5.1.1任意角课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“任意角”核心内容，先复习初中静态角定义及0°~360°范围，再通过体操旋转、齿轮转动等现实情境引出角的范围扩展需求，搭建从静态到动态角的认知支架，衔接新旧知识。 其亮点在于以问题探究驱动概念建构，如通过时钟校准问题抽象正角、负角概念，结合终边相同角集合推导培养数学思维。运用象限角辨析、实例计算（如-950°12'转化）等，发展学生抽象能力与推理意识，帮助学生用数学语言表达角的关系，教师可借助结构化流程提升教学效率。

5.1.1 任意角 复习回顾 初中角的静态定义： (顶点) (边) (边) 生活中，我们可以发现许多与角有关的图形，那么小学初中我们是如何来定义角的呢？角的范围呢？ 其中这个公共端点叫做角的顶点，组成角的两条射线叫做角的边. 如图∠AOB 平面内具有公共端点的两条射线构成的图形就叫做角. 角的范围0°~360° 情景导入 现实生活中随处可见超出0°~360°范围的角． 例如，体操中有 “前空翻转体540度”,“后空翻 转体720度”. 再如齿轮旋转 很显然，0°~360°角难以满足我们的需要，基于上述角的特点，我们需要将角的范围扩大. 问题探究 探究1假如时钟慢了15分钟，如何校准？请描述校准后分针所转的角度， 若时钟快了15分钟呢？请描述校准后分针所转的角度. 这两个角一样吗？ 1、周角是 度 2、时钟表面被12个刻度分成12等分，每一等分是 度 360 30 3、若时间快了15分钟，则可以把分针按 旋转 度 若时间慢了15分钟，则可以把分针按 旋转 度 90 90 逆时针 顺时针 概念讲解 角的定义 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角. 定义 o A B 始边　 终边 顶点 α 记法： 记作角α或∠α， 可简记为α. 概念讲解 任意角和角的大小分类 6 不旋转 逆时针 始边 顺时针 始边 正角：按逆时针方向旋转形成的角. 负角：按顺时针方向旋转形成的角.　 零角：一条射线没有作任何旋转形成的角. 这样，我们就把角的大小推广到实数范 围，我们称为任意角. 确定任意角的度数既要知道旋转量，又 要知道旋转方向，角的正负由旋转方向决定. 概念讲解 两个角相等 设角α由射线OA 绕端点O旋转而成，角β由射线O'A'绕端点O' 旋转而成. 若它们的旋转量相等且旋转方向相同，那么就称α＝β. 相反角 我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角． 设α, β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β． 角的加法 概念辨析 为了以后讨论方便，我们将角放在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. 在同一直角坐标系中作以下角：-30°，45°，225°，-270°，405°，－585°. y x O 第四象限角 第三象限角 第二象限角 第一象限角 轴线角 轴线角 角的位置分类 1.象限角： 2.轴限角： 角的顶点于原点，始边于轴的非负半轴重合， 终边落在第几象限就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上，那么就认为 这个角不属于任何一个象限，称为轴线角． O 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 轴线角 概念讲解 新知应用 例1 若α=-150°，则角α的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C 例2 (多选)下列叙述不正确的是( ) A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B.钝角是第二象限角 C.第二象限角比第一象限角大 D.小于180°的角是钝角、直角或锐角 ACD 注意(1)每一个象限都有正角和负角. (2)无法比较两个象限角的大小. 问题探究 探究2 给定一个角，它的终边唯一. 若两个角的终边相同，那么这两个角相等吗？ 在同一个直角坐标系中画出-32°，-392°，328°，观察它们有什么关系？ 它们的终边都是相同的， 每两个角之间都相差整数个周角. . 概念讲解 终边相同角 所有与α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S={ β |β=α+k·360º, k∈Z } 即与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 定义 在直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360º后回到原来的位置. 因此，在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律. 新知应用 例3在0°~360°范围内，找出与-950°12'角终边相同的角，并判定它是第几象限角. 练习 已知α=-1 845°，在与角α终边相同的角中，求满足下列条件的角. ①最小的正角；②最大的负角；③-360°~720°之间的角. -950°12'=129°48'-3×360° 新知应用 例4 写出终边在y轴上的角的集合. 在0°360°范围内，终边在y轴上的角有90°、270°. 因此，所有与90°角终边相同的角构成集合 S1 ={β|β=90°+k·360°,k∈Z}， 所有与270°角终边相同的角构成集合S2 ={β|β=270°+k·360°,k∈Z}， 于是，终边在y轴上的角的集合 S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=270°+2k·180°,k∈Z} ={β|β=90°+n·180°,n∈Z} 新知应用 例5 写出终边在直线y=x上的角的集合S. 问S中满足不等式-360°≤ β<720°的元素β有哪些？ S={β|β=45°+n·180°，n∈Z}. 45°-2×180°=-315°，45°-1×180°=-135°， 45°+0×180°=45°，45°+1×180°=225°， 45°+2×180°=405°，45°+3×180°=585°. 新知应用 例6 写出终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合？ {α|150°+k·360°≤α≤225°+k·360°,k∈Z} 新知应用 例7写出终边落在阴影部分(不包括边界)的角α的集合？ {α|30°+k·180°<α<150°+k·180°,k∈Z} 课堂小结 $