寒假作业07 绝对值相关的十大题型（巩固培优）（积累运用+巩固提升+能力培优+创新题型）七年级数学新教材人教版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 绝对值相关的十大题型 1.绝对值具有非负性，即； 2.绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。 3.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值大于 当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为 当 （在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 4.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 5.的最小值模型 ①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=； ③当有（奇数）个绝对值相加： 且，则取中间数，即时，取得最小值； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且， 则取中间段，即当时，取得最小值为：。 总结：的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段” 6.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”： 例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”： 例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 7.型或型最值模型 类型1： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 类型2： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1 绝对值的化简 1．（24-25七年级上·重庆江津·期末）有理数，，的位置如图所示，化简 ． 2．（24-25七年级上·云南文山·期末）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值．(2)当时，求的值．(3)若有理数均不等于零，试求的值． 题型2 绝对值的非负性求参数值 3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ． 4．（24-25八年级上·山东临沂·期中）若，则（ ） A．2 B．7 C．8 D．5 题型3 绝对值的非负性求最值 5．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·河南·阶段练习）若x为有理数，则式子的最小值为 ． 题型4 绝对值的几何意义解方程 8．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为：；那么表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离． (1)若，则_______， ________；(2)若，则_______； (3)若，且x的值为整数，则x值为_______； 题型5 绝对值的几何意义求最值1-的最小值模型 9．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）知道式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离是3，则式子的最小值（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（24-25七年级上·广东珠海·期中）的最小值为 ． 题型6 绝对值的几何意义求最值2-的最小值和最大值模型 11．（24-25七年级上·河南漯河·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示，两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·浙江·期中）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　．(2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 题型7 绝对值的几何意义求最值3-的最小值模型 13．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 . 14．（24-25七年级上·湖北黄石·阶段练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4，∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题：（1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 题型8 绝对值的几何意义求最值4-系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 15．（24-25七年级上·重庆江北·期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______．(5)若，求的值． 16.（24-25七年级上·浙江·专题练习）我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示15和的两点之间的距离是 ． (2)点、在数轴上分别表示和1，则两点之间的距离是 ，如果，那么是 ． (3)式子的最小值是 ．(4)式子的最小值是 ，此时的值是 ． 题型9 绝对值的几何意义求最值5-绝对值最值中的新定义问题 17．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·期中）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算.有如下结论： ①依次输入5，6，7，8，则最后输出的结果是2； ②若将5，6，7，8这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果中最大值是4； ③若将5，6，7，8这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果中最小值是0； ④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，则k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（24-25七年级上·河北保定·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)1和2关于0的“美好关联数”为__________；和5关于2的“美好关联数”为__________； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于21的“美好关联数”为1，…则的最小值为__________． 题型10 绝对值的几何意义求最值6-绝对值相关运算与最值问题 19．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ；(2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，且．则 ； (4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是 ； (5)若表示一个有理数，则有最小值为 ，此时 ； (6)当时，则的最大值为 ． 20．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． (1)【概念理解】代数式的几何意义是______（选择A或B），代数式最小值为_____； （A）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数2的点的距离之和； （B）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数的点的距离之和； (2)【尝试应用】若，则________； (3)【拓展延伸】已知整数满足，则代数式的最大值和最小值分别为多少？ 1．（24-25七年级上·浙江·期中）已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 3．（24-25七年级上·广东深圳·期中）有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，四个相邻的整数对应数轴上的点，数对应数轴上的点，则的最小值为 ． 5．（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）点A、B在数轴上所对应的数分别是x、y，其中x、y满足．若点D是的中点，O为原点，数轴上有一动点P，、分别表示数轴上P与D，P与O两点间的距离，则的最小值是 ． 6．（23-24七年级上·四川泸州·期中）聪明的小马虎在期中考试中完成了以下的填空题： ①4；②若，则；③若，是非零有理数，那么；④若，是2的相反数，则或；⑤一家商店将某件服装按成本价每件元提高标价，又以8折优惠卖出，则这种服装每件的售价是元；⑥已知有理数、、在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是．其中小马虎做正确的有 （填出正确的番号）． 7．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知指数轴上表示的点到表示点的距离，指数轴上表示的点到表示和6两个点的距离之和．（1）式子的最小值为 ．（2）已知，则的最大值是 ． 8．（24-25七年级上·浙江·期中）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． (1)已知，则的值是_________；(2)当_____时，有最小值，最小值是______． 9．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：________．（用“、或”填空）(2)化简：． 10．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与－3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如可理解为数轴上表示有理数的点与表示数的点之间的距离．试探索：(1)若，则 ；(2)若，则满足条件的的值为 ； (3)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．(4)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 11．（24-25七年级上·四川眉山·期中）材料探索（数形结合思想是数学的重要思想） (1)探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例如数轴上表示数3和6的两点之间距离为；的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点之间的距离为5，由于数轴上数和数7表示的两点到数2的点之间距离都为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值为______． (2)探索材料2（填空）：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和．不妨记数轴上数2的点为点A，数x为点B，数的点为点C．要求的最小值，即求的最小值．观察数轴可知，当点B在A点和C点之间（包含两点）时，；当点B在A点右侧（不包含A点）或C点左侧（不包含C点）时，的值都不确定，但，综上，的最小值为5． 继续探索当点之间再增加一点D时，点B到三点距离的和是否也有最小值……，根据以上材料探索所学完成以下填空及计算． ①求代数式的最小值为______；②求代数式的最小值为______； ③求代数式的最小值为______，最大值为______； (3)根据以上材料探索所学求：的最小值． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法中，正确的是（   ） ①若，则；②若，则是正数； ③如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中恰有一个数为0； ④、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ⑤的最小值为2015 A．①③④ B．② C．②④ D．③⑤ 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，求的最大值（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江西南昌·期中）当式子取最小值时，则 ． 5．（24-25七年级上·四川南充·期中）规定：，，例如，．下列结论中，正确的序号为 ． ①若，则；②若，则；③式子的最小值是7． 6．（24-25·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为 ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______． 7．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是 ；(2)当取最小值时，x可以取整数 ； (3)最大值为 ；(4)的最小值为 ； 【解决问题】(5)如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 8．（24-25七年级上·北京昌平·期末）对于数轴上不同的三个点M，N，P．若满足（），则称点P是点M关于点N的“隔序点”，其中“k是隔序系数”“b是隔序常数”．例如，如图，在数轴上，点M，N表示的数分别是，1，当“隔序常数”时，原点O是点M关于点N的“隔序点”，可知“隔序系数”，原点O也是点N关于点M的“隔序点”，可知“隔序系数”．在数轴上已知点A表示的数是，点B表示的数是3．(1)若点C在线段上，点C是点A关于B的“隔序点”， 时，点C表示的数是 ； (2)若点C在数轴上，，点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数，求k的值； (3)在A，B，C三点中，点C表示的数是m，点C是另一点关于第三个点的“隔序点”，若k和b满足，当k取最小值时，b最大值时，直接写出m的值．    9．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______；(4)求的最小值是______． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数满足，求的最小值为______． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 绝对值相关的十大题型 1.绝对值具有非负性，即； 2.绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。 3.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值大于 当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为 当 （在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 4.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 5.的最小值模型 ①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=； ③当有（奇数）个绝对值相加： 且，则取中间数，即时，取得最小值； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且， 则取中间段，即当时，取得最小值为：。 总结：的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段” 6.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”： 例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”： 例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 7.型或型最值模型 类型1： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 类型2： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1 绝对值的化简 1．（24-25七年级上·重庆江津·期末）有理数，，的位置如图所示，化简 ． 【答案】/ 【详解】由数轴可知，，得， 则，故答案为：． 2．（24-25七年级上·云南文山·期末）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值．(2)当时，求的值．(3)若有理数均不等于零，试求的值． 【答案】(1)1(2)(3)2或0或 【详解】（1）解：当时，，∴． （2）解：当时，，∴． （3）解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴的值为2或0或． 题型2 绝对值的非负性求参数值 3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ． 【答案】 【详解】∵，∴，∴，故答案为：． 4．（24-25八年级上·山东临沂·期中）若，则（ ） A．2 B．7 C．8 D．5 【答案】D 【详解】解：∵，∴，解得， ∴．故选：D． 题型3 绝对值的非负性求最值 5．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①若，则，故①错误； ②，总是正数，故②正确； ③，，则的最小值为9，故③正确； ④，，则的最小值是1，故④错误； 错误的是①④，共2个 故选：B． 6．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： x为有理数，式子存在最大值， 当时，式子最大值为，故选：A． 7．（24-25七年级上·河南·阶段练习）若x为有理数，则式子的最小值为 ． 【答案】2024 【详解】解：∵，∴时，取最小值，最小值为2024．故答案为：2024． 题型4 绝对值的几何意义解方程 8．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为：；那么表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离． (1)若，则_______， ________；(2)若，则_______； (3)若，且x的值为整数，则x值为_______； 【答案】(1)(2)5或(3) 【详解】（1）若，则，解得，，解得． （2）若，则或，解得或． （3）若，表示数的点到数的点距离与到数的点的距离之和为5，， x的值为整数，x值为． 题型5 绝对值的几何意义求最值1-的最小值模型 9．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）知道式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离是3，则式子的最小值（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离，的最小值为，故选：B． 10．（24-25七年级上·广东珠海·期中）的最小值为 ． 【答案】3 【详解】，表示在数轴上点x与1和之间的距离的和，当时，有最小值．故答案为：3． 题型6 绝对值的几何意义求最值2-的最小值和最大值模型 11．（24-25七年级上·河南漯河·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示，两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵表示在数轴上到的距离减去到的距离， ①当 时，此时，因为到的距离就是与的差（大于）；，因为到的距离就是与的差（大于）； ； ②当时，，因为此时3大于，到3的距离是3与的差，，则，因为，所以，那么； ③当时，，，因为小于，到的距离是与的差的相反数，所以， 综上所述，， ∴的最大值为，故选：C ． 12．（24-25七年级上·浙江·期中）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　．(2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 【答案】(1)(2)1或(3)5， 【详解】（1）数轴上x和两点之间的距离表示为；故答案为：． （2）  或， 或；  故答案为：1或． （3）式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差， ∴当时，有最大值5； 当时，有最小值．  故答案为：5；． 题型7 绝对值的几何意义求最值3-的最小值模型 13．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 . 【答案】225 【详解】解：根据数轴的定义可知，代数式表示，表示点的点到1、2、3、30的距离之和，∴当时，有最小值， 当时，． 故答案为：225． 14．（24-25七年级上·湖北黄石·阶段练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4，∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题：（1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 【答案】（1）5（2）或9（3）当n是奇数，时，的最小值为；当n是偶数， 时，最的小值为 【详解】解：（1）由阅读材料二可得：的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数3和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和3之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为5； （2）∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数10和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和10之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为13， 又∵，∴或， ∵表示数轴上表示y到，3，6之间的距离和最小， ∴当时，有最小值7，∴或； （3）的值最小，表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小， 当n是奇数时，中间的点为，所以当时， ； ∴当n是奇数，时，的最小值为． 当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时，． ∴当n是偶数， 时，最的小值为． 题型8 绝对值的几何意义求最值4-系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 15．（24-25七年级上·重庆江北·期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______．(5)若，求的值． 【答案】(1)，(2)，(3)(4)(5)或 【详解】（1）表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等， 因此到和距离相等的点表示的数为， 表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等， 因此到和距离相等的点表示的数为，故答案为：，； （2）表示的意义是数轴上表示x的点到表示和两点的距离之和为，可得，因此x的最大值为，最小值为；故答案为：，； （3）表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和，根据数轴直观可得，最小值为3，由（2）可知， ∴当取最小值时，，故答案为：； （4） 根据绝对值几何意义，当时，有最小值，最小值为 故 的最小值为：；故答案为:； （5）当 时， ，去绝对值为：， 当 时，去绝对值为：9(不成立)， 当 时，去绝对值为：， ，综上，或． 16.（24-25七年级上·浙江·专题练习）我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示15和的两点之间的距离是 ． (2)点、在数轴上分别表示和1，则两点之间的距离是 ，如果，那么是 ． (3)式子的最小值是 ．(4)式子的最小值是 ，此时的值是 ． 【答案】(1)3，45(2)；3或(3)4(4)6，1.5 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 数轴上表示15和两点之间的距离是．故答案为：3，45； （2）解：数轴上表示和1的两点、之间的距离为，如果，那么， 因为数轴上与1距离为2的点表示的数有两个：3或，所以或，故答案为：；3或； （3）解：根据题意可得，的意义为数轴上表示数的点到表示数，2，3的点的距离之和，因此当时，这个距离之和最小，最小值为4；故答案为：4； （4）解：的几何意义为数轴上表示的点到数轴上表示，1.5，1.5，5点的距离和，当时，这个距离之和最小，最小值为6．故答案为：6，1.5． 题型9 绝对值的几何意义求最值5-绝对值最值中的新定义问题 17．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·期中）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算.有如下结论： ①依次输入5，6，7，8，则最后输出的结果是2； ②若将5，6，7，8这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果中最大值是4； ③若将5，6，7，8这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果中最小值是0； ④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，则k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：根据题意可以得出：，，，故①符合题意； 对于5，6，7，8，按如下次序输入：5，7，8，6，可得：，， 全部输入完毕后显示的结果的最大值为6，最小值是0，故③符合题意； 按如下次序输入：5，7，6，8，可得：，， 全部输入完毕后显示的结果的最大值为4，故②符合题意； ④∵随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，k的最大值为10，∴设b为较大数字，当时，，，解得：， 故此时任意输入后得到的最小数为：，， 设b为较大数字，当时，，， 则，即，则， 故此时任意输入后得到的最小数为：，， 综上所述：k的最小值为6．故④符合题意．故选：D． 18．（24-25七年级上·河北保定·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)1和2关于0的“美好关联数”为__________；和5关于2的“美好关联数”为__________； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于21的“美好关联数”为1，…则的最小值为__________． 【答案】(1)3，8；(2)6或0.(3) 【详解】（1）解：根据定义可得：1和2关于0的“美好关联数”为：； 和5关于2的“美好关联数”为：；故答案为：3，8； （2）解：∵，∴，∴， ∴或，解得：或∴的值为6或0. （3）解：由已知得：，∵，，∴的最小值；， ∵，，∴的最小值；同理，，的最小值； ，的最小值；……； ∴，的最小值是， ∴的最小值为.故答案为：． 题型10 绝对值的几何意义求最值6-绝对值相关运算与最值问题 19．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ；(2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，且．则 ； (4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是 ； (5)若表示一个有理数，则有最小值为 ，此时 ； (6)当时，则的最大值为 ． 【答案】(1)3(2)(3)4(4)或(5)5，(6)3 【详解】（1）解：数轴上表示2和5两点之间的距离是．故答案为：3； （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为．故答案为：； （3）当时，则．故答案为：4； （4）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数，1两点的距离之和， 当时，的最小值为， 所以时，有理数的取值范围是或．故答案为：或； （5）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数3，，三个点的距离之和， 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时，， 则时，存在最小值，为； 当时，， 则时，存在最小值，为； 当时，， 则时，存在最小值，为， 综上所述，当时，有最小值为5．故答案为：5，； （6）由（5）可知，当时，的最小值为， 当时，的最小值为，而， 即时，，，所以的最大值为3．故答案为：3． 20．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． (1)【概念理解】代数式的几何意义是______（选择A或B），代数式最小值为_____； （A）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数2的点的距离之和； （B）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数的点的距离之和； (2)【尝试应用】若，则________； (3)【拓展延伸】已知整数满足，则代数式的最大值和最小值分别为多少？ 【答案】(1)B，6(2)或5(3)最大值为8，最小值为． 【详解】（1）解：理解为：在数轴上表示a的点到和4的距离之和， ∴当点a在和4之间的线段上，即时，有最小值， 最小值为：，故答案为：B，6； （2）解：当a在3的右边时，，解得：， 当a在的左边时，，解得：， 当a在3与之间时，距离为，即不成立；故答案为：或5； （3）解：，， 可得，，，， ∵， 而，故，，， 从而，，或， 当，，时，最大为， 当，，时，最小为， 最大值为8，最小值为． 1．（24-25七年级上·浙江·期中）已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】C 【详解】解：∵的最小值为3，∴到的距离与到的距离的和的最小值为3， ∵，∴，∴， ∴，故选：C． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】C 【详解】解：∵x为有理数式子存在最大值， ∴当，最大为2023，故选C． 3．（24-25七年级上·广东深圳·期中）有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：①根据题意可以得出：，最后输出的结果是2，故①正确； ②对于2，3，6，9，可得：，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8，故②正确； ③依题意，分析可得先每四个数一组，使得输出结果为0， 可以依次输入1，3，4，2；5，7，8，6；9，11，12，10；⋯⋯2021，2023，2024，2022；2025， 根据运算规律可得结果的最大值是2025，故③正确；所以说法正确的个数是3，故选：D． 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，四个相邻的整数对应数轴上的点，数对应数轴上的点，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】由绝对值的几何意义可知，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离． 所以表示点到A，B，C，D四个点的距离之和． 因为a，b，c，d是四个相邻的整数，当点在线段上（包括端点B，C）时，距离之和最小． 不妨设（为整数)，当在与之间时， 所以的最小值为4．故答案为：4． 5．（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）点A、B在数轴上所对应的数分别是x、y，其中x、y满足．若点D是的中点，O为原点，数轴上有一动点P，、分别表示数轴上P与D，P与O两点间的距离，则的最小值是 ． 【答案】1 【详解】解：，，，，， 点、在数轴上所对应的数分别是3，，点是的中点，点对应的数是， 当点在点和点之间时，的值最小，最小值是，故答案为：1． 6．（23-24七年级上·四川泸州·期中）聪明的小马虎在期中考试中完成了以下的填空题： ①4；②若，则；③若，是非零有理数，那么；④若，是2的相反数，则或；⑤一家商店将某件服装按成本价每件元提高标价，又以8折优惠卖出，则这种服装每件的售价是元；⑥已知有理数、、在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是．其中小马虎做正确的有 （填出正确的番号）． 【答案】④，⑥ 【详解】解：，故①小马虎答错；若，则，故②小马虎答错； 当，都是整数时，，当，都是负数时，，当，异号时，，故③小马虎答错；若，是2的相反数，则，，可得或，故④小马虎答正确； 一家商店将某件服装按成本价每件元提高标价，又以8折优惠卖出，则这种服装每件的售价是（元，故⑤小马虎答错； 由图可知，，故⑥小马虎答正确； 故答案为：④，⑥． 7．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知指数轴上表示的点到表示点的距离，指数轴上表示的点到表示和6两个点的距离之和．（1）式子的最小值为 ．（2）已知，则的最大值是 ． 【答案】 9 7 【详解】解：（1）依题意，当时，则， 当时， 当时，则； 综上，的最小值为9；故答案为：9． （2） 又∵，， 即的最大值是7，故答案为：7． 8．（24-25七年级上·浙江·期中）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． (1)已知，则的值是_________；(2)当________时，有最小值，最小值是______． 【答案】(1)3(2)1，2 【详解】（1）∵，∴， ∴，∴，故答案为：； （2）∵∴当时，最小，此时有最小值， ∴当时有最小值，最小值是，故答案为：1，． 9．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：________．（用“、或”填空）(2)化简：． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由数轴可得：，∴，∴； （2）解：由数轴可得：，∴，， ∴． 10．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与－3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如可理解为数轴上表示有理数的点与表示数的点之间的距离．试探索：(1)若，则 ；(2)若，则满足条件的的值为 ； (3)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．(4)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)或(2)或(3)有，最小值为(4)有，最小值为 【详解】（1）解：∵，∴或，∴或，故答案为：或； （2）解：∵，∴， 即表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和等于， ∵，∴不可能在和之间， 当在的左边时，，解得； 当在的右边时，，解得； 综上，满足条件的的值为或，故答案为：或； （3）解：有．∵， 即式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和， 可知当在和之间时，距离之和最小，最小值为； （4）解：有．式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离与到对应的点的距离之和，可知当时，距离之和最小，最小值为． 11．（24-25七年级上·四川眉山·期中）材料探索（数形结合思想是数学的重要思想） (1)探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例如数轴上表示数3和6的两点之间距离为；的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点之间的距离为5，由于数轴上数和数7表示的两点到数2的点之间距离都为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值为______． (2)探索材料2（填空）：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和．不妨记数轴上数2的点为点A，数x为点B，数的点为点C．要求的最小值，即求的最小值．观察数轴可知，当点B在A点和C点之间（包含两点）时，；当点B在A点右侧（不包含A点）或C点左侧（不包含C点）时，的值都不确定，但，综上，的最小值为5． 继续探索当点之间再增加一点D时，点B到三点距离的和是否也有最小值……，根据以上材料探索所学完成以下填空及计算． ①求代数式的最小值为______；②求代数式的最小值为______； ③求代数式的最小值为______，最大值为______； (3)根据以上材料探索所学求：的最小值． 【答案】(1)8或(2)①6； ②7； ③，6(3) 【详解】（1）表示的意义为，数轴上表示数x的点到数3的点之间的距离为5， 或，解得或． （2）①由材料2可得，当时，有最小值，，最小值为． ②代数式表示，数轴上表示数x的点到数的点，数的点，数2的点的距离和， 当表示数x的点正好落在数的点上时，它们的距离和最小，即当时，有最小值， ． ③代数式表示数轴上表示数x的点到数的点，数的点的距离差， 当数x的点落在数的点上及数的点的左侧时，它们的距离差最小， 即时，， 当数x的点落在数的点上及数的点的右侧时，它们的距离差最大， 即时，，代数式的最小值为，最大值为6． （3）， 表示数轴上表示数x的点到数的点的距离和， 由材料可知，当在这个数中间时，距离之和最小，这个数中间的数为， 当时，有最小值， ． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离，的最小值为， 的最小值是0，且取最小值时x的值为，且当时，最小值是3， 的最小值为，的最小值是，故选：． 2．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法中，正确的是（   ） ①若，则；②若，则是正数； ③如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中恰有一个数为0； ④、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ⑤的最小值为2015 A．①③④ B．② C．②④ D．③⑤ 【答案】B 【详解】解：若，则，则说法①错误； 若，当，且时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，所以，综上，若，则是正数，则说法②正确； 如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中至少有一个数为0，则说法③错误； ∵、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，且相邻两点的距离相等， ∴当点在点的左侧时，则，解得， 当点在点的中间时，则，解得， 当点在点的右侧时，，解得，综上，或或，则说法④错误； 当时，则， 当时，则， 当时，则， 所以的最小值为2013，则说法⑤错误；综上，说法正确的是②，故选：B． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，求的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴； 当时，， ∵，∴，∴， ∵，∴； 当时，， ∵，∴，∴； 当时，； ∵，即，∴，∴； 综上，的最大值，故选：B． 4．（24-25七年级上·江西南昌·期中）当式子取最小值时，则 ． 【答案】 【详解】解：，，当式子取最小值时，，， 解得，，，故答案为：． 5．（24-25七年级上·四川南充·期中）规定：，，例如，．下列结论中，正确的序号为 ． ①若，则；②若，则；③式子的最小值是7． 【答案】①②③ 【详解】解：①∵，即，∴，， ∴，，∴，∴①正确； ②∵，∴，∴②正确； ③，它的几何意义是数轴上表示的点到表示3的点与到表示的点的距离之和，∴当表示x的点位于表示3的点与表示的点之间时，其距离之和最小，最小值为， ∴④正确．综上，①②③正确．故答案为：①②③． 6．（24-25·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______． 【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20 【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为， 数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ； （2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离， ①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2； ②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2； ③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2 （3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4， 的最大值是6，的最大值是8， ∴的最大值是2+4+6+8=20 7．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是 ；(2)当取最小值时，x可以取整数 ； (3)最大值为 ；(4)的最小值为 ； 【解决问题】(5)如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数－2的点之间的距离(2)-1，0，1，2，3(3)4(4)7 (5)便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离． （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数x到的距离与x到3的距离之和， ∴当时，取最小值，即当x可以取整数，0，1，2，3； 故答案为：，0，1，2，3． （3）解：的几何意义是表示x的点到的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离， 时取得最大值，的最大值是：． （4）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示x的点到表示的点和到表示的点和表示1的点的距离之和， 当表示x的点在表示的点到表示1的点的线段上，有最小值，即， 当时，的值最小，最小值为7；故答案为：7． （5）解：设便民服务点P在数轴上表示x的点处， 根据题意可得，便民服务点到四点的距离为， 当表示x的点在表示的点到表示3的点的线段上，有最小值，即， 当时，取得最小值，此时， 答：便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是． 8．（24-25七年级上·北京昌平·期末）对于数轴上不同的三个点M，N，P．若满足（），则称点P是点M关于点N的“隔序点”，其中“k是隔序系数”“b是隔序常数”．例如，如图，在数轴上，点M，N表示的数分别是，1，当“隔序常数”时，原点O是点M关于点N的“隔序点”，可知“隔序系数”，原点O也是点N关于点M的“隔序点”，可知“隔序系数”．在数轴上已知点A表示的数是，点B表示的数是3．(1)若点C在线段上，点C是点A关于B的“隔序点”， 时，点C表示的数是 ； (2)若点C在数轴上，，点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数，求k的值； (3)在A，B，C三点中，点C表示的数是m，点C是另一点关于第三个点的“隔序点”，若k和b满足，当k取最小值时，b最大值时，直接写出m的值．    【答案】(1)1(2)或(3)7或或或 【详解】（1）解：设点C表示的数是， ∵点A表示的数是，点B表示的数是3，点C在线段上，∴， ∵点C是点A关于B的“隔序点”，且 ，∴，∴，解得， ∴点C表示的数是1，故答案为：1． （2）设点C表示的数是，∵，∴或， 当时，∴， ∵点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数，∴，∴，解得； 当时，∴， ∵点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数， ∴，∴，解得；综上所述，或． （3）设点C表示的数是m，则，∵k和b满足， 又：表示数轴上表示点的数到表示点的数的距离，以及到表示点3的数的距离之和， ∴当时，有最小值为，∴当k取最小值时，b最大值时，此时：， 当点C是点B关于A“隔序点”时，，，∴，解得：或； 当点C是点A关于B“隔序点”时，，，∴，解得：或； 综上所述m的值为7或或或． 9．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______；(4)求的最小值是______． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数满足，求的最小值为______． 【答案】(1)3(2)8(3)(4)2(5)(6) 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为：，故答案为：3； （2）解：数轴上表示数a的点位于与5之间，， ，故答案为：8； （3）解：表示数a到点1与2的距离之和， 当时，取最小值，故答案为：； （4）解：表示数a到点1、2、3的距离之和， 当时，取得最小值，最小值为：，故答案为：2； （5）解：点，，，，，…，中，最中间的点是， 故点P选在紧靠居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小，故答案为：； （6）解：表示数a到点1与3的距离之和，当时，取得最小值； 表示数b到点4与的距离之和， 当时，取得最小值，此时， ∵a的最小值为1，b的最小值为，的最小值为：，故答案为：． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $