专题02 与圆相关7难点综合题（专项训练）数学沪教版五四制九年级下册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02与圆相关7难点综合题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、连半径构造等腰三角形（难点）.1 题型二、遇弦加弦心距（难点）… 13 题型三、遇切线，巧作过切点的半径（难点） …… 21 题型四、圆与三角形、四边形的综合（难点） … 23 题型五、圆与函数的综合（难点)… 40 题型六、动态问题（难点） 47 题型七、圆与几何模型综合（难点） 60 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、连半径构造等腰三角形 1.(24-25九年级下.上海青浦月考)如图，在00中，长度为16cm的弦EF与直径AB交于点D,已知 BD=4cm,且AE=AF. E D B (1)求证：AD⊥EF; (2)求00的半径长. 【详解】(1)证明：连接OE、0F, B :.0E =0F, .AE=AF, 1/123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AB是EF的垂直平分线， :AD⊥EF; (2)解：设半径为rcm, 0D=r-4,0E=r, :AD⊥EF, .DE=IEF=8. 2 0D2+DE2=0E2, ∴(r-4+82=2, 解得：r=10, 故o0的半径长为10cm. 2.(24-25九年级下.上海·月考)已知：⊙0的直径AB=8,⊙B与00相交于点C,D,⊙0的直径CF与⊙ B相交于点E,设OB的半径为x,OE的长为y, E B D (1)如图，当点E在线段0C上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (2)当点E在线段CF上时，如果OE的长为3，求公共弦CD的长； 【详解】(1)解：连接BE, B D :Q0的直径AB=8, 0C=0B=4B=4. 12 BC=BE,OB=OC, ∴∠BEC=∠C=∠CBO. 2/123 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴△BCE∽△OCB, CE-BC CB OC CE =OC-OE=4-y, 4 5y关于x的函数解析式为y=4-x,定义域为0<x≤4： 4 (2)解：作BM⊥CE,垂足为M, B 0 H D :CE是OB的弦， .EM =2CE. 设两圆的公共弦CD与AB相交于H,则AB垂直平分CD .CH=OC·sin∠COB=OB.sin∠COB=BM, 当点E在线段0c上时，BM=CE=oC-0E)=4-到= 1 7 ∴.OM=EM+OE= +3=2' wo-ow--- 2 CD 2CH =2BM =15. 当点E在线段0F上时，EM-CE=0C+0E=4+3到-子 :OM=EM-OE=1-3=1 2 w0-0m---9 ·CD=2CH=2BM=3V7 3.(22-23九年级下.上海·月考)如图，已知⊙0的半径长为3，点A是00上一定点，点P为00上不同 于点A的动点， 3/123 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P A A 图1 图2 图3 ⑩当tanA三时，求AP的长 (2)如果⊙Q过点P、O,且点Q在直线AP上（如图2），设AP=x,QP=y,求y关于x的函数关系式， 并写出函数的定义域； 3)在(2)的条件下，当anA=3时（如图3），存在⊙M与00相内切，同时与⊙0相外切，且OM1Og 4 ,试求⊙M的半径. 【详解】(1)解：如图，作PB⊥OA交A0的延长线于B,连接OP, B O 设PB=a, tanA 1 PB 1 ∴tanA= AB 2' .AB 2a, 0B=AB-0A=2a-3, 由勾股定理可得：OP2=BO2+PB2, .32=2a-32+a2, 解得：4=2或a=0(不符合题意，舍去)， 5 ·AB=2 ,PB= 5 AP=VPB+4B=1215 (2)解：如图，连接OP、00, 4/123 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则A0=P0,PQ=O2, ∠P=∠A,∠P=∠POQ, ∠P=∠POQ=∠A, .△AOP∽△PQO, .OPOp OP AP 9 :⊙0的半径长为3，点A是⊙0上一定点，点P为⊙0上不同于点A的动点， .0<x≤6， 9 y=2(0<x≤6)： (3)解：如图，作0C⊥AP于C, P 3 .tan A=- 设0C=4b,AC=3b, 在RtaA0C中，由勾股定理可得：AC2+OC2=OA2, (4b)2+(3b)2=32, 解得：b=5 3 OC=5,AC=5, 由垂径定理可得：PC=AC=? 5/123 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9 设O0的半径为c,则CQ=QP-PC=c 5' 在Rt△C00中，由勾股定理可得：CQ+0C2=0Q2, 2 =c2, 5 解得：c= 2 设⊙M的半径为r, :⊙M与⊙0相内切，同时与⊙Q相外切， M0=3-r,M0=r+2' 5 在RtAOMO中，由勾股定理可得：MO+OQ=MQ, --+ 9 解得：r= 平0y份平径为号 4.(2025·上海松江·二模)己知AB是半圆0的直径，P是弦AC延长线上一点. D BA B 图1 图2 备用图 (1)联结P0与半圆交于点D. ①如图1，如果点C是弧AB的中点，且amP背PC=25,求PD的长： ②如图2，如果点C是弧AD的中点，且PA=P0,求 PC 的值 PD (2)设M是弦AC的中点，如果以点A为圆心、AP为半径的圆与⊙0相切，以点P为圆心、PM为半径的圆 与直线AB相切，求sin∠PAB的值. 【详解】(1)解：①连接0C,过点0作0E⊥AC于点E,如图， 6/123 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D :AB是半圆O的直径，点C是弧AB的中点， A 0 B ∠A0C=∠B0C=90°， :0A=0C,OE⊥AC, 3.OE-EC-AE-4C04 2 2 设0E=EC=x,则PE=PC+CE-2V2+x, OE 1 '.tan P= -PE-3 x I x+2W53, x=V2, :PE=3√2，0E=√2，OA=√20E=2, P0=VPE2+0E2=25, PD=P0-0D=2N5-2, ②连接OC,CD,BD,如图， D :点C是弧AD的中点， O AC=CD AC CD.ZAOC ZDOC=ZAOD 8-i0n, :∠AOC=LB0C=∠B. :PA=PO, .∠PAO=∠POA, :0A=0C, :ZPAO=Z0CA, .∠0CA=∠POA, 7/123 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠A=∠A, ·△A0C∽△AP0, :ZAOC ZP, ∠p=∠D0C, ÷PC=0C, ∴PC=OC=OA=OD, :四边形ABDC为圆的内接四边形， .∠PCD=∠B, :ZPCD =ZP .PD=CD :AC=PD. 设PC=0C=OA=OD=x,PD=AC=y,则P0=x+y, :△A0C∽△AP0, OA PO AC OC' x=x+y x=l± 2y(负数不合题意，舍去)， x-1+v5 PC 1+5 PD 2: (2)设PM为半径的圆与直线AB相切于点E,连接OM,PE,如图， :点A为圆心、AP为半径的圆与OO相切， A E B :点B为切点， :AP=AB, 设AP=AB=2r,则0A=r, :M是弦AC的中点， 8/123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :OM L AC.AM =MC=AC. :PM为半径的圆与直线AB相切于点E, .PE⊥AB,PE=PM, 在Rt△PMO和Rt△PEO中， PM=PE P0=P0 .Rt△PMO≌Rt△PEO(HL), 0M=0E, 设0M=0E=a, ∠A=∠A,∠AMO=LAEP=90°， :△OAM∽△PAE, OM AM OA r 1 PE AE AP22’ :.OM=PE,AM=TAE, :AE=AC=A0+OE=r+a,PE 2a, ∴.PM=2a, .AM AP-PM =2r-2a, ，、AM三号AC=+a 2， 2r-2a=+a, 2 5 1=30 AP=2=1 30, .sin∠PAB= PE 2a 3 PA 10 5.(2025·上海浦东新·二模)如图1，AB和CD是半径为2的00的两条直径，点P是BA延长线上的一点 连接PC交OO于点E(点E在线段PC上，且不与点P、点C重合)， C B E B A D D 图1 图2 备用图 9/123 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)当PC=P0时，求证：C02=CE.CP; (2)连接DE,交半径OA于点M,已知PA=2. ①连接PD,如图2，当点M是△PCD的重心时，求∠BOC的余弦值； ②连接BD、BE,当BDE为等腰三角形时，求线段PE的长， 【详解】(1)解：连接OE, C B:E0=C0, A D :∠0EC=L0CE, PC=P0, ∠PC0=∠P0C, :Z0EC=Z0CE ZPOC, ∠C=∠C, aPOC∽aOEC, OC_PC CE OC' .C02=CE.CP; (2)解：①过P作PH⊥OD于H, E M B:CD是直径， H D .∠DEC=90°， DE⊥PC, :点M是△PCD的重心， :PE=CE, .PD=DC=4, :PA=2,半径为2， P0=4, :PO=PD,, 10/123 专题02 与圆相关7难点综合题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、连半径构造等腰三角形（难点） 1 题型二、遇弦加弦心距（难点） 4 题型三、遇切线，巧作过切点的半径（难点） 6 题型四、圆与三角形、四边形的综合（难点） 6 题型五、圆与函数的综合（难点） 11 题型六、动态问题（难点） 13 题型七、圆与几何模型综合（难点） 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、连半径构造等腰三角形 1．（24-25九年级下·上海青浦·月考）如图，在中，长度为的弦与直径交于点，已知，且． (1)求证：； (2)求的半径长． 2．（24-25九年级下·上海·月考）已知：⊙的直径，⊙与相交于点，D，⊙的直径与⊙相交于点，设⊙的半径为，的长为， (1)如图，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)当点在线段上时，如果的长为3，求公共弦的长； 3．（22-23九年级下·上海·月考）如图，已知的半径长为3，点A是上一定点，点P为上不同于点A的动点， (1)当时，求的长； (2)如果过点P、O，且点Q在直线上（如图2），设，，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域； (3)在（2）的条件下，当时（如图3），存在与相内切，同时与相外切，且，试求的半径． 4．（2025·上海松江·二模）已知是半圆的直径，是弦延长线上一点． (1)联结与半圆交于点． ①如图1，如果点是弧的中点，且，求的长； ②如图2，如果点是弧的中点，且，求的值． (2)设是弦的中点，如果以点为圆心、为半径的圆与相切，以点为圆心、为半径的圆与直线相切，求的值． 5．（2025·上海浦东新·二模）如图1，和是半径为2的的两条直径，点P是延长线上的一点．连接交于点E（点E在线段上，且不与点P、点C重合）． (1)当时，求证：； (2)连接，交半径于点M，已知． ①连接，如图2，当点M是的重心时，求的余弦值； ②连接、，当为等腰三角形时，求线段的长． 题型二、遇弦加弦心距 6．（24-25九年级下·上海·月考）如图，的外接的半径为5，，点P为BC的中点，以点P为圆心作，若与相切，则的半径为 ． 7．（24-25九年级下·上海·月考）已知弓形的弦长为30，半径为17，那么弓形的高为 ． 8．（24-25九年级下·上海·月考）如图，在梯形中，，，，，，点在边上，以为半径的交边于点，当四边形是一个等腰梯形，且与有公共点时，则的半径长的取值范围是 ． 9．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知在中，是直径，点是的中点，点是弧的中点，点是弧上一点，，过点作，交于点，那么的值是 ． 10．（24-25九年级下·上海·月考）如图，已知点是两个同心圆的圆心，大圆的弦与小圆交于点、． (1)求证：； (2)如果，，大圆面积是小圆面积的倍，求大圆半径的长． 11．（24-25九年级下·上海·月考）如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离），直线型支架与的上端、与台面下方相连，与的下端、接触地面，直线型支架与的上端、与台面下方相连，下端、与、相连，圆弧形支架分别与、在点、相连，且，，，，，，已知，，．    (1)求的长度． (2)所在的圆经过点P、Q时，求所在的圆的圆心到台面之间的距离． 12．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 题型三、遇切线，巧作过切点的半径 13．（2025·上海虹口·二模）如图，在中，，如果以点为圆心的与以边为直径的外切，那么的半径长是 ． 14．（24-25九年级上·上海·自主招生）如图，为的切线，割线交于，交线段于点，，则 ． 题型四、圆与三角形、四边形的综合 15．（2025·上海浦东新·二模）如图，在中，，，点在边上，且是等边三角形，点是对角线上一点．如果经过点且与边没有公共点，那么的半径的取值范围是 ． 16．（2025·上海普陀·三模）如图，在中，，，点D为边上一点，连结，作点B关于的对称点E，连结，延长交于点F，若，则 ． 17．（2025·上海·模拟预测）如图，在⊙O中，直径垂直于弦于点H． (1)联结，求证：； (2)若四边形是菱形，求的值． 18．（2025·上海松江·二模）如图，在△中，，，点在边上，以为圆心，为半径的圆与边交于点，与边相切于点． (1)当时，求的半径长； (2)求的值． 19．（2024·上海·三模）某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆和等边组成，直径，半圆的中点为点，为桌面，半圆与相切于点，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． (1)如图1，，请直接写出的长为______（结果保留根号）； (2)如图2，当时，连接， ①直接写出的度数，并求点C到桌面的距离（结果保留根号） ②当或垂直于时“不倒翁”开始折返，直接写出从滚动到（图2-图3）过程中，点在上移动的距离． 20．（2025·上海普陀·三模）如图，内接于，为直径，在延长线上取一点E，使得，连结，在下方，作，连结交于点D，连结． (1)如图1，若． ①求证：； ②若，，求的长度； (2)如图2，若，时，求证：． 21．（2025·上海青浦·二模）已知：为的直径，，点C在上．联结OC、，过点O作，交于点D． (1)如图，联结，当时，求证：四边形是菱形； (2)作，垂足为E． ①如图，联结、，交半径于点F，当时，求线段的长； ②如图，联结、、，设的面积为，四边形的面积为，如果，求线段的长． 22．（2025·上海崇明·二模）如图，中，，，，过点的直线与边平行，点在射线上，⊙O是以为圆心，为半径的圆． (1)当直线与⊙O相切时，求的长； (2)当直线与⊙O相交时，交点记为点、，且点在点的右边；以为圆心、为半径长作⊙C与⊙O的另一个交点记为． ①若四边形是矩形，求的长； ②若是以为腰的等腰三角形，求的正切值． 23．（2025·上海·模拟预测）在半圆的直径延长线上取一点是半圆的一条弦，过点作的平行线和半圆从右至左交于点． (1)若，取的中点，求证：四边形是菱形； (2)当时，求的长； (3)延长交的延长线于点，作过点的圆交于点．若，且，求的值． 题型五、圆与函数的综合 24．（24-25九年级下·上海·月考）如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当⊙与轴相切时，圆心的坐标为 ． 25．（24-25九年级上·上海·自主招生）已知开口向上的二次函数的顶点为，且与轴交于，两点，与轴交于点，若的外接圆与轴相切，且，则的最小值是 ． 26．（24-25九年级下·上海·月考）如图，已知的圆心在轴上，且经过、两点，抛物线也经过、两点，与轴的交点为，顶点为． (1)求点和的坐标（用含的代数式表示）； (2)连接、，当时，求的正切值； (3)当为何值时，直线与相切？ 27．（24-25九年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，⊙经过点、点（圆心在轴负半轴上），已知，． (1)求点到直线的距离； (2)求直线的解析式； (3)在⊙上是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（2024·上海杨浦·二模）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． (1)如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． (2)如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 题型六、动态问题 29．（2025·上海杨浦·二模）如图，已知线段的长为10，圆A的半径为2，点P是线段上一点，以B为圆心、为半径作圆，将圆B绕点P旋转得到圆C，点C是点B的对应点，如果圆A与圆C相切，那么符合条件的点P的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．（2025·上海·模拟预测）已知矩形 ，，，点是边 上的动点，以为圆心，为半径画圆，将圆沿直线翻折得到圆，如果点恰好在圆与圆的连心线上，那么圆与圆的公共弦的长度为 ． 31．（24-25九年级下·上海·自主招生）如图，以半圆的一条弦（非直径）为对称轴将弧折叠与直径交于点D．若则 ． 32．（2025·上海崇明·二模）如图，在矩形中，与相交于点，点是在直线上方到距离等于3的一个动点，当点在以点为圆心，为半径长的圆上时，的长为 ． 33．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知矩形中，，点在边上，，以为半径作．将矩形翻折，使点落在上，点的对应点为点，折痕与边交于点，如果直线经过点，那么的长为 ． 34．（2025·上海·模拟预测）已知中，，，，点是射线上一点，以点为圆心，为半径的交线段的延长线于点，过点作，和的另一个交点记作点． 连接． (1)若直线和相切，求线段的长． (2)请在答题纸相应位置内，仅用无刻度直尺和圆规作图，使得是等腰三角形（标明每种情况下相等的边），并求出各个情况下的面积． (3)连接． 将沿直线翻折，得到（点对应点为点），若和的一边平行，求的长． 题型七、圆与几何模型综合 35．（24-25九年级下·上海·月考）在中．直径的长为12厘米，是弦的弦心距，与相交于E，那么的长为 厘米 36．（24-25九年级下·上海·月考）如图，已知平行四边形，点为边上的中点，连接，交对角线于点，. (1)求证：； (2)连接，若.求证：平行四边形是矩形. 37．（2025·上海·模拟预测）如图，线段的中点是点，以点为圆心，为半径作，点是上一点（不在直线上），连接、、． (1)求证：． (2)若，求的值． 38．（2025·上海·模拟预测）如图1，等腰是的内接三角形，，连接并延长交于点D，连接、． (1)求证：D是中点； (2)如图2，延长交于E、交于F，其中，． ①求线段的长； ②求的正弦值． 39．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知在中，，点是直线上一点，点是射线上一点，． (1)如图1，当时，求的长； (2)当点在射线上时，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)过点作，交射线于点，如果以为圆心，为半径的圆与以点为圆心，为半径的圆有且只有一个交点，求的长． 40．（2025·上海·模拟预测）已知是的直径，是的弦，是弧的中点（如图），弦与交于点． (1)当为的中点时，求证：； (2)求证：； (3)当时，求的正弦值． 41．（2025·上海虹口·二模）阅读材料： 我们学过有关直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．这条定理的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”也是真命题． 如图，在中，为上的中线，如果，那么．也可以说，在中，如果，那么． 根据上面的阅读材料，完成下列问题：（若需要，可直接运用直角三角形性质定理的逆命题）如图，为半圆的直径，是半圆的弦，以为直径作． (1)如图①，过点作，垂足为． ①求证：； ②已知，如果经过点（如图②），求直线与直线夹角的正弦值； (2)已知与线段相交于点、，，如果，求的长． 42．（2025·上海徐汇·二模）如图，在中，，点是边上的动点，以点为圆心，为半径的圆交边于点．设． (1)当点是边的中点时，求的值； (2)已知点是线段AE的中点（规定：当点与点重合时，点也与点重合），以点为圆心、为半径作 ①当与边有公共点时，求的取值范围； ②如果经过边的中点，求此时与的公共弦长． 43．（2025·上海闵行·二模）如图，在中，直径长为，弦的长为8，点是上一点，过点作的垂线交直线于点． (1)求的正切值． (2)当与相似时，求的长． (3)以点为圆心，长为半径画，试根据线段的长度情况探究和的位置关系． 44．（24-25九年级下·上海普陀·月考）如图-1，已知扇形的半径为，点是上动点，点是中点，与交于点，点为线段上一点，且，射线交半径于点，设． (1)如图-2，当时，求证：； (2)求的正切值（用关于的代数式表示）； (3)当为以为腰的等腰三角形时，求的值． 45．（2025·上海·二模）如图，已知与相交于A、B两点，的半径长为2，的半径长为3，如果的圆心在上，那么公共弦的长为 ． 46．（2025·上海·模拟预测）如图，已知，是正六边形的两条对角线，点，分别为线段，上的点，且有，，若，，三点共线，则 ． 47．（2025·上海杨浦·二模）如图，已知中，，，，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一点，连接，点E是的中点，连接，那么长度的取值范围是 ． 48．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，第6题中我们通过小怡和小瑶两位同学了解到了三角形的一些性质． 6．如图，小怡和小瑶在研究三角形的性质时分别画出了等腰点是线段的一个动点，，连接，作边上的高，他们分别对各自的图进行了说理和证明，则下列说法正确的有 小怡：我以点为圆心，为半径画弧，交线段于点，延长，作和交延长线于一点．①点到点的距离是线段；②四边形是菱形． 小瑶：我过点作；分别延长和交于点．③若，则；④若；以点和点为圆心的等圆外切于点，则． (1)如图（小怡）作图并证明四边形是否是菱形；若是请给出理由，若不是则证明形状并给出理由； (2)如图（小瑶）若，；求证． 49．（22-23九年级下·上海·月考）已知是半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点（不与点A、P重合），连接，以直线为对称轴翻折，将点O的对称点记为，射线交半圆O于点B，连接． (1)如图，当点B与点重合时，求证： (2)过点作射线的垂线，垂足为，连接交于．当，时，求的值． 50．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，、、、四点内接于圆，且对角线与垂直，满足． (1)求证：； (2)过点作于，求证： 51．（2025·上海金山·模拟预测）已知：和相交于、两点，线段的延长线交于点，、的延长线分别交于点、． (1)、，、分别与连心线相交于点、点．如图1，求证：； (2)如图2，已知，当点与重合，的半径为4时，求的半径． 52．（2024·上海·三模）如图，已知圆O是正六边形外接圆，直径，点G、H分别在射线上（点G不与点C、D重合），且，设． (1)如图①，当直线经过弧的中点Q时，求：的正弦值； (2)如图②，当点G在边上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)连接，如果与相似，求的长． 53．（2025·上海金山·二模）已知：矩形的对角线与以为圆心为半径的圆弧相交于点，过点作的垂线分别与直线、、交于点、、． (1)当点在边延长线上时，如图所示． ①联结，与交于点，求证：； ②若，求的比值； (2)联结，若为等腰三角形，求的值． 54．（2025·上海·二模）已知在中，，是边上的中线．以点B为圆心，为半径的圆交线段于点E（点E不与点C、点D不重合）． (1)如图1，如果与边交于点F，，求的度数； (2)如图2，当时，求的正切值； (3)如图3，以点E为圆心，为半径的与相交，其中一个交点P在边上．如果，求的长． 55．（2025·上海嘉定·二模）为的内接等腰三角形，．连接并延长，交于点，交于点，过点作，垂足为点（点不与点重合）． (1)如图1，如果，求的大小； (2)如图2，连接，如果，，求关于的函数解析式（不用写自变量的取值范围）； (3)如果点是线段的黄金分割点，求的值． 56．（2025·上海宝山·二模）如图，已知梯形，，，以点为圆心、为半径画弧，与分别交于点，且．                          (1)如果设，，求的长； (2)求的值； (3)如果是弧的中点，求的值． 57．（24-25九年级下·上海·月考）如图，已知在等腰中，，，，垂足为F，点D是边上一点（不与A，B重合） (1)求边的长； (2)如图2，延长交的延长线于点G，如果直线与的外接圆相切，求线段的长； (3)过点D作，垂足为E，交于点Q，连接，如果为等腰三角形，直接写出线段的长. 58．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，是斜边上的中线．分别作和的外接圆、，连接、． (1)求证：． (2)当时，连接，交弦于点．假设圆和弦有交点和． ①若点和点重合，画出对应的图形，并且求和周长的比值． ②如图，令和交于点，连接，若，求的值． 59．（2024·上海闵行·二模）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动． 活动一：如图1，展示了一种用尺规作的内接正六边形的方法． ①在上任取一点，以为圆心、为半径作弧，在上截得一点； ②以为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、； ③顺次连接、、、、、． (1)根据正多边形的定义，我们只需要证明__________，________ （请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形是正六边形． 活动二：如图2，展示了一种用尺规作的内接正五边形的方法． ①作的两条互相垂直的直径和； ②取半径的中点；再以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点． 如此连续截取3次，依次得分点、、，顺次连接、、、、，那么五边形是正五边形． (2)已知的半径为2，求边的长，并证明五边形是正五边形． （参考数据：，，，，．） 60．（2025·上海杨浦·二模）已知圆O的直径上有一点C（不与A、B重合），，过点C作弦，点F是弧的中点，连接，交于点G． (1)如图1，当点G与点O重合时，求的长； (2)如图2，连接，当时，求的值； (3)设，，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 61．（上海市黄浦区2025年九年级学业水平考试模拟考数学试题）已知，在中，，是边上一动点，联结．点在线段上，且，以点为圆心，为半径作，交边于点． (1)当点与点重合时，判断与边的位置关系并说明理由； (2)已知点在上，且，与边交于点，当经过圆心时（如图），求的值； (3)过点作，交边于点，当与线段只有一个交点时，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $