寒假作业10 一次函数综合（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 一次函数综合 知识点1：一次函数、正比例函数的定义、图象、性质 1.一次函数的概念 一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数. 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数． 2.一次函数的图象及性质 · 正比例函数的图象与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线． k的符号 函数图象 图象的位置 性质 k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大 k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小 · 一次函数的图象与性质 （1）一次函数的图象 一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到； b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度 图象确定 两点确定一条直线，可知画一次函数图象时，只要取两点即可 （2）一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b(k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大 k>0，b<0 一、三、四 k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小 k<0，b<0 二、三、四 （3）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）． ①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． ②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． （4）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直． 知识点2：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系 1．一次函数与一元一次方程的关系 直线y=kx+b与x轴的交点A的横坐标xA就是对应方程kx+b=0的解． 简记：交点的横坐标就是对应方程的解 2．一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式． 从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件． 3．一次函数与二元一次方程组的关系 从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标： 一般地，一次函数与一次函数交点的坐标就是对应方程组的解。 简记：交点的坐标就是对应方程组的解 知识点3：一次函数的实际应用解决实际问题的一般步骤 （1）设定实际问题中的自变量与因变量； （2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数性质解决问题； （5）检验所求解是否符合实际意义； （6）答案． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 一次函数与三角形面积问题综合 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为 (1)求一次函数的解析式； (2)若点在轴上，满足，求点的坐标； (3)若直线与的三边有两个公共点，则的取值范围是______． 2．如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式和、的值； (2)求的面积． 3．如图，已知直线经过点，，与直线相交于点B，且直线交x轴于点C，直线交x轴于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)若在x轴上有一点P，且的面积等于的面积的，求点P的坐标． 题型二 一次函数与全等三角形综合 4．如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点． (1)求，两点的坐标； (2)求点的坐标，并求出直线的函数关系式； (3)若点是图中直线上的一点，连接，得到图，当点的纵坐标为时，求的面积； (4)若点是图1中坐标平面内不同于点、点的一点．当以点，，为顶点的三角形与全等时，直接写出点的坐标． 5．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点. (1)求直线的解析式； (2)作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式； (3)过点作直线与轴相交于点，使与全等，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 6．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，． (1)求直线与的函数解析式． (2)求的面积． (3)如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标． 题型三 一次函数与等腰三角形综合 7．如图1所示，直线：（）与轴正半轴、轴负半轴分别交于、两点． (1)当时，试确定直线解析式； (2)在（1）的条件下，如图所示，设为线段延长线上一点，连结，过、两点分别作于，于，若，求的长； (3)如图3所示，当取不同的值时，点在轴负半轴上运动，以点为直角顶点分别作等腰直角和等腰直角，且点在第三象限，点在第四象限，连接交轴于点，试探究的长是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由． 8．【探索发现】如图1，等腰直角中，，直线经过点，过点作于点．过点作于点，则，我们称这种全等模型为“一线三垂直全等模型”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点． (1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角．直接写出___________，___________，点的坐标___________； (2)如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变化，请说明理由： (3)【拓展应用】如图4，若，点是直线上的动点，点在轴上的坐标为，直线过点且平行于轴，动点在直线上运动，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是___________．（直接写出答案即可） 9．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于点，点是函数图象上的一个动点．点是轴上一点．连结． (1)求函数的关系式． (2)设的面积为，当点在第二象限时，求与的函数关系式． (3)当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标． (4)结合作图的方式判断，能使是等腰三角形的点的位置共有几个？ 题型四 一次函数与直角三角形综合 10．如图，直线交轴于点，交轴于点，点在直线的上方． (1)若，求的值； (2)是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．已知一次函数的图象经过点； (1)若该一次函数的图象还经过点，求该一次函数的表达式； (2)若该一次函数的图象与一次函数的图象相交于点． ①求点的坐标（用含的代数式表示）； ②一次函数的图象与轴交于点，当为直角三角形时，求点的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于两点，C为中点． (1)求直线的解析式； (2)若D为线段上一动点，沿所在直线将翻折到的位置，直线交于点F．当是直角三角形时，求点D的坐标； (3)连接，若直线与直线所夹锐角小于，求k的取值范围． 题型五 一次函数与新定义问题 13．在平面直角坐标系中，对于、两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”；若，则；若，则．例如：如图，点，则． 【理解定义】 （1）若点、，则______． （2）在点、、、中，到坐标原点的“极大距离”是2的点是______．（填写所有正确的字母代号） 【深入探索】 （3）已知点，，为坐标原点，求的值． 【拓展延伸】 （4）经过点的一次函数（、是常数，）的图像上是否存在点，使，为坐标原点，直接写出此时的取值范围． 14．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)两点、中，与原点O的“直角距离”等于1的点是 ； (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点与原点O的“直角距离”，即．则当时，点P的坐标为 ，请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 15．在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于两点．点是直线上的动点，定义：直线为直线关于点的关联直线． (1)当时，直线的关联直线为______； (2)如图1，在直线上求点P，使得； (3)①试证明直线经过定点M，并求出M点的坐标； ②如图2，已知点关于直线的对称点为Q，连接，当时，求点A的坐标． 题型六 一次函数与行程问题综合 16．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车行驶的时间为 ，两车之间的距离为 ，图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系，根据图象解决以下问题． (1)甲，乙两地的距离为 __________ ；慢车的速度为 __________ ． (2)求段的函数解析式．（不用写自变量的取值范围） (3)求当 x 为多少时，两车之间的距离为 ，请通过计算求出 x 的值． 17．已知A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从B地出发驶往A地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程S（千米）与该日下午时间t（时）之间的关系．根据图象回答下列问题： (1)直接写出：甲出发________小时后，乙才开始出发；乙的速度为________千米/时． (2)求甲出发几小时后与乙在途中相遇？（借助一次函数解决） (3)若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为5千米．若乙到达A地后休息半小时原路返回B地，求甲乙两人能够通讯的最大时长． 18．综合与实践 【情境再现】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟从起点同时出发，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，在路边小树处睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟先到达终点． 【图象分析】嘉嘉用x表示兔子和乌龟从起点出发所行的时间，，分别表示兔子和乌龟所行的路程，画出了能大致表示上面故事情节的图象，如图1． （1）根据图1回答下列问题： ①乌龟在这次比赛中的速度是______米/分钟； ②图中线段的实际意义是______； 【故事改编】淇淇对童话故事进行了改编：兔子输了比赛，心里很不服气，它们约定再次赛跑，兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地方）起跑，乌龟、兔子的速度及赛场均和上次一致，它们同时出发，结果兔子先到达了终点，淇淇根据故事情节绘制如图2的图象． （2）图2中，x表示兔子和乌龟所行的时间，，分别表示兔子和乌龟所行的路程， ①求兔子追上乌龟时，它们到小树处的距离； ②兔子到达终点后，将在终点等待乌龟，直接写出当乌龟和兔子相距120米时x的值． 题型七 一次函数与销售问题综合 19．年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题： 若该厂投入元来生产甲、乙两款服装共件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共件，要求甲款服装的数量不低于334件．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 20．小美打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元． (1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？ (2)小美准备买康乃馨和百合共11支，且康乃馨不多于9支，设买康乃馨x支，买这束鲜花所需总费用为w元． ①求w与x之间的函数关系式； ②请你帮小美设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用． 21．某校给在校园科技创新大赛活动中表现优异的同学购置、两种纪念品．经了解甲、乙两家商场相同商品标价相同，两家商场都长期让利出售．其中甲商场所有商品按折出售，乙商场对一次购物超过元后的部分打折． (1)用单位：元表示按原价应支付的购物金额，单位：元表示优惠后的购物金额，请直接写出在两家商场购物超过元时，关于的函数解析式； (2)种纪念品每件标价元，但只有甲商场有货．种纪念品在两商场标价均为每件元．学校一共要购买两种纪念品件，其中种纪念品不超过种纪念品的倍，如何购买才能使所花费用最少，最少费用是多少？ 1．已知一次函数（k为常数，且） (1)若点在一次函数的图象上． ①求k的值． ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 2．如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点．与x轴交于点D，与x轴交于点A，且经过点． (1)求m，k，b的值： (2)根据图像，直接写出的解集． (3)在y轴上是否存在点P，使的面积是面积的？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．【探索发现】如图①，等腰直角三角形中，．直线经过点，过作于点，过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”． 【迁移应用】已知直线与轴、轴分别交于两点． (1)如图（2），当时，在第一象限构造等腰直角三角形． ①________，________； ②点的坐标为________． (2)如图③，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，且．连接的面积是否发生变化？请说明理由． 5．【模型建立】 从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法，如图，等腰直角三角形中，，，经过点，过点作于点，过点作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．模型方法可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题． 【模型应用】 （1）如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、点．将线段绕点顺时针旋转得到线段，直接写出点的坐标（______，______）． （2）如图，一次函数的图像与坐标轴分别交于点、． 过点在轴右侧作，且，连接，求的面积； 当的取值变化时，点随之在轴上运动．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值为______； 【模型拓展】 （3）如图，一次函数与轴、轴分别交于点、．以点为直角顶点，在两侧分别作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，交轴于点，求的长． 6．如图：直线与轴、轴分别交于、两点，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，的面积被直线分成的两部分，求此时点C的坐标； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 7．等腰，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上． (1)如图1，若点、，其中a、c满足条件，求B点的坐标． (2)在（1）的条件下，线段与y轴交于点H，求． (3)如图3，点两点均在x轴上，且，分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 8．八年级数学兴趣小组的同学在一起研究数学问题：已知直线与y轴、x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰，请你参与解决以下问题： (1)如图1，请求出点C的坐标及直线的表达式； (2)求的面积； (3)如图2，直线交 y轴于E，在直线上取一点D，连接，若 ，设的面积为，的面积为，判断与的数量关系，并说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知直线经过点且与直线交于点，直线与y轴交于点C． (1)求直线和直线的表达式； (2)点M是直线上的一个动点，若，请求出点M的坐标； (3)在直线上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．在平面直角坐标系中，对于任意两点，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)已知点，则在这四个点中，与原点O的“直角距离”等于1的点是； (2)如图，已知点，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点P与原点O的“直角距离”．请在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知点是x轴上的一个点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 2．【探索发现】如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【迁移应用】 设直线与轴，轴分别交于，两点． （1）如图2，若，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，点在第一象限． ①直接填写：______，______； ②求点的坐标． （2）如图3，若，过点在轴左侧作，且，连接，当变化时，的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，点在轴负半轴上，，将直线向下平移个单位，点是平移后直线上的动点，是轴上的动点，是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 3．【观察发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点． ①的度数为________． ②，是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是________． （2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式． 【拓展应用】 （3）如图4，点在轴的正半轴上，，是直线上的动点，是轴上的动点．若是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 4．同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事停留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示． (1)求甲、乙两车各自的平均速度； (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？ 5．态度决定一切，细节决定成败，好的习惯非常重要．小明是一个丢三落四的孩子，星期一早晨小明去距家1500米的学校上学，走到距家900米的地方发现忘带语文书，于是借路人的手机给爸爸打电话，打完电话后爸爸立刻从家骑电瓶车出发，小明减速慢行，爸爸在距离学校300米的铁路公园追上了小明（借打电话和沟通时间忽略不计），爸爸把书交给小明后，爸爸以原速原路返回家中，同时小明加快了速度，结果按原定时间到达学校，小明和爸爸距家的路程y（单位：米）与小明出发时间x（单位：分钟）之间的函数图象如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)a的值为 ，爸爸骑车的速度为 ，小明打电话前的速度为 ； (2)求出所在直线的函数解析式； (3)直接写出爸爸出发后多长时间与小明相距500米． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 一次函数综合 知识点1：一次函数、正比例函数的定义、图象、性质 1.一次函数的概念 一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数. 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数． 2.一次函数的图象及性质 · 正比例函数的图象与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线． k的符号 函数图象 图象的位置 性质 k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大 k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小 · 一次函数的图象与性质 （1）一次函数的图象 一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到； b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度 图象确定 两点确定一条直线，可知画一次函数图象时，只要取两点即可 （2）一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b(k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大 k>0，b<0 一、三、四 k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小 k<0，b<0 二、三、四 （3）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）． ①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． ②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． （4）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直． 知识点2：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系 1．一次函数与一元一次方程的关系 直线y=kx+b与x轴的交点A的横坐标xA就是对应方程kx+b=0的解． 简记：交点的横坐标就是对应方程的解 2．一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式． 从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件． 3．一次函数与二元一次方程组的关系 从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标： 一般地，一次函数与一次函数交点的坐标就是对应方程组的解。 简记：交点的坐标就是对应方程组的解 知识点3：一次函数的实际应用解决实际问题的一般步骤 （1）设定实际问题中的自变量与因变量； （2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数性质解决问题； （5）检验所求解是否符合实际意义； （6）答案． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 一次函数与三角形面积问题综合 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为 (1)求一次函数的解析式； (2)若点在轴上，满足，求点的坐标； (3)若直线与的三边有两个公共点，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出、的值，即可求解； （2）根据三角形的面积公式结合，即可求解； （3）由于直线过定点，代入点的坐标，即可求得，若直线与的三边有两个公共点，根据图象即可得到． 【详解】（1）把代入得，， 解得， 点的坐标为 把，点坐标代入得：， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）在中，； 当时，， ， ， ， ， ， 点在轴上， ， ， ， 或； （3）直线经过点， 把点的坐标代入得，， 解得， 若直线与的三边有两个公共点，则，即 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积． 2．如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式和、的值； (2)求的面积． 【答案】(1)的解析式为：，， (2)6 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）设的解析式为：，将，代入求出，进而求出，，将代入即可求出； （2）求出，分别求出的面积和的面积，相减即可． 【详解】（1）解：设的解析式为： ∵经过， ∴将、代入解析式得： ， ∴，， 即的解析式为：， ∵在； ∴， ∴ ∵在， ∴ ∴； （2）解：是与轴的交点， 在中令，则， 得， ∴，，到的距离为2， ∵， ∴，， ∴． 3．如图，已知直线经过点，，与直线相交于点B，且直线交x轴于点C，直线交x轴于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)若在x轴上有一点P，且的面积等于的面积的，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)点坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形，绝对值方程．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）将代入得，，即，待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）将代入，求得，即，将代入，求得，即，根据，设，则，由的面积等于的面积的，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 将，代入得，，解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：将代入得，，解得，，即， 将代入得，，解得，，即， ∴， 设， ∴， ∵的面积等于的面积的， ∴， 解得，或， ∴点坐标为或． 题型二 一次函数与全等三角形综合 4．如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点． (1)求，两点的坐标； (2)求点的坐标，并求出直线的函数关系式； (3)若点是图中直线上的一点，连接，得到图，当点的纵坐标为时，求的面积； (4)若点是图1中坐标平面内不同于点、点的一点．当以点，，为顶点的三角形与全等时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标是，点的坐标是 (2)点的坐标是，直线的解析式是 (3) (4)或或． 【分析】本题主要考查了一次函数综合题、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形解决问题． (1)根据一次函数的解析式求出直线与轴、轴交点的坐标即可； (2)过点作，可证，根据全等三角形的性质求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式； (3)根据点的纵坐标是且在直线上，求出点的坐标，把看作三角形的底边，则三角形的高是点横坐标的绝对值，根据三角形的面积公式求出结果； (4)因为与有一条公共边，根据全等三角形的性质，分情况求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时， 可得：， 点的坐标是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是； （2）解：如下图所示，过点作， 由(1)可知点的坐标是，点的坐标是， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 则有， 解得：， 直线的解析式是； （3）解：点的纵坐标是且在直线上， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 的面积是； （4）解：如下图所示，当点与点关于轴对称时，， 点的坐标是， 点的坐标是； 如下图所示，当，时，过点作， 则有，， 当时， 可得：， 解得：， ， ， 点的坐标是； 如下图所示，当与关于轴对称时，， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或或． 5．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点. (1)求直线的解析式； (2)作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式； (3)过点作直线与轴相交于点，使与全等，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． （1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积为，当时，，可得，解得，即得，再求值直线的解析式；当时，同理可得，待定系数法求出直线的解析式即可； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ， ∴， ， ， ， 把代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积为， 当时，如图： 此时， ， 即， 解得：， 在中，令，则 解得， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴此时直线的解析式为：； 当时，如图： 此时， ， 即， ， 在中，令， 解得， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴此时直线的解析式为：； 综上所述，当的面积被直线分成的两部分时，直线的解析式为或； （3）在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图： ，， ，， 设，则，，， 而， ， 整理得， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时，， ∴， ∴点B为的中点， ∴，， ∴； ②若时，如图： ，， ， 在中，令，则 解得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 6．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，． (1)求直线与的函数解析式． (2)求的面积． (3)如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质．掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解答本题的关键． （1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）分为或两种情况，利用对称性和一次函数的平移解答即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. 设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. （2）解：点，，， ，， . （3）解：分两种情况： ①如图1，当时，，. ， ， ，. 把代入，得， 点. ②如图2，当时，， . 直线的函数解析式为， 直线的函数解析式为. 将与联立，解得 点. 综上所述，点的坐标为或． 题型三 一次函数与等腰三角形综合 7．如图1所示，直线：（）与轴正半轴、轴负半轴分别交于、两点． (1)当时，试确定直线解析式； (2)在（1）的条件下，如图所示，设为线段延长线上一点，连结，过、两点分别作于，于，若，求的长； (3)如图3所示，当取不同的值时，点在轴负半轴上运动，以点为直角顶点分别作等腰直角和等腰直角，且点在第三象限，点在第四象限，连接交轴于点，试探究的长是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，全等三角形，勾股定理的应用；应用数形结合思想，灵活运用掌握的几何性质定理是解题的关键； （1）利用一次函数的性质求出，再结合题意求得值，即可解答； （2）由（1）知，．可证得，则有，．即可求得，进而根据勾股定理，即可求解； （3）过点E作轴于C，则，同理可证，，则，．进一步证得，则有，由（1）知，则，即可知为定长． 【详解】（1）解：由题知，．把代入中，得； 把代入中，得． ∴， ∵点B在y轴负半轴上， ∴．即，． ∵， ∴， ∴． 则直线解析式为． （2）解：由（1）知，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴在中，； （3）解：长为定值．理由如下， 如图，过点E作轴于C， 则， ∵为等腰直角三角形， ∴，． 由（2）同理可证，， ∴，． ∵为等腰直角三角形， ∴，． ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 8．【探索发现】如图1，等腰直角中，，直线经过点，过点作于点．过点作于点，则，我们称这种全等模型为“一线三垂直全等模型”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点． (1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角．直接写出___________，___________，点的坐标___________； (2)如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变化，请说明理由： (3)【拓展应用】如图4，若，点是直线上的动点，点在轴上的坐标为，直线过点且平行于轴，动点在直线上运动，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是___________．（直接写出答案即可） 【答案】(1)4，3， (2)不变，的面积为，理由见详解 (3)或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，平面直角坐标系与图形，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据k值得到直线的解析式，结合材料提示得到，则，由此即可求解； （2）如图所示，过点作轴于点，可得，，由此即可求解； （3）过点作轴于点，过点作轴于点，结合材料，图示，进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：当时，直线的解析式为， 当时，，则， 当时，， 解得，，则， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴结合材料，作轴于点，如图所示， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴； （2）解：不变，的面积为，理由如下， 如图所示，过点作轴于点， 同理，， ∴， ∴， ∴的面积不变，其值为； （3）解：当时，直线的解析式为， 同理，，， 过点作轴于点，过点作轴于点， 同理，可证， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示， 同理，， ∴，则，， 当时，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 9．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于点，点是函数图象上的一个动点．点是轴上一点．连结． (1)求函数的关系式． (2)设的面积为，当点在第二象限时，求与的函数关系式． (3)当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标． (4)结合作图的方式判断，能使是等腰三角形的点的位置共有几个？ 【答案】(1)函数关系式为； (2)与的函数关系式为； (3)点的坐标为； (4)能使是等腰三角形的点的位置共有个． 【分析】本题考查一次函数，等腰三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． （1）代入点的坐标，可得，即可得一次函数的解析式； （2）根据题意可知，点的纵坐标即为点到轴的距离，由，，可得线段的长度，代入三角形的面积公式，即可得与的函数关系式； （3）根据题意结合等腰三角形的性质可知，点的横坐标即为的中点横坐标，代入一次函数解析式，即可得点的纵坐标； （4）根据等腰三角形的定义，作图，即可得能使是等腰三角形的点的位置的个数． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 答：函数关系式为． （2）解：∵点是函数图象在第二象限的一个动点， ∴点的纵坐标为点到轴的距离， ∵点，， ∴， ∴的面积， 答：与的函数关系式为． （3）解：∵是以为底的等腰三角形， ∴取的中点，作，交一次函数的图象于点， ∵点，， ∴点， ∴点的横坐标为， 将代入， 得点的纵坐标为， ∴ 答：点的坐标为． （4）解：如图，，，，为等腰三角形， 答：能使是等腰三角形的点的位置共有个． 题型四 一次函数与直角三角形综合 10．如图，直线交轴于点，交轴于点，点在直线的上方． (1)若，求的值； (2)是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)E的坐标为或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，勾股定理的逆定理等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）过E作轴交于M，用待定系数法求出直线解析式为，可得，，根据，有，即可解得a的值为3； （2）求出，①当为斜边时，，②当为斜边时，，③为斜边时，，分别解方程可得答案． 【详解】（1）解：过E作轴交于M，如图： 设直线解析式为， 把代入得：， 解得， ∴直线解析式为， 令得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴a的值为3； （2）存在点E，使得是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ①当为斜边时，， 解得或， ∵点E在直线的上方， ∴； ②当为斜边时，， 解得， ∴； ③为斜边时，， 解得（舍去）， 综上所述，E的坐标为或． 11．已知一次函数的图象经过点； (1)若该一次函数的图象还经过点，求该一次函数的表达式； (2)若该一次函数的图象与一次函数的图象相交于点． ①求点的坐标（用含的代数式表示）； ②一次函数的图象与轴交于点，当为直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【详解】（1）解：根据题意，得：， 解得， ∴的表达式为； （2）解：①由 得：， ∴， 又，且两个函数相交于点， ∴ ， ∴， ∴， ∴点B坐标为； ②∵ 一次函数与轴交于点， ∴点坐标为， 又点坐标为，点坐标为， 在中，， 同理可得：，， 当为直角三角形时，分三种情况进行分类讨论： 当，得：， 即：， 解得：， 又， ∴ ， ∴点坐标为， 当，得：， 即：， 解得：， 又， ∴， ∴点坐标为， 当，得：， 即：， 解得：， ∴ 该方程无解， 综上所述，当为直角三角形时，点B坐标为或． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于两点，C为中点． (1)求直线的解析式； (2)若D为线段上一动点，沿所在直线将翻折到的位置，直线交于点F．当是直角三角形时，求点D的坐标； (3)连接，若直线与直线所夹锐角小于，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题综合考查了一次函数的解析式求解、图形的翻折变换以及直线夹角问题，涉及到待定系数法、分类讨论思想和方程思想 （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）分，，根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理求解即可； （3）作直线分别与直线所夹锐角为，交轴于点，使得，交于点，设，根据等面积法求得，进而求得直线的解析式为；过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，证明得出，进而求得直线的解析式为，观察函数图象，即可求解． 【详解】（1）设直线的解析式为，代入，得 解得： ∴直线的解析式为； （2）解：∵，C为中点． ∴ ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ①当时，如图所示， ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，沿所在直线将翻折到的位置， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴ 延长交轴于点， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， 设，则 ∵ ∴ 解得：， ∴ ∴ ∴ ②当时，如图所示，过点作轴于点， 同理可得是等腰直角三角形， ∴ 设，则，则， ∴，，，， ∴， 在中，， 在中，， ∵折叠 ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ 解得： ∴， ∴； 综上所述，或； （3）解：如图所示，作直线分别与直线所夹锐角为，交轴于点，使得，交于点， ∴三角形是等腰直角，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， 在中， 在中， 又∵ ∵ ∴， ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴， 设直线的解析式为 代入， ∴ 解得： 直线的解析式为； 过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴即 设直线的解析式为 代入， ∴ 解得： 直线的解析式为； 综上所述，直线与直线所夹锐角小于，则k的取值范围为或． 题型五 一次函数与新定义问题 13．在平面直角坐标系中，对于、两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”；若，则；若，则．例如：如图，点，则． 【理解定义】 （1）若点、，则______． （2）在点、、、中，到坐标原点的“极大距离”是2的点是______．（填写所有正确的字母代号） 【深入探索】 （3）已知点，，为坐标原点，求的值． 【拓展延伸】 （4）经过点的一次函数（、是常数，）的图像上是否存在点，使，为坐标原点，直接写出此时的取值范围． 【答案】（1）；（2）C，D，F；（3）或；（4）或 【分析】（1）“极大距离”定义求解即可． （2）根据“极大距离”定义，分别求出各点到坐标原点的“极大距离”，比较后得出结论； （3）根据“极大距离”定义，列出关于的方程求解即可； （4）根据k的符号，分、两种情形讨论，分别求得k的范围即可． 【详解】（1）解：∵、， ∴横坐标差绝对值∶ 纵坐标差绝对值∶ ∵，即， ∴根据定义∶ 故答案为：4； （2）∵点， ∴横坐标差绝对值∶ 纵坐标差绝对值∶ 因为，所以； ∵点， ∴横坐标差绝对值∶ 纵坐标差绝对值∶ ∵， ∴， ∵点， ∴横坐标差绝对值∶ 纵坐标差绝对值∶ ∵， ∴ ∵点： ∴横坐标差绝对值∶ 纵坐标差绝对值∶ ∵， ∴， 满足“极大距离”是2的点是：C、D、F， 故答案为：C，D，F； （3）设，原点， 横坐标差绝对值：​ ​ 纵坐标差绝对值： 由于​， 显然：， 除非，但此时距离为， 所以恒有， 根据定义，， ​∵， ∴或， 解得：或． （4）将点 代入， 得：， 所以 所以函数为 当时，y随x的增大而增大，如图， 将代入函数， 得， 解得：，符合， 所以当时，如图，存在点，使； 当时，y随x的增大反而减小，如图， 将代入函数， 得， 解得：，符合， 所以当时，如图，存在点，使； 综上，函数与正方形边界有交点（即存在点P使）的条件是： 或， ∴此时的取值范围是或​​． 【点睛】本题考查了写出直角坐标系中点的坐标，求一次函数解析式，一次函数与几何综合，含绝对值的一元一次、二次方程的解法等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 14．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)两点、中，与原点O的“直角距离”等于1的点是 ； (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点与原点O的“直角距离”，即．则当时，点P的坐标为 ，请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)或，见解析； (3) 【分析】本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键． （1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断； （2）根据“直角距离”的定义得，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可； （3）先根据题意可得点C的坐标为，根据，并由（2）可得：点D在正方形边上，如图2，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F的直线，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵点、， ∴， ∴与原点的“直角距离”等于1的点是， 故答案为：； （2）解：设， ∵点与原点的“直角距离”， ∴， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或， 如图1所示， 故答案为：或； （3）解：∵点的坐标为，， 同（2）可得：则点在正方形边上，如图2， ∴，，，， 又∵点在直线， 由图2可知：的最大值是过点的直线，的最小值是过的直线， 把点的坐标代入中，，解得：， 把点的坐标代入中，，解得：， 故的取值范围是：． 15．在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于两点．点是直线上的动点，定义：直线为直线关于点的关联直线． (1)当时，直线的关联直线为______； (2)如图1，在直线上求点P，使得； (3)①试证明直线经过定点M，并求出M点的坐标； ②如图2，已知点关于直线的对称点为Q，连接，当时，求点A的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)①证明见解析，；②或 【分析】（1）利用代入法和关联直线的定义即可解答； （2）如图1，在上取一点E，连接，交直线于点P，使，计算可得，设，则，根据勾股定理可得a的值，利用待定系数法可得直线的解析式为：，联立方程得，即可解答；如图2，与平行时，符合条件，即可解答； （3）①先根据代入法可得，则，过定点M，即当m无论为任何值时， ，即可解答； ②当时，存在两种情况：如图2和图3，过点M作轴于F，过点Q作于点D，连接，设交直线于点G，交y轴于点H，先证明，确定点Q的坐标，根据中点坐标公式可得的中点G的坐标，确定的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：当时，即， ∴直线的关联直线为：； 故答案为：； （2）解：分两种情况： ①如图1，在上取一点E，连接，交直线于点P，使， ∴， 在直线中， 当时， ， 当时， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ②如图2，∵ ， ∴， ∴P点横坐标为3， ∴P点纵坐标为， ∴， 综上，点P的坐标为或； （3）解：①∵点是直线上， ∴， ∴直线， ∴直线经过定点， ∴M点的坐标为； ②当时，存在两种情况： 情况一：如图3，过点M作轴于F，过点Q作于点D，连接，设交直线于点G，交y轴于点H，则， ∵， ∴， ∴， 由对称得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的中点G的坐标为， 设的解析式为， 将，代入得：， 解得， ∴的解析式为：， ∴； 情况二：如图4，过点M作轴于F，过点Q作于点D，连接，设交直线于点G， 同理可得：， ∴， 同理可得， ∴的中点G的坐标为， 同理可得：的解析式为：， ∴； 综上，点A的坐标为或． 题型六 一次函数与行程问题综合 16．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车行驶的时间为 ，两车之间的距离为 ，图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系，根据图象解决以下问题． (1)甲，乙两地的距离为 __________ ；慢车的速度为 __________ ． (2)求段的函数解析式．（不用写自变量的取值范围） (3)求当 x 为多少时，两车之间的距离为 ，请通过计算求出 x 的值． 【答案】(1)720，80； (2) (3)或， 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、时间、速度三者之间的关系，（3）要分相遇前与相遇后两种情况讨论，这也是本题容易出错的地方． （1）由图象可知，甲、乙两地的距离为，再根据慢车走完全程用了9小时，即可求出慢车速度； （2）先求出快车速度，再求出快车到达乙地时慢车离开乙地的距离，可得点，根据待定系数法即可求出解析式； （3）分相遇前相距和相遇后相遇两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲、乙两地的距离为， 慢车走完全程用了9小时， ∴慢车的速度为 故答案为720，80； （2）由图象可知，两车用了3.6小时相遇， ∴快车速度为：， ∴快车达到乙地时时间为（小时）， 此时慢车离开乙地的路程为，即点， 设段的函数解析式为，把点，代入得： ，解得 ∴． （3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为． 即相遇前：， 解得， 相遇后：点， 慢车行驶两车之间的距离为， 慢车行驶需要的时间是， ， 故或，两车之间的距离为． 17．已知A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从B地出发驶往A地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程S（千米）与该日下午时间t（时）之间的关系．根据图象回答下列问题： (1)直接写出：甲出发________小时后，乙才开始出发；乙的速度为________千米/时． (2)求甲出发几小时后与乙在途中相遇？（借助一次函数解决） (3)若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为5千米．若乙到达A地后休息半小时原路返回B地，求甲乙两人能够通讯的最大时长． 【答案】(1)，； (2)甲出发小时后与乙在途中相遇； (3)甲乙两人能够通讯的最大时长为小时. 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解此题的关键． （1）观察图象并根据速度路程时间计算即可得解； （2）求出段的函数关系式为，段对应的函数关系式为，结合当二人相遇时，得，计算即可得解； （3）将二人之间的距离不超过千米的时间段加起来即可． 【详解】（1）解：由图可得：甲出发小时后，乙才开始出发； 乙的速度为千米/时； 故答案为：，； （2）解：设段的函数关系式为， 将，代入解析式可得， 解得， 段的函数关系式为， 同理可得：段对应的函数关系式为， 当二人相遇时，得， 解得， （小时）， 故甲出发小时后与乙在途中相遇； （3）解：乙到达地后休息半小时原路返回地的图象（对应线段），如图所示： ， 二人第一次相遇前，相距千米时，得， 解得； 二人第一次相遇后至乙到达地前，相距千米时，得， 解得：； 由题意可得，当时，二人之间的距离不超过千米，（小时）， 当时，乙休息结束，乙开始返回地， 当时，乙返回地， 乙返回地过程中离地距离为（千米），这个过程中当二人之间的距离不超过千米时，得， 解得：， 由题意可得，当时，二人之间的距离不超过千米，（小时）， （小时）， 故甲乙两人能够通讯的最大时长为小时． 18．综合与实践 【情境再现】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟从起点同时出发，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，在路边小树处睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟先到达终点． 【图象分析】嘉嘉用x表示兔子和乌龟从起点出发所行的时间，，分别表示兔子和乌龟所行的路程，画出了能大致表示上面故事情节的图象，如图1． （1）根据图1回答下列问题： ①乌龟在这次比赛中的速度是______米/分钟； ②图中线段的实际意义是______； 【故事改编】淇淇对童话故事进行了改编：兔子输了比赛，心里很不服气，它们约定再次赛跑，兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地方）起跑，乌龟、兔子的速度及赛场均和上次一致，它们同时出发，结果兔子先到达了终点，淇淇根据故事情节绘制如图2的图象． （2）图2中，x表示兔子和乌龟所行的时间，，分别表示兔子和乌龟所行的路程， ①求兔子追上乌龟时，它们到小树处的距离； ②兔子到达终点后，将在终点等待乌龟，直接写出当乌龟和兔子相距120米时x的值． 【答案】（1）①20；②兔子在距起点400米的地方，睡了40分钟 （2）①400米；②14或26或34 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次方程，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）①用路程除以时间可得乌龟在这次比赛中的平均速度；②根据图象即可得到结论； （2）①根据图像，列出一元一次方程，求解即可；②用含的式子表示兔子和乌龟距起点的路程，然后根据条件列出方程即可． 【详解】解：（1）①由图象可得赛跑的全程是1200米，乌龟花了60分钟， ∴乌龟在这次比赛中的平均速度是米/分钟； ②由图象知，， 即线段的实际意义是兔子在距出发地400米的地方，睡了40分钟； （2）①由（1）得， ， 解得， ∴（米）． 答：兔子追上乌龟时，它们到小树处的距离是400米． ②由图可知，兔子距起点的路程（米）， 乌龟距起点的路程为（米）， ∵乌龟和兔子相距120米， ∴或， 当时， ， ∴， 解得：或； 当时， ， ， 解得：； 综上，当乌龟和兔子相距120米时，或或． 题型七 一次函数与销售问题综合 19．年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题： 若该厂投入元来生产甲、乙两款服装共件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共件，要求甲款服装的数量不低于334件．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件 (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题、一次函数的应用： （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据题中等量关系列出二元一次方程组并求解即可； （2）设生产甲款服装件，设获得的总利润为元，根据题中等量关系，用m表示出W，根据m的范围，结合一次函数的单调性即可求出最值． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，根据题意得，获得的总利润为元， ， ，且为正整数， 当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 20．小美打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元． (1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？ (2)小美准备买康乃馨和百合共11支，且康乃馨不多于9支，设买康乃馨x支，买这束鲜花所需总费用为w元． ①求w与x之间的函数关系式； ②请你帮小美设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用． 【答案】(1)买一支康乃馨需4元，一支百合需5元 (2)①，且为整数；②购买康乃馨9支，百合2支时，购买费用最少，最少费用为46元 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设买一支康乃馨需m元，一支百合需n元，然后由题意可得方程组，进而求解即可； （2）①由题意可直接列出函数关系式；②根据①中函数关系及一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设买一支康乃馨需m元，一支百合需n元，由题意得： ， 解得：； 答：买一支康乃馨需4元，一支百合需5元． （2）解：①由题意得： ， ∵康乃馨不多于9支， ∴且为整数； ②由①可知：， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w有最小值，最小值为； 答：购买康乃馨9支，百合2支时，购买费用最少，最少费用为46元． 21．某校给在校园科技创新大赛活动中表现优异的同学购置、两种纪念品．经了解甲、乙两家商场相同商品标价相同，两家商场都长期让利出售．其中甲商场所有商品按折出售，乙商场对一次购物超过元后的部分打折． (1)用单位：元表示按原价应支付的购物金额，单位：元表示优惠后的购物金额，请直接写出在两家商场购物超过元时，关于的函数解析式； (2)种纪念品每件标价元，但只有甲商场有货．种纪念品在两商场标价均为每件元．学校一共要购买两种纪念品件，其中种纪念品不超过种纪念品的倍，如何购买才能使所花费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)， (2)在甲商场购买件种纪念品、乙商场购买件种纪念品才能使所花费用最少，最少费用是元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用； （1）分别根据两个商场的优惠情况计算即可； （2）设购买种纪念品件，则购买种纪念品，根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，比较购买方案，进而根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时值最小，求出其最小值即可． 【详解】（1）解：，． （2）设购买种纪念品件，则购买种纪念品， 根据题意，得， 解得， 方案一（合并购买）：、两种纪念品均在甲商场购买，总费用为， 方案二（分开购买）：在甲商场购买种纪念品，在乙商场购买种纪念品，总费用为， 当时， ∴当时， 根据题意，则 件种纪念品应全部在乙商场购买， ， 随的增大而增大， ， 当时值最小，， 件． 答：在甲商场购买件种纪念品、乙商场购买件种纪念品才能使所花费用最少，最少费用是元． 1．已知一次函数（k为常数，且） (1)若点在一次函数的图象上． ①求k的值． ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【答案】(1)①；②P的最大值为6； (2)一次函数解析式为或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值； ②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，然后计算自变量为所对应的函数值即可； （2）当时，，，则，当时，，，则，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式． 【详解】（1）解：①把代入得：， 解得； ②当时，， ∴， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，时，P的值最大， 当时，， 即P的最大值为6； （2）解：当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 2．如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)的坐标为或． 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解：由直线可知：令，则， ∴； （2）解：， ∴点与轴的距离是4， ∵， 的面积； （3）解：存在； ∵直线， ∴，， ， ， ， 当点在延长线上时设， ，   ， ， 的横坐标为或10(舍去）， 代入直线得，， 的坐标为， 当点在线段延长线上时，设， ， ， ， 的横坐标为（舍去）或2， 代入直线得，， 的坐标为． 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 3．如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点．与x轴交于点D，与x轴交于点A，且经过点． (1)求m，k，b的值： (2)根据图像，直接写出的解集． (3)在y轴上是否存在点P，使的面积是面积的？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了运用待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式．熟练运用相关知识是解答本题的关键． （1）把点C的坐标代入直线的解析式求出m的值，根据点B、C的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据图像写出直线在直线上方时对应的自变量的范围即可； （3）先求出，根据的面积是面积的，求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵点C在一次函数的图象上， ∴， 解得； ∴， ∵点、在直线上， ∴， 解得：； （2）解：由图像可得，不等式的解集为； （3）解：对于，当时，， 解得，， ∴, 由（1）知，，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， 假设存在点P，使的面积是面积的， ∴, 设点的坐标为， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 4．【探索发现】如图①，等腰直角三角形中，．直线经过点，过作于点，过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”． 【迁移应用】已知直线与轴、轴分别交于两点． (1)如图（2），当时，在第一象限构造等腰直角三角形． ①________，________； ②点的坐标为________． (2)如图③，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，且．连接的面积是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1)①8；6  ② (2)的面积不发生变化．理由见解析 【分析】（1）把代入即得解析式，分别令求出的长，过点作轴于点，利用三角形全等即可求出点的坐标； （2）过点作轴于点．同样利用三角形全等可以得出结论． 【详解】（1）解：（1）①若，则直线． 当时，， ． 当时，， ， ． ②如图②，过点作轴于点， ， ． 是以为直角顶点的等腰直角三角形，． ， ， ， ， ， 点的坐标为． 故：①8  6  （2） （2）解：的面积不发生变化．理由如下： 当变化时，点随之在轴负半轴上运动， ． 如图①，过点作轴于点． ， ． ， ， ， ． ， ， ， ． 故当变化时，的面积不发生变化． 5．【模型建立】 从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法，如图，等腰直角三角形中，，，经过点，过点作于点，过点作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．模型方法可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题． 【模型应用】 （1）如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、点．将线段绕点顺时针旋转得到线段，直接写出点的坐标（______，______）． （2）如图，一次函数的图像与坐标轴分别交于点、． 过点在轴右侧作，且，连接，求的面积； 当的取值变化时，点随之在轴上运动．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值为______； 【模型拓展】 （3）如图，一次函数与轴、轴分别交于点、．以点为直角顶点，在两侧分别作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，交轴于点，求的长． 【答案】（），；（），；（）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，旋转的性质，一次函数与坐标轴的交点，掌握这些知识点的应用，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过点作轴于点，证明，所以，，由一次函数可得，当时，，当时，，所以，，则，，从而得出坐标为； （2）过点作轴于点，同理证明，则，由一次函数可得，当时，，得，所以，然后通过即可求解； 连接，由，当三点共线时，，的值最小，如图，因为，，所以，从而求得长的最小值为； （3）过点作轴于点，因为是等腰直角三角形，所以，，同理可得，所以，，由一次函数可得，当时，，则，再证明，得． 【详解】解：（1）如图，过点作轴于点， ∴， ∴, ∴， 由旋转性质可得：， ∴， ∴，， 由一次函数可得，当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）如图，过点作轴于点， ∴， ∴, ∴， 由旋转性质可得：， ∴， ∴， 由一次函数可得，当时，， ∴， ∴， ∴； 如图，连接， ∵， ∴当三点共线时，，的值最小，如图， ∵，， ∴， ∴长的最小值为， 故答案为：； （3）如图，过点作轴于点， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 同理可得：， ∴，， 由一次函数可得，当时，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 6．如图：直线与轴、轴分别交于、两点，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，的面积被直线分成的两部分，求此时点C的坐标； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，C的坐标为，， 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数与三角形面积的综合应用、全等三角形的判定与性质、一次函数动点问题，分类讨论思想（面积比例的两种分割情况、全等三角形的不同对应情况）： （1）将直线与坐标轴的交点坐标代入一次函数解析式，求解系数和，得到直线表达式． （2）先计算的面积，再根据“面积被分为”的两种比例情况，结合动点在直线上的坐标特征，分别求出点的坐标． （3）根据全等三角形的对应边关系，结合一次函数解析式，分类讨论不同的全等对应情况，筛选出与、不重合的动点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入： 代入得：； 代入得：，解得． 故直线AB的解析式为：； （2）解：的面积为：． 直线OC将其分为两部分，即两部分面积分别为2和4． 设，分两种情况： 情况1： 解得，对应，即． 情况2： ，同理解得，对应，即． 故点C坐标：或； （3）解：是直角三角形（直角在O），边长为， 中，D在y轴上，故是y轴上的线段，需使为直角三角形（与全等），分两种直角位置讨论： 情况1：直角在点（轴） 此时， 则， ∴，， ∵，符合题意， 故； 情况2：直角在点 此时，， 则， 则或． 设，则，解得， 当时，，即，此时应该为， 则，符合题意； 同理，当时，，， 则，符合题意； ∴C为或； 综上所述，满足条件的C点有，，． 7．等腰，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上． (1)如图1，若点、，其中a、c满足条件，求B点的坐标． (2)在（1）的条件下，线段与y轴交于点H，求． (3)如图3，点两点均在x轴上，且，分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)的长度不会发生改变．理由见解答过程；的长度始终是9 【分析】（1）根据得出、，先过点作轴于，再判定，求得，进而得出3，即可得到点的坐标； （2）求出直线的解析式，再求出，即可求解； （3）先过作，交轴于，再，得出，然后根据点，求得，最后判定，得出，即可求得(定值)． 【详解】（1）解：可化为， ， ∵点、， ∴、， ∵， ， ， 过点作轴于，则， 在和中， ， ， ， ， 又∵点在第三象限， ； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴； （3）解：的长度不会发生改变． 理由如下： 如图，过作，交轴于， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 又， ， 即的长度始终是9． 8．八年级数学兴趣小组的同学在一起研究数学问题：已知直线与y轴、x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰，请你参与解决以下问题： (1)如图1，请求出点C的坐标及直线的表达式； (2)求的面积； (3)如图2，直线交 y轴于E，在直线上取一点D，连接，若 ，设的面积为，的面积为，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）如图所示，过点C作轴于点H，首先求出，，然后证明出，得到，，即可得到；然后利用待定系数法求出直线的表达式； （2）利用的面积代数求解即可； （3）首先证明，得到，，然后求出，，然后求出，进而求出，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点C作轴于点H， 当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 设直线的表达式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为； （2）由（1）得，，，， ∴的面积 ； （3）∵， ∴ 又∵， ∴ ∴，， 由（1）知，直线的表达式为， ∴当时，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)点，直线的表达式为：． (2)点E的坐标为或； (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，坐标与图形，一次函数的图象及性质，勾股定理，直角三角形的性质，数形结合和分类求解是解题的关键． （1）当时，，得到点，再由待定系数法即可求解； （2）分时，时两种情况，分别求出点E的坐标； （3）设点的坐标为，根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，即点， ∵直线经过点， ∴， 解得：， 则直线的表达式为：． （2）当中时，，解得 ∴， 当中时，，解得 ∴， 当时，为直角三角形， 此时，则， 故； 当时，为直角三角形，过作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，得， ∴， 综上，点E的坐标为或； （3）存在，理由： 当点P在y轴左侧时， ∵，则， 即， 设， 由点A，P，C的坐标得，，， 得，即点； 当点在y轴右侧时，则与左侧时的点P关于点H对称，故此时 综上，存在，点的坐标为或 10．如图，在平面直角坐标系中，已知直线经过点且与直线交于点，直线与y轴交于点C． (1)求直线和直线的表达式； (2)点M是直线上的一个动点，若，请求出点M的坐标； (3)在直线上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为，直线的解析式为 (2)点M的坐标为或 (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，三角形的面积，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． （1）运用待定系数法，设直线的解析式为，把点，代入，求出k，b的值，得到直线的解析式．设直线的解析式为，把点代入，求出的值，得到直线的解析式． （2）对于直线，令，得到，则．设点M的坐标为，由于，得到点M在线段的延长线或反向延长线上．①当点M在线段的延长线上时，，根据列出方程，求出m的值；②当点M在线段的反向延长线上时，，根据列出方程，求出m的值，即可解答； （3）设，根据两点间距离公式表示出，，，分和两种情况，通过勾股定理构造方程，求解得到p的值，即可解答． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：对于直线，令，则， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵点M是直线上的一个动点， ∴设点M的坐标为， ∵， ∴点M在线段的延长线或反向延长线上． ①如图，当点M在线段的延长线上时，， ∴， ∴． ∴． ②如图，当点M在线段的反向延长线上时，， ∴， ∴． ∴． 综上所述，点M的坐标为或． （3）解：∵点P是直线上的点， ∴设， ∵，， ∴， ， ． ①如图，当时，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴． ②如图，当时，， ∴， 解得， ∴． 综上所述，在直线上存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形是直角三角形，点P的坐标为或． 1．在平面直角坐标系中，对于任意两点，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)已知点，则在这四个点中，与原点O的“直角距离”等于1的点是； (2)如图，已知点，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点P与原点O的“直角距离”．请在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知点是x轴上的一个点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】本题属于新定义与一次函数相结合． （1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断； （2）根据“直角距离”的定义得，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可； （3）根据，并由（2）可得：点D在正方形边上，如图2，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F，M的直线，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵点， ∴，，，， ∴与原点O的“直角距离”等于1的点是，； 故答案为：，； （2）解：设， ∵点P与原点O的“直角距离”， ∴， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 如图1所示， （3）解：由（2）可得：，则点D在正方形边上，如图2， ∴， ∵点D在直线， ∴当时， 即直线过点， 由图2可知：当直线过点E时，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F，M的直线， 把点E的坐标代入中，，， 把点F的坐标代入中，，， 故k的取值范围是：． 2．【探索发现】如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【迁移应用】 设直线与轴，轴分别交于，两点． （1）如图2，若，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，点在第一象限． ①直接填写：______，______； ②求点的坐标． （2）如图3，若，过点在轴左侧作，且，连接，当变化时，的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，点在轴负半轴上，，将直线向下平移个单位，点是平移后直线上的动点，是轴上的动点，是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）①，；②；（2）的面积是定值；理由见解析；（3）或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质、动点求面积问题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．熟练掌握一次函数的图象及性质，构造全等三角形及利用全等三角形的性质是解答本题的关键． （1）①已知，代入可直接写出解析式，分别令，，即可求解；②过点作于点，运用全等三角形的性质证明边长相等，即可求得点坐标； （2）过点作轴于点，运用全等三角形的性质表示出点坐标，再用三角形边长表示出三角形面积，即可判断； （3）分两种情况，平移后的解析式为，当点在轴的下方时，过点作轴于， 由全等三角形的性质证明边长相等，进一步求解即可；当点在轴上方时，同理过点作轴于，同理用全等三角形的性质证明边长相等，进一步求解即可求解． 【详解】（1）①，则直线， 令时，，令时，， ，， ，， 故答案为：，； ②过点作于点， ， ，， ， 又， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）当变化时，的面积是定值，理由如下： 过点作轴于点， 则， ，， ， 又， 在和中， ， ， ， ， 变化时，的面积是定值，且定值为； （3）将直线向下平移个单位，， 平移后的解析式为， ①当点在轴的下方时，过点作轴于， 设，，而， 是以动点为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 解得， 点， ②当点在轴上方时，同理过点作轴于， 同理可得， ，， ， 解得，， 点， 综上，点的坐标为或． 3．【观察发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点． ①的度数为________． ②，是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是________． （2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式． 【拓展应用】 （3）如图4，点在轴的正半轴上，，是直线上的动点，是轴上的动点．若是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）①②8（2）（3）或 【分析】（1）①根据解析式确定，，得到，解答即可． ②根据垂线段最短，得到时，取得最小值，利用三角形全等判定证明，利用勾股定理解答即可． （2）过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E，则四边形为矩形，根据一线三直角全等模型解答即可． （3）分在x轴的上方，下方，结合全等模型解答即可． 【详解】（1）解：①∵直线与轴、轴分别交于，两点． ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． ②解：根据垂线段最短，得到时, 取得最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． （2）解：过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E， 则四边形为矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， ∴，， ∴， ∴， 解得． ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴解析式为． （3）解：当在x轴的上方时，过点P作于点M， 根据题意，得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是直线上的动点， 设， ∴，， 解得， 故； 当在x轴的下方时，过点P作于点N， 同理可证， ∴， ∵，是直线上的动点， 设， ∴，， 解得， 故； 综上所述，所有符合条件的点的坐标或． 4．同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事停留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示． (1)求甲、乙两车各自的平均速度； (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？ 【答案】(1)甲车的平均速度，乙车的平均速度 (2)直线的函数表达式 (3)乙车出发小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为 【分析】本题主要考查数形结合的一次函数的性质，解题的关键是熟悉读懂图形的意义． （1）根据题干可知A，B两地之间的距离为120，为乙车的函数关系，结合坐标点即可求得速度；点为甲车事前停留位置，结合距离即可求得速度； （2）根据题干求得点D和点E的坐标，利用待定系数法即可求得解析式； （3）利用待定系数法求得直线的函数表达式，联立求得交点即为相遇点，进一步求相遇时间和距离即可． 【详解】（1）解：由题意知A，B两地之间的距离为120， 为乙车的函数关系，则， 点为甲车事前停留位置，则， 故甲车的平均速度，乙车的平均速度； （2）解：由图可知点， ∵甲车途中有事保留了0.5小时． ∴点， 设直线的函数表达式，则 ， 解得， ∴直线的函数表达式； （3）解：由图可知点，， 设直线的函数表达式，则 ，解得， ∴直线的函数表达式， 联立， 解得， 则乙车出发小时后两车相遇， 相遇时乙车离A地的距离为． 5．态度决定一切，细节决定成败，好的习惯非常重要．小明是一个丢三落四的孩子，星期一早晨小明去距家1500米的学校上学，走到距家900米的地方发现忘带语文书，于是借路人的手机给爸爸打电话，打完电话后爸爸立刻从家骑电瓶车出发，小明减速慢行，爸爸在距离学校300米的铁路公园追上了小明（借打电话和沟通时间忽略不计），爸爸把书交给小明后，爸爸以原速原路返回家中，同时小明加快了速度，结果按原定时间到达学校，小明和爸爸距家的路程y（单位：米）与小明出发时间x（单位：分钟）之间的函数图象如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)a的值为 ，爸爸骑车的速度为 ，小明打电话前的速度为 ； (2)求出所在直线的函数解析式； (3)直接写出爸爸出发后多长时间与小明相距500米． 【答案】(1)1200，， (2) (3)分钟或分钟 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是正确理解函数图象，求出函数解析式． （1）根据函数图象即可求解； （2）先求出坐标，再由待定系数法求解函数解析式； （3）分两种情况讨论，分别是爸爸和小明相遇前和相遇后，列方程求解即可． 【详解】（1）解：；爸爸骑车的速度为；小明打电话前的速度为， 故答案为：1200，，； （2）解：，， ∴， 设直线， 则， 解得， ∴直线 （3）解：设爸爸出发后分钟与小明相距500米， ①爸爸和小明相遇前： 解得； ②爸爸和小明相遇后： 解得， ∴爸爸出发后分钟或分钟与小明相距500米． 2 / 86 学科网（北京）股份有限公司 $