专题1.6 矩形的判定（举一反三讲义）数学新教材湘教版八年级下册

本讲义聚焦矩形的判定这一核心知识点，从定义及判定定理出发，通过添加条件判定、证明、求线段长等9大题型构建递进式学习支架，衔接判定与性质的综合应用，形成完整知识脉络。 资料以例题带变式分层设计，覆盖不同难度，培养推理能力与几何直观。如动点形成矩形问题引导学生用数学思维分析动态过程，结合函数图象提升空间观念，课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题1.6 矩形的判定（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 【题型1 添加条件使四边形为矩形】 1 【题型2 证明四边形为矩形】 4 【题型3 利用矩形的性质与判定求线段长】 9 【题型4 利用矩形的性质与判定求角度】 14 【题型5 利用矩形的性质与判定求面积】 17 【题型6 利用矩形的性质与判定求坐标】 23 【题型7 函数图象与矩形的综合】 30 【题型8 动点形成矩形】 34 【题型9 矩形的存在性问题】 40 知识点 矩形的判定 【题型1 添加条件使四边形为矩形】 【例1】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，过四边形的四个顶点分别作对角线、的平行线，若所围成的四边形是矩形时，原四边形必须满足的条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的判定，平行公理及推论等知识点，能证出四边形为平行四边形和是解此题的关键， 由平行公理的推论求出，，推出平行四边形，证出即可得解． 【详解】解：添加的条件是， ∵，， ∴， 同理， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 平行四边形是矩形， 故选：． 【变式1-1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，下列条件中，能够判定平行四边形为矩形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，由矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，原选项符合题意； 故选：． 【变式1-2】如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 时，四边形ACBD为矩形． 【答案】O是AB的中点 【分析】先证∠OCB=∠OBC，则OC=OB，同理OD=OB，再由OA=OB，证出四边形ACBD是平行四边形，然后证AB=CD，即可得出结论． 【详解】解：添加条件为：O是AB的中点， 理由如下： ∵CDMN， ∴∠OCB=∠CBM， ∵BC平分∠ABM， ∴∠OBC=∠CBM， ∴∠OCB=∠OBC， ∴OC=OB， 同理可证：OB=OD， ∴OB=OC=OD， ∵O是AB的中点， ∴OA=OB， ∴四边形ACBD是平行四边形， ∵CD=OC+OD，AB=OA+OB， ∴AB=CD， ∴平行四边形ACBD是矩形， 故答案为：O是AB的中点． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【变式1-3】如图，点在的边上，．请从以下三个选项中：①，②，③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．你添加的条件是 ．（填序号）    【答案】①（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，有一个角为直角的平行四边形是矩形，证明即可． 【详解】解：当时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是矩形， 故答案为：①． 【题型2 证明四边形为矩形】 【例2】（2025·北京海淀·二模）如图，在中，，于点，点在上，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点在线段的垂直平分线上，且，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，再证明．则．即可证明四边形是平行四边形； （2）证明是直角三角形，．即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）证明：， ． ， ． ， ． ． 四边形是平行四边形． （2）点在线段的垂直平分线上， ． ， ． 是直角三角形，． 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，证明四边形是平行四边形是关键． 【变式2-1】（2025·河南郑州·二模）如图，，为角内部一条线段． (1)如图2，小鑫同学已过点D作． 小鑫的作法利用尺规作图完成，请你根据题意提供的两种作法，并补充完整理论依据． 作法一：利用尺规作图，作，理论依据：__________________； 作法二：利用尺规作图，过点D作_________，理论依据：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． (2)在小鑫的作法基础上，利用尺规作图，在上找一点A，使得四边形为矩形，（保留作图痕迹，不写做法）提供两种作法． 【答案】(1)内错角相等，两直线平行；，垂足为点C (2)见解析 【分析】本题主要考查复杂作图，平行线的判定，矩形的判定，正确作图是解答本题的关键． （1）根据作法写出依据和补全作法即可； （2）依据矩形的判断作图即可． 【详解】（1）解：作法一：利用尺规作图，作，理论依据：内错角相等，两直线平行； 作法二：利用尺规作图，过点D作，垂足为点C，理论依据：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行；，垂足为点C （2）解：作法1：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则四边形是矩形． 作法2：以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则四边形是矩形． 【变式2-2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F． (1)求证：． (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质与判定，三线合一定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义等等，熟知矩形的判定定理，平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形对边平行且相等可证明，，，再由角平分线的定义可证明，据此利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再证明，进而可证明四边形是平行四边形，再由三线合一定理证明，即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 同理可得， ∵平分，平分， ，， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，平分， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式2-3】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形中，相交于点O，E，F分别是中点． (1)求证：； (2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到； （2）根据平行四边形的性质得到，，求得，推出四边形是平行四边形，得到，根据矩形的判定定理得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E，F分别是中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：四边形是矩形， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵． ∴， ∴四边形是矩形 【题型3 利用矩形的性质与判定求线段长】 【例3】如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（    ） A．3 B．2.4 C．4 D．2.5 【答案】B 【分析】连接，求出的长度，根据矩形的性质，求的最小值，即求的最小值，当时，最小，根据三角形的面积公式即可求出的长，即可求解 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形 ∴， 由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小， 此时， 即 ∴ ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【变式3-1】（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，等腰三角形中， ，于点D，于点E，，若，，则 ． 【答案】 【分析】证明，求解，可得，，，如图，过作于，而，，证明四边形为矩形，再进一步求解即可． 【详解】解：∵于点D，于点E， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 如图，过作于，而，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是化为最简二次根式，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【变式3-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，四边形ADCB中，，，，则B，D两点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】过A作延长线于F，过B作延长线于E，于H，证明四边形是矩形得到，；再证明、是等腰直角三角形求得，，；证明，推出，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过A作延长线于F，过B作延长线于E，于H， 则， ∴四边形是矩形， ∴，； ∵， ∴、是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解答的关键． 【变式3-3】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，将矩形的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，则矩形的周长为（  ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】由翻折的规律证明四边形是矩形及，再由矩形的性质结合已知条件求出的长度，即可求出的长度，由折叠性质证明，求得，最后由矩形的周长公式求得周长便可．本题考查了翻折变换，矩形的判定与性质，掌握翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等积法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵将矩形的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形， ∴ ∴ ∵， ∴ 同理，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ 由折叠知， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴矩形的周长 故选：C． 【题型4 利用矩形的性质与判定求角度】 【例4】如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．    【答案】60 【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：60． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 【变式4-1】如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 【变式4-2】如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝ 度． 【答案】44 【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OB=OC， ∴∠ACB=∠OBC=23° ， ∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC ， ∴∠DBE=44° ． 故答案为：44 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键． 【变式4-3】如图，为中的一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行可得，再根据平行于同一直线的两直线平行可得，然后求出四边形是平行四边形，再求出，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）根据矩形的对角线互相平分可得，然后求出，根据等边对等角的性质可得，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后整理即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：．理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角的性质，两直线平行，同位角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【题型5 利用矩形的性质与判定求面积】 【例5】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的边长为，点从点出发沿着线段向点运动（不与点，重合），同时点从点出发沿着线段向点运动（不与点，重合），点与点的运动速度相同．与相交于点． (1)求证：； (2)若点到直线的距离为，则四边形的面积是______．（直接写出结果，不写解答过程）； (3)当运动到中点时，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相应的知识是解题的关键． （）证明得出则可得出结论； （）过点作于点，交于点，求出，由（）得，，得出，由三角形面积可得出答案； （）延长交的延长线于点，证明，得出，由直角三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：由题意可知， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由 （） 得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积是， 故答案为：； （3）证明：延长交的延长线于点， 由题意知：当点运动到中点时，点运动到中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（） 知， ∴在中，， ∵， ∴． 【变式5-1】（24-25八年级下·重庆江津·期中）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于点E、F，连接．若，，则图中的面积为 ，阴影部分的面积为 ． 【答案】 21 【分析】本题考查矩形的判定和性质、三角形的面积.由矩形的判定和性质得到，，，，，即可得到，计算即可. 【详解】解：作于M，交于N，如图，    则四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴， ∴，，，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：；21． 【变式5-2】（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为 ； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是 ． 【答案】 12 【分析】本题主要查了直角三角形斜边的性质，勾股定理，矩形的判定和性质． （1）根据直角三角形斜边的性质，即可求解； （2）过点M作于点N，由（1）得：，可得到，再由勾股定理可得的长，再证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】解∶（1）∵，是的中点， ∴， ∴． 故答案为： （2）如图，过点M作于点N， 由（1）得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵和是两个全等的共斜边的直角三角形，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 故答案为：12 【变式5-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，与三角形的高有关的计算： （1）证明，得到，进而求出即可； （2）证明四边形为矩形，根据同底三角形的面积比等于底边比，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上：满足条件的三角形有，，，． 【题型6 利用矩形的性质与判定求坐标】 【例6】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知的顶点分别在直线：和上，是坐标原点，当对角线的长最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形，矩形的判定和性质，勾股定理，设直线与交于，与轴交于点，直线与交于点，与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点，可证，得到，进而由四边形为矩形得，即得，得到，可知当最小时，即点在轴上，取得最小值，据此即可求解，利用平行四边形的性质，构造全等三角形，得出长度为定值是解题的关键． 【详解】解：设直线与交于，与轴交于点，直线与交于点，与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点，如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵直线与直线均垂直于x轴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时，即点在轴上，取得最小值，最小值为， ∴此时点的坐标为， 故答案为：． 【变式6-1】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，，点D，E分别是线段上一点，连接．若，，则点E的坐标为 【答案】/ 【分析】过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，证明，进而求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点， ∵矩形， ∴轴，，， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为：，则：，解得：， ∴， ∵， ∴， 当时，； ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形是解题的关键． 【变式6-2】已知：如图，直角三角形在平面直角坐标系中，点B是直角顶点，顶点A、C分别在y轴和x轴上，直角边、分别平行于x轴和y轴，并且、的长满足：，且A点坐标．把沿对折，点B落在点处，那么点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据题意证明四边形为矩形，结合勾股定理和矩形性质得到，取为的中点，连接，作轴于点，由轴对称性质可知，，，，，结合直角三角形性质证明为等边三角形，，进而得到，再利用直角三角形性质和勾股定理得到，，即可解题． 【详解】解：由题知， 直角边、分别平行于x轴和y轴， 四边形为矩形， A点坐标． ， ， ， ， 取为的中点，连接，作轴于点， 由轴对称性质可知，，，，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形性质，等边三角形性质和判定，直角三角形性质，勾股定理，坐标与图形，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 【变式6-3】如图，长方形在平面直角坐标体系中，点、分别在轴、轴的正半轴上，，．若、上分别有点、，满足，，点则点的坐标为         【答案】/ 【分析】过点D作，交于点F，过点F作，交于点N，交y轴于点M，证明，得出，，即可得出，求出直线的解析式为，把代入得：求出即可得出点E的坐标． 【详解】解：过点D作，交于点F，过点F作，交于点N，交y轴于点M，如图所示： 则， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 同理可得：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得： ， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点E的坐标是 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质． 【题型7 函数图象与矩形的综合】 【例7】（24-25八年级下·重庆·期中）如图①，四边形中，，，点从点出发，沿折线运动，到点时停止，已知的面积与点运动的路程的函数图象如图②所示，则点从开始到停止运动的总路程为（    ） A．10 B． C．12 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，动点问题的函数图象、勾股定理，解本题的关键在理解题意，能从函数图象中找到准确的信息，利用数形结合思想进行解答． 过点C作于点E，根据函数图象，得出和三角形的面积，从而可以求得的长，再根据题意，得出四边形是矩形，得出、的长，再根据勾股定理，得出的长，进而求得点P从开始到停止运动的总路程． 【详解】解：如图，过点C作于点E， 由图②可知，点P从A到B运动的路程是3，即；当点P与点B重合时，的面积是，由B到C运动的路程为3，即， ∴， 解得：， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴点P从开始到停止运动的总路程为：． 故选：D． 【变式7-1】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图1，四边形中，，，．动点P从点B出发沿折线方向以1单位／秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图2所示，①；②，③．则正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了动点与函数图象，涉及到分类讨论的思想、函数的知识和等腰三角形，具有很强的综合性．根据图1和图2得当时，点到达处，即；当时，点到达点处，即可求解． 【详解】解：当时，点到达处，即，故①正确； 过点作交于点，则四边形为矩形， ，， ，故②正确； 当时，点到达点处，则， 则，故③正确； 故选：B． 【变式7-2】如图1，五边形ABCDE中，∠A=90°，ABDE，AEBC，点F，G分别是BC，AE的中点，动点P以每秒3cm的速度在五边形ABCDE的边上运动，运动路径为F→C→D→E→G，相应的△ABP的面积（）关于运动时间（s）的函数图象如图2所示．若AB=15cm，则图2中的值为 ． 【答案】17 【分析】观察函数图象得到点P在FC上运动的时间为4s，在CD上运动的时间为5s，在DE上运动的时间为2s，根据路程＝速度×时间即可计算出FC＝12，CD＝15，DE＝6，利用F点为BC的中点，即可得到BC＝24；设BC和ED的延长线交于H，证明四边形ABHE为矩形，则BH＝AE，EH＝AB＝15，求出DH＝9，在Rt△CDH中，根据勾股定理计算出CH，则可得BH和EG的长，然后可计算出点P从E点运动到G点所需时间为6s，于是得到a＝17． 【详解】解：根据函数图象得FC＝4×3＝12cm，CD＝（9−4）×3＝15cm，DE＝（11−9）×3＝6cm， ∵F点为BC的中点， ∴BC＝2FC＝24cm， 设BC和ED的延长线交于点H，如图， ∵五边形ABCDE中，∠A＝90°，ABDE，AEBC， ∴四边形ABHE为矩形， ∴BH＝AE，EH＝AB＝15cm， ∴DH＝EH−ED＝9cm， 在Rt△CDH中，CH＝＝12cm， ∴BH＝BC＋CH＝36cm， ∴AE＝36cm， ∵G为AE的中点， ∴EG＝18cm， ∴点P从E点运动到G点所需时间为＝6s， ∴a＝11＋6＝17， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，动点问题的函数图象，把几何图形中的量与函数图象中的量对应起来，利用几何的性质求解． 【变式7-3】如图，在中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，过点C作于D，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，进而利用等面积法求出，则可利用勾股定理求出；再证明四边形是矩形，得到，故当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，则点E的坐标为． 【详解】解：如图所示，过点C作于D，连接， ∵在中，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，即最小， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，， ∴点E的坐标为， 故选C．      【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型8 动点形成矩形】 【例8】如图．在四边形中，，，，．．点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度在线段上来回运动，当点P当到达点D时，两点停止运动．在此运动过程中，出现和的次数分别是(　　) A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，根据题意分别求得和的情形，分类讨论，即可求解． 【详解】解：设点P的运动时间为t， ∵，点P从点A出发，以的速度向点D运动，当点P当到达点D时，P、Q两点停止运动． ∴秒，，则， ∵，点Q从点C同时出发，以的速度在线段上来回运动， ∴， 当时，则四边形是平行四边形， ∴， 当时，点Q从C到B运动，， ∴，解得：， 当时，点Q从B到C运动，， ∴， 解得：， 当时，点Q从C到B运动，， ∴，解得：， 当，点Q从B到C运动，， ∴，解得：(舍去)， ∴能出现三次， 如图所示，过点P，D分别作的垂线，垂足分别为F，E， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴中，， 当时， 在中，， ∴， 当时，点Q从C到B运动，， ∴，解得：或， 当时，点Q从B到C运动，， ∴，解得：或， 当时，点Q从C到B运动，， ∴，解得：或， 当，点Q从B到C运动，， ∴，解得：（舍去）或（舍去）， ∴能出现6次， 故选：A． 【变式8-1】如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为 时，P、Q、C、D四点组成矩形． 【答案】2.4s或4s或7.2s 【分析】根据已知可知：点Q将由根据矩形的性质得到AD∥BC，设过了t秒，当AP=BQ时，P、Q、C、D四点组成矩形，在点Q由的过程中，则PA=t，BQ=12-4t，求得t=2.4（s），在点Q由的过程中，t=4（t-3），求得t=4（s），在点Q再由中，t=12-4（t-6），求得t=7.2（s），在点Q再由的过程中，t=4（t-9），t=13（s），故此舍去，从而得到结论． 【详解】解：根据已知可知：点Q由 在点Q第一次到达点B过程中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， 若， 则四边形APQB是矩形，则以P、Q、C、D四点为顶点组成矩形． 设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4t， ∴t=12-4t， ∴t=2.4（s）， 在点Q由的过程中， 设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-3）， t=4（t-3）， 解得：t=4（s）， 在点Q再由过程中， 设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4（t-6）， t=12-4（t-6）， 解得：t=7.2（s）， 在点Q再由的过程中， 设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-9）， t=4（t-9）， 解得：t=13（s）>12(s)，故此舍去． 故答案为：2.4s或4s或7.2s； 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，此题属于动点型题目．解题时要注意数形结合与方程思想的应用． 【变式8-2】如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时，或 D．当时，或 【答案】D 【分析】对于选项A、B，分别计算当与时相应线段的长度结合平行四边形的判定方法判断即可；对于C、D选项，作，垂足分别为E、F，如图，证明，得出，进而得出关于t的方程，解方程判定即可． 【详解】解：当时，，cm，， ∴， ∴四边形不为矩形，故选项A结论错误； 当时，，，cm， ∴， ∴四边形不为平行四边形，故选项B结论错误； 当时，作，垂足分别为E、F，如图， ∵， ∴， ∴四边形，都是矩形， ∴，， ∴当时，，， ∴， ∵， ∴， 解得：或，故选项C错误、选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、善于动中取静是解题的关键． 【变式8-3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过 秒时，四边形是矩形． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题关键．设经过秒时，四边形是矩形，先根据平行四边形的性质可得，，再分两种情况：①和②，证出四边形是平行四边形，根据矩形的判定可得要使平行四边形是矩形，则需，即，由此即可得． 【详解】解：设经过秒时，四边形是矩形， 由题意得：， ∵， ∴点从点运动到点所需时间为秒；当点相遇时，， 解得，此时，点在点相遇， ∵四边形是平行四边形，， ∴． ①如图1，在点相遇前，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； ②如图2，在点相遇后，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； 综上，经过或秒时，四边形是矩形， 故答案为：或． 【题型9 矩形的存在性问题】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点．直线交线段于点，且．    (1)求的值： (2)若点是轴上一点，点为平面上一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形?若存在，请求出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)存在以点，，，为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或 【分析】（1）将点代入求出，把点代入即可求的值； （2）设点，分两种情况：①当为矩形的边时，②当为矩形的对角线时，根据矩形的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点代入 得 点， 把点代入得， ； （2）设点， 直线与轴，轴分别交于、两点，． ，， ①当为矩形的边时，如图，    四边形是矩形， ， 在中，， ，解得， 点， ，， 点的坐标为； ②当为矩形的对角线时，如图2，    四边形是矩形， ， 在中，， ，解得或舍去， 点， ，， 点的坐标为； 综上，存在以点，，，为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、矩形的性质，利用分类讨论的思想解决数学问题是解题的关键． 【变式9-1】如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．    (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)点P为坐标平面内的点，在x轴上是否存在点M，使得四边形是矩形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点代入，可得，再用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据矩形的性质得，设，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵将点代入， ∴ ∴， ∴， 将，代入一次函数的解析式为得：， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：在x轴上存在点M，平面内存在一点P，使得四边形是矩形， 设， ∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，勾股定理等，熟练掌握待定系 数法，矩形的性质是解题的关键． 【变式9-2】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴，轴分别交于点，，两条直线交于点，且点的横坐标为；连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求的面积； (3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为， 【分析】（1）根据题意得出，进而求得的解析式； （2）由，当时，；当时，，可得点，，进而得出，根据三角形的面积公式即可求解． （3）当时，可得，根据，，，即可求解，勾股定理的逆定理可得，进而可得，当时，，则点与点重合，根据矩形的性质以及平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：点在上，点的横坐标为， 当时，， ， 将点和代入中， 得：， 解得． 直线的函数解析式为：； （2）直线与轴，轴分别交于点，， 当时，；当时， 点，， ， ． ，； （3）当时，轴，则的纵坐标为， 将代入，解得：，即， ∵，， ∴ ，，， ∴，，， ∴，即， 则 当时，，则点与点重合， ∵到可以看作向左平移个单位，向上平移个单位， 则点可以看作点向左平移个单位，向上平移个单位，得到 ∴满足条件的点的坐标为，． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式9-3】如图，是直线与坐标轴的交点，直线过点，与轴交于点．    (1)求三点的坐标； (2)点是折线上一动点． ①当点是的中点时，在轴上找一点，使的和最小，求点的坐标． ②若是平面内任意一点，是否存在点，使四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②存在，点的坐标为或 【分析】（1）先利用一次函数图象上点的坐标特点求得点、的坐标；然后把点坐标代入求出的值，确定此函数解析式，然后再求点坐标； （2）①根据轴对称最短路径问题画出点的位置，由待定系数法确定直线的解析式为，易得点的坐标； ②依题意，，分两种情况：当点在上时，当点在上时．当点在上时，由等腰直角三角形的性质求得点的坐标为，；当点在上时，设交轴于点，证与全等，得，点的坐标为，，求得直线的解析式为，与组成方程组，求得交点的坐标为 ， ． 【详解】（1）解：在中， 令，得， 令，得， ∴， 把，代入，得， 直线为： 在中， 令，得， 点的坐标为； （2）①如图，    点是的中点， ∴， 取点关于轴的对称点B1的坐标为，，连接， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得，， 该直线为：， 令，得 ， 点的坐标为． ②存在，点的坐标为或． ∵四边形为矩形， ∴， 1）当点在上时， ， ， 是以为直角的等腰直角三角形， 点的横坐标为， 当时，， 点的坐标为； 2）当点在上时，如图，设交轴于点．    ，， ， 又，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将与代入得， 解得， ， 联立，解得：， 的坐标为． 综上所述：点的坐标为或 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、矩形的性质，解题的关键是灵活运用一次函数的图象与性质以及全等的知识． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 矩形的判定（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 【题型1 添加条件使四边形为矩形】 1 【题型2 证明四边形为矩形】 2 【题型3 利用矩形的性质与判定求线段长】 4 【题型4 利用矩形的性质与判定求角度】 5 【题型5 利用矩形的性质与判定求面积】 6 【题型6 利用矩形的性质与判定求坐标】 7 【题型7 函数图象与矩形的综合】 9 【题型8 动点形成矩形】 10 【题型9 矩形的存在性问题】 11 知识点 矩形的判定 【题型1 添加条件使四边形为矩形】 【例1】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，过四边形的四个顶点分别作对角线、的平行线，若所围成的四边形是矩形时，原四边形必须满足的条件是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，下列条件中，能够判定平行四边形为矩形的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 时，四边形ACBD为矩形． 【变式1-3】如图，点在的边上，．请从以下三个选项中：①，②，③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．你添加的条件是 ．（填序号）    【题型2 证明四边形为矩形】 【例2】（2025·北京海淀·二模）如图，在中，，于点，点在上，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点在线段的垂直平分线上，且，求证：四边形是矩形． 【变式2-1】（2025·河南郑州·二模）如图，，为角内部一条线段． (1)如图2，小鑫同学已过点D作． 小鑫的作法利用尺规作图完成，请你根据题意提供的两种作法，并补充完整理论依据． 作法一：利用尺规作图，作，理论依据：__________________； 作法二：利用尺规作图，过点D作_________，理论依据：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． (2)在小鑫的作法基础上，利用尺规作图，在上找一点A，使得四边形为矩形，（保留作图痕迹，不写做法）提供两种作法． 【变式2-2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F． (1)求证：． (2)若，求证：四边形是矩形． 【变式2-3】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形中，相交于点O，E，F分别是中点． (1)求证：； (2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【题型3 利用矩形的性质与判定求线段长】 【例3】如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（    ） A．3 B．2.4 C．4 D．2.5 【变式3-1】（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，等腰三角形中， ，于点D，于点E，，若，，则 ． 【变式3-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，四边形ADCB中，，，，则B，D两点之间的距离为 ． 【变式3-3】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，将矩形的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，则矩形的周长为（  ） A． B． C． D．8 【题型4 利用矩形的性质与判定求角度】 【例4】如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．    【变式4-1】如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【变式4-2】如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝ 度． 【变式4-3】如图，为中的一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【题型5 利用矩形的性质与判定求面积】 【例5】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的边长为，点从点出发沿着线段向点运动（不与点，重合），同时点从点出发沿着线段向点运动（不与点，重合），点与点的运动速度相同．与相交于点． (1)求证：； (2)若点到直线的距离为，则四边形的面积是______．（直接写出结果，不写解答过程）； (3)当运动到中点时，求证：． 【变式5-1】（24-25八年级下·重庆江津·期中）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于点E、F，连接．若，，则图中的面积为 ，阴影部分的面积为 ． 【变式5-2】（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为 ； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是 ． 【变式5-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 【题型6 利用矩形的性质与判定求坐标】 【例6】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知的顶点分别在直线：和上，是坐标原点，当对角线的长最小时，点的坐标为 ． 【变式6-1】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，，点D，E分别是线段上一点，连接．若，，则点E的坐标为 【变式6-2】已知：如图，直角三角形在平面直角坐标系中，点B是直角顶点，顶点A、C分别在y轴和x轴上，直角边、分别平行于x轴和y轴，并且、的长满足：，且A点坐标．把沿对折，点B落在点处，那么点的坐标是 ． 【变式6-3】如图，长方形在平面直角坐标体系中，点、分别在轴、轴的正半轴上，，．若、上分别有点、，满足，，点则点的坐标为         【题型7 函数图象与矩形的综合】 【例7】（24-25八年级下·重庆·期中）如图①，四边形中，，，点从点出发，沿折线运动，到点时停止，已知的面积与点运动的路程的函数图象如图②所示，则点从开始到停止运动的总路程为（    ） A．10 B． C．12 D．11 【变式7-1】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图1，四边形中，，，．动点P从点B出发沿折线方向以1单位／秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图2所示，①；②，③．则正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 【变式7-2】如图1，五边形ABCDE中，∠A=90°，ABDE，AEBC，点F，G分别是BC，AE的中点，动点P以每秒3cm的速度在五边形ABCDE的边上运动，运动路径为F→C→D→E→G，相应的△ABP的面积（）关于运动时间（s）的函数图象如图2所示．若AB=15cm，则图2中的值为 ． 【变式7-3】如图，在中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【题型8 动点形成矩形】 【例8】如图．在四边形中，，，，．．点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度在线段上来回运动，当点P当到达点D时，两点停止运动．在此运动过程中，出现和的次数分别是(　　) A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7 【变式8-1】如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为 时，P、Q、C、D四点组成矩形． 【变式8-2】如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时，或 D．当时，或 【变式8-3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过 秒时，四边形是矩形． 【题型9 矩形的存在性问题】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点．直线交线段于点，且．    (1)求的值： (2)若点是轴上一点，点为平面上一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形?若存在，请求出点的坐标，若不存在请说明理由． 【变式9-1】如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．    (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)点P为坐标平面内的点，在x轴上是否存在点M，使得四边形是矩形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式9-2】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴，轴分别交于点，，两条直线交于点，且点的横坐标为；连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求的面积； (3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式9-3】如图，是直线与坐标轴的交点，直线过点，与轴交于点．    (1)求三点的坐标； (2)点是折线上一动点． ①当点是的中点时，在轴上找一点，使的和最小，求点的坐标． ②若是平面内任意一点，是否存在点，使四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $