第六章 特殊平行四边形（复习讲义）数学鲁教版五四制八年级下册

该初中数学讲义通过分类梳理菱形、矩形、正方形的定义、性质及判定，以知识框架图呈现三者与平行四边形的从属关系及特殊性质的内在联系，明晰“定义-性质-判定”的逻辑主线，突出对角线性质等重难点。 讲义亮点在于分层设计的题型训练，涵盖性质应用（如菱形角度计算）、判定证明（如矩形判定综合题）及作图探究（如正方形中尺规作图），通过例题带变式的梯度训练培养推理能力与创新意识。基础巩固与能力提升通关测满足分层需求，助力教师精准教学和学生自主复习。

第六章 特殊平行四边形（复习讲义） 1.了解菱形、矩形、正方形作为特殊平行四边形的定义、性质及特殊之处，体会它们间的联系与区别，明晰其在几何中的地位作用。 2.能依据定义和性质判定图形，如用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”等条件，判断四边形是否为菱形、矩形或正方形。 3.理解各图形性质，像菱形四边相等、对角线垂直，矩形对角线相等、四角为直角，正方形兼具二者性质，并利用这些解决边长、角度等几何问题。 4.在实际问题中，灵活运用性质和判定分析推理图形，解决实际问题。 一．菱形的性质和判定 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 二．矩形的性质和判定 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 三．正方形的性质和判定 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 题型一 利用菱形的性质求角度或线段长 【例1】如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的面积为 ． 【变式1-1】如图，菱形中，，，交于点O，若E是边的中点，，则的长等于 ，的度数为 ． 【变式1-2】如图，在菱形中，，，点、分别是边、上的动点，且，则的最小值是 ． 【变式1-3】如图，在菱形中，对角线，交于点，，点在线段上，且，点为线段上的一个动点． （1） ； （2）的最小值为 ． 题型二 菱形的性质与判定综合问题 【例2】如图，在菱形中，相交于点分别在上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形和菱形的面积分别为14，6，则的值为______． 【变式2-1】如图，在四边形中，点与点关于直线对称，连结交于点O，E为上一点，，连结、． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，，则的长为______． 【变式2-2】如图，在菱形中，，． (1)求菱形的面积； (2)若P为对角线上一点，，垂足分别为，求． 【变式2-3】课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，在平行四边形中，对角线，垂足为O． 求证：平行四边形是菱形． (2)知识应用：如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点O，，，． ①求证：平行四边形是菱形； ②延长至点E，连接交于点F，若，求的长． 题型三 利用矩形的性质求角度或线段长 【例3】如图，在矩形中，，E，F分别是的中点，连接，则的长为 ． 【变式3-1】如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是 ． 【变式3-2】如图，在矩形中，过点作于点，则的度数为 ． 【变式3-3】如图，点在矩形的边上，将沿直线折叠，点的对应点落在矩形内的点处，且，如果，，那么的长为 ． 题型四 矩形的性质与判定综合问题 【例4】如图，在菱形中，，相交于点O，过点C作，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形的周长为18，，求平行线与间的距离． 【变式4-1】如图，四边形是平行四边形，，垂足为E，延长至点F，使，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【变式4-2】如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长至，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积． 【变式4-3】【课本再现】 我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 【定理证明】 （1）如图1，已知：在中，对角线相交于，且，求证：是矩形． 【知识应用】 （2）如图2，是的中线，，且，连接，． ①求证：； ②当满足条件___________时，四边形是矩形． 题型五 利用正方形的性质求角度或线段长 【例5】如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，，则 ． 【变式5-1】如图，过正方形的顶点作直线，过、作的垂线，垂足分别为、．若，，则的长度为 ． 【变式5-2】如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的顶点，若两个正方形的边长都是2，则两者重合部分的面积是 ． 【变式5-3】如图，在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段的中点，连结、．则： （1）判断与之间的数量关系是 ． （2）连结，若，，则的长为是 ． 题型六 正方形的性质与判定综合问题 【例6】如图，在矩形中，作的平分线交于点E，过点E作交于点F，连接交于G． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【变式6-1】题情境： 如图，四边形为正方形，点为对角线上的一动点，连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接． 猜想证明： （1）求证：四边形是正方形； 解决问题： （2）求的度数； （3）若，，请直接写出的长． 【变式6-2】综合与实践 【问题情境】 如图，在矩形纸片中，，，点在边上，将沿所在的直线折叠，得到． 【特例感知】 （1）如图1，当点在上时，请判断四边形的形状，并证明． （2）如图2，当点在对角线上时， ①的长为__________，的长为__________． ②求此时的长． （3）如图3，当点在对角线上时，与相交于点，求的长． 【深入探究】 （4）连接，当的面积为4时，请直接写出的长． 【变式6-3】综合与探究 问题情境：已知正方形和正方形有公共顶点C，点G在边的右侧，且，连结，． 猜想证明： (1)如图1，若点E在上，B，C，G三点在同一直线上，判断线段和之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 深入探究： (2)如图2，将正方形绕着点C逆时针旋转，使得边，分别位于正方形的边的两侧，若点B，E，F在同一直线上，点D，F，G在同一直线上，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将正方形绕着点C顺时针旋转，已知正方形的边长为2，正方形的边长为，当点E恰好落在线段上时，直接写出的面积． 题型七 矩形、菱形、正方形中作图问题 【例7】如图，是菱形的对角线，， (1)请用尺规作图法，在上找点F；使；（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，连接，求的度数． 【变式7-1】如图，在矩形中，点在边上，． (1)在线段上求作一点，使．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求线段的长． 【变式7-2】如图，在正方形外侧作线段，使，连接并延长交的延长线于点，过点作，与直线交于点． (1)依题意补全图形； (2)若，求的大小（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【变式7-3】如图，四边形中，，，于点． (1)用尺规作的角平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明； (3)连接，若，，求长． 基础巩固通关测 一、单选题 1．给出下列判断，正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2．如图，在菱形中，与交于点O，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 3．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，，则的长为（  ） A．6 B．5 C． D．7 4．如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点折叠纸片，使点落在EF上的点处，折痕为．若的长为4，则的长为（   ） A．3 B． C． D．2 二、填空题 5．如题图，在中，是斜边上的中线，，则 ． 6．如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，若，则 7．如图，将长方形沿折叠，使点落在边上的点，若．则 度． 8．如图，点在正方形的边的延长线上，且，点是边上一动点，连接，过点作交于点，则： （1）的度数是 °； （2）的值为 ． 三、解答题 9．如图，是矩形的对角线，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的周长． 10．已知：四边形是矩形，对角线、相交于点O，若，，、交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的平分线交于点F，且，求的值． 11．如图，在中，F是的中点，E是线段延长线上一动点，连接，，过点B作，与线段的延长线交于点D，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则在点E运动的过程中： ①当四边形是菱形时，求的值； ②当 时，四边形是矩形． 12．如图①，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，（点A的对应点为点C，点E的对应点为点）．延长交于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)如图②，若，请猜想线段段与的数量关系并加以证明． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在矩形中，E为边上的一点，连结，过点D作，垂足为F，若，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）如图，已知正方形的边长为3，点E，F，G，H分别为正方形各边上一点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿，，匀速运动至点B，连接，．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的函数图象如图2所示，那么下列说法中正确的是（   ） A． B． C．菱形的面积 D．当时，点P一定运动到的中点 二、填空题 4．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，菱形对角线，相交于点，测得，，过点作于点，则的长为 ． 5．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图，在矩形中，相交于点O，平分，交于点E．若，，则的长为 ． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为 ； （2）若点是中点，，则的长为 ． 三、解答题 7．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在中，对角线的交点为，且平分，为边的中点，连接，与的交点为． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的度数． 8．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 9．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在边长为12的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足与交于点O，点M是的中点． (1)求证：； (2)若，求的面积； (3)若点G是边上的点，且，求的最小值． 10．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，四边形，对角线平分，，．点E在边上，连接交于F，点B与点G关于对称，且G在下方． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，． ①试探究点G与直线的位置关系，并说明理由； ②连接，为等腰直角三角形时，求的值． 11．（24-25八年级下·河南南阳·期末）【教材呈现】下面是人教版八年级下册的部分内容： 如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形的外角的平分线于点．求证：（提示：取的中点，连接）． （1）请你思考教科书中的“提示”，这样添加辅助线的意图是创造新的条件，可证明____________，从而可得； 【类比探究】 （2）如图1，若点是边上任意一点（不与重合），其他条件不变．求证：； 【拓展探究】 （3）如图（2），四边形是正方形，点是直线上一点，，交正方形外角的平分线于点．若，，直接写出的长． 12．（24-25八年级下·广西钦州·期末）在矩形纸片中，， 点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E 处． 【初步认识】 （1）如图1，折痕的端点P与点A 重合． ①当时， ______； ②若点 E 恰好在线段上，求的长； 【深入思考】 （2）如图2， 点E恰好落在边上．过点E作交于点F， 连接．根据题意，补全图2并证明四边形是菱形； 【拓展提升】 （3）如图3，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 特殊平行四边形（复习讲义） 1.了解菱形、矩形、正方形作为特殊平行四边形的定义、性质及特殊之处，体会它们间的联系与区别，明晰其在几何中的地位作用。 2.能依据定义和性质判定图形，如用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”等条件，判断四边形是否为菱形、矩形或正方形。 3.理解各图形性质，像菱形四边相等、对角线垂直，矩形对角线相等、四角为直角，正方形兼具二者性质，并利用这些解决边长、角度等几何问题。 4.在实际问题中，灵活运用性质和判定分析推理图形，解决实际问题。 一．菱形的性质和判定 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 二．矩形的性质和判定 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 三．正方形的性质和判定 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 题型一 利用菱形的性质求角度或线段长 【例1】如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的面积，根据菱形的面积等于对角线积的一半计算即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的面积等于对角线积的一半， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】如图，菱形中，，，交于点O，若E是边的中点，，则的长等于 ，的度数为 ． 【答案】 5 /32度 【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角，三角形中位线定理，证明出是的中位线是本题的关键． 根据菱形的性质得出，，，根据等边对等角可得，由三角形中位线定理得出． 【详解】 四边形是菱形， ，，， ， 是边的中点，， 是的中位线， ． 故答案为：，． 【变式1-2】如图，在菱形中，，，点、分别是边、上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，证明和都是等边三角形，再由勾股定理求得，再得出的最小值为，然后证明，进而推出是等边三角形，即可得解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 四边形是菱形，，， ，， 和都是等边三角形， ，， ， ， 在中，， ， 的最小值为， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【变式1-3】如图，在菱形中，对角线，交于点，，点在线段上，且，点为线段上的一个动点． （1） ； （2）的最小值为 ． 【答案】 30 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）证明是等边三角形，得出，然后根据菱形的性质求解即可； （2）过P作于Q，过M作于H，根据含角的直角三角形性质得出，则，故当M、P、Q三点共线，即Q和H重合时，最小，最小值为，可求出，根据含角的直角三角形性质，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵菱形， ∴，， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：30； （2）过P作于Q，过M作于H， ∵， ∴， ∴， ∴当M、P、Q三点共线，即Q和H重合时，最小，最小值为， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 菱形的性质与判定综合问题 【例2】如图，在菱形中，相交于点分别在上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形和菱形的面积分别为14，6，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，是解题的关键． （1）根据菱形性质得出，，，根据，得出四边形为平行四边形，根据，得出四边形是菱形； （2）根据菱形和菱形的面积分别为14，6，得出，设，则，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：∵菱形和菱形的面积分别为14，6， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴． 【变式2-1】如图，在四边形中，点与点关于直线对称，连结交于点O，E为上一点，，连结、． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，，则的长为______． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质可得，，进而证明四边形为平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得证； （2）根据等边对等角得出，进而根据三角形的外角的性质即可得出的度数，进而根据等边三角形的性质以及含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点与点关于直线对称 ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：∴点与点关于直线对称， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形； ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 【变式2-2】如图，在菱形中，，． (1)求菱形的面积； (2)若P为对角线上一点，，垂足分别为，求． 【答案】(1)8 (2)2 【分析】本题考查了菱形的性质，度角的直角三角形，垂线段最短，平行四边形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据菱形的性质得，根据度角的直角三角形的性质得，最后根据三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． （2）先延长，交于一点，结合平行线的性质以及菱形的性质得，，再整理得，然后证明四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 则在中，， ∴， ∴菱形的面积为8； （2）解：延长，交于一点,如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， 即， ∴ ∵P为对角线上一点， ∴， 则， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ 【变式2-3】课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，在平行四边形中，对角线，垂足为O． 求证：平行四边形是菱形． (2)知识应用：如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点O，，，． ①求证：平行四边形是菱形； ②延长至点E，连接交于点F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析②4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等角对等边，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，得到，结合平行四边形的性质，得到即可证明四边形是菱形． （2）①根据平行四边形的性质，得，结合，证明，从而证明平行四边形是菱形； ②结合平行四边形是菱形，则平分，因为，，得，故，即可作答． 【详解】（1）证明：∵平行四边形中，对角线和相交于点， ∴，， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：①∵平行四边形中，对角线和相交于点，且，，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， 由①得 ∴． 题型三 利用矩形的性质求角度或线段长 【例3】如图，在矩形中，，E，F分别是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质．连接，根据矩形的性质得，然后利用三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握其性质是解题的关键． 连接，交于点，根据矩形的性质易得到，，再利用得到，最后由等腰三角形的性质求解． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴，, ∴． ∵，， ∴， ． 故答案为：． 【变式3-2】如图，在矩形中，过点作于点，则的度数为 ． 【答案】/32度 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质证明，进而可以解决问题． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-3】如图，点在矩形的边上，将沿直线折叠，点的对应点落在矩形内的点处，且，如果，，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作于点，延长交于点，由折叠可得：，，得到，推出，根据勾股定理求出，证明四边形是矩形，得到，，，推出，设，则，在中，由勾股定理列方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， 由折叠可得：，， ， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，即， 故答案为：． 题型四 矩形的性质与判定综合问题 【例4】如图，在菱形中，，相交于点O，过点C作，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形的周长为18，，求平行线与间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定及性质，平行线间的距离，勾股定理． （1）由菱形的性质得到，，进而推出，再由，即可得到四边形是平行四边形，再有即可得证结论； （2）由周长得到，根据菱形的性质可得，从而在中，，进而有，由菱形的面积即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ． ， ， 四边形是平行四边形，· ， 四边形是矩形． （2）解：矩形的周长为18， ， 四边形是菱形，， ，，， 在中，， ， ， 设平行线与间的距离为h， ，即 ∴平行线与间的距离为． 【变式4-1】如图，四边形是平行四边形，，垂足为E，延长至点F，使，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）利用面积法求出，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ， ，即． 延长至点， ，． 四边形是平行四边形． ，垂足为， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是平行四边形，， ． 在中，有，即． 是直角三角形，． ，即， 解得，． 在中，． 的长为． 【变式4-2】如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长至，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用菱形对边平行且相等的性质，结合推出与平行且相等，证得四边形是平行四边形，再依据得到一个直角，从而证明它是矩形． （2）根据菱形性质和判定是等边三角形，结合求出、、的长度，再利用矩形对边相等得出（即）和的长度，进而计算矩形面积． 【详解】（1）证明：四边形ABCD是菱形， ，， ， ，即， ， 又， 四边形AEFD是平行四边形， ， ， 四边形AEFD是矩形 （2）解：四边形是菱形， ， 是等边三角形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形和矩形的性质，以及等边三角形的判定是解题的关键． 【变式4-3】【课本再现】 我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 【定理证明】 （1）如图1，已知：在中，对角线相交于，且，求证：是矩形． 【知识应用】 （2）如图2，是的中线，，且，连接，． ①求证：； ②当满足条件___________时，四边形是矩形． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②或 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，从而确定，再证明，由全等三角形性质即可得到，由有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证； （2）①由中线定义及，从而得到，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进而由平行四边形性质即可得证； ②同①证法可得四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理，只要是等腰三角形即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，，，则， 在和中， ， ， ， 又， ， 是矩形； （2）①证明：是的中线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴； ②是的中线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 由矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，需要补充， 由①可知，， 当满足条件时，四边形是矩形； ， ， 当满足条件时，四边形是矩形； 故答案为：或． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形综合，涉及平行四边形判定与性质、平行线性质、三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质、中线定义、等腰三角形的判定与性质等知识．熟记相关几何性质与判定，并灵活运用是解决问题的关键． 题型五 利用正方形的性质求角度或线段长 【例5】如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．先根据证出，可得，由及可求的度数即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵四边形正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】如图，过正方形的顶点作直线，过、作的垂线，垂足分别为、．若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据正方形的性质，先利用判定，从而得出，最后根据勾股定理得出的长． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ∵， ∴， ∴， ， 在与中， ， ， ， ， ， 在中，，， ． 故答案为：． 【变式5-2】如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的顶点，若两个正方形的边长都是2，则两者重合部分的面积是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质的应用，全等三角形的证明和图形的分割．要求阴影部分四边形面积，可分割成两个三角形面积之和，设与交于点E，与交于点F，证明，即可将阴影部分面积转化为求的面积，而占正方形面积的，正方形面积根据已知边长可求，由此问题得到解决． 【详解】解：设与交于点E，与交于点F，如图所示，    四边形是正方形， 所以，，． ． 又， ． ． ． 正方形边长为2， 正方形面积， ． 所以阴影部分面积为1． 故答案为1． 【变式5-3】如图，在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段的中点，连结、．则： （1）判断与之间的数量关系是 ． （2）连结，若，，则的长为是 ． 【答案】 【分析】（1）延长交于点M，根据正方形的性质证明，可得，，根据为斜边上的中线，进而可以解决问题； （2）根据正方形的性质设，可得，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，延长交于点M， ∵四边形，为正方形， ∴，， ∴， ∵P为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴； 故答案为：； （2）连接， ∵四边形、为正方形， ∴，，， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型六 正方形的性质与判定综合问题 【例6】如图，在矩形中，作的平分线交于点E，过点E作交于点F，连接交于G． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，可知四边形为矩形，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，可知，等角对等边可得，即可证明四边形是正方形； （2）根据等面积法求出，证明四边形是矩形，即可得到的长． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ，， ， 四边形为矩形， 平分， ， ， ， ， ， 四边形为正方形； （2）解：由题意得， ∵， ， 解得： ∵ 四边形是矩形， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，正方形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式6-1】题情境： 如图，四边形为正方形，点为对角线上的一动点，连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接． 猜想证明： （1）求证：四边形是正方形； 解决问题： （2）求的度数； （3）若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或． 【分析】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定． （1）作出辅助线，由，得到，即可求解； （2）由，得到，即可求解； （3）当点在线段上时，由正方形，正方形，得到，由，得到，依次求出，，，,的长，由，得到；当点在线段的延长线上时，同理求解即可． 【详解】解：（1）过作于点，过作于点， 正方形， ，， ，且， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 四边形是矩形， ， ， 又， 在和中，， ， ， 矩形为正方形； （2）矩形为正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ； （3）当点在线段上时， ∵正方形，正方形， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴,, ∵， ． 当点在线段的延长线上时， ∵正方形，正方形， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴,, ∵， ． 综上，的长为或． 【变式6-2】综合与实践 【问题情境】 如图，在矩形纸片中，，，点在边上，将沿所在的直线折叠，得到． 【特例感知】 （1）如图1，当点在上时，请判断四边形的形状，并证明． （2）如图2，当点在对角线上时， ①的长为__________，的长为__________． ②求此时的长． （3）如图3，当点在对角线上时，与相交于点，求的长． 【深入探究】 （4）连接，当的面积为4时，请直接写出的长． 【答案】（1）正方形，见解析；（2）①10，4；②3；（3）；（4）或 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由折叠的性质以及正方形的判定定理解答即可； （2）由折叠，得，，，根据勾股定理得，进而求出， ②设，则，，由勾股定理得，即，解得，即可得解； （3）由折叠，得，，由勾股定理得，根据等面积法得，解得，再根据垂直平分得，即可得解； （4）分两种情况讨论：如图1，当点在矩形内部时；当点在矩形外部时；综上即可得解． 【详解】（1）四边形是正方形， 证明：由折叠的性质得，， ∴ ∴四边形是矩形 ∵， ∴四边形是正方形； （2）①由折叠，得，，， 在中，， ∵点在对角线上， ∴， 故答案为：10，4． ②设，则，， 在中，，即， 解得， ∴； （3）由折叠，得，， ∵点在对角线上， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∵垂直平分， ∴； （4）或， 分两种情况： 如图1，当点在矩形内部时，过点作，延长，交于点，则， ∴四边形是矩形，则， ∵的面积为4，， ∴， ∴， 在中，， ∴ 由折叠可知，， 设，则 在中， ∴ 解得：， 由折叠可知，； 如图2，当点在矩形外部时，过点作，交于点，则， ∵的面积为4，， ∴， ∴， 在中，， 同理在中， ∴ 解得：， 由折叠可知，， 综上所述，的长为或． 【变式6-3】综合与探究 问题情境：已知正方形和正方形有公共顶点C，点G在边的右侧，且，连结，． 猜想证明： (1)如图1，若点E在上，B，C，G三点在同一直线上，判断线段和之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 深入探究： (2)如图2，将正方形绕着点C逆时针旋转，使得边，分别位于正方形的边的两侧，若点B，E，F在同一直线上，点D，F，G在同一直线上，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将正方形绕着点C顺时针旋转，已知正方形的边长为2，正方形的边长为，当点E恰好落在线段上时，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，结合边角边的证明方法可证明，再由全等三角形的性质即可得． （2）根据正方形的性质，结合边角边的证明方法可证明，再由全等三角形的性质可得，再根据边的关系即可得． （3）根据正方形的性质，结合边角边的证明方法可证明，再由全等三角形的性质可得，通过作辅助线，求解出和的边长即可求解面积． 【详解】（1）解：，． 理由：如图，延长BE交DG于点H． ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴， ∴，． ∵，， ∴，∴，即． （2）解：． 理由：∵四边形和四边形是正方形， 点B，E，F在同一直线上，点D，F，G在同一直线上， ∴，，， 在和中， ，，， ∴， ∴． ∵，， ∴． （3）解：． ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ，，， ∴， ∴． 如图，连结CF交EG于点O，则有，，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 题型七 矩形、菱形、正方形中作图问题 【例7】如图，是菱形的对角线，， (1)请用尺规作图法，在上找点F；使；（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂直平分线的画法和判定，菱形的性质等性质，掌握菱形的性质和垂直平分线的画法是解题的关键． （1）只需做的垂直平分线交于点F即可； （2）根据菱形的性质求出，继而求出，最后运用等边对等角即可得解． 【详解】（1）解:如图所示，点F即为所求； （2）解：在菱形中， ． ∴， ∴， ∵， ∴， ． 【变式7-1】如图，在矩形中，点在边上，． (1)在线段上求作一点，使．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解一元一次方程，理解题意、正确做出图形是解题关键． （1）利用矩形的性质可得，作一个角等于已知角的尺规作图，即①以点圆心，任意长为半径，画弧，分别交、于点、；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径，画弧，交于点；④连接并延长，交于点，则，即； （2）连接，利用矩形的性质证得，通过勾股定理求得，设，则，，在中，利用勾股定理构建一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； 四边形是矩形， ， ，， ， ． （2）解：如图，连接， 由（1）得：，， ， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ，解得：， 线段的长为． 【变式7-2】如图，在正方形外侧作线段，使，连接并延长交的延长线于点，过点作，与直线交于点． (1)依题意补全图形； (2)若，求的大小（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题目描述，按顺序补全图形，明确各点、线的位置关系． （2）利用等腰三角形三线合一性质，结合正方形角的特征，通过角的转化求． （3）通过作辅助线构造全等三角形和平行四边形，利用全等、平行四边形性质及等腰三角形判定，推导线段关系． 【详解】（1）解：按照题目中“连接并延长交的延长线于点，过点作，与直线交于点”的描述，补全图形如下． （2）解：过点作，垂足为 ， 在正方形中，，， ∴， 又 在中， （3）解：过点作，交延长线于点，在上截取，连接 四边形是正方形， ，，， ∴∠， ， ， 又，， ， ， ， 又 四边形是平行四边形 ，， ，， 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握这些图形的性质，通过作辅助线构造全等和特殊四边形来转化线段关系是解题的关键． 【变式7-3】如图，四边形中，，，于点． (1)用尺规作的角平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明； (3)连接，若，，求长． 【答案】(1)见解析； (2)是菱形，见解析； (3)． 【分析】（）利用基本作图作角平分线即可； （）由平分，则，再根据平行线的性质得出，故有，然后利用菱形的判定方法证明即可； （）根据菱形的性质和勾股定理求出长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题即可； 本题考查了基本作图—作角平分线，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∴的角平分线即为； （2）解：如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴四边形是菱形； （3）解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 基础巩固通关测 一、单选题 1．给出下列判断，正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，需根据各图形的定义及判定条件逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但并非矩形，故A错误，不符合题意； B. 四条边相等的四边形是菱形，而正方形需满足对角线相等且垂直，仅四边相等无法确定为正方形，故B错误，不符合题意； C. 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，例如对角线垂直但邻边不等的“风筝”四边形，故 C错误，不符合题意； D. 根据平行四边形判定定理，一组对边平行且相等的四边形必为平行四边形，故D正确，符合题意； 故选：D． 2．如图，在菱形中，与交于点O，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，理解并运用勾股定理是解答本题的关键．根据菱形的性质利用勾股定理求得的长，从而得到的长，再根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， ∴， ∴． 故选C． 3．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，，则的长为（  ） A．6 B．5 C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．由矩形的性质可得，，，由线段垂直平分线的性质可得，可证是等边三角形，得到，进而得到，进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ， ， 即是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， 故选：C． 4．如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点折叠纸片，使点落在EF上的点处，折痕为．若的长为4，则的长为（   ） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是矩形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用，先求出，，再根据勾股定理求出结论即可． 【详解】解：在正方形中，， 由折叠知：，， 在中，， 故选：B． 二、填空题 5．如题图，在中，是斜边上的中线，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：在中，是斜边上的中线，， ∴， 故答案为：6． 6．如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，若，则 【答案】/度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的定义和性质，由菱形的性质得出，进而可得出，由三角形内角和定理得出，最后由三角形外角的定义和性质得出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，将长方形沿折叠，使点落在边上的点，若．则 度． 【答案】71 【分析】本题考查了矩形折叠．熟练掌握矩形性质 折叠性质，平行线的性质，直角三角形角性质，是解决本题的重点． 首先根据平行线的性质得到的度数，再根据对折的性质求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵长方形中， ∴， 由折叠知，， ∵， ∴． 故答案为：71． 8．如图，点在正方形的边的延长线上，且，点是边上一动点，连接，过点作交于点，则： （1）的度数是 °； （2）的值为 ． 【答案】 135 【分析】本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由正方形和等腰三角形的性质计算即可； （2）在上截取，构造全等三角形，得到，设，正方形边长为，分别表示的长，再计算的值． 【详解】（1）四边形是正方形， ，， ， ， ， ； 故答案为：135； （2）如图，在上截取， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，正方形边长为， 则，，， ， ． 故答案为：． 三、解答题 9．如图，是矩形的对角线，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）由题意易得，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求证； （2）设，则，在中，根据勾股定理得，可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：四边形AECF是菱形． 理由：矩形， ， ，， 垂直平分线段， ，， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）得四边形是菱形，设该菱形的边长为x，则， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴菱形的周长． 10．已知：四边形是矩形，对角线、相交于点O，若，，、交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的平分线交于点F，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据对边平行可判定四边形是平行四边形，然后根据矩形的性质得到，即可判定四边形是菱形； （2）根据矩形的性质和角平分线的定义，得到，，推出为直角三角形，结合30度所对直角边等于斜边的一半，得到，设，则，，利用勾股定理得到、，结合，即可求得的值． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴在中，， 在中，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，分母有理化，勾股定理，角直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 11．如图，在中，F是的中点，E是线段延长线上一动点，连接，，过点B作，与线段的延长线交于点D，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则在点E运动的过程中： ①当四边形是菱形时，求的值； ②当 时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)①6；②3 【分析】（1）由平行线的性质得，再由对顶角相等得，进而证得，得，再根据平行四边形的判定证明即可； （2）①由题意得，由菱形的性质得，再根据等边三角形的判定与性质证明即可； ②由（1）得，四边形是平行四边形，由矩形的判定得，当，四边形是矩形，此时，再利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①∵， ∴， ∵四边形是菱形， ， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； ②由（1）得，四边形是平行四边形， 当，四边形是矩形， 此时，∵， ∴， ∴， ∴当时，四边形是矩形， 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、对顶角相等及直角三角形的性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 12．如图①，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，（点A的对应点为点C，点E的对应点为点）．延长交于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)如图②，若，请猜想线段段与的数量关系并加以证明． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2)9 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键； （1）由正方形的性质得到，由全等三角形的性质可得，再证明，，即可证明四边形是矩形，再由，即可证明矩形是正方形； （2）由全等三角形的性质得到，由正方形的性质可得，则可得到，根据勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）过点作于点．证明，推出，由三线合一定理得到，则可推出，据此可得结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形．理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， ， 或（舍去）． （3）解：，证明如下： 如图所示，过点作于点，则， ∴ 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ∴， ， ， ∴， ∵四边形是正方形， ， ∵， ∴ ， ． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在矩形中，E为边上的一点，连结，过点D作，垂足为F，若，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，矩形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键； 连接，可证，得，利用的面积推出，然后在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】如图，连接， 四边形为矩形，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 由勾股定理得，， 即，解得， ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）如图，已知正方形的边长为3，点E，F，G，H分别为正方形各边上一点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先求得，，推出，求得，再证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为3，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿，，匀速运动至点B，连接，．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的函数图象如图2所示，那么下列说法中正确的是（   ） A． B． C．菱形的面积 D．当时，点P一定运动到的中点 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图1和图2判定为等边三角形，菱形的边长为2，解答即可． 【详解】解：由点P的运动可知，， 在菱形中，可得，即， 故A错误，不符合题意； 连接，在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∴的面积，即， 故B正确，符合题意； ∴， 故C错误，不符合题意； 当时，x有两个值，即点P可能在上，也可能在上， 故D错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 4．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，菱形对角线，相交于点，测得，，过点作于点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，根据菱形的性质可得，勾股定理求得的长，进而根据菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵菱形对角线，相交于点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 5．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图，在矩形中，相交于点O，平分，交于点E．若，，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．根据矩形的性质和角平分线的定义得出，，，证出，得得．证明为等边三角形，得出，则可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：9． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为 ； （2）若点是中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】（1）如图所示，由三角形内角和定理得到，，结合对顶角相等、等腰三角形的判定与性质确定、、，代入得到关于的方程，求解即可得到，再由对称性质，在中，由两锐角互余求解即可得到答案； （2）连接，如图所示，由对称性得到,，，进而确定,，在中、中和中，由勾股定理列式求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示： 则，，， 由与关于对称，得到，则， 在正方形中，，则， ， ，即， 解得， 由与关于对称，得到， 在中，，，则； 故答案为：； （2）连接，如图所示： 由与关于对称，得到,，， 则,， 在中，由勾股定理可得, 点是中点， 设,则， 在中，由勾股定理可得,即， 解得， , 在等腰中，,,由勾股定理可得, 解得, 故答案为：． 【点睛】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、正方形性质、直角三角形两锐角互余、对顶角相等、等腰三角形的判定与性质、对称性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，准确构造辅助线求解是解决问题的关键． 三、解答题 7．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在中，对角线的交点为，且平分，为边的中点，连接，与的交点为． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）平行线的性质，结合角平分线的定义，推出，即可得证； （2）斜边上的中线，推出，进而得到，推出为等边三角形，三线合一结合三角形的外角求出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴． ∴平行四边形是菱形． （2）解：由（1）已知四边形是菱形， ∴，即． ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即． 在中，， ∵是的一个外角， ∴． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 8．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）由，可得，即，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （2）根据矩形的性质和勾股定理以及平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：在中，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ，， ， ， 的面积． 9．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在边长为12的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足与交于点O，点M是的中点． (1)求证：； (2)若，求的面积； (3)若点G是边上的点，且，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)10 【分析】本题主要考查勾股定理，三角形全等的判定和性质，正方形的性质； （1）根据题意得到，证出，即可得出结论； （2）根据题意再结合，得到，根据勾股定理得到，再根据等面积法列出，计算出，再得到，，再求出，根据点M是的中点，得到即可求出； （3）在延长线上截取，连接，证出，得到，得出，得到当H，D，F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，由勾股定理得，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点M是的中点， ∴； （3）解：∵，点M是的中点， ∴． 如图，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H，D，F三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 最小值即为的长的一半， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为10． 10．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，四边形，对角线平分，，．点E在边上，连接交于F，点B与点G关于对称，且G在下方． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，． ①试探究点G与直线的位置关系，并说明理由； ②连接，为等腰直角三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①点G在直线上，理由见解析；② 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质证明，可得，结合已知可得，进而得出四边形是平行四边形，再根据菱形的定义即可得证； （2）①连接，如图，设，则，利用对称的性质、等腰三角形的性质和菱形的性质得到，即可得到结论； ②先判断，，从而得出，进而得到，证明，，设，则，然后根据勾股定理求出即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：①点G在直线上，理由如下： 连接，如图， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵点B与点G关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴点G在直线上； ②∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵，四边形是菱形， ∴， ∴，， ∵点B与点G关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，如图，则， ∵， ∴， ∵A、C关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在直角三角形中，∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 11．（24-25八年级下·河南南阳·期末）【教材呈现】下面是人教版八年级下册的部分内容： 如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形的外角的平分线于点．求证：（提示：取的中点，连接）． （1）请你思考教科书中的“提示”，这样添加辅助线的意图是创造新的条件，可证明____________，从而可得； 【类比探究】 （2）如图1，若点是边上任意一点（不与重合），其他条件不变．求证：； 【拓展探究】 （3）如图（2），四边形是正方形，点是直线上一点，，交正方形外角的平分线于点．若，，直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3）的长为5或 【分析】（1）取的中点，连接，证明，即可得证； （2）在的中点，使，连接，证明，即可得证； （3）分两种情况：当点在边上时，当点是线段上的一点时，根据（2）问的结论，当在边延长线上的任意一点，连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，证明，得即可．利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，取的中点，连接， 四边形是正方形， ，， 分别是的中点， ，， ，， ， ， 是的外角的平分线，且， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）证明：如图，在上取点，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， 是的外角的平分线，且， ， ， ， ， ， ； （3）解：分两种情况： 当点在边上时，如图， 四边形是正方形， ，， ， 由勾股定理，得， 由（2）知，， 当点是直线上的一点时，如图， 四边形是正方形， ，， ， 由勾股定理，得， 连接，过点作，交延长于，在上截取，连接， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， 是正方形的外角平分线， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， 综上，的长为5或． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．注意分类讨论思想的应用． 12．（24-25八年级下·广西钦州·期末）在矩形纸片中，， 点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E 处． 【初步认识】 （1）如图1，折痕的端点P与点A 重合． ①当时， ______； ②若点 E 恰好在线段上，求的长； 【深入思考】 （2）如图2， 点E恰好落在边上．过点E作交于点F， 连接．根据题意，补全图2并证明四边形是菱形； 【拓展提升】 （3）如图3，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）或． 【分析】（）①由邻补角性质得，进而由折叠性质即可求解；②由折叠和勾股定理可求出，设，则，，在中利用勾股定理列出方程解答即可求解； （）①先证四边形是平行四边形，再由即可求证； （）分和两种情况，利用折叠的性质解答即可求解． 【详解】解：（）①∵， ∴， 由折叠可得，， ∴， 故答案为：； ②当点恰好在线段上时，如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长； （）补图如下： 证明：∵， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （）由折叠可知，，设，则， ①当时， 在中，， 解得， ∴； ②当时，过点作交于， 则， ， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，线段的长为或． 1 / 75 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $