,有　 　条.  轴对称 直径所在的直线(或过圆心的直线) 无数 单击此处编辑母版文本样式 垂径定理    阅读课本本课时“从上面的证明”至“例2”之前的内容,解决下列问题. 单击此处编辑母版文本样式 如图,在☉O中,弦AB(不是直径)与直径CD垂直,垂足为点E,根据圆的轴对称性,当把☉O沿CD所在的直线折叠时,点A与点B重合. 单击此处编辑母版文本样式 (1)线段AE与线段BE重合,所以AE　　BE,即直径CD平分弦AB;  (2)与　 重合,所以= 　,即直径CD平分  　;  (3) 　与  　重合,所以  　= 　,即直径CD平分  　.  = 单击此处编辑母版文本样式 思考:直径CD与弦AB有怎样的位置关系?这样的一条直径CD平分了哪些量? 答:直径CD与弦AB垂直,直径CD平分了弦AB和弦AB所对的两条弧. 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结　　 　于弦的直径　　弦,并且　 　弦所对的两条弧.  温馨提示　几何语言表示:∵CD为☉O的直径,CD⊥AB,∴AE=BE,=,=(垂径定理). 垂直 平分 平分 单击此处编辑母版文本样式 垂径定理及其推论 1.如图,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E,若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗?和相等吗?和呢? 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:如图,连接OA,OB,则△AOB为等腰三角形. ∵AE=BE, ∴CD⊥AB(三线合一). 由垂径定理得=,=. 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结　推论:平分弦(不是直径)的直径　　于弦,并且　 　弦所对的两条弧.  垂直 平分 单击此处编辑母版文本样式 思考:“垂径定理”中的“弦”为直径时,结论还成立吗?“推论”中“被平分的弦”为什么不能是直径?请简单说明理由.(可以画图说明) 答:垂径定理中的“弦”为直径时,结论仍成立,如图1;推论中被平分的“弦”不是直径,如果这条弦是直径的话,任意两直径都互相平分,结论就不一定成立,如图2. 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 垂径定理的简单应用(图形计算) 2.如图,在☉O中,直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=1 cm,EB=5 cm,且∠DEB=60°,求CD的长. 单击此处编辑母版文本样式 解:如图,过点O作OP⊥CD于点P,连接OD,  ∴CP=PD. ∵AE=1,EB=5, ∴AB=6, ∴OE=2. 在Rt△OPE中,∠DEB=60°, ∴∠POE=30°, 　　 单击此处编辑母版文本样式 ∴PE=OE=×2=1, ∴OP===, ∴PD==, ∴CD=2PD=2(cm). 单击此处编辑母版文本样式 垂径定理的实际应用 3.(应用意识)如图,这是一张盾构隧道断面结构图.隧道内部为以点O为圆心,AB为直径的圆.隧道内部共分为三层,上层为排烟道,中间为行车隧道,下层为服务层.点A到顶棚的距离为1.6 m,顶棚到路面的距离是6.4 m,点B到路面的距离为4.0 m.请求出路面CD的宽度.(结果精确到0.1 m) 单击此处编辑母版文本样式 解:如图,连接OC,AB交CD于点E. 由题意知,AB=1.6+6.4+4=12, 所以OC=OB=6, OE=OB-BE=6-4=2, 由题意可知,AB⊥CD, ∵AB过点O, 单击此处编辑母版文本样式 ∴CD=2CE, 在Rt△OCE中,由勾股定理得CE===4, ∴CD=2CE=8≈11.3 m, 所以路面CD的宽度为11.3 m. 单击此处编辑母版文本样式 1如图,如果AB为☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,那么下列结论中,错误的是 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.CE=DE B.= C.∠BAC=∠BAD D.AC>AD D 分层作业 单击此处编辑母版文本样式 2下列命题中,不正确的是 ( ) A.垂直于弦的直径平分这条弦 B.平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦 C.弦的垂直平分线是圆的直径 D.平分弦所对的一条弧的直径垂直这条弦 C 单击此处编辑母版文本样式 3如图,☉O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是 ( ) A.4 B.6　　 C.7　　 D.8 D 单击此处编辑母版文本样式 4两个圆心相同、半径不等的圆的对称轴有　 　条.  无数 单击此处编辑母版文本样式 5.如图,矩形ABCD与圆心在BC上的☉O交于点G,C,E,F,若BC=8 cm,BG=2 cm,DE=1 cm,求EF的长.   单击此处编辑母版文本样式 解:如图,过点O作OM⊥AD于点M,根据垂径定理得ME=MF. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BCD=∠D=90°. ∵OM⊥AD,∴∠OMD=90°, ∴四边形OMDC是矩形, 单击此处编辑母版文本样式 ∴OC=MD. ∵BC=8 cm,BG=2 cm, ∴CG=8-2=6 cm,∴OC=3 cm. ∵DE=1cm,∴ME=MD-DE=OC-DE=3-1=2cm, ∴EF=2ME=4 cm. 单击此处编辑母版文本样式 6如图,在☉O中,AB为直径,C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连接CD,若点D与圆心O重合,AC=2,求☉O的半径r. 单击此处编辑母版文本样式 解:如图,过圆心O作OF⊥AC于点F,延长OF交☉O于点E. ∵AC=2,∴AF=FC=1. 在Rt△OFC中,∵OF=EF=r,OC=r, ∴由勾股定理得12+ r 2=r2, 单击此处编辑母版文本样式 ∴r=, 即☉O的半径r为. 单击此处编辑母版文本样式 7为了测量一铁球的直径,将该铁球放入工件槽内,测得有关数据如图所示(单位: cm),则该铁球的直径为 ( ) A.12 cm B.8 cm C.6 cm D.10 cm D 单击此处编辑母版文本样式 8如图,已知☉O的半径为5,点A到圆心O的距离为3,则过点A的所有弦中,最短的弦长为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 9某圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分,则这条弦的弦长为　 　.  C 4 cm 单击此处编辑母版文本样式 10☉O的直径为10,弦AB的长为8,P是弦AB上的一个动点,则OP的取值范围是　 　.  11如图,AB为☉O的弦,P是AB上一点,AB=10 cm,OP=5 cm,PA=4 cm,则☉O的半径为　 　cm.  3≤OP≤5 7 单击此处编辑母版文本样式 12AB是☉O的直径,AC,AD是☉O的两弦,已知AB=16,AC=8,AD=8,求∠DAC的度数. 解:①当弦AC,AD在直径AB两侧时,如图1所示. 连接OC,过点O作OE⊥AD于点E. ∵AB=16,∴AO=8.∵AC=8,∴AO=OC=AC,即△AOC是等边三角形,∴∠CAB=60°. 单击此处编辑母版文本样式 在Rt△AOE中,OA=8,AE=AD=4,根据勾股定理得OE=4,∴∠BAD=30°, ∴∠CAD=60°+30°=90°. ②当弦AC,AD在直径AB同侧时,如图2所示.同理可得∠CAD=60°-30°=30°. 单击此处编辑母版文本样式 13(应用意识)如图,某地有一座圆弧形的拱桥,桥下水面宽为12米,拱顶高出水面4米. (1)求这座拱桥所在圆的半径. 单击此处编辑母版文本样式 (2)现有一艘宽5米,船舱顶部为正方形并高出水面3.6米的货船要经过这里,此时货船能顺利通过这座拱桥吗?请说明理由. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)如图,连接OA. 根据题意得CD=4米,AB=12米,AD=AB=6米. 设这座拱桥所在圆的半径为x米, 则OA=OC=x米,OD=OC-CD=(x-4)米, 单击此处编辑母版文本样式 在Rt△AOD中,OA2=OD2+AD2, 则x2=(x-4)2+62, 解得x=6.5米. 故这座拱桥所在圆的半径为6.5米. 单击此处编辑母版文本样式 (2)货船不能顺利通过这座拱桥. 理由:连接OM,设MN=5米,∵OC⊥MN, ∴MH=MN=2.5(米). 在Rt△OMH中,OH==6(米), ∵OD=OC-CD=6.5-4=2.5(米), 单击此处编辑母版文本样式 ME=OH-OD=6-2.5=3.5(米)<3.6(米), ∴货船不能顺利通过这座拱桥. 单击此处编辑母版文本样式 END 感谢观看 下节课再会 单击此处编辑母版文本样式 46 $