高一数学上学期期末模拟卷（沪教版2019必修第一册，高效培优·提升卷）

2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2019必修第一册。 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共,54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，若，则实数 ． 【答案】或 【解析】因为，所以或， 所以，或， 经验证当时，，集合不满足元素的互异性， 或均符合题意，所以或 2．函数(且)的图象经过定点 . 【答案】 【解析】因为， 令，即，则， 所以的图象经过定点. 3．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是 . 【答案】8 【解析】∵一元二次方程的两个实数根分别是， ， . 4．不等式的解集为 . 【答案】 【解析】恒成立，原不等式可化为，即， 解得， 5．已知函数，则函数的解析式是 ． 【答案】， 【解析】，且， 所以，． 6．已知函数则 ． 【答案】 【解析】． 7．化简 【答案】2 【解析】原式 . 8．设，则方程的解集为 【答案】 【解析】时，原方程可得，解得， 又，故方程的解为； 当时，原方程可得，解得，故无解； 当时，原方程可得，解得； 当时，原方程可得，解得，所以. 综上，方程的解集为. 9．已知函数在R上单调递减，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】指数函数单调递减，则， 二次函数在上单调递减，则：，解得：， 且当时：，解得：， 综上可得，实数a的取值范围是. 10．已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立. 故的最小值为. 11．已知函数.关于的性质，有以下四个推断： ①的定义域是；    ②是奇函数； ③在区间上单调递增；    ④的值域是. 其中推断正确的是 . 【答案】②③④ 【解析】因为，所以函数的定义域为，故①错误； 因为，所以是奇函数，故②正确； 任取，且，则 ， 因为，且，所以，， 所以，即在区间上单调递增，故③正确； 当时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 由②可知，函数为奇函数，所以时，， 当时，，所以的值域是，故④正确； 12．设，若有三个不同的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题设与有三个交点， 而在、上递增，在上递减，且在上值域为，在上值域为， 由的解析式可得其函数图象大致如下， 由图知：时，与有三个交点. 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．用反证法证明命题：“对于三个实数a、b、c，若，则或”时，提出的假设正确的是（ ） A．且 B．或 C． D． 【答案】C 【解析】用反证法证明时，假设结论的反面成立：即假设且成立. 故选：C 14．若a，b都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】，都是实数，那么“” “”， 反之不成立，例如：，，满足，但是无意义， “”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 15．若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则实数和分别等于（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】∵， ∴根据二分法的定义可知： ∴，解得 故选：B 16．定义在R上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数x都成立，我们称是R上“m相依函数”．下列关于“m相依函数”的描述正确的是（    ） A．存在唯一的常值函数是“m相依函数” B．是“m相依函数” C．“2025相依函数”至少有一个零点 D．“相依函数”至少有一个零点 【答案】C 【解析】对于A，设，则， 当，满足，则是“相依函数”，不唯一，故A错误； 对于B，当时，对任意都成立， 化为， 则有，无解，则不是“相依函数”，故B错误； 对于C，若， 令，则， 当时，有实根， 当时，， 根据零点存在性定理知，在区间上必有实根， 所以“2025相依函数”至少有一个零点，故C正确； 对于D，， 当，， 若，则， 不能判定方程在内有根， 根据实数的任意性，不能确定在上有无零点，故D错误， 故选：C. 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）已知集合，． （1）求集合，； （2）若，求实数的取值范围． 【解】（1）由得， 即，解得， . 由可得， 解得， . （2）由得， 由（1）可得， 解得， 实数a的取值范围是. 18．（本小题满分14分）已知幂函数，且. (1)求的值； (2)设函数，求在上的值域. 【解】（1）因为是幂函数，所以， 即，解得或. 当时，， 此时，则不符合题意； 当时，， 此时，则符合题意. 综上，. （2）由（1）可得，则. 因为与在上都是增函数， 所以在上是增函数. 因为， 所以在上的值域为. 19．（本小题满分14分）把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min. (1)求； (2)小王想喝的温水，发现水的温度为，如果他等待水温自然冷却，至少需要等待多少min？ (3)某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要8min.现该电热水壶中水的温度为，经过98min后，此时壶中水的温度是多少？ 【解】（1）已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min， 则，即，所以. （2）由题意可知：，， 可得，解得， 所以至少需要等待60min. （3）设水的温度由冷却到，需要， 则，解得， 此时电热水壶开始加热，需要8min加热至，且， 若水的温度由冷却到，可知需要60min， 显然，则， 所以经过98min后，此时壶中水的温度是. 20．（本小题满分18分）对于函数. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)若函数为奇函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求使成立的实数的取值范围. 【解】（1）当时，，所以，所以函数的定义域为， 函数在上单调递增，理由如下： 设，且， ， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以函数在上单调递增； （2）（Ⅰ）因为函数为奇函数，所以，对恒成立， 即对恒成立， 所以， 解得； （Ⅱ）由，可得， 又因为函数为奇函数，所以， 由（1）可知函数在上单调递增， 所以，所以，所以， 解得，所以实数的取值范围. 21．（本小题满分18分）已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. (1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； (2)若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有. 【解】（1）对任意的，且， . 显然有， 所以函数是函数在上的“L函数”； （2）因为函数是函数在上的“L函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 化简得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即，解得； （3）对于，不妨设， （i）当时， 因为函数是函数在上的“L函数”， 所以. 此时成立； （ii）当时，由得， 因为，函数是函数在上的“函数， 所以 ， 此时也成立， 综上，恒成立. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 提升卷·参考答案 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共,54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．或 2． 3．8 4． 5．， 6． 7．2 8． 9． 10． 11．②③④ 12． 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13 14 15 16 C B B C 3、 解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分） 【解】（1）由得， 即，解得， . 由可得， 解得， . （2）由得， 由（1）可得， 解得， 实数a的取值范围是. 18．（本小题满分14分） 【解】（1）因为是幂函数，所以， 即，解得或. 当时，， 此时，则不符合题意； 当时，， 此时，则符合题意. 综上，. （2）由（1）可得，则. 因为与在上都是增函数， 所以在上是增函数. 因为， 所以在上的值域为. 19．（本小题满分14分） 【解】（1）已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min， 则，即，所以. （2）由题意可知：，， 可得，解得， 所以至少需要等待60min. （3）设水的温度由冷却到，需要， 则，解得， 此时电热水壶开始加热，需要8min加热至，且， 若水的温度由冷却到，可知需要60min， 显然，则， 所以经过98min后，此时壶中水的温度是. 20．（本小题满分18分） 【解】（1）当时，，所以，所以函数的定义域为， 函数在上单调递增，理由如下： 设，且， ， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以函数在上单调递增； （2）（Ⅰ）因为函数为奇函数，所以，对恒成立， 即对恒成立， 所以， 解得； （Ⅱ）由，可得， 又因为函数为奇函数，所以， 由（1）可知函数在上单调递增， 所以，所以，所以， 解得，所以实数的取值范围. 21．（本小题满分18分） 【解】（1）对任意的，且， . 显然有， 所以函数是函数在上的“L函数”； （2）因为函数是函数在上的“L函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 化简得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即，解得； （3）对于，不妨设， （i）当时， 因为函数是函数在上的“L函数”， 所以. 此时成立； （ii）当时，由得， 因为，函数是函数在上的“函数， 所以 ， 此时也成立， 综上，恒成立. 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2019必修第一册。 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共,54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，若，则实数 ． 2．函数(且)的图象经过定点 . 3．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是 . 4．不等式的解集为 . 5．已知函数，则函数的解析式是 ． 6．已知函数则 ． 7．化简 8．设，则方程的解集为 9．已知函数在R上单调递减，则实数a的取值范围为 . 10．已知，，，则的最小值为 . 11．已知函数.关于的性质，有以下四个推断： ①的定义域是；    ②是奇函数； ③在区间上单调递增；    ④的值域是. 其中推断正确的是 . 12．设，若有三个不同的零点，则实数的取值范围是 . 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．用反证法证明命题：“对于三个实数a、b、c，若，则或”时，提出的假设正确的是（ ） A．且 B．或 C． D． 14．若a，b都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则实数和分别等于（   ） A．， B．， C．， D．， 16．定义在R上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数x都成立，我们称是R上“m相依函数”．下列关于“m相依函数”的描述正确的是（    ） A．存在唯一的常值函数是“m相依函数” B．是“m相依函数” C．“2025相依函数”至少有一个零点 D．“相依函数”至少有一个零点 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）已知集合，． （1）求集合，； （2）若，求实数的取值范围． 18．（本小题满分14分）已知幂函数，且. (1)求的值； (2)设函数，求在上的值域. 19．（本小题满分14分）把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min. (1)求； (2)小王想喝的温水，发现水的温度为，如果他等待水温自然冷却，至少需要等待多少min？ (3)某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要8min.现该电热水壶中水的温度为，经过98min后，此时壶中水的温度是多少？ 20．（本小题满分18分）对于函数. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)若函数为奇函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求使成立的实数的取值范围. 21．（本小题满分18分）已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. (1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； (2)若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有. 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $