第六章 特殊平行四边形（单元自测·基础卷）数学鲁教版五四制八年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元检测卷 第六章 特殊平行四边形·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列有关特殊四边形的说法正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．邻边相等的矩形是正方形 C．取平行四边形四条边的中点，顺次连接构成的四边形是矩形 D．矩形的每一条对角线平分一组对角 2．如图，在菱形中，点为对角线上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，M，N分别为，的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．2 C．8 D．6 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则菱形的周长为（   ） A．8 B． C． D．16 5．如图，四边形的对角线，交于点，则下列判断不正确的是（   ） A．若，，则四边形是平行四边形 B．若，，且；则四边形是矩形 C．若，则四边形是正方形 D．若，，，则四边形是菱形 6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，已知，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作平行于，分别交、于点、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 8．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，此时对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（    ） A． B．8 C．4 D． 9．已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①：再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2025个图形中直角三角形的个数有（   ） A．4052个 B．2025个 C．1013个 D．8100个 10．如图①，四边形为矩形，点P为一动点，点P从点B出发沿向终点D运动，点P的运动时间为ts，点p的速度为，连接，设的面积为与t之间的函数关系如图②所示，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，平行四边形中，，请你添加一个条件： ，使得该四边形是正方形． 12．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接， ． 13．如图，王大爷开辟了一块直角三角形的菜地种蔬菜，用栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分．若，，，则栅栏的长为 m． 14．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是 °． 15．如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于 ． 16．如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在矩形中，点E在上，且平分． (1)求证：； (2)，，求矩形的面积． 18．如图，四边形是菱形，，．求： (1)的度数和的长． (2)若，求的长． 19．已知：在矩形中，是对角线．求作：菱形，使点分别在边上． (1)尺规作图：使用直尺和圆规，补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，则菱形的面积为__________． 20．如图，在四边形中，点B与点D关于直线对称，连接交于点O，E为上一点，，连接，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，，求的长． 21．如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由. (2)若，，求四边形的面积． 22．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 23．如图1，在中，点是上的任意一点（不与点、重合），过点O平行于的直线l分别与，的平分线交于点、，连接，． (1)求证：； (2)如图2，点是的中点，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，，求四边形的周长． 24．如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②探究：线段之间的数量关系？并说明理由． 25．如图，用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接、，使． (1)如图①，调整菱形，使，当点在菱形外面时，在射线上取一点N，使，连接，则________度； (2)如图②，调整菱形，使，当点在菱形外面时，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元检测卷 第六章 特殊平行四边形·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列有关特殊四边形的说法正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．邻边相等的矩形是正方形 C．取平行四边形四条边的中点，顺次连接构成的四边形是矩形 D．矩形的每一条对角线平分一组对角 2．如图，在菱形中，点为对角线上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，M，N分别为，的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．2 C．8 D．6 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则菱形的周长为（   ） A．8 B． C． D．16 5．如图，四边形的对角线，交于点，则下列判断不正确的是（   ） A．若，，则四边形是平行四边形 B．若，，且；则四边形是矩形 C．若，则四边形是正方形 D．若，，，则四边形是菱形 6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，已知，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作平行于，分别交、于点、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 8．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，此时对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（    ） A． B．8 C．4 D． 9．已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①：再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2025个图形中直角三角形的个数有（   ） A．4052个 B．2025个 C．1013个 D．8100个 10．如图①，四边形为矩形，点P为一动点，点P从点B出发沿向终点D运动，点P的运动时间为ts，点p的速度为，连接，设的面积为与t之间的函数关系如图②所示，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，平行四边形中，，请你添加一个条件： ，使得该四边形是正方形． 12．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接， ． 13．如图，王大爷开辟了一块直角三角形的菜地种蔬菜，用栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分．若，，，则栅栏的长为 m． 14．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是 °． 15．如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于 ． 16．如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在矩形中，点E在上，且平分． (1)求证：； (2)，，求矩形的面积． 18．如图，四边形是菱形，，．求： (1)的度数和的长． (2)若，求的长． 19．已知：在矩形中，是对角线．求作：菱形，使点分别在边上． (1)尺规作图：使用直尺和圆规，补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，则菱形的面积为__________． 20．如图，在四边形中，点B与点D关于直线对称，连接交于点O，E为上一点，，连接，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，，求的长． 21．如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由. (2)若，，求四边形的面积． 22．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 23．如图1，在中，点是上的任意一点（不与点、重合），过点O平行于的直线l分别与，的平分线交于点、，连接，． (1)求证：； (2)如图2，点是的中点，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，，求四边形的周长． 24．如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②探究：线段之间的数量关系？并说明理由． 25．如图，用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接、，使． (1)如图①，调整菱形，使，当点在菱形外面时，在射线上取一点N，使，连接，则________度； (2)如图②，调整菱形，使，当点在菱形外面时，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元检测卷 第六章 特殊平行四边形·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列有关特殊四边形的说法正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．邻边相等的矩形是正方形 C．取平行四边形四条边的中点，顺次连接构成的四边形是矩形 D．矩形的每一条对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】题目主要考查特殊四边形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．逐一分析各选项是否符合特殊四边形的判定或性质． 【详解】解：A． 对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，仅四边形对角线垂直不一定是菱形（如对角线垂直的梯形），故A错误． B． 矩形邻边相等时，四条边均相等且四个角为直角，符合正方形定义，故B正确． C． 平行四边形四条边中点连线构成的四边形是平行四边形（中点四边形性质），而非矩形，仅当原四边形对角线垂直时中点四边形为矩形，但平行四边形对角线不一定垂直，故C错误． D． 矩形对角线相等且平分，但仅当矩形为正方形时对角线平分对角，普通矩形对角线不满足此性质，故D错误． 故选：B． 2．如图，在菱形中，点为对角线上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及菱形性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，先由菱形对边平行得到同旁内角互补求出，再由菱形对角线平分对角得到，最后由等腰三角形性质求解即可得到答案． 【详解】解：在菱形中，， ， 在菱形中，为对角线，，则， 在中，，，则， 故选：B． 3．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，M，N分别为，的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题关键是根据矩形的性质得出，再根据中位线的性质求出的长即可． 【详解】解：在矩形中，对角线与相交于点 ∴，，， ∴， ∵分别为的中点， ∴． 故选：B． 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则菱形的周长为（   ） A．8 B． C． D．16 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质可得、互相垂直平分，，根据中位线性质可得，继而即可求解． 【详解】解：∵是菱形， ∴，， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：A． 5．如图，四边形的对角线，交于点，则下列判断不正确的是（   ） A．若，，则四边形是平行四边形 B．若，，且；则四边形是矩形 C．若，则四边形是正方形 D．若，，，则四边形是菱形 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，熟练掌握各种判定方法是解题关键．根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，，能判定四边形是平行四边形，此选项正确，不符合题意； B、，， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形，此选项正确，不符合题意； C、∵， 四边形是菱形，故此选项错误，符合题意； D、∵，， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形，此选项正确，不符合题意； 故选：C． 6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，已知，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质和勾股定理等知识内容，正确掌握菱形的性质是解题的关键．因为四边形是菱形，所以，，再根据勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的顶点D在y轴上， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作平行于，分别交、于点、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质． 如图所示，过点P作，首先得到，证明出四边形，，，是矩形，得到，然后根据矩形的性质推出，，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点P作 ∵四边形是矩形，是对角线 ∴ ∵， ∴四边形，，，是矩形 ∴ ∴， ∴ ∵，分别是矩形和的对角线 ∴， ∴ ∴阴影部分的面积的和为． 故选：C． 8．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，此时对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（    ） A． B．8 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可知，过点E作，交的延长线于点，根据等边三角形的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再根据求解即可． 【详解】如图，    ∵菱形中，， ， 是等边三角形， ∵对角线， ， ， 如图3过点E作，交的延长线于点， 是等边三角形， ， ∴， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 9．已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①：再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2025个图形中直角三角形的个数有（   ） A．4052个 B．2025个 C．1013个 D．8100个 【答案】A 【分析】本题考查了图形规律探索，根据题意得出规律是解题的关键．先写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律，当为奇数时，直角三角形的个数是，当为偶数时，直角三角形的个数是，根据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形，有4个直角三角形， 第2个图形，有4个直角三角形， 第3个图形，有8个直角三角形， 第4个图形，有8个直角三角形， …， 依此类推，第个图形，当为奇数时，直角三角形的个数是，当为偶数时，直角三角形的个数是， 第2025个图形中直角三角形的个数是． 故选：A． 10．如图①，四边形为矩形，点P为一动点，点P从点B出发沿向终点D运动，点P的运动时间为ts，点p的速度为，连接，设的面积为与t之间的函数关系如图②所示，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，根据题意，，求的值解答即可． 【详解】解：设，，根据题意，， 故， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图象信息的读取，构造方程组解题，完全平方公式的变形计算，勾股定理，熟练掌握变形，勾股定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，平行四边形中，，请你添加一个条件： ，使得该四边形是正方形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了正方形的判定． 根据题意得到平行四边形是菱形，根据正方形的判定方法进行解答即可． 【详解】∵平行四边形中，， ∴平行四边形是菱形． 当时， 菱形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 12．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接， ． 【答案】/135度 【分析】此题重点考查正方形的性质、等边三角形的性质，等角对等边等知识，综合运用这些知识点是解题关键． 根据等边三角形的性质和正方形的性质可得，，再由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，王大爷开辟了一块直角三角形的菜地种蔬菜，用栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分．若，，，则栅栏的长为 m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过勾股定理求出的长，由题意得，为的中线，所以，即可求解． 【详解】解：，，， ， 栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分， 为的中线， 故答案为：． 14．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是 °． 【答案】120 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，可得是等边三角形，由菱形可得平分，继而可得． 【详解】解：连接，由题意得， ∵菱形的边长， ∴，平分， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：120． 15．如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、菱形的周长及面积公式、根据面积等式求线段的长度，正确地求出菱形的边长和高是解题的关键．连接，作交的延长线于点，由菱形的周长为，求得，由该菱形的面积为得，则，由，列出等式，即可求出的值． 【详解】解：连接，作交的延长线于点， 四边形是菱形，它的周长为，面积为， ， ， ， ， ， ，且于点，于点， ， ， 故答案为：． 16．如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键． 当在的上方时，连接，则过的中点，交于点，由矩形的性质及勾股定理得，，，又由折叠的性质得，，再在中，利用勾股定理构造方程即可求解，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点，同理可得的长． 【详解】解：如下图，当在的上方时，连接，则过的中点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴即， 解得， 如下图，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点， 同理可得：，，，， ，， ∴即， 解得， 综上，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在矩形中，点E在上，且平分． (1)求证：； (2)，，求矩形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，角平分线的定义； （1）由矩形的性质和角平分线的定义得出，推出即可； （2）由勾股定理得出，由三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）证明：是矩形， ， ， 平分． ， ， ． （2）解：是矩形， ∴∠A＝90° ，， ∴ ， 由勾股定理得， 由（1）可知， ． 18．如图，四边形是菱形，，．求： (1)的度数和的长． (2)若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据菱形的性质垂直平分，平分和，平分和，，得出，再由含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）由含30度角的直角三角形的性质及菱形的性质得出，，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴垂直平分，平分和，平分和，， 又∵， ∴； ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴是直角三角形， 又∵， ∴； （2）解：由（1）得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理解三角形，含角直角三角形性质等，解题的关键是根据菱形的性质得到角与角之间的关系、线段与线段之间的关系． 19．已知：在矩形中，是对角线．求作：菱形，使点分别在边上． (1)尺规作图：使用直尺和圆规，补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，则菱形的面积为__________． 【答案】(1)作图见详解 (2)20 【分析】本题主要考查尺规作线段的垂直平分线，矩形的性质，菱形判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）运用尺规作线段的垂直平分线，由菱形的判定方法“对角线互相垂直的平行四边形”可知四边形是菱形； （2）根据矩形和菱形的性质设，则，在中，，由此列式得到，根据菱形面积的计算即可求解． 【详解】（1）解：下图为所求： ∵四边形是矩形，线段垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵线段垂直平分线段， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴， ∵， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 20．如图，在四边形中，点B与点D关于直线对称，连接交于点O，E为上一点，，连接，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，，进而证明四边形为平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得证； （2）根据等边对等角得出，进而根据三角形的外角的性质即可得出的度数，进而根据等边三角形的性质以及含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点与点关于直线对称 ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形； ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由. (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)． 【分析】（）四边形是菱形．根据题意和翻折的性质，可以得到，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立； （）根据题意和勾股定理，可以求得的长，进而求得和的值，从而可以得到四边形的面积； 本题考查了翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，勾股定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵矩形中，， ，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积． 22．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，理由见解析 (3)当或时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，进而得到四边形是平行四边形，即可得证； （2）中点得到，证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，得到四边形是菱形； （3）根据有一个角是直角的菱形时正方形，得到当或时，四边形是正方形，即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是菱形， 理由如下：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； （3）解：当或时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 或：当时，∵， ∴， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 23．如图1，在中，点是上的任意一点（不与点、重合），过点O平行于的直线l分别与，的平分线交于点、，连接，． (1)求证：； (2)如图2，点是的中点，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是矩形，理由见解析 (3)16 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得，由等角对等边可得，同理可证，进而可证； （2）先证四边形是平行四边形，进而可证四边形是矩形，即可得到答案； （3）由勾股定理可得，再证四边形是正方形，根据勾股定理可得正方形边长，进而可求四边形周长． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 同理， ． （2）解：四边形是矩形，理由如下， 是的中点， ， 又， 四边形是平行四边形， 平分，平分， ， 四边形是矩形． （3）解：，，， ， ，， ， 由（2）知四边形是矩形， 四边形是正方形， ， ， 四边形的周长． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，解题的关键是熟练掌握以上性质． 24．如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②探究：线段之间的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】（1）根据正方形性质，得，结合，得，即得； （2）①证明：如图，作于M，于N，证明四边形是矩形，得，得，由角平分线性质，得，得，得，即得矩形是正方形；②根据正方形性质，得， ，得，得，∴．由，得． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①证明：如图，作于M，于N， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ②， 理由如下， ∵矩形为正方形， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形判定和性质，矩形判定和性质，全等三角形判定和性质，角平分线判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 25．如图，用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接、，使． (1)如图①，调整菱形，使，当点在菱形外面时，在射线上取一点N，使，连接，则________度； (2)如图②，调整菱形，使，当点在菱形外面时，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)45 (2)，说明见解析 【分析】（1）由正方形判定与性质得到，，先判定，从而得到，，进而证得是等腰直角三角形，即可得到答案； （2）由菱形性质得到，，先判定，从而得到，，由等腰三角形的判定与性质得到，作交于点，如图所示，在中，由含直角三角形性质及勾股定理求线段长即可得到答案． 【详解】（1）解：当菱形中，，则菱形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形，则， 故答案为：； （2）解：， 理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 作交于点，如图所示： 则，， 在中，，，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查特殊平行四边形综合，涉及正方形判定与性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形性质、含直角三角形性质即勾股定理等知识．熟练掌握相关几何性质及判定，并灵活运用是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元检测卷 第六章 特殊平行四边形·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B A C A C C A C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（答案不唯一） 12．/135度 13． 14．120 15． 16．或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）证明：是矩形， ， ， 平分． ， ， ．....................................3分 （2）解：是矩形， ∴∠A＝90° ，， ∴ ， 由勾股定理得， 由（1）可知， ．....................................6分 18． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴垂直平分，平分和，平分和，， 又∵， ∴； ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴是直角三角形， 又∵， ∴；....................................3分 （2）解：由（1）得：，， ∵， ∴， ∴， ∴．....................................6分 19． 【详解】（1）解：下图为所求： ∵四边形是矩形，线段垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵线段垂直平分线段， ∴四边形是菱形；....................................6分 （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴， ∵， ∴菱形的面积为， 故答案为：．....................................6分 20． 【详解】（1）证明：∵点与点关于直线对称 ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形；....................................3分 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形； ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．....................................6分 21． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形；....................................4分 （2）解：∵矩形中，， ，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积．....................................8分 22． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ；....................................2分 （2）解：四边形是菱形， 理由如下：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形；....................................5分 （3）解：当或时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 或：当时，∵， ∴， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形．....................................8分 23． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 同理， ．....................................2分 （2）解：四边形是矩形，理由如下， 是的中点， ， 又， 四边形是平行四边形， 平分，平分， ， 四边形是矩形．....................................5分 （3）解：，，， ， ，， ， 由（2）知四边形是矩形， 四边形是正方形， ， ， 四边形的周长．....................................8分 24． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴；....................................4分 （2）解：①证明：如图，作于M，于N， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形；....................................8分 ②， 理由如下， ∵矩形为正方形， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴．....................................12分 25． 【详解】（1）解：当菱形中，，则菱形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形，则， 故答案为：；....................................5分 （2）解：， 理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 作交于点，如图所示： 则，， 在中，，，则， ∴， ∴．....................................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $