第六章 特殊平行四边形（知识清单）数学鲁教版五四制八年级下册

该初中数学知识清单系统梳理了“特殊平行四边形”单元内容，涵盖菱形、矩形、正方形的概念、性质及判定三大知识范畴，为学生搭建了从基础定义到性质应用再到判定推理的递进式学习支架。 清单通过“性质-判定-易错点”三级结构呈现知识体系，重点标注菱形对角线垂直、矩形对角线相等、正方形双重特性等核心要点，培养学生的几何直观与推理意识。特别设置“易错点专项”，如菱形动态折叠多解问题、矩形性质混淆辨析，搭配典型例题解析，助力学生突破难点，教师可直接用于课堂专题复习或分层作业设计，提升教学效率。

第六章 特殊平行四边形 一．菱形的性质和判定 1.菱形的概念：有 的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的 ；菱形的对角线 。 3.菱形的判定 （1）有 叫做菱形（概念） （2） 是菱形 （3）对角线 的平行四边形是菱形 二．矩形的性质和判定 1.矩形的概念：有 叫做矩形，矩形也叫做长方形。 2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线 ，四个角 。 3.矩形的判定 （1）有 的平行四边形是矩形。 （2） 的四边形是矩形。 （3）对角线 的平行四边形是矩形。 三．正方形的性质和判定 1.正方形的概念：有 的平行四边形叫做正方形。 2.正方形的性质：正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有 的一切性质。 3.正方形的判定 （1）有 并且 的平行四边形叫做正方形。 （2）有一组邻边 的矩形是正方形。 （3）有一个角是 的菱形是正方形。 易错点1 菱形中的多解问题 1.性质应用易错点：忽略菱形“对角线互相垂直平分且平分内角”的特性，如误用邻边相等却忽略对角线垂直，或计算面积时漏用对角线乘积的一半公式。需注意：菱形边长≠对角线长，内角非一定直角，需结合图形具体分析。 2.动态问题多解性：涉及菱形动点、折叠或旋转时，易漏解位置变化的情况。例如：已知一边和一角画菱形，可能有两种不同内角；对角线长度不确定时，需考虑长短对角线的不同组合，避免漏算。 例题1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在菱形中，，点是的中点，点为边上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 易错点2 矩形中的多解问题 1.性质混淆与应用错误：易混淆矩形与正方形性质，忽略“矩形对角线相等但不一定垂直”。计算时误将对角线当作边的倍数，或忽略“直角三角形斜边中线等于斜边一半”的隐含条件，需结合勾股定理验证。 2.动态问题漏解：涉及折叠、动点时，易漏算图形对称或位置变化的情况。例如：矩形内截等腰三角形，顶点位置不同会有多种截法；动点分线段比例时，需考虑正反比例两种可能。 例题2．（24-25八年级下·河南商丘·期末）在矩形中，的平分线交于点E，作点E关于的对称点F，若点F落在矩形的边上，则的长为 ． 易错点3 正方形中的多解问题 1.性质混淆与隐含条件忽略：易混淆正方形与菱形、矩形的特殊性，忽略“对角线相等且垂直平分”“四边相等且四角为直角”的叠加性质。计算时漏用对角线与边长的√2倍关系，或忽略内部直角三角形的勾股定理应用。 2.动态变换多解遗漏：旋转、折叠或动点问题中，易漏算对称位置的情况。例如：正方形内画等边三角形，顶点在边或对角线上有不同画法；动点形成等腰三角形时，需考虑顶点为正方形顶点或动点的多种可能。例题3．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，边长为3的正方形中，点为射线上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，射线交直线于点，当时，的长为 ． 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方形中，以为边在平面内作等边三角形，连接，则的度数为 ． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在菱形中，，，点是边上的一个动点（不与、重合），交于点，点在上，．当是直角三角形时，的长为 ． 3．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，矩形的面积是24，对角线，交于点，点是边的三等分点（位置不确定），连接，点是的中点，，连接，则的长为 ． 4．（24-25八年级下·江西新余·期末）在菱形中，，点E，F分别是的中点，动点P从B出发沿着顺时针方向运动到C点，当为直角三角形时， ． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处，当三角形为直角三角形时，的长为 ． 6．（2025九年级下·辽宁朝阳·学业考试）如图，在矩形中，，，点E为AD边上一点，连接CE，将沿CE翻折，点D落在点F处，连接BF，当是等腰三角形时，线段DE的长是 ． 7．（24-25九年级上·广东河源·期中）如图，正方形的边长为8，点E在边上，，若点F在正方形的某一边上，满足，且与的交点为M，则的长度为 ． 8．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在矩形中，，，现有一动点P以的速度从点A出发，沿矩形的边运动，点P返回到点A时停止运动．设点P的运动时间为，连接，，当是等腰三角形时，t的值为 ． 9．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在矩形中，，，将沿折叠，使点B落在F处，当为直角三角形时，的长为 ． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）如图①，在矩形 纸片中，，连接，，沿对角线剪开，将沿射线方向平移得到（如图），直线与交于点，直线与交于点．设． (1)在图①中，的度数为_____；边的长为______； (2)若点在线段上，四边形的形状是______； (3)若点在射线上，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是正方形？ (4)已知存在值，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的值． 11．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)______； (2)已知动点、运动的速度分别为、．经过12秒后，、分别到达、两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积； (3)设问题（2）中的动点、分别从、同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，、分别到达、两点，若为直角三角形，试求的值． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）在长方形中，，，．    (1)如图1，为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，，请你求出的长． (2)如图2，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当，，三点在同一直线上时，请求出的长． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 特殊平行四边形 一．菱形的性质和判定 1.菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 3.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 二．矩形的性质和判定 1.矩形的概念：有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。 2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 3.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）三个角是直角的四边形是矩形。 （3）对角线相等的平行四边形是矩形。 三．正方形的性质和判定 1.正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2.正方形的性质：正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 3.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 （2）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （3）有一个角是直角的菱形是正方形。 易错点1 菱形中的多解问题 1.性质应用易错点：忽略菱形“对角线互相垂直平分且平分内角”的特性，如误用邻边相等却忽略对角线垂直，或计算面积时漏用对角线乘积的一半公式。需注意：菱形边长≠对角线长，内角非一定直角，需结合图形具体分析。 2.动态问题多解性：涉及菱形动点、折叠或旋转时，易漏解位置变化的情况。例如：已知一边和一角画菱形，可能有两种不同内角；对角线长度不确定时，需考虑长短对角线的不同组合，避免漏算。 例题1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在菱形中，，点是的中点，点为边上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质等知识，分两种情况画出图象进行解答即可． 【详解】解：①若，如解图①，连接， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴，由折叠， ∴， ∴． ∵点E是的中点， ∴， 过点E作，垂足为G， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②若，如解图②，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形，点落在上， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：或 易错点2 矩形中的多解问题 1.性质混淆与应用错误：易混淆矩形与正方形性质，忽略“矩形对角线相等但不一定垂直”。计算时误将对角线当作边的倍数，或忽略“直角三角形斜边中线等于斜边一半”的隐含条件，需结合勾股定理验证。 2.动态问题漏解：涉及折叠、动点时，易漏算图形对称或位置变化的情况。例如：矩形内截等腰三角形，顶点位置不同会有多种截法；动点分线段比例时，需考虑正反比例两种可能。 例题2．（24-25八年级下·河南商丘·期末）在矩形中，的平分线交于点E，作点E关于的对称点F，若点F落在矩形的边上，则的长为 ． 【答案】4或/或4 【分析】依题意分以下两种情况：①当点F落在边上时，根据对称的性质得，进而得是等腰直角三角形，则；②当点F落在边上时，根据对称的性质及角平分线定义得，在中，根据得，由勾股定理得，由此即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，且， ∴， ∵是的平分线，点E关于的对称点F落在矩形的边上， ∴有以下两种情况： ①如图1：当点F落在边上时， 根据对称的性质得：， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∵是等腰直角三角形， ∴； ②如图2：当点F落在边上时， 根据对称的性质得：， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 综上所述：AB的长为4或． 故答案为：4或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质，角平分线的定义等知识点，理解矩形的性质、掌握分类讨论思想是解题的关键． 易错点3 正方形中的多解问题 1.性质混淆与隐含条件忽略：易混淆正方形与菱形、矩形的特殊性，忽略“对角线相等且垂直平分”“四边相等且四角为直角”的叠加性质。计算时漏用对角线与边长的√2倍关系，或忽略内部直角三角形的勾股定理应用。 2.动态变换多解遗漏：旋转、折叠或动点问题中，易漏算对称位置的情况。例如：正方形内画等边三角形，顶点在边或对角线上有不同画法；动点形成等腰三角形时，需考虑顶点为正方形顶点或动点的多种可能。例题3．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，边长为3的正方形中，点为射线上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，射线交直线于点，当时，的长为 ． 【答案】6或 【分析】根据题意，分两种情况：在线段延长线上；在线段上讨论，然后根据勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：∵边长为3的正方形中， ， 当在线段延长线上时，连接，如图1所示： ∵将沿折叠得到，点的对应点为点， ， 又， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 则， 解得； 当在线段上时，连接，如图2所示： 同理可求出， 在中，由勾股定理得：， 则， 解得， 综上所述，的长为或6， 故答案为：或6． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、正方形的性质、勾股定理、直角三角形全等的判定与性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质，分类讨论求解． 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方形中，以为边在平面内作等边三角形，连接，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握分类讨论．分两种情况：点在正方形内和点在正方形外两种情况讨论即可． 【详解】解：点在正方形内： 正方形中，，，等边中， 所以． ． 在等腰中，． 点在正方形外： 同理，． 在等腰中，． 综上，为或． 故答案为：或． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在菱形中，，，点是边上的一个动点（不与、重合），交于点，点在上，．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，由四边形是菱形，得到，由于，得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，再由进而得，过点D作于H，分两种情况：①当时；②当时．由勾股定理分别求出、的长． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过点D作于H， ， 当是直角三角形时， 分以下两种情况： ①当时，在中，， ∴， ∴， 在中，，， 解得； ②当时，在中，， ， ∴， 解得（取正值，负值已舍去）， ∴， 在中，，， 解得； 故答案为：或． 3．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，矩形的面积是24，对角线，交于点，点是边的三等分点（位置不确定），连接，点是的中点，，连接，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理．当时，利用三角形中位线定理求得，再求得矩形的边长，利用勾股定理求得的长，再根据斜边中线的性质即可求解；当时，同理求解即可． 【详解】解：当时，如图， ∵矩形， ∴点O是的中点， ∵点F是的中点， ∴，， ∵点E是边的三等分点， ∴，， ∵矩形的面积是24， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵矩形， ∴点O是的中点， ∵点F是的中点， ∴，， ∵点E是边的三等分点， ∴，， ∵矩形的面积是24， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 4．（24-25八年级下·江西新余·期末）在菱形中，，点E，F分别是的中点，动点P从B出发沿着顺时针方向运动到C点，当为直角三角形时， ． 【答案】或或 【分析】分三种情况考虑：点P在边上；点P在边上；点P在边上，利用等边三角形的判定与性质、勾股定理即可求得． 【详解】∵四边形为菱形，， ∴菱形四边长为4，且， ∴, ∵， ∴，即，． ∵E，F分别是的中点， ∴； 连接，则是等边三角形，即； ①当点P在边上时；如图，    当点P是的中点时， ∵是等边三角形，点P是的中点 ∴ ∴为直角三角形， 此时， ； ②当点P在边上时，如图，连接，    当点P是的中点时， ∵是等边三角形，点P是的中点时， ∴ ∴为直角三角形，此时； ③当点P在边上时，连接，如图，      当点P是的中点时，此时， ∵，为的中位线，为的中位线， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴ 综上所述，的长度为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，注意分类讨论是解题的关键． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处，当三角形为直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，当为直角三角形，有两种情况：①当点落在矩形内部，即时，连接，结合矩形性质、勾股定理求得，再根据折叠性质得到点、、共线，，，求得，设，则，再根据勾股定理即可得解；②当点落在边上，即时，证明四边形是正方形即可得解． 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： ①当点落在矩形内部，即时，如下图，连接， 矩形中，，， 在中，，， ， 把沿着折叠，使点落在点处， ， ， 点、、共线， 根据折叠性质可得：，， ， 设，则， 中，， ， 解得， ； ②当点落在边上，即时，如下图： 由折叠性质得：，， 四边形是正方形， ， 此时符合题意． 故答案为：3或6． 6．（2025九年级下·辽宁朝阳·学业考试）如图，在矩形中，，，点E为AD边上一点，连接CE，将沿CE翻折，点D落在点F处，连接BF，当是等腰三角形时，线段DE的长是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查矩形与折叠，分和两种情况结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ①当时，如图， 过点作于点，则于点， 所以，四边形是矩形， ∴， ∵，, ∴， ∴， 在中， ∴, 设，则， 由折叠得：, 在中，， ∴， 解得：， ∴； ②当时， 过点作于点，则于点， 所以，四边形是矩形， ∴， 过点作于点，则， 由勾股定理得 ∵， ∴， ∴， ∴， 又四边形是矩形， ∴， 设，则， 由折叠得：, 在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 7．（24-25九年级上·广东河源·期中）如图，正方形的边长为8，点E在边上，，若点F在正方形的某一边上，满足，且与的交点为M，则的长度为 ． 【答案】或2 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，化为最简二次根式，当点F在上时，证明，可得，证明，求解，进一步可得答案；如图2所示，当点F在上时，同理可得，，证明四边形是矩形，进一步可得答案． 【详解】解：分两种情况： ①如图1所示，当点F在上时， 由，，， 可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴． ②如图2所示，当点F在上时， 同理可得，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 故答案为：或． 8．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在矩形中，，，现有一动点P以的速度从点A出发，沿矩形的边运动，点P返回到点A时停止运动．设点P的运动时间为，连接，，当是等腰三角形时，t的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了矩形的性质。全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，分情况求解t的值是解题的关键．若点P在上，则，证明，可得，即可求得答案；若点P在上，则，即可求得答案；若点P在上，则，即可求得答案． 【详解】解：若点P在上， 当是等腰三角形时，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ； 若点P在上， 当是等腰三角形时，， ， ， ； 若点P在上， 当是等腰三角形时，， ， ； 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为或或． 故答案为：或或． 9．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在矩形中，，，将沿折叠，使点B落在F处，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】6或3 【分析】本题考查的是折叠变换的性质，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．当为直角三角形时，需要分类讨论：分与两种情况，通过勾股定理列方程求解． 【详解】解：当时，三点共线， 设长为x，则， 由翻折可得，， 由勾股定理的， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 当时，四边形为正方形， ∴， 故答案为：6或3． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）如图①，在矩形 纸片中，，连接，，沿对角线剪开，将沿射线方向平移得到（如图），直线与交于点，直线与交于点．设． (1)在图①中，的度数为_____；边的长为______； (2)若点在线段上，四边形的形状是______； (3)若点在射线上，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是正方形？ (4)已知存在值，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的值． 【答案】(1)，； (2)矩形； (3)当或时，以、、、为顶点的四边形是正方形； (4)或． 【分析】（1）利用矩形的性质可求得，利用含直角三角形的性质结合勾股定理即可求得边的长； （2）由平移的性质得，推出，得到四边形是平行四边形，由，得到四边形是矩形； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用，列式计算即可求解； （4）分点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得和的长，再利用，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：矩形中， 又， ， 矩形中，， ， ， ； 故答案为：，； （2）解：由平移的性质得， 四边形为矩形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； 故答案为：矩形； （3）解：当点在线段上时， ， ， 四边形是正方形， ， 即， ； 当点在线段的延长线上时， ， ， 四边形是正方形， ， 即 ； 综上所述，当为或时，以、、、为顶点的四边形是正方形； （4）解：存在，理由如下： 当点在线段上时， ， ， 由平移的性质知， ，， ，， ， 四边形是菱形， ，即， ； 当点在线段的延长线上时， ， ， 由平移的性质可知， ，， ，， ， 四边形是菱形， ，即， ， 综上所述，当为或时，以、、、为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查的知识点是含直角三角形特征、平移的性质、直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，菱形的性质，正方形性质，解题关键是灵活运用所学知识解决问题． 11．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)______； (2)已知动点、运动的速度分别为、．经过12秒后，、分别到达、两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积； (3)设问题（2）中的动点、分别从、同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，、分别到达、两点，若为直角三角形，试求的值． 【答案】(1) (2)为直角三角形， (3)的值为2或6或 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据直角的不同分情况讨论求解． （1）先根据菱形的性质得出，再根据，可得为等边三角形，从而可得出； （2）利用等腰三角形三线合一，可证明，从而可得为直角三角形，再利用勾股定理求得，然后利用求解； （3）分，，三种情况，分别得到关于的一元一次方程求解，求得的值． 【详解】（1）解：∵菱形的边长为 ∴， ， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为； （2）如图1，12秒后点走过的路程为， 则12秒后点到达点， 即点与点重合； 12秒后点走过的路程为，而， ∴点到点的距离为， 此时点到达的中点，即点为的中点 是等边三角形，而为中线， ， 为直角三角形， 在中， ； （3）为等边三角形， ， 经过3秒后，点运动的路程为、点运动的路程为， 点从点开始运动， ∴， 点为的中点， ∴， ①若，且点在上，如图1， 则， ， 在中，， ， ， ， ； ②若，且点在上，如图2， 则， ， 在中，， ， ， ， ； ③若，即， ， 点在的垂直平分线上， 此时点在点处， ， ， ， 综上所述，的值为2或6或． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）在长方形中，，，．    (1)如图1，为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，，请你求出的长． (2)如图2，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当，，三点在同一直线上时，请求出的长． 【答案】(1)3 (2)2或8 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点，运用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． （1）利用翻折变换的性质以及勾股定理求解即可； （2）分“当点在线段上时”和“当点在的延长线上时”两种情况讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：沿直线翻折至， ， 在中，，， 由勾股定理得：； （2）解：如图，当点在线段上时，   四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当点在的延长线上时，同法可证，   ，， ， ． 综上所述，满足条件的的长为2或8． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $