高一数学上学期期末模拟卷（沪教版2019必修第一册，高效培优·强化卷）

2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2019必修第一册。 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共,54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．全集是实数集，则集合，则 . 【答案】 【解析】易知，则. 2．用反证法证明“已知x、且，则x、y中至多有一个大于0”时，应假设 . 【答案】x、y两个都大于0 【解析】依题意，给定命题的结论是：x、y中至多有一个大于0，其否定为：x、y两个都大于0. 3．函数的定义域为 . 【答案】 【解析】因为， 所以，解得， 所以的定义域为. 4．已知幂函数的图象过点，则等于 ． 【答案】/ 【解析】因为函数为幂函数，则， 所以，又函数过点，所以，即，所以，解得， 所以. 5．已知，若，则 . 【答案】/ 【解析】因为， 所以，因为，所以，解得. 6．已知，，化简： . 【答案】 【解析】原式. 7．已知且，则函数的图象经过定点 ． 【答案】 【解析】由题意令得， 此时，则函数的图像经过定点. 8．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】二次函数的对称轴为，因为函数在上具有单调性，则或，解得. 9．函数的最小值是 . 【答案】 【解析】因为（当即时取等号）. 10．已知，若，则 . 【答案】-5 【解析】已知函数，定义域， 解得：或，定义域关于原点对称， 令， 对定义域内的，有 因此是奇函数，已知，则， 由为奇函数得， 所以 11．甲、乙两人同时解关于x的方程，甲写错了常数b，得两根为3及，乙写错了常数c，得两根为及81．则这个方程真正的根为 ． 【答案】27或 【解析】方程可化为，由题意得，故，故，则原方程为，所以或，所以或． 12．设、是两个非空集合，定义与的“差集”为且，若}，，则集合 【答案】 【解析】由有意义得，解得或，即，而， 所以. 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．下列命题中，一定正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【解析】A．当时，，，因此不成立； B．取，此时，但因此不成立； C．若，且，则，即正确； D．若，，则，因此不成立． 故选：C． 14．已知，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为时，得，故，即可以推出， 又时，得或，取，，满足，但不满足， 即推不出，故“”是“”的充分不必要条件， 故选：B. 15．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（    ）    A．  B．  C．  D．   【答案】C 【解析】的图象与x轴的交点的横坐标为方程的两个根， 由可得两根为，又，所以， 由可知，为增函数，又由，得， 所以的图象与y轴的交点在x轴上方，只有C选项满足题意，故选C 16．给定集合和定义域为的函数，如果对于任意、及均成立，则称函数是“关联”的.对于下列两个命题： ①若是“关联”的，则一定是“关联”的（为正整数）； ②若是“关联”的（、为正整数），则一定是“关联”的.判断正确的是（    ） A．①、②都是真命题 B．①、②都是假命题 C．①真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【解析】对命题①：对于集合使，则，而是“封闭”函数，则，即都有， 对于集合使，则， 而 所以 即，故一定是“封闭”函数，所以①是真命题； 对命题②：对于任意，我们估计的范围.一方面，考虑自变量每次增量为，共增了次，则；另一方面，考虑自变量每次增量为，共增了次，则.由此可得，即，即一定是“关联”的，所以②为真命题. 故选：A 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）已知集合 （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【解】（1）， 由，得，得，得， ， 所以. （2），由得，解得. 18．（本小题满分14分）已知､､为正数. （1）若，证明：； （2）若，证明：. 【解】（1）因为，变形得 所以， 当且仅当，即时，等号成立. （2） 当且仅当时等号成立. 当且仅当时等号成立. 所以.当且仅当时等号成立. 19．（本小题满分14分）研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间分钟 0 1 2 3 4 5 水温摄氏度 100 91 82.9 设茶水温度从经过x分钟后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②，；③， (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间精确到，（参考数据：，）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 【解】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则， 即，可得， 所以且； （2）令， 则， 所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为； （3）由，即，所以进行实验时的室温约为 20．（本小题满分18分）已知函数为奇函数，且不为常函数. (1)求的值； (2)若，用定义法证明：在上单调递减； (3)若（2）中的对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解】（1）由为奇函数，则对定义域内的每一个都有， 所以，即，所以， 当时，函数为常函数，与已知矛盾， 所以. （2）由（1）知，， 任取，则， ，则，， ，即所以， 所以函数在上单调递减. （3）对任意的，， 即，得， 记函数，， 则函数在区间上单调递减， 函数在区间上的最大值为， ，因此，实数的取值范围是. 21．（本小题满分18分）设函数的定义域为，对于区间，若满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为．例如，若函数满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为1． (1)求函数，在上的增长系数； (2)若3和4都是函数在上的增长系数，求的取值范围； (3)若函数，在上的增长系数仅为，求的最小值及此时的取值范围． 【解】（1）因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以， 而，所以函数在上的增长系数为1； 因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以， 而，所以函数在上的增长系数为2； （2）， 因为，令，则， 因为3和4都是函数在上的增长系数， 所以， 所以，即，整理得， 因为，所以，所以； （3）令，易知函数在上单调递增， 又在单调递增， 根据复合函数的单调性知函数在上单调递增， ，， 则， 因为函数在上的增长系数仅为， 所以， 则，即， 故， 由题设可得存在唯一的正整数， 且， 所以，解得，故，即的最小值为5， 此时且，即， 所以的最小值为5，此时. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2019必修第一册。 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共,54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．全集是实数集，则集合，则 . 2．用反证法证明“已知x、且，则x、y中至多有一个大于0”时，应假设 . 3．函数的定义域为 . 4．已知幂函数的图象过点，则等于 ． 5．已知，若，则 . 6．已知，，化简： . 7．已知且，则函数的图象经过定点 ． 8．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为 ． 9．函数的最小值是 . 10．已知，若，则 . 11．甲、乙两人同时解关于x的方程，甲写错了常数b，得两根为3及，乙写错了常数c，得两根为及81．则这个方程真正的根为 ． 12．设、是两个非空集合，定义与的“差集”为且，若}，，则集合 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．下列命题中，一定正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 14．已知，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（    ）    A．  B．  C．  D．   16．给定集合和定义域为的函数，如果对于任意、及均成立，则称函数是“关联”的.对于下列两个命题： ①若是“关联”的，则一定是“关联”的（为正整数）； ②若是“关联”的（、为正整数），则一定是“关联”的.判断正确的是（    ） A．①、②都是真命题 B．①、②都是假命题 C．①真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）已知集合 （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 18．（本小题满分14分）已知､､为正数. （1）若，证明：； （2）若，证明：. 19．（本小题满分14分）研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间分钟 0 1 2 3 4 5 水温摄氏度 100 91 82.9 设茶水温度从经过x分钟后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②，；③， (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间精确到，（参考数据：，）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 20．（本小题满分18分）已知函数为奇函数，且不为常函数. (1)求的值； (2)若，用定义法证明：在上单调递减； (3)若（2）中的对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 21．（本小题满分18分）设函数的定义域为，对于区间，若满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为．例如，若函数满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为1． (1)求函数，在上的增长系数； (2)若3和4都是函数在上的增长系数，求的取值范围； (3)若函数，在上的增长系数仅为，求的最小值及此时的取值范围． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 强化卷·参考答案 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共,54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 2．x、y两个都大于0 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9．2 10．-5 11．27或 12． 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13 14 15 16 C B C A 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分） 【解】（1）， 由，得，得，得， ， 所以. （2），由得，解得. 18．（本小题满分14分） 【解】（1）因为，变形得 所以， 当且仅当，即时，等号成立. （2） 当且仅当时等号成立. 当且仅当时等号成立. 所以.当且仅当时等号成立. 19．（本小题满分14分） 【解】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则， 即，可得， 所以且； （2）令， 则， 所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为； （3）由，即，所以进行实验时的室温约为 20．（本小题满分18分） 【解】（1）由为奇函数，则对定义域内的每一个都有， 所以，即，所以， 当时，函数为常函数，与已知矛盾， 所以. （2）由（1）知，， 任取，则， ，则，， ，即所以， 所以函数在上单调递减. （3）对任意的，， 即，得， 记函数，， 则函数在区间上单调递减， 函数在区间上的最大值为， ，因此，实数的取值范围是. 21．（本小题满分18分） 【解】（1）因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以， 而，所以函数在上的增长系数为1； 因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以， 而，所以函数在上的增长系数为2； （2）， 因为，令，则， 因为3和4都是函数在上的增长系数， 所以， 所以，即，整理得， 因为，所以，所以； （3）令，易知函数在上单调递增， 又在单调递增， 根据复合函数的单调性知函数在上单调递增， ，， 则， 因为函数在上的增长系数仅为， 所以， 则，即， 故， 由题设可得存在唯一的正整数， 且， 所以，解得，故，即的最小值为5， 此时且，即， 所以的最小值为5，此时. 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $