寒假作业05 一元一次方程（巩固培优）（积累运用+巩固提升10大题型+能力培优+创新题型）七年级数学新教材人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业05 一元一次方程 1、等式的性质 等式的基本性质1：等式两边同加上（或同减去）同一个数或式，所得结果任是等式。 用字母可以表示为：如果，那么。 等式的基本性质2：等式两边都乘或都除以同一个数或式，（除数不能为零），所得结果任是等式。 用字母可以表示为：如果，那么或（c≠0）。 其他性质：①对称性：若a=b，则b=a；②传递性：若a=b，b=c，则a=c。 2、一元一次方程有关概念 方程：含有未知数的等式，这样的等式叫作方程。 方程的解：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解。 解方程：求方程的解的过程，叫作解方程。 一元一次方程：一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程。 3、解一元一次方程的步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项：把等式一边的某项变号后移到另一边；(4)合并同类项；(5)系数化为1。 4、用一元一次方程解决实际问题 (1)设未知数；(2)列方程；(3)解方程；(4)检验所得结果；(5)确定答案。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1 方程与等式的辨别 1．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不含未知数，不是方程，不符合题意； B、，是方程，符合题意； C、不是等式，故不是方程，不符合题意； D、不是等式，故不是方程，不符合题意．故选：B． 2.（24-25七年级上·浙江·月考）在， ， ，， ，中等式有： 方程有： （填序号） 【答案】 、、； 、． 【详解】解：用等号表示相等关系的式了叫等式，等式有：、、； 含有未知数的等式是方程，方程有：、． 故答案为：、、； 、． 题型2 方程的解 3．（25-26七年级上·福建福州·阶段练习）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，，故不是方程的解，不符合题意； B、，，故不是方程的解，不符合题意； C、，故不是方程的解，不符合题意； D、，故是方程的解，符合题意；故选D． 4．（24-25七年级上·绵阳市·期末）下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A． 当时，，∴不是的解，不符合题意； B． 当时，∴是的解，符合题意； C． 当时，，∴不是的解，不符合题意； D． 当时，，∴不是的解，不符合题意；故选B． 题型3等式的基本性质及运用 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列变形中，正确的是（    ） A．若，那么 B．若，那么 C．，那么 D．若，那么 【答案】D 【详解】解：A．若，那么，原变形不正确，故此选项不符合题意； B．若且，那么，原变形不正确，故此选项不符合题意； C，当，时，，但，原变形不正确，故此选项不符合题意； D．若，那么，原变形正确，故此选项符合题意．故选：D． 6．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，若天平①平衡，则下列选项中，天平一定平衡的是（    ） A． B．C． D． 【答案】C 【详解】解：∵天平①平衡，∴， ∴，即，∴天平一定平衡的是C，故选：C． 7．（2025·四川·中考真题）将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为 ，最大数所对应的卡片编号为 ． 【答案】 【详解】解：设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e， 由题意得：， 得，得，∴，∴， ∴，∴, ∴最小数所对应的卡片编号为A，最大数所对应的卡片编号为B，故答案为：A，B． 题型4一元一次方程的概念 8．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：方程①：，右边为分式，不是整式方程，不符合一元一次方程的定义； 方程②：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义； 方程③：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义； 方程④：，含项，次数为2，不符合一元一次方程的定义； 方程⑤：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义； 方程⑥：，含两个未知数x和y，不符合一元一次方程的定义； 综上，符合条件的一元一次方程为②、③、⑤，共3个，故选：B． 9．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）方程是一元一次方程，则的值为（ ） A．8 B． C． D．16 【答案】D 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ，，，，．故选：D． 10．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程，∴，∴， ∵关于的一元一次方程的解为，∴， ∴，∴，故选：B． 题型5 解一元一次方程 11．（24-25七年级上·云南保山·期末）解方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，等式两边同时乘以4得，．故选：D． 12．（25-26七年级上·广东·课后作业）解下列方程： (1)．(2)．(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （3）解：去分母，得。 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 13．（24-25七年级上·山西大同·期末）下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 任务一：（1）解答过程中，第______步开始出现了错误，产生错误的原因是______； （2）第三步变形的依据是______； 任务二：（1）该一元一次方程正确的解是______； （2）请写出两条解一元一次方程时应注意的事项． 任务三：小敏改正错误后，挑选了同类题型进行了巩固，请你和她一起解所选的方程：． 【答案】任务一：（1）去分母时，1漏乘了6；（2）等式的基本性质；任务二：；（3）答案不唯一，见解析；任务三： 【详解】解：任务一：（1）解答过程中，第一步开始出现了错误，产生错误的原因是去分母时，1漏乘了6； （2）第三步变形的依据是等式的基本性质； 任务二：（1） 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （3）移项要变号（答案不唯一）； 任务三：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 题型6一元一次方程中的同解、错解、遮挡问题 14．（25-26七年级上·江苏·课后作业）若方程与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：解方程得 两个方程的解相同，把代入,得解得：故选：C． 15．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）小明同学在解方程时，把数字看错了，解得，则小明把看成了（   ） A． B．8 C． D．3 【答案】B 【详解】解：将代入方程，得： ∴，解得：，因此，小明将看成了8，故选：B． 16．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）方程，■处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是，那么■处的常数是 ． 【答案】 【详解】将，代入方程中， 得，解得，故答案为：． 题型7特殊的一元一次方程解法 17．（24-25·河南驻马店·七年级期中）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是_________． 【答案】 【详解】∵，∴． ∵关于x的一元一次方程的解是x=71， ∴关于(y+1)的一元一次方程的解为：y+1=71， 解得：y=70，故答案为：y=70． 18．（24-25·山西忻州市·七年级期末）阅读材料，完成任务． 七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为： ， ， ． ， 解，得． 上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法． 任务：参照材料中的解题方法解方程． 【答案】x=-4 【详解】解： 设7-2x=a，则原方程变形为： ∴ 解得，a=15 即7-2x=15， 解得，x=-4 19．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，也可以写成．进一步地，如果数轴上点、分别对应数、，那么、两点间的距离为，比如，表示3的点与的点之间的距离表示为． (1)如图1，点、点在数轴上对应的数分别为、1，则、两点间的距离为______； (2)已知、、三个数在数轴上的位置如图2所示，化简：______； (3)若，则______． 【答案】(1)3(2)(3)或3 【详解】（1）解：、两点间的距离为，故答案为：3． （2）解：由数轴可知，， ，． （3）解：表示到2的距离，表示到的距离， 当时，原式变形为，解得， 当时，原式变形为，该方程无解， 当时，原式变形为，解得， 综上所述或3，故答案为：或3． 题型8一元一次方程的新定义问题 20．（24-25七年级下·山西长治·期中）阅读与思考 阅读下面的内容，并完成相应任务． 美好方程定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以方程与互为“美好方程”． 任务：(1)请判断方程与是否互为“美好方程”，并说明理由． (2)若关于的方程与互为“美好方程”，求的值． 【答案】(1)不是，理由见解析(2) 【详解】（1）解：方程与不互为“美好方程”，理由如下： 解方程，得，解方程，得， ，方程与不互为“美好方程”； （2）解：解方程，得，解方程，得， 关于的方程与互为“美好方程”，解得． 21．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于x的方程互为“归一方程”，求m的值． (2)若关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”，求a的值． (3)若关于x的两个方程与互为“归一方程”，求出所有满足条件的正整数m、n值． 【答案】(1)(2)(3)，或， 【详解】（1）解：∵，∴， ∵方程与关于x的方程互为“归一方程”， ∴中的即∴ （2）解：∵，∴，∴， ∵∴∴∴∴ ∵关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”， ∴∴∴． （3）解：∵∴∴ ∵∴∴ ∵关于x的两个方程与互为“归一方程” ∴∴∴ 则∴∴ ∵m、n为正整数那么，此时，；或，此时，； 综上：，或， 题型9 根据解的情况求参数值 22．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是 ． 【答案】 【详解】解：解方程得， ∵a，x为正整数，∴a的值为或，∴所有正整数a的值的和是，故答案为：． 23．（2024七年级下·福建泉州·竞赛）若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ． 【答案】 【详解】解：；； 把代入得：，∴，∴， ∴，故答案为：． 24．（2024·上海杨浦·八年级期中）当m取___ 时，关于 x的方程mx+m＝2x无解． 【答案】2 【详解】解：移项得：mx﹣2x＝﹣m，合并同类项得：（m﹣2）x＝﹣m． ∵关于 x的方程mx+m＝2x无解，∴m﹣2＝0．解得：m＝2．答案为：2． 题型10 一元一次方程的实际应用 25．（24-25七年级上·河北沧州·期中）一辆快车从A地匀速驶往B地，同时一辆慢车从B地匀速驶往A地，两车行驶时相遇，相遇地点距B地．相遇后再行驶，快车到达B地，休息后立即以原速返回，驶往A地．(1)快车的速度是_____，慢车的速度是_____；A、B两地的距离是_____； (2)从两车出发直至慢车到达A地的过程中，经过几小时两车相距？ 【答案】(1)120，60，360(2)经过1小时或3小时或5小时两车相距180km 【详解】（1）解：∵两车同时出发，行驶时相遇，相遇地点距地， ∴慢车的行驶速度为：， 又∵相遇后再行驶，快车到达地，∴快车行驶了， ∴快车的速度为，∴、两地的距离是： 故答案为：；；； （2）解：设从两车出发直至慢车到达地的过程中，经过小时两车相距，则有三种情况： ①两车相遇前：，解得：； ②两车相遇后：，解得：； ③时，快车行驶了，∴快车到达地，休息后，时， 此时两车已经相距：，∴，解得：． 答：经过小时或小时或小时两车相距． 26.（2025·山西·模拟预测）年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天．(1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 【答案】(1)天(2)天 【详解】（1）解：， 答：乙工程队单独完成需要天； （2）解：设甲乙还需合作天才能修完这条水渠， 由题意得，，解得， 答：甲乙还需合作天才能修完这条水渠． 27．（24-25七年级下·重庆渝北·自主招生）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，售价60元；乙种商品每件进价50元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 (1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，恰好总进价为2600元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (2)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款320元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)购进甲商品40件，乙商品20件(2)小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共12或13件 【详解】（1）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 由题意得，，解得：，则． 答：购进甲商品40件，乙商品20件． （2）解：设第一天购买乙种商品件， 依题意得，或，解得或（舍去）， 所以第一天购买乙种商品5件． 元，每件乙种商品售价为80元． 设第二天购买甲种商品件， 依题意得，或，解得或9， 所以第二天购买甲种商品8或9件，件或件． 答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共12或13件． 28．（24-25七年级上·山东·期中）如图是年月份的月历，请解决下列问题： 星期天 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 (1)竖排相邻各数间有什么关系？横排相邻各数间有什么关系？ (2)从左上到右下的对角线上相邻各数间有什么关系？从右上到左下的对角线上相邻各数间有什么关系？ (3)暑假期间小明和家人外出游玩天，这天的日期之和是，小明是几号出去玩的？ 【答案】(1)竖排相邻各数间相差，横排相邻各数间相差 (2)从左上到右下的对角线上相邻各数间相差，从右上到左下的对角线上相邻各数间相差 (3)号 【详解】（1）解：由月历可得，竖排相邻各数间相差，横排相邻各数间相差； （2）解：由月历可得，从左上到右下的对角线上相邻各数间相差，从右上到左下的对角线上相邻各数间相差； （3）解：设小明是号出去玩的， 由题意得，，解得， 答：小明是号出去玩的． 1．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数．首先要“立天元一”，相当于“设未知数x”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，进而得到一个等式．“天元术”指的是我们所学的（    ） A．函数 B．有理数 C．代数式 D．方程 【答案】D 【详解】解：∵用“天元”表示未知数，解题先要“立天元为某某”，相当于“设x为某某”， 又∵含有未知数的等式是方程， ∴“天元术”是中国数学史上的一项杰出创造，它指的是我们所学的方程．故选：D． 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）代数式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的代数式的值，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 3 8 6 4 2 0 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴，观察表格数据，得出当时，则； 即关于的方程的解是故选：D． 3．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A：代入，左边，右边，等式不成立。 B：代入，左边，右边，等式不成立。 C：代入，左边=，右边，等式成立。 D：代入，左边=，右边，，等式不成立。 综上，只有选项C的解为。故选：C 4．（24-25七年级上·广东韶关·阶段练习）下列式子中变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】解：A、∵，∴ ，故本选项不符合题意； B、∵，∴两边都除以得：，故本选项符合题意； C、∵，∴两边都乘以3得：，故本选项不符合题意； D、∵，∴两边都加得：，故本选项不符合题意；故选：B． 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知关于的方程的解是，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：把代入方程得，解得．故选：D． 6．（24-25七年级上·贵州·期末）下列方程变形正确的是（         ） A．由移项，得 B．由去括号，得 C．由系数化为1，得 D．由去分母，得 【答案】D 【详解】解：A．由移项，得，故选项A错误； B．由去括号，得，故选项B错误； C．由系数化为1，得，故选项C错误； D．由去分母，得，故选项D正确；故选：D． 7．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】B 【详解】解：设李白的壶中原来有酒斗，，解得：，故答案为：B． 8．（24-25·江西景德镇·七年级期末）若是关于的方程的解，则关于的方程的解为______． 【答案】 【详解】解：将代入方程， ，整理得，则， ，解得，故答案为． 9．（2025七年级上·四川成都·专题练习）假设“△、〇、□”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，要使第三架天平也保持平衡，则“？”处应放△的个数是 【答案】6 【详解】解：由题意可得，， ∴，，∴则，故答案为：6 10．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵是关于的一元一次方程，∴且，∴，答案：． 11．（24-25七年级上·山东泰安·单元测试）计算： (1)；(2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去括号得：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 12．（2025·北京·模拟预测）年，为加力支持消费者购买绿色智能家电，增添绿色消费新动力，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，补贴期间，对在京个人消费者购买一级和二级能效(水效)的冰箱(含冰柜)、洗衣机(含洗烘一体机)、电视、空调、电脑(含学习机)、热水器(含壁挂炉)、家用灶具(含集成灶)、吸油烟机等类家电产品予以以旧换新补贴．补贴标准：一级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴；二级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴，每位消费者每类产品可补贴件，每件补贴不超过元． 已知在补贴期间，一位顾客购买了一台一级能效的电脑和一台二级能效的洗衣机，共花费元，比补贴前便宜了元，若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜多少元？ 【答案】若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜元． 【详解】解：设该顾客购买的电脑补贴前售价为元，则他购买的洗衣机补贴前的售价为元， 根据题意得，解得：， ∴（元），答：若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜元． 1．（24-25七年级下·山西临汾·期末）关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（   ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原方程可化简为，解得（）． 当时，，与一致，正确． 当时，，但表中，矛盾，错误． 当时，，与一致，正确． 当时，，与一致，正确．综上，错误的解为选项B．故选B． 2．（24-25七年级上·山东淄博·期末）若不论取何值，关于的方程（，是常数）的解总是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是， ，，， ，，，，故选：D． 3．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得：的解为， 将代入中，得：∴， 再将代入中，得：∴，故选：B． 4．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（    ） A．或 B．或2 C．或2 D．或或2 【答案】C 【详解】解：当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 综上，或，故选：C． 5．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的方程的解是负整数，则满足条件的整数k的值有 个． 【答案】 【详解】解：∵关于x的方程的解是负整数，∴的值为，，， 解得的值为，，，共个，故答案为：． 6．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）一只轮船在水速为千米的河道中航行，从地顺流到地用了小时，从地返回时用了小时，这只轮船往返的平均速度是 千米/时． 【答案】 【详解】解：设这只轮船在静水中的速度是千米/时， 依题意，得：，解得：， ∴、两地的距离为：， ∴（千米/时）， ∴这只轮船往返的平均速度是千米/时，故答案为：． 7．（24-25七年级上·河南郑州·期末）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：把无限循环小数0.6化为分数的过程如下，由，即，可得．类比上述过程，把无限循环小数化为分数的结果是 ． 【答案】 【详解】解：设，则， ，即， 解方程得，即．故答案为：． 8．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______； (3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值． 【答案】(1)1(2)5(3)， 【详解】（1）解： ， 将，代入得， ， 故答案为：1； （2）解：∵ ∴ ∴，代入得， ， ， 故答案为：5； （3）解：由，得， ∵的值为整数， ∴为整数，且取正整数， ∴或或 当时，； 当时，； 当时，； ∵ ∴ ∴， ∵的值为整数， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； ∵方程的解也是关于的方程的解， ∴，． 9．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．例如：，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． [操作发现]（1）如图，数轴上表示1和6的两点之间的距离是______；数轴上表示3和7的两点之间的距离是____；数轴上表示和3的两点之间的距离是____；数轴上表示和的两点之间的距离是____； [类比探究]（2）可理解为在数轴上______和______两点之间的距离； [拓展应用]（3）若数轴上分别表示m和的两点A和B之间的距离是24，则m=______； （4）若，则x=______； 【答案】（1）5，4，6，4；（2），2；（3）22或；（4）1或 【详解】解：（1）数轴上表示1和6的两点之间的距离是， 数轴上表示3和7的两点之间的距离是， 数轴上表示和3的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是，故答案为：5，4，6，4； （2）可理解为在数轴上和 2两点之间的距离；故答案为：，2； （3）依题意：，， 或，或，故答案为：22或； （4），或，或，故答案为：1或． 10．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）我们把“”叫做“的阶乘”，其中为正整数．规定：．例如．规定：在含有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加减，有括号就先算括号里面的． (1)按照以上的规定，计算： ； ； ； (2)计算：；(3)已知为整数，求出满足该等式的． 【答案】(1)；；(2)(3)或 【详解】（1）解：；； ；故答案为：；；； （2）解：； （3）解：， ，，即，，解得或． 11．（24-25七年级上·四川成都·期末）育红学校七年级学生步行到郊外旅行，七（1）班学生组成前队，步行速度为5千米/时，七（2）班学生组成后队，步行速度为7千米/时，前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断进行联络，他骑车的速度为12千米/时，根据上面的事实回答问题．(1)后队第一次追上前队用了　　小时；后队第一次追上前队时联络员行了　　千米． (2)联络员第一次追上前队用了多长时间？请你写出求解过程． (3)联络员第一次与后队相遇用了多长时间？请你写出求解过程． 【答案】(1)；30(2)联络员第一次追上前队用了小时(3)联络员第一次与后队相遇用了小时 【详解】（1）解：由题得：后队第一次追上前队用的时间为：（小时）， 后队第一次追上前队时联络员行驶的路程为：（千米）， （2）解：设联络员第一次追上前队用了x小时，根据题意得： ，解得，，即联络员第一次追上前队用了小时； （3）解：设联络员第一次与前队相遇到与后队相遇用了y小时，根据题意得： ，解得：，∴， 即联络员第一次与后队相遇用了小时． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 一元一次方程 1、等式的性质 等式的基本性质1：等式两边同加上（或同减去）同一个数或式，所得结果任是等式。 用字母可以表示为：如果，那么。 等式的基本性质2：等式两边都乘或都除以同一个数或式，（除数不能为零），所得结果任是等式。 用字母可以表示为：如果，那么或（c≠0）。 其他性质：①对称性：若a=b，则b=a；②传递性：若a=b，b=c，则a=c。 2、一元一次方程有关概念 方程：含有未知数的等式，这样的等式叫作方程。 方程的解：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解。 解方程：求方程的解的过程，叫作解方程。 一元一次方程：一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程。 3、解一元一次方程的步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项：把等式一边的某项变号后移到另一边；(4)合并同类项；(5)系数化为1。 4、用一元一次方程解决实际问题 (1)设未知数；(2)列方程；(3)解方程；(4)检验所得结果；(5)确定答案。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1 方程与等式的辨别 1．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级上·浙江·月考）在， ， ，， ，中等式有： 方程有： （填序号） 题型2 方程的解 3．（25-26七年级上·福建福州·阶段练习）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·绵阳市·期末）下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 题型3等式的基本性质及运用 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列变形中，正确的是（    ） A．若，那么 B．若，那么 C．，那么 D．若，那么 6．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，若天平①平衡，则下列选项中，天平一定平衡的是（    ） A． B．C．D． 7．（2025·四川·中考真题）将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为 ，最大数所对应的卡片编号为 ． 题型4一元一次方程的概念 8．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）方程是一元一次方程，则的值为（ ） A．8 B． C． D．16 10．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 题型5 解一元一次方程 11．（24-25七年级上·云南保山·期末）解方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·广东·课后作业）解下列方程： (1)．(2)．(3)． 13．（24-25七年级上·山西大同·期末）下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 任务一：（1）解答过程中，第______步开始出现了错误，产生错误的原因是______； （2）第三步变形的依据是______； 任务二：（1）该一元一次方程正确的解是______； （2）请写出两条解一元一次方程时应注意的事项． 任务三：小敏改正错误后，挑选了同类题型进行了巩固，请你和她一起解所选的方程：． 题型6一元一次方程中的同解、错解、遮挡问题 14．（25-26七年级上·江苏·课后作业）若方程与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 15．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）小明同学在解方程时，把数字看错了，解得，则小明把看成了（   ） A． B．8 C． D．3 16．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）方程，■处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是，那么■处的常数是 ． 题型7特殊的一元一次方程解法 17．（24-25·河南驻马店·七年级期中）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是_________． 18．（24-25·山西忻州市·七年级期末）阅读材料，完成任务． 七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为： ， ， ． ， 解，得． 上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法． 任务：参照材料中的解题方法解方程． 19．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，也可以写成．进一步地，如果数轴上点、分别对应数、，那么、两点间的距离为，比如，表示3的点与的点之间的距离表示为． (1)如图1，点、点在数轴上对应的数分别为、1，则、两点间的距离为______； (2)已知、、三个数在数轴上的位置如图2所示，化简：______； (3)若，则______． 题型8一元一次方程的新定义问题 20．（24-25七年级下·山西长治·期中）阅读与思考 阅读下面的内容，并完成相应任务． 美好方程定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以方程与互为“美好方程”． 任务：(1)请判断方程与是否互为“美好方程”，并说明理由． (2)若关于的方程与互为“美好方程”，求的值． 21．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于x的方程互为“归一方程”，求m的值． (2)若关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”，求a的值． (3)若关于x的两个方程与互为“归一方程”，求出所有满足条件的正整数m、n值． 题型9 根据解的情况求参数值 22．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是 ． 23．（2024七年级下·福建泉州·竞赛）若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ． 24．（2024·上海杨浦·八年级期中）当m取___ 时，关于 x的方程mx+m＝2x无解． 题型10 一元一次方程的实际应用 25．（24-25七年级上·河北沧州·期中）一辆快车从A地匀速驶往B地，同时一辆慢车从B地匀速驶往A地，两车行驶时相遇，相遇地点距B地．相遇后再行驶，快车到达B地，休息后立即以原速返回，驶往A地．(1)快车的速度是_____，慢车的速度是_____；A、B两地的距离是_____； (2)从两车出发直至慢车到达A地的过程中，经过几小时两车相距？ 26.（2025·山西·模拟预测）年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天．(1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 27．（24-25七年级下·重庆渝北·自主招生）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，售价60元；乙种商品每件进价50元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 (1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，恰好总进价为2600元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (2)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款320元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 28．（24-25七年级上·山东·期中）如图是年月份的月历，请解决下列问题： 星期天 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 (1)竖排相邻各数间有什么关系？横排相邻各数间有什么关系？ (2)从左上到右下的对角线上相邻各数间有什么关系？从右上到左下的对角线上相邻各数间有什么关系？ (3)暑假期间小明和家人外出游玩天，这天的日期之和是，小明是几号出去玩的？ 1．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数．首先要“立天元一”，相当于“设未知数x”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，进而得到一个等式．“天元术”指的是我们所学的（    ） A．函数 B．有理数 C．代数式 D．方程 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）代数式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的代数式的值，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 3 8 6 4 2 0 A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·广东韶关·阶段练习）下列式子中变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知关于的方程的解是，则的值为（   ）． A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·贵州·期末）下列方程变形正确的是（         ） A．由移项，得 B．由去括号，得 C．由系数化为1，得 D．由去分母，得 7．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 8．（24-25·江西景德镇·七年级期末）若是关于的方程的解，则关于的方程的解为______． 9．（2025七年级上·四川成都·专题练习）假设“△、〇、□”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，要使第三架天平也保持平衡，则“？”处应放△的个数是 10．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 11．（24-25七年级上·山东泰安·单元测试）计算： (1)；(2)； (3)； (4)． 12．（2025·北京·模拟预测）年，为加力支持消费者购买绿色智能家电，增添绿色消费新动力，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，补贴期间，对在京个人消费者购买一级和二级能效(水效)的冰箱(含冰柜)、洗衣机(含洗烘一体机)、电视、空调、电脑(含学习机)、热水器(含壁挂炉)、家用灶具(含集成灶)、吸油烟机等类家电产品予以以旧换新补贴．补贴标准：一级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴；二级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴，每位消费者每类产品可补贴件，每件补贴不超过元． 已知在补贴期间，一位顾客购买了一台一级能效的电脑和一台二级能效的洗衣机，共花费元，比补贴前便宜了元，若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜多少元？ 1．（24-25七年级下·山西临汾·期末）关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（   ） 2 3 A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东淄博·期末）若不论取何值，关于的方程（，是常数）的解总是，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（    ） A．或 B．或2 C．或2 D．或或2 5．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的方程的解是负整数，则满足条件的整数k的值有 个． 6．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）一只轮船在水速为千米的河道中航行，从地顺流到地用了小时，从地返回时用了小时，这只轮船往返的平均速度是 千米/时． 7．（24-25七年级上·河南郑州·期末）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：把无限循环小数0.6化为分数的过程如下，由，即，可得．类比上述过程，把无限循环小数化为分数的结果是 ． 8．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______； (3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值． 9．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．例如：，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． [操作发现]（1）如图，数轴上表示1和6的两点之间的距离是______；数轴上表示3和7的两点之间的距离是____；数轴上表示和3的两点之间的距离是____；数轴上表示和的两点之间的距离是____； [类比探究]（2）可理解为在数轴上______和______两点之间的距离； [拓展应用]（3）若数轴上分别表示m和的两点A和B之间的距离是24，则m=______； （4）若，则x=______； 10．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）我们把“”叫做“的阶乘”，其中为正整数．规定：．例如．规定：在含有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加减，有括号就先算括号里面的． (1)按照以上的规定，计算： ； ； ； (2)计算：；(3)已知为整数，求出满足该等式的． 11．（24-25七年级上·四川成都·期末）育红学校七年级学生步行到郊外旅行，七（1）班学生组成前队，步行速度为5千米/时，七（2）班学生组成后队，步行速度为7千米/时，前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断进行联络，他骑车的速度为12千米/时，根据上面的事实回答问题．(1)后队第一次追上前队用了　　小时；后队第一次追上前队时联络员行了　　千米． (2)联络员第一次追上前队用了多长时间？请你写出求解过程． (3)联络员第一次与后队相遇用了多长时间？请你写出求解过程． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $