【期末复习】专题03 自由落体竖直上抛运动 追及和相遇问题-高1物理上学期期末备考

该高中物理讲义通过表格梳理考点、图示呈现运动过程，系统构建自由落体、竖直上抛、追及相遇等知识体系，明确规律公式、临界条件等重难点，清晰展现运动模型间的内在联系。 讲义亮点在于结合杂技抛球、快递分拣等生活情境设计练习，以科学思维为指导，通过分段法、图像法等培养模型建构能力，题型分层适配不同学生，助力自主复习与教师精准教学。

专题03 自由落体竖直上抛运动 追及和相遇问题 考点必过 考点01 自由落体运动 2 考点02 竖直上抛运动 11 考点03 追及相遇问题 21 考点04 水平刹车与沿粗糙斜面上滑 33 基础必过 一、自由落体运动 1.条件：物体只受重力，从静止开始下落。 2.运动性质：初速度为零、加速度为g 的匀加速直线运动。 3.基本规律： (1)速度与时间的关系式：v＝gt。 (2)位移与时间的关系式：h＝gt2。 (3)速度位移关系式：v2＝2gh。 二、竖直上抛运动 1.运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动。 2.运动性质：匀变速直线运动。 3.基本规律 (1)速度与时间的关系式：v＝v0－gt。 (2)位移与时间的关系式：x＝v0t－gt2。 4.竖直上抛运动的对称性(如图所示) (1)时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理tAB＝tBA。 (2)速度对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等。 三、追及相遇问题 追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。 追及相遇问题的基本物理模型：(以甲追乙为例) 1.二者距离变化与速度大小的关系 (1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲<v乙，甲、乙间的距离就不断增大。 (2)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲追上乙前，甲、乙间的距离就不断减小。 2.分析思路 可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”。 (1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点； (2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。 3.常见追及情景 (1)初速度小者追初速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大。 (2)初速度大者追初速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间距离有最小值。 物体甲追赶物体乙：开始时，两个物体相距x0，当v甲＝v乙时，若x甲>x乙＋x0，则能追上；若x甲＝x乙＋x0，则恰好追上；若x甲<x乙＋x0，则不能追上。 特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。 考点01 自由落体运动 思维必过 一、自由落体运动的判断方法 (1)根据条件判定 (2)根据题目中的一些暗示语来判定，例如根据“忽略阻力”“阻力远小于重力”“月球上”等暗示语来判定。 二、对自由落体加速度的理解 1．产生原因：地球上的物体受到地球的吸引力而产生的。 2．重力加速度的大小 (1)同一性：在同一地点，重力加速度都相同。与物体质量、大小等均无关。 (2)差异性：在地球上的纬度和距地面的高度不同，重力加速度大小不同。 ①与纬度关系：在地球表面上，重力加速度随纬度的增加而增大。 ②与高度关系：在地面上的同一地点，重力加速度随高度的增加而减小。在小范围的高度变化中，可认为重力加速度的大小不变。 3．方向 (1)方向竖直向下，不是垂直向下，也不是一定指向地球球心。 (2)由于地球是球体，各处重力加速度的方向并不相同。 1．（25-26高一上·河北沧州·期末）杂技演员表演单手抛接四球，某同学观察发现演员抛球的时间间隔均为，抛接球过程中球在手中停留时间极短，且手的位置基本不变。将球的运动视为竖直上抛运动，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．球离开手时的速度大小约为 B．球离开手时的速度大小约为 C．球上升的最大高度约为 D．球上升的最大高度约为 【答案】AC 【详解】由题意可知，每个球在空中停留的时间为 则每个球上升的时间为 AB．根据 可得，球离开手时的速度大小约为，故A正确，B错误； CD．球上升的最大高度约为，故C正确，D错误。 故选AC。 2．（25-26高一上·贵州黔南·期末）如图所示，某地广播电视塔对外开放的旅游观光厅坐落在距地面约125 m的高处，活动面积近300 m2，可同时容纳近200人。一游客在观光厅拍照时，一不小心，手机从手中滑落（可认为初速度为零），做自由落体运动并落到地面，g取10 m/s2。则下列说法正确的是（　　） A．手机做自由落体运动的时间为t = 12.5 s B．手机下落62.5 m时瞬时速度的大小为25 m/s C．手机落地时速度为v = 50 m/s D．手机在第3 s内通过的位移大小为45 m 【答案】C 【详解】A．手机做自由落体运动的时间为，A错误； B．手机下落62.5 m时瞬时速度的大小为，B错误； C．手机落地时速度为v =gt= 50 m/s，C正确； D．手机在第3 s内通过的位移大小为，D错误。 故选C。 3．（25-26高一上·河北保定·期末）弹力球是一种户外儿童玩具，将它从某高度处竖直向上抛出，它向上运动时间到达最高点，又经过时间落到水平地面，测得，最高点距地高度为1.8m。已知弹力球每次与地面碰后速度大小变为碰前速度大小的0.8倍，重力加速度g取10m/s2，忽略空气阻力及与地面的碰撞时间。下列说法正确的是（　　） A．抛出点距地面高度为1.2m B．弹力球由抛出到第2次到达最高点用时1.6s C．弹力球第1次落地反弹后上升的最大高度为1.152m D．弹力球第2次落地时的速度大小为4.8m/s 【答案】CD 【详解】A．因忽略空气阻力，对下落过程由 解得，故 时间内上升的高度为 故抛出点距地面高度为1.0m，故A错误； B．第一次落地前的速度为 故第一次与地面碰后速度大小 第二次上升的时间 弹力球由抛出到第2次到达最高点用时 故B错误； C．根据对称性第二次上升的高度 故C正确； D．据对称性弹力球第2次落地时的速度大小等于第1次反弹后的速度大小为 故D正确。 故选CD。 4．（24-25高二下·吉林长春·期末）升降机以的速度向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机外侧底板松脱，再经过4s升降机底板上升至井口，此时螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，取重力加速度，下列说法正确的是（    ） A．螺钉松脱后做自由落体运动 B．井的深度为100m C．螺钉落到井底时的速度大小为 D．螺钉运动到最高点时到井底的距离为61.25m 【答案】D 【详解】A．螺钉松脱后初速度向上，做竖直上抛运动，不是自由落体运动，故 A 错误。 B．升降机匀速上升 4 s，上升距离为 h=v0t=20m 向下为正，则螺钉的位移为 所以井深为，故B错误； C．螺钉落到井底时速度为，方向向下，故C错误； D．螺钉向上运动的最大距离为，又因为4s内螺钉的位移为60m，所以螺钉运动到最高点时到井底的距离为61.25m，故D正确。 故选D。 5．（25-26高一上·黑龙江辽宁·期末）如图所示，某水龙头每间隔时间滴出一滴水，第1滴水着地时，第4滴水刚滴出，已知重力加速度大小为，水滴可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．水龙头出水口离水平地面的高度为 B．第1滴水落地时速度大小为 C．第2、3滴水在空中运动时距离保持不变 D．第1滴水着地时第2滴水离水平地面的高度为 【答案】A 【详解】A．水龙头每间隔时间滴出一滴水，第1滴水着地时，第4滴水刚滴出，故水滴在空中运动时间为，水龙头出水口离水平地面的高度为 故A正确； B．第1滴水落地时速度大小为 故B错误； C．第2、3滴水在空中运动时距离 则随时间增加，∆h逐渐增加，故C错误； D．第1滴水着地时第2滴水离水平地面的高度为 故D错误。 故选A。 6．（24-25高一上·河南开封·期末）利用水滴下落可以粗略测量重力加速度的大小。调节家中水龙头，让水一滴一滴地流出，在水龙头的正下方放一个盘子，调整盘子的高度，使一滴水刚碰到盘子时，恰好有另一滴水开始下落，而空中还有一滴水正在下落。测出水龙头出水口到盘子的高度为，从第1滴水开始下落到第滴水开始下落，所用时间为，下列说法正确的是（　　） A．一滴水在空中运动的时间为 B．相邻两滴水开始下落的时间间隔为 C．此地重力加速度的大小为 D．第1滴水刚落至盘中时，第2滴水距盘子的距离为 【答案】ACD 【详解】A．根据公式 可得一滴水在空中运动的时间为，故A正确； B．根据题意可知，第一滴水落至盘中时，第三滴水刚要落下，可知相邻两滴水开始下落的时间间隔为，故B错误； D．第1滴水刚落至盘中时，第2滴水下落高度为 则此时第2滴水距盘子的距离为，故D正确； C．从第1滴水开始下落到第滴水开始下落，所用时间为，则 结合 可得此地重力加速度的大小为，故C正确。 故选ACD。 7．（25-26高一上·安徽·月考）如图所示，一竖直圆管长，下端距水平地面高，顶端有薄圆盘。圆管与圆盘一起由静止自由下落，圆管与地面碰撞后（碰撞时间不计）以着地速率反弹。此后，圆盘向下做匀速直线运动，圆管竖直向上做加速度大小为的匀减速运动。重力加速度取，不计空气阻力，从碰撞到圆盘滑出圆管的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆管着地时的速率为，反弹到圆盘滑出圆管所用时间为。开始时，圆管做自由落体运动，根据 解得 圆管反弹到圆盘滑出圆管，则有 解得或（不合题意，舍去） 故选B。 8．（24-25高一下·河南濮阳·期末）2025年中国快递业迅猛发展，自动化分拣设备也得到了广泛应用。如图为一快递分拣流水线的简化示意图，快递包裹从距传送带高度处的分拣口无初速释放，释放时传送带的点恰好在包裹正下方。若传送带足够长，包裹落到传送带上不反弹，传送带匀速转动的速度，包裹与传送带之间的动摩擦因数为0.2，重力加速度取，则包裹与传送带共速时，包裹与传送带上点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据自由落体运动公式，有 解得包裹落到传送带上的时间为 A点运动的位移为 包裹落到传送带上之后将受到滑动摩擦力的作用做匀加速运动，根据牛顿第二定律有 解得 包裹达到和传送带共速所用的时间为 此过程中包裹的位移为 此过程中传送带的位移为 包裹与传送带上A点的距离为 故选D。 9．（24-25高二下·河北·期末）如图所示，一竖直圆管下端距水平地面的高度为H，顶端塞有一小球，现将它们由静止释放，圆管与小球相对静止一起做自由落体运动，后续圆管会与地面发生多次碰撞，每次圆管与地面碰撞前后速度大小不变，方向相反，且每次碰撞时间极短（可以忽略不计），在运动过程中，管始终保持竖直。由于管与球之间的相互作用，管每次与地面碰撞后，管的加速度大小为（重力加速度大小为g），方向竖直向下，球的加速度大小为g，方向竖直向上，直到管和球共速后一起运动，此时两者的加速度均为g，球始终没有从管中滑出。求： (1)管第一次落地前瞬间，管和球的共同速度大小； (2)管和球第一次相对运动过程中，球相对管运动的位移大小； (3)管的最小长度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）管和球一起做自由落体运动，根据运动规律有，解得 （2）设从管第一次与地面碰撞后到管和球再次共速所用时间为，以向下为正方向，根据运动学公式有 该段时间内管向上的位移，球向下的位移 根据几何关系有，解得 （3）设管第二次与地面碰撞前瞬间的速度为，根据运动规律有 管和球第二次相对运动过程中，球相对管运动的位移大小，解得 依此类推，可知管和球第三次相对运动过程中，球相对管运动的位移大小 即每次相对位移的比是确定的，管的最小长度 根据数学知识解得 10．（24-25高一下·浙江丽水·期末）中国制造的大疆无人机以优异的性能占据了全球超过80%的市场份额，现无人机下挂一重物，由静止开始自地面匀加速上升，当到达离地面高度处时，其速度为，此时悬挂重物的绳子突然断裂，空气阻力不计，则下列关于重物说法正确的是（　　） A．从绳子断裂后经过2s落回地面 B．从绳子断裂后经过5s落回地面 C．落地速度大小为20m/s D．落地速度大小为 【答案】B 【详解】AB．断裂后，重物做竖直上抛运动，初速度向上，加速度 位移公式为 解得，故B正确，A错误。 CD．落地速度由速度公式 计算 速度大小为，选项CD错误。 故选B。 考点02 竖直上抛运动 思维必过 1.竖直上抛运动的研究方法： 分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动 全程法 初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向) 若v>0，物体上升，若v<0，物体下落 若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方 2.竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性。 11．（25-26高一上·安徽·月考）排球自点竖直上抛后，又返回点，用两台相同的频闪照相机分别对其上升和下落过程进行拍摄，频闪照片如图所示，图中包含上升的最高点且相邻两球的时间间隔相同。已知排球上升和下落过程均做匀变速直线运动，和表示两过程中球经过点的速度大小，和表示两过程球的加速度，则（　　） A．方向向上 B．方向向上 C． D． 【答案】C 【详解】AB．由题可知，上升过程排球做减速运动，方向与相反，同理知方向与相同，、均向下，故AB错误； CD．设球在上升和下落阶段运动时间分别为和，由题可知 上升阶段有， 下落阶段有， 联立解得，，故C正确，D错误。 故选C。 12．（24-25高一下·江苏无锡·期末）学校的物理兴趣小组设计了一款“伽利略大炮”。将一个质量为4m0的大球A从离地面高度为h0的地方由静止释放，其反弹的最大高度为h0。接着将一个质量为m0的小球B放在大球A的上表面上，初始时A的下底面离地面的高度仍为h0；现让它们同时从静止开始下落，当A的下端落到水平硬地上之后，可发现B反弹上升的最大高度比h0大，不考虑运动相对于竖直方向的偏离，忽略大、小球的线度。假设地面与A、A与B之间的碰撞依次发生，两个小球之间的碰撞属于完全弹性碰撞，不考虑两个小球之间的多次碰撞。已知重力加速度大小为g，空气阻力可忽略。 (1)求大球A与地面碰撞后瞬间的速度大小vA； (2)求小球B碰撞后瞬间的速度大小vB； (3)求小球B反弹上升的最大高度h。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）大球反弹时则 解得大球A与地面碰撞后瞬间的速度大小 （2）两球落地时的速度 向上为正方向，则两球碰撞过程中由动量守恒和能量关系， 解得， 即小球B碰撞后瞬间的速度大小 （3）小球B反弹上升的最大高度 13．（24-25高二下·吉林长春·期末）某同学准备了10个小球，每隔0.4s以10m/s的速度从水平地面上竖直上抛一个小球，不计空气阻力，所有小球在空中均不发生碰撞，小球同时处于同一高度视为小球相遇。则第一个抛出的小球在落地之前，在空中遇到的小球个数为（取）（　　） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 【答案】A 【详解】第一个小球的运动时间，竖直上抛的总时间 第一个小球在抛出后2秒落地。每隔0.4秒抛出一球，后续小球的抛出时间为 （为第个小球） 在第一个小球落地前（），即 解得 因此，第2至第5个小球（共4个）的抛出时间分别为0.4s、0.8s、1.2s、1.6s。 两球相遇时高度相同，方程为 化简得相遇时间 需满足且 对于时 对于时 对于时 对于时 第6个小球时，相遇时间 此时第一个小球恰好落地，第六个小球正被抛出，两球均在地面，不属于空中相遇。在第一个小球落地前，共有4个小球（第2至第5个）与其在空中相遇。 故选A。 14．（10-11高三上·浙江绍兴·月考）在地质、地震、勘探、气象与地球物理等领域的研究中，需要精确的重力加速度g值，g值可由实验精确测定。近年来有一种测g值的方法叫“对称自由下落法”：将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O点向上抛小球又落至原处的时间为T2，在小球运动过程中经过比O点高H的P点，小球离开P点至又回到P点所用的时间为T1，测得T1、T2和H，可求得g等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由竖直上抛运动规律，从O点抛出到返回的总时间，对应上升和下落各时间。最大高度 小球经过P点时，从P点上升到最高点再返回的时间为，对应高度差 联立两式得 化简得 故选A。 15．（24-25高一下·上海·期末）将质量为的小球，以的速度从地面竖直向上抛出，以地面为零势能面，不计空气阻力。已知重力加速度大小。 (1)计算小球上升的最大高度h及所用时间t。 (2)小球上升到离地高度为多高时，其动能是势能的两倍？ (3)若小球每次与地面碰撞时，会损失其机械能的，则与地面碰撞两次后，小球能上升的最大高度是多高？ (4)若小球在运动过程中受到空气阻力作用，且大小与速率满足关系，其中。小球第一次上升到最高点所用时间是，计算小球第一次上升的最大高度。 【答案】(1) ， (2) (3) (4) 【详解】（1）根据竖直上抛规律，可知小球上升的最大高度 所用时间 （2）小球上升运动过程机械能守恒，则有 因为 代入题中数据，解得 （3）根据题意小球与地面碰撞两次后的机械能为 故小球与地面碰撞两次后有 联立解得 （4）规定向下为正方向，对小球，有动量定理有 整理得 代入数据，解得 16．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）如图甲，某景观喷泉正以喷头为中心，在同一竖直面内向各个方向以相同大小的初速度将水喷出，落到水平湖面上，空气阻力忽略不计。以喷头为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立坐标系，如图乙所示。已知图乙中实曲线为部分水流的轨迹，虚曲线为水流的包络线（与所有水流的轨迹均相切的曲线），虚曲线的方程为。取重力加速度，不计空气阻力。求： (1)水喷出时速度的大小； (2)水平位移最大的水流在空中的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知，当时代表水流做竖直上抛运动，代入题中包络线方程得 由竖直上抛运动规律 联立解得 （2）设水流抛出时，速度方向与水平方向的夹角为，根据抛体运动规律可得水平方向 竖直方向 根据运动的对称性 联立可得 由数学知识可知当时水平位移最大，则此时 故水平位移最大的水流在空中的时间为 17．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图所示，水平地面上一辆平板车以的速度向前匀速行驶，时刻，在平板车前端的正前方距离处有一个小球在离地面高度处正以的初速度竖直向上抛出。已知平板车上表面离地高度为，车身长度，重力加速度，不计空气阻力。 (1)小球运动过程中距离地面的最大高度； (2)求小球落在平板车上的位置到车身前端的距离； (3)为了避免小球落在平板车上，小球竖直向上抛出的同时，小车开始做匀变速直线运动，求平板车的加速度所满足的条件。 【答案】(1)11.8m (2)1m (3)匀加速或者匀减速 【详解】（1）根据 可得小球上升的最大高度 则距离地面最大高度为 （2）设小球经过时间落在小车上，取竖直向上为正方向，则有 解得或（舍去） 平板车运动的位移为 则小球落在平板车上的位置到车身前端的距离为 （3）①若小车做匀加速直线运动，设最小加速度为，则小车运动位移满足条件为 解得 则平板车的加速度应满足，方向向前 ②若小车做匀减速直线运动，设最小加速度为，则小车运动位移满足条件为 解得 则平板车的加速度应满足，方向向后 18．（2025高一·全国·专题练习）升降机以5m/s的速度向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机底板松脱，再经过4s升降机底板上升至井口，此时螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，取重力加速度，下列说法正确的是（    ） A．螺钉松脱后做自由落体运动 B．井的深度为80m C．螺钉落到井底时的速度大小为40m/s D．螺钉运动到最高点时到井底的距离为60m 【答案】B 【详解】螺钉松脱后做竖直上抛运动，先向上做匀减速运动，到达最高点后再做自由落体运动，A错误；规定向下为正方向，根据得，螺钉落到井底时的速度大小，C错误；螺钉下降的距离，因此井深，B正确；螺钉松脱后继续向上运动的距离为，故螺钉运动到最高点时到井底的距离为，D错误． 方法技巧 研究竖直上抛运动的两种方法（1）分段法：将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段． （2）全程法：将全过程视为初速度为、加速度的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性． 19．（24-25高一上·安徽合肥·期末）如图所示，长为的细杆以初速度从离地足够高处竖直向上抛出，同时在细杆的正上方处长为的圆筒由静止开始下落，运动过程中细杆和圆筒始终保持竖直，细杆从圆筒中穿过时两物体的运动互不影响，不计空气阻力，重力加速度为，假设细杆和圆筒均未落地，则以下说法正确的是（　　） A．细杆穿过圆筒时间为 B．若，则细杆在上升过程中穿过圆筒 C．若，则细杆在下降过程中穿过圆筒 D．抛出后经时间，细杆恰好完全在圆筒中 【答案】BCD 【详解】AD．以圆筒为参照物，则细杆相对圆筒以做匀速运动，细杆穿过圆筒的时间为，细杆恰好完全在圆筒中经历的时间为，故A错误D正确， B．若细杆在上升过程中穿过圆筒，则有 即，故B正确 C．若细杆在下降过程中穿过圆筒，则有 即，故C正确。 故选BCD。 20．（24-25高二上·云南·期末）在巴黎奥运会上，我国选手包揽了女子10米跳台跳水的金牌和银牌。如图所示，一质量的运动员（视为质点），从距水面高处以大小的速度竖直向上跃起，一段时间后落入水中。水池中的水足够深，忽略空气阻力，取重力加速度大小。 (1)求运动员距水面的最大高度。 (2)求运动员从起跳到水面的运动时间。 【答案】(1)11.25m (2)2s 【详解】（1）结合题意可知，运动员距水面的最大高度 （2）规定向上为正方向，根据运动学公式有 代入题中数据，解得运动员从起跳到水面的运动时间 考点03 追及相遇问题 思维必过 解答追及相遇问题的三种方法 物理分析法 抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，建立物体运动情景图，分析两物体的速度大小关系，利用速度相等时两物体的位置关系，判断能否追上、二者相距最近或最远 函数方程判断法 设经过时间t，二者间的距离Δx＝xB＋x0－xA，假设追上，Δx＝0，方程中Δ＝b2－4ac，Δ<0，追不上；Δ＝0，恰好追上，一解；Δ>0，两解或发生了相撞；或利用函数极值求解二者距离最大值或最小值 图像法 将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题 21．（25-26高一上·河北沧州·期末）汽车甲以速度在平直公路上匀速行驶，某时刻司机发现正前方有一辆汽车乙开始启动并做匀加速运动，为防止两车相撞，甲车司机立即刹车使车做匀减速运动，以此时为0时刻，两车运动的图像如图所示。运动过程中甲车恰好没有撞上乙车，忽略两车大小。求： (1)两车运动的加速度大小； (2)从汽车甲刹车到停止的过程中两车间的最远距离。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由图可知，时两车的瞬时速度相等，设为，则 设汽车甲刹车到停止所用时间为，则， 其中，由图可知 联立，解得，， （2）根据图线与横轴所围面积表示位移，且运动过程中甲车恰好没有撞上乙车，可知两车共速，此时两车恰好没有相撞，则时两车相距最远，最远距离为 22．（24-25高二下·吉林长春·期末）如图所示，甲、乙两辆汽车从同一位置出发沿平直的公路运动，通过速度传感器描绘出了两汽车的图像，则下列说法正确的是（    ） A．甲、乙汽车的加速度之比为 B．时两辆汽车具有相同的速度 C．两辆汽车在前的某时刻相遇 D．两辆汽车再次相遇前间隔的最大距离为 【答案】BD 【详解】A．图像的斜率表示加速度，由图像可知汽车甲的加速度为 汽车乙的加速度为 则甲、乙汽车的加速度之比为，故A错误； B．由图可知，在时两辆汽车的速度均为，即该时刻两辆汽车的速度相同，故B正确； C．在的时间内，汽车甲的速度一直大于汽车乙的速度，所以两辆汽车之间的距离一直增大，且时两汽车的距离最大，后汽车乙的速度大于汽车甲的速度，汽车乙开始追赶汽车甲，则两汽车相遇的时间一定在以后，故C错误； D．在图像中，图像与坐标轴围成的面积表示汽车的位移，时两汽车的距离最大，由图像可知汽车甲的位移为 汽车乙的位移为 则两辆汽车的最大距离为，故D正确。 故选BD。 23．（25-26高一上·安徽·月考）2025年5月24日，安徽省青少年龙舟公开赛（高校组）在安庆师范大学龙山校区举行。在直道赛中，甲、乙两相同龙舟从同一起点线同时出发划向终点的图像如图中曲线甲、乙所示，则（　　） A．时刻，乙追上甲 B．时刻，甲和乙船头并齐 C．时刻，甲的速度小于乙 D．全程乙的平均速度比甲大 【答案】B 【详解】A．B．图像知时刻，甲、乙图线相交，坐标相同，在之前任意时刻，甲的坐标值小于乙，故在时甲追上乙，甲和乙船头并齐，故A错误，B正确； C．由图像中，图像的切线斜率表示速度大小，在时刻，甲的切线斜率大，速率大，故C错误； D．甲比乙先达到终点，用时短，平均速度较乙大，故D错误。 故选B。 24．（11-12高二下·吉林松原·期中）平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方处以的速度做同方向的匀速运动，问： (1)甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？ (2)在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？ 【答案】(1)甲在40秒时追上乙，此时速度为20 m/s，离出发点400 m。 (2)甲、乙间最大距离出现在10秒时，最大距离为225 m。 【详解】（1）设甲经过时间t追上乙，对甲，根据位移时间公式，有 对乙，有 位移间的关系为 代入数据解得t=40s和t=-20 s(舍去) 这时甲的速度v甲=a甲t=0.5×40 m/s=20 m/s 甲离出发点的位移 （2）当v甲=v乙时，甲、乙之间的距离达到最大值。 由 可得 即甲在10s末离乙的距离最大。 根据运动学公式，有 25．（15-16高三下·江西宜春·月考）国庆放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前区间的速度不超过。现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以和的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后。甲车司机突然发现正前方收费站，开始以大小为的加速度匀减速刹车。 (1)甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章？ (2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9m处的速度恰好为，乙车司机在发现甲车刹车时经的反应时间后，开始以大小为的加速度匀减速刹车。为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？ (3)若第（2）问中，其他条件不变，至少相距多远？ 【答案】(1)100m (2)66m (3) 【详解】（1）甲车减速到所需的时间为 这段时间汽车的位移为 解得 即甲车司机需在离收费站窗口至少100m处开始刹车才不违章。 （2）乙车在收费站窗口前9m区不超速，则乙车减速到所需的时间为 这段时间汽车的位移为 解得 在反应时间内乙的位移为 则乙车需在离收费站窗口至少 由以上计算可知，甲车开始刹车后进入区间，乙车在后才进入区间，且二者速度都为，故甲、乙两车不会相撞，故甲、乙两车至少相距 （3）若，其他条件不变，则乙车减速到所需的时间为 这段时间汽车的位移为 解得 故甲、乙两车至少相距 设甲车司机开始刹车时，经过时间，甲、乙刚好相遇，有 解得时， 因为，故甲、乙两车至少相距 26．（24-25高二下·辽宁·期末）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，当道路中央为白色或黄色虚线时，允许车辆在确保安全的情况下短暂借道超车，但需及时返回原车道。汽车借反向车道超车有很大的危险，考验驾驶员的综合判断能力。如图所示，图中B车正以的速度匀速行驶，A车正以的速度借道超越同向行驶的B车，此时A、B两车相距L＝10m。此时A车司机发现前方不远处有一辆汽车C以速度迎面驶来，不考虑变道过程中车速的变化和位移的侧向变化，已知A车长度为，B车长度为。 (1)若A车车尾行至B车车头前相距d＝10m处为安全超车完毕，则A车与C车的距离x至少为多少才能安全超车？ (2)若A车司机感觉与汽车C距离太小不得不放弃超车，于是立即驶回到与B车后方的正常行驶车道。则A车驶回正常车道后至少以多大的加速度刹车才能避免与B车相撞？ (3)若按照第（2）问A车立即驶回正常车道后，如果急刹车恐怕有翻车的危险，但加速度太小又会与B车相碰，于是以大小为的加速度刹车的同时鸣笛及远光闪烁发出信号提醒B车司机加速，B车司机经过的反应时间后，立即以恒定的加速度加速行驶。则至少多大才能避免事故发生？（该问结果用分数表示） 【答案】(1)160m (2) (3) 【详解】（1）设A车经时间t后恰好可以超车，由运动学知识可知 代入数据解得t＝3.2s 此时A车前进的距离为，解得m C车前进的距离为，解得m 即要想安全完成超车，A车与汽车C的距离至少为，解得 （2）A车减速到与B车速度相同时，若恰好未与B车相撞，则之后A车将不会与B车相撞， 设经过的时间为，则A车位移为 B车位移为，位移关系 联立解得 A车与B车不相撞，刹车时的最小加速度为 解得，即A车至少以加速度刹车，才能避免与B车相撞。 （3）设B车以的加速度做匀加速直线运动恰好能避免事故发生， 从A车开始减速经过两车速度相等，有 位移关系 A车的位移为 B车的位移为 联立解得， 27．（24-25高二下·吉林·期末）在某次极限运动表演时，某一极限跳伞运动员从悬停的飞机中跳下，做自由落体运动，在时打开降落伞，打开伞后运动员做匀减速运动，加速度大小，运动员落地时速度刚好为，重力加速度取，求： (1)运动员前下落的高度和飞机距离地的高度； (2)若打开伞时飞机上掉下一个物体，物体也做自由落体运动，求物体落地前和运动员间最远的竖直距离； (3)在（2）问的基础上通过计算说明运动员能否在空中抓住该物体（假设物体和运动员在同一位置时就可以抓住物体）。 【答案】(1)， (2) (3)可以 【详解】（1）运动员前6s做自由落体运动，有， 打开伞后做匀减速运动，有 解得 得飞机距离地面的高度 （2）设物体经过时间与运动员速度相同，有 解得 此时物体落地前和运动员竖直距离最远，为 解得 （3）从物体开始掉下，运动员在空中下落的时间 由得物体在空中下落的时间 因，可知物体掉落到地面时，运动员还在空中，故运动员可以在空中抓住物体。 28．（24-25高二下·重庆·期末）西安高新区作为中国西北地区的科技创新中心，正在积极推动无人驾驶汽车技术的研发和应用。无人驾驶汽车可以通过车载传感器、摄像头、雷达、等获取汽车的状态和所处的环境，并且实现车辆的自主安全驾驶。A、B两辆无人驾驶汽车在同一车道上同向行驶。A车在前，B车在后，速度均为，距离，时刻A车遇紧急情况后，A、B两车的加速度随时间变化关系如图甲、乙所示。取原运动方向为正方向。 (1)时，A、B两车间的距离； (2)若B车能追上A车，则从开始经过多长时间B车能追上A车；若不能追上A车，求AB两车何时相距最近。 【答案】(1)35m (2)能追上， 【详解】（1）根据图像可知，前3s时，A车匀减速直线运动且3s时A车速度为零，前3s内A车位移为 前3s内，B车匀速直线运动，前3s内B车位移大小为 此时A、B两车的距离为 （2）根据以上分析画出A、B两车对应的图像如图所示 可知在时，两车速度相等； 若此时B车没有追上A车，则B车不能追上A车，且此时两车相距最近；图中影响部分面积为内两车的位移差，则有， 可知B车能追上A车； ， 且 解得 29．（24-25高二下·山东烟台·期末）一辆大客车和一辆小汽车匀速同向行驶在平直公路上，大客车在前，行驶速度为12m/s，小汽车在后，行驶速度为16m/s，当两者相距21m时，大客车发现前方有警示牌，开始刹车，加速度大小为2m/s2。 (1)求小汽车经过多长时间追上大客车； (2)若小汽车发现大客车开始刹车后，为避免相撞也开始刹车，已知小汽车司机的反应时间为0.5s，刹车加速度大小为3m/s2，则此种情形下两车能否相撞？如果不能，求两车之间的最小距离。 【答案】(1)3s (2)不能，6.25m 【详解】（1）设小汽车追上客车的时间为t1，则，， 由以上三式可得 （2）设小汽车刹车后其速度与客车速度相等时经历的时间为t2，则 解得， 客车发生的位移 小汽车发生的位移 由于，所以两车不能相撞，则两车之间的最小距离 30．（24-25高二下·山东潍坊·期末）2024年11月珠海航展中，我国多款无人机受到人们的广泛关注。在航展中甲、乙两款无人机沿着同一直线同向飞行，展示“空中停车”性能（即无人机减速到0并悬停在空中）。时刻无人机甲在无人机乙前方处做“空中停车”测试，无人机甲的初速度，加速度大小，同时无人机乙由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小。为了避免与前方的无人机甲相撞，无人机乙加速4s后开始以大小为a3的加速度做匀减速直线运动。 (1)无人机乙加速过程中，求无人机甲的位移x1； (2)无人机乙加速过程中，求无人机甲和乙的最大距离xm； (3)为了避免两无人机相撞，求a3的最小值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由运动学公式     解得 （2）由题意可得，当甲乙速度相等时相距最远，设达到共同速度的时间为，则      解得 共同速度 甲的位移     乙的位移     则甲乙的最大距离     解得 （3）时，甲的速度      乙的速度      两者之间的距离      4s后再经过t2时间甲减速到0，则 此时甲的位移为      设乙同时减速到零，乙的位移 ，即乙没有追上甲就已经停下了     4s后，经t3时间乙追上甲时乙刚好停止 则     解得 则乙的最小加速度 考点04 水平刹车与沿粗糙斜面上滑 思维必过 汽车在水平路面上的刹车问题和物体沿粗糙斜面上滑问题，表面上看是两种不同的问题，但是，若物体在斜面上满足mgsin θ≤μmgcos θ，则物体的运动规律与汽车在水平路面上的刹车问题是相同的，即均是匀减速到速度为零，停止运动，加速度a突然消失。 31．（24-25高一上·吉林延边·期末）为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离。一辆汽车在G12珲乌高速平直公路上行驶速度为，通常人的反应时间为，湿沥青与混凝土路面和轮胎之间的动摩擦因数为，g取，则该路况下的安全距离为（　　） A．约120m B．约130m C．约160m D．约170m 【答案】D 【详解】考虑最高车速为 长反应时间为t=0.6s，最小动摩擦因数μ=的极限情况下反应距离为 制动距离为 刹车距离为 故选D。 32．（25-26高一上·河南南阳·期中）一辆正常行驶的汽车突然发现前方50m处有交通事故，司机立即采取措施减速制动，从此刻开始，汽车运动的位移-时间关系满足 (各物理量均采用国际单位)。关于该汽车的运动，以下说法正确的是（　　） A．汽车刹车时的初速度大小为18 m/s B．汽车刹车时的加速度大小为 C．汽车刹车之后5s内的位移大小为40 m D．汽车刹车之后5s内的位移大小为40.5m 【答案】AD 【详解】AB．根据 对比 可知汽车的初速度和加速度大小分别为和，选项A正确，B错误； CD．汽车从开始刹车到停下所用的时间为 小于5s，所以行驶的位移 C项错误，D项正确。 故选AD。 33．（25-26高一上·河南洛阳·期中）地铁进站后的运动可以视为做匀减速直线运动，某同学站在地铁站观察，看到地铁进站后用时20s停止，最后1s内位移大小为0.5m，则地铁（　　） A．进站的加速度大小是 B．进站后第1s内的位移大小是18.5m C．进站后前10s位移和后10s的位移之比为4︰1 D．进站的初速度大小是 【答案】AD 【详解】A．运用逆向思维，把地铁的匀减速运动看作初速度为零的匀加速运动，最后1s内位移大小为0.5m，由，解得加速度大小，故A正确； BD．运用逆向思维，地铁的初速度大小是 地铁第1s内的位移大小是，故B错误，D正确； C．地铁运动时间为20s，运用逆向思维，根据位移时间公式可得，地铁后10s位移和总位移之比为，则前10s位移和后10s的位移之比为3︰1，故C错误。 故选AD。 34．（24-25高二下·贵州毕节·期末）新能源电动车已经走进我们的生活，未来必将成为汽车的发展方向。对某新能源电动车进行刹车测试时，该车以72km/h的速度开始做匀减速直线运动，运动第1s内的位移大小是最后1s内位移大小的3倍。汽车在该次匀减速直线运动过程中的加速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】汽车运动第1s的位移 逆向思考，最后1秒位移 由题意有 解得 故选D。 35．（24-25高二下·山东日照·期末）一辆汽车以30m/s的速度在平直公路上匀速行驶。行驶过程中，司机突然发现前方有一警示牌，需要立即刹车。该司机从发现警示牌到刹车系统开始工作所用的时间为0.8s，设刹车系统开始工作后，汽车做匀减速直线运动，恰好到警示牌处停下。汽车开始减速后第1s内的位移为28m。求： (1)司机发现警示牌时汽车到警示牌的距离； (2)汽车开始减速后第8s内的位移。 【答案】(1)136.5m (2)0.5m 【详解】（1）开始减速后第1s内有 其中 解得 司机从发现警示牌到刹车系统开始工作，汽车做匀速直线运动，该过程有 汽车做匀减速直线运动的总位移 司机发现警示牌时到警示牌的距离 （2）设汽车做匀减速直线运动的总时间为t，则 即汽车开始减速的第7.5s时已经停止，故汽车开始减速后第8s内，运动时间 由逆向思维法可知汽车开始减速后第8s内，可视为匀加速直线运动的逆过程，第8s内的位移 36．（24-25高一下·重庆长寿·期末）汽车智能驾驶是一项新兴技术，某品牌汽车检测前方9米有障碍物自动刹车系统启动刹车功能，立即做匀减速直线运动，若该车减速时最大加速度为，要使汽车在碰到障碍物前停下，行驶速度不能超过（　　） A．15m/s B．12m/s C．18m/s D． 【答案】B 【详解】汽车做匀减速直线运动至停下，利用逆向思维，根据速度与位移的关系有 解得 即行驶速度不能超过12m/s。 故选B。 37．（24-25高二下·广东湛江·期末）有一辆汽车在平直公路上匀速行驶，驾驶员突然看到正前方十字路口有一路障，他立即采取刹车，若刹车后汽车做匀减速直线运动，第1s内的位移为7m，第2s内的位移为5m，此后继续运动一段时间而未发生事故，下列说法正确的是（　　） A．汽车做匀减速直线运动的加速度大小为1m/s2 B．汽车刹车时的初速度大小为8m/s C．汽车从刹车到停止所需时间为5s D．汽车刹车至静止总位移大小为24m 【答案】B 【详解】A．根据匀变速直线运动的推论 解得 汽车做匀减速直线运动的加速度大小为2m/s2，故A错误； B．第1秒内的位移公式为 解得，故B正确； C．刹车到停止的时间，故C错误； D．总位移为，故D错误。 故选B。 38．（24-25高二下·河北保定·期末）某司机驾驶一辆货车正以54km/h的速度在平直公路上匀速行驶，有货物从车上掉下一段时间后，司机才从观后镜中发现，立即关闭油门踩下刹车（车轮不再转动），货车做匀减速直线运动，同时在货车后方12m处一辆摩托车上的人立即拾到货物从静止出发，以3m /s2的加速度同方向追赶货车。已知摩托车在该路段能达到的最大速度为9 m/s，货车车轮与路面间的动摩擦因数为0.3，g取10m/s2。 (1)求货车做匀减速运动的位移大小； (2)摩托车至少经过多长时间能追上货车？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知货车的初速度为 设货车做匀减速运动的加速度大小为，根据牛顿第二定律得 货车做匀减速运动的时间 货车做匀减速运动的位移 解得 （2）已知该摩托车的加速度为，最大速度为，摩托车做匀加速运动达到最大速度的时间和位移分别为， 之后摩托车以最大速度做匀速直线运动，到货车停止运动时，其位移为 由于 故货车停止运动时，摩托车没有追上货车，然后摩托车继续以最大速度匀速运动追赶货车，由匀速运动公式得 代入数据解得 摩托车追上货车的时间 39．（24-25高二下·河北·期末）某汽车沿平直公路匀速行驶，某时刻发现前方发生交通事故，该汽车进行紧急刹车。汽车在开始刹车后的前两个内的位移大小分别为和将汽车刹车后的运动看作匀减速直线运动，求： (1)汽车刹车2s时的速度大小v； (2)汽车运动的加速度大小a； (3)汽车从开始刹车到停止的位移大小x。 【答案】(1)12m/s (2)6m/s² (3)48m 【详解】（1）汽车在开始刹车后的前两个内的位移大小之比 逆向分析运动过程，结合初速度为零的匀加速直线运动规律，可以判断汽车刹车4s恰好停下。根据运动学规律，汽车刹车2s时的速度大小 解得v=12m/s （2）前两个t=2s内的位移大小分别为 和 根据运动学规律 解得a=6m/s² （3）设汽车初速度大小为，根据位移公式 逆向分析 代入数据，汽车从开始刹车到停止的位移大小x=48m。 40．（24-25高一上·安徽合肥·期末）一辆汽车在平直的公路上匀速行驶，司机突然发现正前方另一辆车因故障而停止运动，于是立即刹车，使车做匀减速直线运动，前2s内汽车的位移为28m，第5s内汽车的位移为0.5m，则以下说法正确的是（　　） A．汽车匀速行驶时的速度为 B．汽车匀减速运动的第3秒内的位移为8.2m C．汽车减速时的加速度大小为 D．汽车从开始减速到停止，行驶的距离为40.5m 【答案】D 【详解】C．设第5秒内车已经停止，实际运动时间为，则有， 联立可解 故假设正确，加速度为，故C错误； A．匀速行驶的速度为，故A错误； B．刹车后第3s内位移为，故B错误； D．刹车后行驶的最大距离为，故D正确。 故选D。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 自由落体竖直上抛运动 追及和相遇问题 考点必过 考点01 自由落体运动 2 考点02 竖直上抛运动 11 考点03 追及相遇问题 21 考点04 水平刹车与沿粗糙斜面上滑 33 基础必过 一、自由落体运动 1.条件：物体只受重力，从静止开始下落。 2.运动性质：初速度为零、加速度为g 的匀加速直线运动。 3.基本规律： (1)速度与时间的关系式：v＝gt。 (2)位移与时间的关系式：h＝gt2。 (3)速度位移关系式：v2＝2gh。 二、竖直上抛运动 1.运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动。 2.运动性质：匀变速直线运动。 3.基本规律 (1)速度与时间的关系式：v＝v0－gt。 (2)位移与时间的关系式：x＝v0t－gt2。 4.竖直上抛运动的对称性(如图所示) (1)时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理tAB＝tBA。 (2)速度对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等。 三、追及相遇问题 追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。 追及相遇问题的基本物理模型：(以甲追乙为例) 1.二者距离变化与速度大小的关系 (1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲<v乙，甲、乙间的距离就不断增大。 (2)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲追上乙前，甲、乙间的距离就不断减小。 2.分析思路 可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”。 (1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点； (2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。 3.常见追及情景 (1)初速度小者追初速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大。 (2)初速度大者追初速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间距离有最小值。 物体甲追赶物体乙：开始时，两个物体相距x0，当v甲＝v乙时，若x甲>x乙＋x0，则能追上；若x甲＝x乙＋x0，则恰好追上；若x甲<x乙＋x0，则不能追上。 特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。 考点01 自由落体运动 思维必过 一、自由落体运动的判断方法 (1)根据条件判定 (2)根据题目中的一些暗示语来判定，例如根据“忽略阻力”“阻力远小于重力”“月球上”等暗示语来判定。 二、对自由落体加速度的理解 1．产生原因：地球上的物体受到地球的吸引力而产生的。 2．重力加速度的大小 (1)同一性：在同一地点，重力加速度都相同。与物体质量、大小等均无关。 (2)差异性：在地球上的纬度和距地面的高度不同，重力加速度大小不同。 ①与纬度关系：在地球表面上，重力加速度随纬度的增加而增大。 ②与高度关系：在地面上的同一地点，重力加速度随高度的增加而减小。在小范围的高度变化中，可认为重力加速度的大小不变。 3．方向 (1)方向竖直向下，不是垂直向下，也不是一定指向地球球心。 (2)由于地球是球体，各处重力加速度的方向并不相同。 1．（25-26高一上·河北沧州·期末）杂技演员表演单手抛接四球，某同学观察发现演员抛球的时间间隔均为，抛接球过程中球在手中停留时间极短，且手的位置基本不变。将球的运动视为竖直上抛运动，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．球离开手时的速度大小约为 B．球离开手时的速度大小约为 C．球上升的最大高度约为 D．球上升的最大高度约为 2．（25-26高一上·贵州黔南·期末）如图所示，某地广播电视塔对外开放的旅游观光厅坐落在距地面约125 m的高处，活动面积近300 m2，可同时容纳近200人。一游客在观光厅拍照时，一不小心，手机从手中滑落（可认为初速度为零），做自由落体运动并落到地面，g取10 m/s2。则下列说法正确的是（　　） A．手机做自由落体运动的时间为t = 12.5 s B．手机下落62.5 m时瞬时速度的大小为25 m/s C．手机落地时速度为v = 50 m/s D．手机在第3 s内通过的位移大小为45 m 3．（25-26高一上·河北保定·期末）弹力球是一种户外儿童玩具，将它从某高度处竖直向上抛出，它向上运动时间到达最高点，又经过时间落到水平地面，测得，最高点距地高度为1.8m。已知弹力球每次与地面碰后速度大小变为碰前速度大小的0.8倍，重力加速度g取10m/s2，忽略空气阻力及与地面的碰撞时间。下列说法正确的是（　　） A．抛出点距地面高度为1.2m B．弹力球由抛出到第2次到达最高点用时1.6s C．弹力球第1次落地反弹后上升的最大高度为1.152m D．弹力球第2次落地时的速度大小为4.8m/s 4．（24-25高二下·吉林长春·期末）升降机以的速度向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机外侧底板松脱，再经过4s升降机底板上升至井口，此时螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，取重力加速度，下列说法正确的是（    ） A．螺钉松脱后做自由落体运动 B．井的深度为100m C．螺钉落到井底时的速度大小为 D．螺钉运动到最高点时到井底的距离为61.25m 5．（25-26高一上·黑龙江辽宁·期末）如图所示，某水龙头每间隔时间滴出一滴水，第1滴水着地时，第4滴水刚滴出，已知重力加速度大小为，水滴可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．水龙头出水口离水平地面的高度为 B．第1滴水落地时速度大小为 C．第2、3滴水在空中运动时距离保持不变 D．第1滴水着地时第2滴水离水平地面的高度为 6．（24-25高一上·河南开封·期末）利用水滴下落可以粗略测量重力加速度的大小。调节家中水龙头，让水一滴一滴地流出，在水龙头的正下方放一个盘子，调整盘子的高度，使一滴水刚碰到盘子时，恰好有另一滴水开始下落，而空中还有一滴水正在下落。测出水龙头出水口到盘子的高度为，从第1滴水开始下落到第滴水开始下落，所用时间为，下列说法正确的是（　　） A．一滴水在空中运动的时间为 B．相邻两滴水开始下落的时间间隔为 C．此地重力加速度的大小为 D．第1滴水刚落至盘中时，第2滴水距盘子的距离为 7．（25-26高一上·安徽·月考）如图所示，一竖直圆管长，下端距水平地面高，顶端有薄圆盘。圆管与圆盘一起由静止自由下落，圆管与地面碰撞后（碰撞时间不计）以着地速率反弹。此后，圆盘向下做匀速直线运动，圆管竖直向上做加速度大小为的匀减速运动。重力加速度取，不计空气阻力，从碰撞到圆盘滑出圆管的时间为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·河南濮阳·期末）2025年中国快递业迅猛发展，自动化分拣设备也得到了广泛应用。如图为一快递分拣流水线的简化示意图，快递包裹从距传送带高度处的分拣口无初速释放，释放时传送带的点恰好在包裹正下方。若传送带足够长，包裹落到传送带上不反弹，传送带匀速转动的速度，包裹与传送带之间的动摩擦因数为0.2，重力加速度取，则包裹与传送带共速时，包裹与传送带上点的距离为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·河北·期末）如图所示，一竖直圆管下端距水平地面的高度为H，顶端塞有一小球，现将它们由静止释放，圆管与小球相对静止一起做自由落体运动，后续圆管会与地面发生多次碰撞，每次圆管与地面碰撞前后速度大小不变，方向相反，且每次碰撞时间极短（可以忽略不计），在运动过程中，管始终保持竖直。由于管与球之间的相互作用，管每次与地面碰撞后，管的加速度大小为（重力加速度大小为g），方向竖直向下，球的加速度大小为g，方向竖直向上，直到管和球共速后一起运动，此时两者的加速度均为g，球始终没有从管中滑出。求： (1)管第一次落地前瞬间，管和球的共同速度大小； (2)管和球第一次相对运动过程中，球相对管运动的位移大小； (3)管的最小长度。 10．（24-25高一下·浙江丽水·期末）中国制造的大疆无人机以优异的性能占据了全球超过80%的市场份额，现无人机下挂一重物，由静止开始自地面匀加速上升，当到达离地面高度处时，其速度为，此时悬挂重物的绳子突然断裂，空气阻力不计，则下列关于重物说法正确的是（　　） A．从绳子断裂后经过2s落回地面 B．从绳子断裂后经过5s落回地面 C．落地速度大小为20m/s D．落地速度大小为 考点02 竖直上抛运动 思维必过 1.竖直上抛运动的研究方法： 分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动 全程法 初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向) 若v>0，物体上升，若v<0，物体下落 若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方 2.竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性。 11．（25-26高一上·安徽·月考）排球自点竖直上抛后，又返回点，用两台相同的频闪照相机分别对其上升和下落过程进行拍摄，频闪照片如图所示，图中包含上升的最高点且相邻两球的时间间隔相同。已知排球上升和下落过程均做匀变速直线运动，和表示两过程中球经过点的速度大小，和表示两过程球的加速度，则（　　） A．方向向上 B．方向向上 C． D． 12．（24-25高一下·江苏无锡·期末）学校的物理兴趣小组设计了一款“伽利略大炮”。将一个质量为4m0的大球A从离地面高度为h0的地方由静止释放，其反弹的最大高度为h0。接着将一个质量为m0的小球B放在大球A的上表面上，初始时A的下底面离地面的高度仍为h0；现让它们同时从静止开始下落，当A的下端落到水平硬地上之后，可发现B反弹上升的最大高度比h0大，不考虑运动相对于竖直方向的偏离，忽略大、小球的线度。假设地面与A、A与B之间的碰撞依次发生，两个小球之间的碰撞属于完全弹性碰撞，不考虑两个小球之间的多次碰撞。已知重力加速度大小为g，空气阻力可忽略。 (1)求大球A与地面碰撞后瞬间的速度大小vA； (2)求小球B碰撞后瞬间的速度大小vB； (3)求小球B反弹上升的最大高度h。 13．（24-25高二下·吉林长春·期末）某同学准备了10个小球，每隔0.4s以10m/s的速度从水平地面上竖直上抛一个小球，不计空气阻力，所有小球在空中均不发生碰撞，小球同时处于同一高度视为小球相遇。则第一个抛出的小球在落地之前，在空中遇到的小球个数为（取）（　　） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 14．（10-11高三上·浙江绍兴·月考）在地质、地震、勘探、气象与地球物理等领域的研究中，需要精确的重力加速度g值，g值可由实验精确测定。近年来有一种测g值的方法叫“对称自由下落法”：将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O点向上抛小球又落至原处的时间为T2，在小球运动过程中经过比O点高H的P点，小球离开P点至又回到P点所用的时间为T1，测得T1、T2和H，可求得g等于（　　） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·上海·期末）将质量为的小球，以的速度从地面竖直向上抛出，以地面为零势能面，不计空气阻力。已知重力加速度大小。 (1)计算小球上升的最大高度h及所用时间t。 (2)小球上升到离地高度为多高时，其动能是势能的两倍？ (3)若小球每次与地面碰撞时，会损失其机械能的，则与地面碰撞两次后，小球能上升的最大高度是多高？ (4)若小球在运动过程中受到空气阻力作用，且大小与速率满足关系，其中。小球第一次上升到最高点所用时间是，计算小球第一次上升的最大高度。 16．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）如图甲，某景观喷泉正以喷头为中心，在同一竖直面内向各个方向以相同大小的初速度将水喷出，落到水平湖面上，空气阻力忽略不计。以喷头为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立坐标系，如图乙所示。已知图乙中实曲线为部分水流的轨迹，虚曲线为水流的包络线（与所有水流的轨迹均相切的曲线），虚曲线的方程为。取重力加速度，不计空气阻力。求： (1)水喷出时速度的大小； (2)水平位移最大的水流在空中的时间。 17．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图所示，水平地面上一辆平板车以的速度向前匀速行驶，时刻，在平板车前端的正前方距离处有一个小球在离地面高度处正以的初速度竖直向上抛出。已知平板车上表面离地高度为，车身长度，重力加速度，不计空气阻力。 (1)小球运动过程中距离地面的最大高度； (2)求小球落在平板车上的位置到车身前端的距离； (3)为了避免小球落在平板车上，小球竖直向上抛出的同时，小车开始做匀变速直线运动，求平板车的加速度所满足的条件。 18．（2025高一·全国·专题练习）升降机以5m/s的速度向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机底板松脱，再经过4s升降机底板上升至井口，此时螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，取重力加速度，下列说法正确的是（    ） A．螺钉松脱后做自由落体运动 B．井的深度为80m C．螺钉落到井底时的速度大小为40m/s D．螺钉运动到最高点时到井底的距离为60m 方法技巧 研究竖直上抛运动的两种方法（1）分段法：将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段． （2）全程法：将全过程视为初速度为、加速度的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性． 19．（24-25高一上·安徽合肥·期末）如图所示，长为的细杆以初速度从离地足够高处竖直向上抛出，同时在细杆的正上方处长为的圆筒由静止开始下落，运动过程中细杆和圆筒始终保持竖直，细杆从圆筒中穿过时两物体的运动互不影响，不计空气阻力，重力加速度为，假设细杆和圆筒均未落地，则以下说法正确的是（　　） A．细杆穿过圆筒时间为 B．若，则细杆在上升过程中穿过圆筒 C．若，则细杆在下降过程中穿过圆筒 D．抛出后经时间，细杆恰好完全在圆筒中 20．（24-25高二上·云南·期末）在巴黎奥运会上，我国选手包揽了女子10米跳台跳水的金牌和银牌。如图所示，一质量的运动员（视为质点），从距水面高处以大小的速度竖直向上跃起，一段时间后落入水中。水池中的水足够深，忽略空气阻力，取重力加速度大小。 (1)求运动员距水面的最大高度。 (2)求运动员从起跳到水面的运动时间。 考点03 追及相遇问题 思维必过 解答追及相遇问题的三种方法 物理分析法 抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，建立物体运动情景图，分析两物体的速度大小关系，利用速度相等时两物体的位置关系，判断能否追上、二者相距最近或最远 函数方程判断法 设经过时间t，二者间的距离Δx＝xB＋x0－xA，假设追上，Δx＝0，方程中Δ＝b2－4ac，Δ<0，追不上；Δ＝0，恰好追上，一解；Δ>0，两解或发生了相撞；或利用函数极值求解二者距离最大值或最小值 图像法 将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题 21．（25-26高一上·河北沧州·期末）汽车甲以速度在平直公路上匀速行驶，某时刻司机发现正前方有一辆汽车乙开始启动并做匀加速运动，为防止两车相撞，甲车司机立即刹车使车做匀减速运动，以此时为0时刻，两车运动的图像如图所示。运动过程中甲车恰好没有撞上乙车，忽略两车大小。求： (1)两车运动的加速度大小； (2)从汽车甲刹车到停止的过程中两车间的最远距离。 22．（24-25高二下·吉林长春·期末）如图所示，甲、乙两辆汽车从同一位置出发沿平直的公路运动，通过速度传感器描绘出了两汽车的图像，则下列说法正确的是（    ） A．甲、乙汽车的加速度之比为 B．时两辆汽车具有相同的速度 C．两辆汽车在前的某时刻相遇 D．两辆汽车再次相遇前间隔的最大距离为 23．（25-26高一上·安徽·月考）2025年5月24日，安徽省青少年龙舟公开赛（高校组）在安庆师范大学龙山校区举行。在直道赛中，甲、乙两相同龙舟从同一起点线同时出发划向终点的图像如图中曲线甲、乙所示，则（　　） A．时刻，乙追上甲 B．时刻，甲和乙船头并齐 C．时刻，甲的速度小于乙 D．全程乙的平均速度比甲大 24．（11-12高二下·吉林松原·期中）平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方处以的速度做同方向的匀速运动，问： (1)甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？ (2)在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？ 25．（15-16高三下·江西宜春·月考）国庆放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前区间的速度不超过。现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以和的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后。甲车司机突然发现正前方收费站，开始以大小为的加速度匀减速刹车。 (1)甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章？ (2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9m处的速度恰好为，乙车司机在发现甲车刹车时经的反应时间后，开始以大小为的加速度匀减速刹车。为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？ (3)若第（2）问中，其他条件不变，至少相距多远？ 26．（24-25高二下·辽宁·期末）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，当道路中央为白色或黄色虚线时，允许车辆在确保安全的情况下短暂借道超车，但需及时返回原车道。汽车借反向车道超车有很大的危险，考验驾驶员的综合判断能力。如图所示，图中B车正以的速度匀速行驶，A车正以的速度借道超越同向行驶的B车，此时A、B两车相距L＝10m。此时A车司机发现前方不远处有一辆汽车C以速度迎面驶来，不考虑变道过程中车速的变化和位移的侧向变化，已知A车长度为，B车长度为。 (1)若A车车尾行至B车车头前相距d＝10m处为安全超车完毕，则A车与C车的距离x至少为多少才能安全超车？ (2)若A车司机感觉与汽车C距离太小不得不放弃超车，于是立即驶回到与B车后方的正常行驶车道。则A车驶回正常车道后至少以多大的加速度刹车才能避免与B车相撞？ (3)若按照第（2）问A车立即驶回正常车道后，如果急刹车恐怕有翻车的危险，但加速度太小又会与B车相碰，于是以大小为的加速度刹车的同时鸣笛及远光闪烁发出信号提醒B车司机加速，B车司机经过的反应时间后，立即以恒定的加速度加速行驶。则至少多大才能避免事故发生？（该问结果用分数表示） 27．（24-25高二下·吉林·期末）在某次极限运动表演时，某一极限跳伞运动员从悬停的飞机中跳下，做自由落体运动，在时打开降落伞，打开伞后运动员做匀减速运动，加速度大小，运动员落地时速度刚好为，重力加速度取，求： (1)运动员前下落的高度和飞机距离地的高度； (2)若打开伞时飞机上掉下一个物体，物体也做自由落体运动，求物体落地前和运动员间最远的竖直距离； (3)在（2）问的基础上通过计算说明运动员能否在空中抓住该物体（假设物体和运动员在同一位置时就可以抓住物体）。 28．（24-25高二下·重庆·期末）西安高新区作为中国西北地区的科技创新中心，正在积极推动无人驾驶汽车技术的研发和应用。无人驾驶汽车可以通过车载传感器、摄像头、雷达、等获取汽车的状态和所处的环境，并且实现车辆的自主安全驾驶。A、B两辆无人驾驶汽车在同一车道上同向行驶。A车在前，B车在后，速度均为，距离，时刻A车遇紧急情况后，A、B两车的加速度随时间变化关系如图甲、乙所示。取原运动方向为正方向。 (1)时，A、B两车间的距离； (2)若B车能追上A车，则从开始经过多长时间B车能追上A车；若不能追上A车，求AB两车何时相距最近。 29．（24-25高二下·山东烟台·期末）一辆大客车和一辆小汽车匀速同向行驶在平直公路上，大客车在前，行驶速度为12m/s，小汽车在后，行驶速度为16m/s，当两者相距21m时，大客车发现前方有警示牌，开始刹车，加速度大小为2m/s2。 (1)求小汽车经过多长时间追上大客车； (2)若小汽车发现大客车开始刹车后，为避免相撞也开始刹车，已知小汽车司机的反应时间为0.5s，刹车加速度大小为3m/s2，则此种情形下两车能否相撞？如果不能，求两车之间的最小距离。 30．（24-25高二下·山东潍坊·期末）2024年11月珠海航展中，我国多款无人机受到人们的广泛关注。在航展中甲、乙两款无人机沿着同一直线同向飞行，展示“空中停车”性能（即无人机减速到0并悬停在空中）。时刻无人机甲在无人机乙前方处做“空中停车”测试，无人机甲的初速度，加速度大小，同时无人机乙由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小。为了避免与前方的无人机甲相撞，无人机乙加速4s后开始以大小为a3的加速度做匀减速直线运动。 (1)无人机乙加速过程中，求无人机甲的位移x1； (2)无人机乙加速过程中，求无人机甲和乙的最大距离xm； (3)为了避免两无人机相撞，求a3的最小值。 考点04 水平刹车与沿粗糙斜面上滑 思维必过 汽车在水平路面上的刹车问题和物体沿粗糙斜面上滑问题，表面上看是两种不同的问题，但是，若物体在斜面上满足mgsin θ≤μmgcos θ，则物体的运动规律与汽车在水平路面上的刹车问题是相同的，即均是匀减速到速度为零，停止运动，加速度a突然消失。 31．（24-25高一上·吉林延边·期末）为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离。一辆汽车在G12珲乌高速平直公路上行驶速度为，通常人的反应时间为，湿沥青与混凝土路面和轮胎之间的动摩擦因数为，g取，则该路况下的安全距离为（　　） A．约120m B．约130m C．约160m D．约170m 32．（25-26高一上·河南南阳·期中）一辆正常行驶的汽车突然发现前方50m处有交通事故，司机立即采取措施减速制动，从此刻开始，汽车运动的位移-时间关系满足 (各物理量均采用国际单位)。关于该汽车的运动，以下说法正确的是（　　） A．汽车刹车时的初速度大小为18 m/s B．汽车刹车时的加速度大小为 C．汽车刹车之后5s内的位移大小为40 m D．汽车刹车之后5s内的位移大小为40.5m 33．（25-26高一上·河南洛阳·期中）地铁进站后的运动可以视为做匀减速直线运动，某同学站在地铁站观察，看到地铁进站后用时20s停止，最后1s内位移大小为0.5m，则地铁（　　） A．进站的加速度大小是 B．进站后第1s内的位移大小是18.5m C．进站后前10s位移和后10s的位移之比为4︰1 D．进站的初速度大小是 34．（24-25高二下·贵州毕节·期末）新能源电动车已经走进我们的生活，未来必将成为汽车的发展方向。对某新能源电动车进行刹车测试时，该车以72km/h的速度开始做匀减速直线运动，运动第1s内的位移大小是最后1s内位移大小的3倍。汽车在该次匀减速直线运动过程中的加速度大小为（　　） A． B． C． D． 35．（24-25高二下·山东日照·期末）一辆汽车以30m/s的速度在平直公路上匀速行驶。行驶过程中，司机突然发现前方有一警示牌，需要立即刹车。该司机从发现警示牌到刹车系统开始工作所用的时间为0.8s，设刹车系统开始工作后，汽车做匀减速直线运动，恰好到警示牌处停下。汽车开始减速后第1s内的位移为28m。求： (1)司机发现警示牌时汽车到警示牌的距离； (2)汽车开始减速后第8s内的位移。 36．（24-25高一下·重庆长寿·期末）汽车智能驾驶是一项新兴技术，某品牌汽车检测前方9米有障碍物自动刹车系统启动刹车功能，立即做匀减速直线运动，若该车减速时最大加速度为，要使汽车在碰到障碍物前停下，行驶速度不能超过（　　） A．15m/s B．12m/s C．18m/s D． 37．（24-25高二下·广东湛江·期末）有一辆汽车在平直公路上匀速行驶，驾驶员突然看到正前方十字路口有一路障，他立即采取刹车，若刹车后汽车做匀减速直线运动，第1s内的位移为7m，第2s内的位移为5m，此后继续运动一段时间而未发生事故，下列说法正确的是（　　） A．汽车做匀减速直线运动的加速度大小为1m/s2 B．汽车刹车时的初速度大小为8m/s C．汽车从刹车到停止所需时间为5s D．汽车刹车至静止总位移大小为24m 38．（24-25高二下·河北保定·期末）某司机驾驶一辆货车正以54km/h的速度在平直公路上匀速行驶，有货物从车上掉下一段时间后，司机才从观后镜中发现，立即关闭油门踩下刹车（车轮不再转动），货车做匀减速直线运动，同时在货车后方12m处一辆摩托车上的人立即拾到货物从静止出发，以3m /s2的加速度同方向追赶货车。已知摩托车在该路段能达到的最大速度为9 m/s，货车车轮与路面间的动摩擦因数为0.3，g取10m/s2。 (1)求货车做匀减速运动的位移大小； (2)摩托车至少经过多长时间能追上货车？ 39．（24-25高二下·河北·期末）某汽车沿平直公路匀速行驶，某时刻发现前方发生交通事故，该汽车进行紧急刹车。汽车在开始刹车后的前两个内的位移大小分别为和将汽车刹车后的运动看作匀减速直线运动，求： (1)汽车刹车2s时的速度大小v； (2)汽车运动的加速度大小a； (3)汽车从开始刹车到停止的位移大小x。 40．（24-25高一上·安徽合肥·期末）一辆汽车在平直的公路上匀速行驶，司机突然发现正前方另一辆车因故障而停止运动，于是立即刹车，使车做匀减速直线运动，前2s内汽车的位移为28m，第5s内汽车的位移为0.5m，则以下说法正确的是（　　） A．汽车匀速行驶时的速度为 B．汽车匀减速运动的第3秒内的位移为8.2m C．汽车减速时的加速度大小为 D．汽车从开始减速到停止，行驶的距离为40.5m 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $