专题1.7 菱形的性质（举一反三讲义）数学新教材湘教版八年级下册

本讲义聚焦菱形的性质这一核心知识点，系统梳理菱形的定义（有一组邻边相等的平行四边形）、性质（边、角、对角线、对称性）及面积计算方法（底乘高、对角线乘积一半），通过8类典型题型构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以“知识点+题型+变式”设计，涵盖坐标、线段长、角度等8类问题，例题与变式题结合，培养几何直观与推理能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过举一反三巩固知识，提升用数学语言解决问题的应用意识。

专题1.7 菱形的性质（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 【题型1 利用菱形的性质求坐标】 1 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 6 【题型3 利用菱形的性质求角度】 10 【题型4 利用菱形的性质求面积】 13 【题型5 利用菱形的性质求最值】 16 【题型6 菱形中的翻折问题】 21 【题型7 菱形中的证明】 26 【题型8 含60°角的菱形】 32 知识点1 菱形的定义 1. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形． 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若AB=AD，则ABCD是菱形． 知识点2 菱形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边都相等 角 对角相等 ， 对角线 对角线互相垂直平分 ，， 每条对角线平分一组对角 , 对称性 轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线 中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 知识点3 菱形面积的计算 计算方法 符号表示 主要依据 菱形的面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形的面积= 两条对角线 乘积的一半 【题型1 利用菱形的性质求坐标】 【例1】（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为13，点B的坐标是，点D的坐标是，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理．熟练掌握菱形的性质，是解题的关键．连接，可得：与垂直平分，轴，得到轴，利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，交于点，则：与垂直平分， ∵点，， ∴轴，， ∴轴，， ∴， ∵菱形的边长为13，即， ∴， ∴，即， 故选：D． 【变式1-1】（24-25八年级下·河南安阳·期中）边长为5的菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用菱形的性质，先连接对角线，结合勾股定理求出相关线段长度，进而确定点坐标．本题主要考查菱形的性质与勾股定理的应用，熟练握菱形对角线互相垂直且平分、勾股定理是解题的关键． 【详解】解：连接交于点， ∵菱形， ∴，， ． ∵， ∴ ． ∵菱形边长， ∴在中，由勾股定理得 ， ∴ ， ∵点在第四象限， ∴点坐标为 , 故选C． 【变式1-2】（2025·辽宁盘锦·三模）如图，菱形的顶点A、D在直线上，点A在x轴上，点C的坐标为，则点B的坐为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征及菱形的性质． 根据四边形是菱形可知，故可设直线的解析式为，再把点C的坐标为代入求出b的值即可得出此解析式，设出B点坐标，再由即可得出关于a的方程，求出a的值即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴， 设直线的解析式为， ∵点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1-3】（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，菱形顶点O与原点重合，点B在y轴正半轴上，，．现将菱形绕点O顺时针旋转一定角度，使点C移动到点A原来位置，得到菱形，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】过作轴于，由菱形的性质推出，求出，推出旋转后与轴重合，落到处，由含 30 度角的直角三角形的性质得到，由勾股定理求出，求出，即可得到点的坐标． 【详解】解：过作轴于， ∵四边形是菱形， ， ， ∵菱形绕点顺时针旋转，点C移动到点， ∴菱形绕点顺时针旋转， ∴旋转后与轴重合，落到处， ， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转，含 30 度角的直角三角形，勾股定理，关键是含 30 度角的直角三角形的性质得到，由勾股定理求出的长． 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 【例2】（2025·天津红桥·三模）如图，在菱形中，，，为边的中点，连接与相交于点． （1）线段的长为 ； （2）若为的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理等等，熟知菱形的性质是解题的关键． （1）连接，根据菱形的性质可推出，，则可证明是等边三角形，得到，据此解直角三角形即可得到答案； （2）连接，可证明，得到，解得到，再证明，求出，则． 【详解】解：（1）如图所示，连接 ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵为边的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，连接， 由（1）可得是等边三角形，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，四边形是菱形，过点C作，交的延长线于点B，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，先证明，再证明，进一步利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， 故答案为： 【变式2-2】（2025·山东菏泽·二模）如图，菱形中，，，交于点，于点，连接，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 由菱形的性质可得，，再运用勾股定理可得长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（2025·湖南邵阳·一模）如图，活动衣帽架由三个菱形组成，起初按照图①的方式挂在墙上，A、B为钉子所在位置，且；为了增加衣帽架之间的空隙，调整为图②的方式，菱形的边长 ，两颗钉子A、B间的距离增加了 ．（用含根号的式子表示） 【答案】 / 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的判定和性质，解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．由图①的方式，利用锐角三角函数求出正方形的边长，再利用形变但边长不变，结合菱形的性质和锐角三角函数求解即可． 【详解】解：如图①，标记各点，连接， 四边形是菱形，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在中，； 如图②，标记各点，连接、， 四边形是菱形，， ，， ， ， ， ， 两颗钉子A、B间的距离增加了， 故答案为：，． 【题型3 利用菱形的性质求角度】 【例3】（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/54度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意得到是解题的关键． 先证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点O为菱形对角线的交点， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： 【变式3-1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在菱形中，于点E，于点F，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据菱形的性质，等积法得到，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵菱形中，于点E，于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3-2】（2025·贵州·二模）如图①，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②刚好拼出一个如图③所示的平面图形，则图③中的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出的度数是解题的关键． 先求出的度数，再利用菱形的对边平行，平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故选：C． 【变式3-3】（2025·海南·模拟预测）如图，在菱形中，分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，连接．若直线恰好过点A且交CD于点E，连接．则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，由作法得垂直平分，，由菱形，得到，得到为等边三角形，由平行线的性质，即可求解， 【详解】解：如图所示，连接， 由作法得垂直平分， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【题型4 利用菱形的性质求面积】 【例4】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，菱形的周长为16，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的面积计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 根据菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 菱形的周长为16， ， ，， ， 故答案为：． 【变式4-1】（2025·江西南昌·模拟预测）如图，点是菱形对角线上一点，．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接交于O，则，利用勾股定理求出的长，再由三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于O， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（2025·吉林长春·二模）如图，菱形中，对角线与相交于点，按如下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点为，作射线，交于点，连接，若，，则菱形面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查尺规作垂线、菱形的性质、直角三角形的中线性质，根据作图过程得到是解答得关键．先根据菱形的性质，，再由作图过程得，然后利用直角三角形的中线性质得到，进而利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， 由作图过程得， ∴， ∴， ∴，又， ∴菱形面积为． 故答案为：20． 【变式4-3】（2025·河南周口·三模）如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，由菱形的性质可得，，，由直角三角形的性质可得，，由勾股定理求出，即可得出，最后由菱形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 【题型5 利用菱形的性质求最值】 【例5】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，菱形的边长为，，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，勾股定理，知道什么时候会使成为最小值是解本题的关键． 连接，，设交于，连接，，延长，作于，证明只有点运动到点时，取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值． 【详解】解：连接，，设交于，连接，，延长，作于， ∵四边形是菱形， ∴，互相垂直平分， ∴点关于的对称点为， ∴， ∴， 只有当点运动到点时，取等号（两点之间线段最短）， 在中，，， ∴． ∵， ∴，． ∵菱形的边长为，为的中点， ∴，， ∴，， 在中，， ∴的最小值为． 故选：B． 【变式5-1】（2025·陕西西安·模拟预测）菱形中，，点为上一点且，，点为所在直线上一点，连接、，当取得最大值时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系，当点、、在同一条直线上时，最大，根据可得，利用勾股定理可以求出的最大长度． 【详解】解：如下图所示，连接，交于点，连接， 在中，， 当点、、在同一条直线上时，最大， 四边形是菱形，， ，，，， ， 是等边三角形，， ，， ，， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短问题．设Q是的中点，连接，先证得，得出，根据点到直线的距离可知当时，最小，然后根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：设Q是的中点，连接， ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴， ∴，即， ∵，M为中点，Q是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵点N在直线上运动， ∴当时，最小， ∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值是为． 故答案为：． 【变式5-3】（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、，由旋转的性质得到，，，，通过证明得到，利用菱形的性质和等边对等角得到，，则有，分析可得点在过点且与夹角为的直线上运动，当时，有最小值，再利用等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、， 由旋转的性质得到，，，， ，即， ， ， 菱形的边长为4， ， ， ， E是的中点， ， ，， ， ， 点在过点且与夹角为的直线上运动， 当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，则， 的最小值为，即的最小值为． 故选：A． 【题型6 菱形中的翻折问题】 【例6】在菱形中，，，M为的中点，N为上一动点（不与点B重合），将沿直线折叠，使点B落在点E处，连接，，当为等腰三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况①当时， 连接， 作于，由菱形的性质得出，求出，， 证明，得出， 证出、、三点共线， 设， 在中， 由勾股定理得出方程，解方程即可；②当时， ， 得到 是等边三角形， 即可解题． 【详解】解：分两种情况： ①当时， 连接， 作于，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，，，∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵为的中点， ∴， 由折叠的性质得： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴、、三点共线， 设则， 在中， 由勾股定理得：， 解得： ，即； ②当时，，此时点与重合，与点重合，如图所示： 则是等边三角形，(含这种情况)； 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、勾股定理、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，注意分类讨论． 【变式6-1】（2025·河南·模拟预测）如图，在菱形中，，E是上一点．将沿折叠后得到，若，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的性质．过点C作交AB的延长线于点G，由，且根据折叠的性质可知，可得．再在菱形ABCD中，，可得出，可得，再求解即可． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点G， ∵，且根据折叠的性质可知， ∴． ∵在菱形中，， ∴， ∴， 在中，． 故答案为：． 【变式6-2】（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）如图，在菱形中，，点M和N分别是和上一点，沿将折叠，点A恰好落在边的中点E上.若，则的长为 . 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、角的直角三角形的性质、折叠性质等知识．过点M作于点F．求出．则，．设，则，，，．根据勾股定理，得，即，解得，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点M作于点F．    ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴，． 设，则，，，． 根据勾股定理，得，即， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式6-3】（2025·广东深圳·三模）如图，在菱形中，是上一点，将菱形沿翻折使点的对应点刚好落在的延长线上，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点G，过点作于点F，根据菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，解答即可． 【详解】解：过点作于点G，过点作于点F， ∵菱形中，是上一点，将菱形沿翻折使点的对应点刚好落在的延长线上， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【题型7 菱形中的证明】 【例7】（2025·江苏南通·二模）如图，E为菱形的对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角； （1）根据菱形的性质，利用证明两三角形全等，即可得到结论； （2）根据全等可得，根据等边对等角得到，即可得到，根据三角形的内角和求出的度数解题即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式7-1】（2025·云南昭通·二模）如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，由菱形的性质可得，再证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：四边形是菱形， ， ，， ． ， ， ． 【变式7-2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）菱形中，，点在上，点直线上，连接、、，． (1)如图1，求证：； (2)①如图2，点在延长线上时，三条线段之间的数量关系为：_________； ②如图3，点在延长线上时，三条线段之间的数量关系为：_________． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先根据菱形的性质，等边三角形的性质和判定，推出，，，即可证明，进而求出． （2）①点在延长线上时，先根据菱形的性质，等边三角形的性质和判定，推出，，，即可证明，进而求出． ②点在延长线上时，先根据菱形的性质，等边三角形的性质和判定，推出，，，即可证明，进而求出． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：①点在延长线上时， 由上可得：， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． ②点在延长线上时， 由上可得：， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式7-3】（2025·山西太原·二模）综合与探究 问题情境：综合探究活动中，老师以菱形为基本图形，添加若干条件后，请同学们就几何元素之间的关系提出问题并解决问题.如图1，已知四边形是菱形，，，点是射线上的一个动点，连接，以为边作等边三角形（点在的右侧），连接． 数学思考： （1）“敏学小组”提出问题：猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由．请你解答； 深入探究： （2）老师在图1的基础上过点作的平行线与的延长线交于点．请你解决同学们提出的新问题： ①“善思小组”提出问题：如图2，若点在线段上，判断线段，与之间的数量关系，并证明你的结论； ②“创新小组”提出问题：若点在射线上运动，连接，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）① ，证 明 见 解 析；②线段的长为或 【分析】（1）根据性质的性质和等边三角形的性质推出，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据菱形的性质可得，由（1）知，得到，可推出，由，可得，得到是等边三角形，推出，得到，结合，即可求解；②过点作于点，求出，，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是菱形， ，， ， ， ， 即， 是等边三角形， ，，即， ， 在和中， ， ， ； （2）①，证明 如 下 ： 四边形是菱形， ，，， ， 由（1）知， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 由（1）知， ， ， ； ②过点作于点， ，， ，， 如图2，当点在线段上时， 设，则，， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 即； 如图3，当点在线段的延长线上时， 设，则，， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 即； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 【题型8 含60°角的菱形】 【例8】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，四边形是菱形，，求： (1)的度数． (2)若，求线段和的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据四边形是菱形，得，，则，即可作答． （2）先根据四边形是菱形，得，，，运用勾股定理算出，然后根据菱形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴； ∵， ∴菱形的面积， ∵，且， ∴菱形的面积， ∴， ∴． 【变式8-1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知：如图，菱形的边长为，点E为的中点，连接，以点E为圆心任意长为半径画弧，交于点，分别以为圆心大于线段一半长为半径画弧，两弧交于点P，射线交于点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的尺规作图、解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题关键． 连接，如图，根据菱形的性质可证是等边三角形，进而得到，勾股定理求出，根据题意可得：是的平分线， 得出，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵菱形的边长为， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴，， ∴， 由题意可得：是的平分线， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式8-2】（2025·江苏·一模）如图，四边形是菱形，，点E是边上一点，且，点F是边上一个动点，以为边作等边，连接．若的长度为d，则d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】在上截取，连接，连接，并延长交于点，连接，过点C作于点，证明为等边三角形，再证明，则，继而确定点G的轨迹是线段，然后解求出，再由勾股定理求出，可得当点与点重合时，最小，当点与点重合时，最大，即可求解． 【详解】解：在上截取，连接，连接，并延长交于点，连接，过点C作于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵等边， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴中，， ∵， ∴点在线段上运动， ∴当点与点重合时，最小为，当点与点重合时，最大为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点，确定点G的轨迹是解题的关键． 【变式8-3】（2025·贵州·模拟预测）综合与探究：如图，在菱形中，，E是射线上一动点，作射线． （1）【操作判断】 如图①，，将射线绕点A逆时针旋转交于点F，根据题意在图①中画出射线，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点E在线段上（不与点B，C重合），将射线绕点A逆时针旋转交于点F，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由： （3）【拓展延伸】 如图③，点E在射线上，将射线绕点A逆时针旋转交射线于点F．若菱形的边长为4，．求的长． 【答案】（1）图见解析，90；（2），见解析；（3）的长为或 【分析】（1）根据作一个角等于已知角画出直线；根据菱形的性质得，结合外角的性质得，即可求得； （2）连接，根据菱形的性质得，进一步得是等边三角形和是等边三角形，可证明，则，即有； （3）∵点E在射线上，需分两种情况讨论：当点E在线段上时，连接，过点A作于点H，由（2）可知是等边三角形，利用勾股定理求得、和，由（2）可知，即可知；当点E在的延长线上时，连接，过点A作于点H，同（3）①可得， 和，，由（2）可知，则． 【详解】解：（1）画出图形如解图， ∵在菱形中，， ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）， 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵点E在射线上，需分两种情况讨论： ①当点E在线段上时，如图，连接，过点A作于点H， 由（2）可知是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（2）可知， ∴； ②当点E在的延长线上时，如图，连接，过点A作于点H， 同（3）①可得， ， ∵， ∴， 由（2）可知， ∴ 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查作一个角等于已知角、菱形的性质、外角的性质、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质和勾股定理．解题的关键是熟悉菱形的性质和分类讨论思想的应用． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.7 菱形的性质（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 【题型1 利用菱形的性质求坐标】 1 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 3 【题型3 利用菱形的性质求角度】 4 【题型4 利用菱形的性质求面积】 5 【题型5 利用菱形的性质求最值】 6 【题型6 菱形中的翻折问题】 7 【题型7 菱形中的证明】 8 【题型8 含60°角的菱形】 9 知识点1 菱形的定义 1. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形． 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若AB=AD，则ABCD是菱形． 知识点2 菱形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边都相等 角 对角相等 ， 对角线 对角线互相垂直平分 ，， 每条对角线平分一组对角 , 对称性 轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线 中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 知识点3 菱形面积的计算 计算方法 符号表示 主要依据 菱形的面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形的面积= 两条对角线 乘积的一半 【题型1 利用菱形的性质求坐标】 【例1】（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为13，点B的坐标是，点D的坐标是，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·河南安阳·期中）边长为5的菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·辽宁盘锦·三模）如图，菱形的顶点A、D在直线上，点A在x轴上，点C的坐标为，则点B的坐为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，菱形顶点O与原点重合，点B在y轴正半轴上，，．现将菱形绕点O顺时针旋转一定角度，使点C移动到点A原来位置，得到菱形，则点D的坐标为 ． 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 【例2】（2025·天津红桥·三模）如图，在菱形中，，，为边的中点，连接与相交于点． （1）线段的长为 ； （2）若为的中点，则线段的长为 ． 【变式2-1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，四边形是菱形，过点C作，交的延长线于点B，若，，则的长为 ． 【变式2-2】（2025·山东菏泽·二模）如图，菱形中，，，交于点，于点，连接，则的长为 ． 【变式2-3】（2025·湖南邵阳·一模）如图，活动衣帽架由三个菱形组成，起初按照图①的方式挂在墙上，A、B为钉子所在位置，且；为了增加衣帽架之间的空隙，调整为图②的方式，菱形的边长 ，两颗钉子A、B间的距离增加了 ．（用含根号的式子表示） 【题型3 利用菱形的性质求角度】 【例3】（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为 ． 【变式3-1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在菱形中，于点E，于点F，连接．若，则的度数为 ． 【变式3-2】（2025·贵州·二模）如图①，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②刚好拼出一个如图③所示的平面图形，则图③中的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·海南·模拟预测）如图，在菱形中，分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，连接．若直线恰好过点A且交CD于点E，连接．则（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用菱形的性质求面积】 【例4】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，菱形的周长为16，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，若，则菱形的面积为 ． 【变式4-1】（2025·江西南昌·模拟预测）如图，点是菱形对角线上一点，．若，则的面积为 ． 【变式4-2】（2025·吉林长春·二模）如图，菱形中，对角线与相交于点，按如下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点为，作射线，交于点，连接，若，，则菱形面积为 ． 【变式4-3】（2025·河南周口·三模）如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，若，则菱形的面积为 ． 【题型5 利用菱形的性质求最值】 【例5】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，菱形的边长为，，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【变式5-1】（2025·陕西西安·模拟预测）菱形中，，点为上一点且，，点为所在直线上一点，连接、，当取得最大值时，的长为 ． 【变式5-2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，的最小值为 ． 【变式5-3】（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型6 菱形中的翻折问题】 【例6】在菱形中，，，M为的中点，N为上一动点（不与点B重合），将沿直线折叠，使点B落在点E处，连接，，当为等腰三角形时，线段的长为 ． 【变式6-1】（2025·河南·模拟预测）如图，在菱形中，，E是上一点．将沿折叠后得到，若，则折痕的长为 ． 【变式6-2】（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）如图，在菱形中，，点M和N分别是和上一点，沿将折叠，点A恰好落在边的中点E上.若，则的长为 . 【变式6-3】（2025·广东深圳·三模）如图，在菱形中，是上一点，将菱形沿翻折使点的对应点刚好落在的延长线上，则折痕的长为 ． 【题型7 菱形中的证明】 【例7】（2025·江苏南通·二模）如图，E为菱形的对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式7-1】（2025·云南昭通·二模）如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为．求证：． 【变式7-2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）菱形中，，点在上，点直线上，连接、、，． (1)如图1，求证：； (2)①如图2，点在延长线上时，三条线段之间的数量关系为：_________； ②如图3，点在延长线上时，三条线段之间的数量关系为：_________． 【变式7-3】（2025·山西太原·二模）综合与探究 问题情境：综合探究活动中，老师以菱形为基本图形，添加若干条件后，请同学们就几何元素之间的关系提出问题并解决问题.如图1，已知四边形是菱形，，，点是射线上的一个动点，连接，以为边作等边三角形（点在的右侧），连接． 数学思考： （1）“敏学小组”提出问题：猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由．请你解答； 深入探究： （2）老师在图1的基础上过点作的平行线与的延长线交于点．请你解决同学们提出的新问题： ①“善思小组”提出问题：如图2，若点在线段上，判断线段，与之间的数量关系，并证明你的结论； ②“创新小组”提出问题：若点在射线上运动，连接，当时，请直接写出线段的长． 【题型8 含60°角的菱形】 【例8】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，四边形是菱形，，求： (1)的度数． (2)若，求线段和的长． 【变式8-1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知：如图，菱形的边长为，点E为的中点，连接，以点E为圆心任意长为半径画弧，交于点，分别以为圆心大于线段一半长为半径画弧，两弧交于点P，射线交于点F，则的长为 ． 【变式8-2】（2025·江苏·一模）如图，四边形是菱形，，点E是边上一点，且，点F是边上一个动点，以为边作等边，连接．若的长度为d，则d的取值范围是 ． 【变式8-3】（2025·贵州·模拟预测）综合与探究：如图，在菱形中，，E是射线上一动点，作射线． （1）【操作判断】 如图①，，将射线绕点A逆时针旋转交于点F，根据题意在图①中画出射线，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点E在线段上（不与点B，C重合），将射线绕点A逆时针旋转交于点F，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由： （3）【拓展延伸】 如图③，点E在射线上，将射线绕点A逆时针旋转交射线于点F．若菱形的边长为4，．求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $