第06讲 空间角、空间距离的计算（七大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

第06讲 空间角、空间距离的计算 【苏教版】 模块一 空间角的计算 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【题型1 向量法求异面直线所成的角】 【例1】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）直三棱柱中，，，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件，建立空间直角坐标系，求出，再利用线线角的向量法，即可求解. 【解答过程】由题可建立，以为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示， 因为，点是的中点，所以， 则， 设直线与所成的角为，则， 故选：C. 【变式1.1】（24-25高二上·河北廊坊·期末）如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先通过已知条件建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，再利用向量夹角余弦值公式计算异面直线和夹角的余弦值. 【解答过程】因为，，两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 已知，则，，，. 因为为的中点，根据中点坐标公式可得点坐标为. 又因为为的中点，所以.   由坐标可得. .   先计算. 再计算，. 所以. 但异面直线夹角范围是，所以异面直线和夹角的余弦值为. 故选：D. 【变式1.2】（25-26高二上·河北衡水·阶段练习）如图，正四棱锥，，，P为侧棱SD中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）连结交于点，连结，证明四边形是正方形，证明平面，证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解. 【解答过程】（1）连结交于点，连结， 因为正四棱锥，所以平面， 又平面，所以， 因为正四棱锥， 所以四边形是正方形， 所以，因为，，，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2） 因为， 所以以为原点建立空间直角坐标系， 使用， 所以， 所以， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为. 【变式1.3】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点. (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1) 建立合适的空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解. (2) 利用线面平行，转化为求到平面的距离，即可利用点面距离的向量法求解公式求解. 【解答过程】（1）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，，所以， 即直线与直线所成角的余弦值为. （2）由于，平面，平面，故平面， 因此直线到平面的距离与点到平面的距离相等. ，，，， 设平面的法向量为，则，且， 令，则. 又，故到平面的距离为， 因此直线到平面的距离为. 【题型2 向量法求线面角】 【例2】（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系求出平面的法向量，再由线面角的向量求法可得结果. 【解答过程】因为两两互相垂直，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由可设，则， 因此， 显然，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则； 所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 故选：A. 【变式2.1】（24-25高二上·浙江·阶段练习）在四棱台中，平面，，，，且，动点满足，则直线与平面所成角正弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，由向量法表示线面角的正弦值，根据的范围求解即可. 【解答过程】 如图建立空间直角坐标系， 所以，，， ，，， ， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以, 因为，所以当时，正弦值最大，且最大值为. 故选：. 【变式2.2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，点在底面ABC的射影为，，，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若直线AB与平面EAC所成角的正弦值为，求AB． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）连接BO并延长交AC于D，先证O为BD的中点，然后可得，再利用线面平行的判定即可证明； （2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，线面角为，根据平面法向量的求解方式得到平面的一个法向量，再利用求解即可. 【解答过程】（1）如图①，连接BO并延长交AC于D．    连接OA，，易得平面ABC． 因为平面ABC，平面ABC， 所以，． 又，所以， 即，故． 因为，所以， 则，， 即，故，所以， 故O为BD的中点，又E是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）因为，故以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴， 过点A作，建立如图②所示的空间直角坐标系Axyz，    易得， 设，，则， 故，，，，， 则，，， 设平面AEC的法向量为， 则， 则，令，得，故， 设直线AB与平面EAC所成的角为θ， 则 解得，即． 【变式2.3】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． (1)求证：平面平面； (2)若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据条件先证明线面垂直，进而得证面面垂直； （2）利用空间向量法计算线面夹角正弦值； 【解答过程】（1）在梯形中，，故， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）由（1）得两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，．易知． 因为是的中点，点是的中点，所以，． ，． 设平面的法向量为，则得 取，则，得平面的一个法向量为 设直线与平面所成角为， 则 ． 【题型3 向量法求二面角】 【例3】（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在长方体中，，，，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，利用面面角的向量法即可求解. 【解答过程】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，故，， 设平面的一个法向量为， 所以有，即，取故， 平面的一个法向量为，， 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 故选：D. 【变式3.1】（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解. 【解答过程】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，所以. 故选：B. 【变式3.2】（2025·全国·模拟预测）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，如图所示． (1)证明：平面； (2)若为等边三角形，平面平面，，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）取的中点，连接，由题设先证明四边形为平行四边形，可得，进而求证即可； （2）取的中点的中点，连接，由面面垂直的性质得到平面，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】（1）如图所示，取的中点，连接． 由分别为的中点，则， 而，得， 即四边形为平行四边形，故， 而平面平面，故平面． （2）取的中点的中点，连接， 由为等边三角形，则． 由平面平面，平面平面平面， 故平面． 由， 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，， 则． 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得． 则．     由图形知，二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为． 【变式3.3】（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成角的余弦值； 【解答过程】（1）在图1的中，， 所以，，且，， 因为，所以，，则，， 在中，，，，则， 在图2的中，，，， 满足，所以， 因为，，，、平面， 所以平面. （2）因为平面，， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，， 设平面一个的法向量，则， 取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面与平面所成角为， 则， 因此，平面与平面所成角的余弦值为. 模块二 空间距离的计算 1．距离问题 (1)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． (2)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． 2．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为. 3．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 【题型4 点到平面距离的向量求法】 【例4】（24-25高二下·江苏扬州·期中）在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用正方体建系，分别求出相关点和向量的坐标，计算出平面APQ的法向量坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得. 【解答过程】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，平面的中心，平面的中心， 于是，， 设平面的法向量为，则，取，得， 则点B到平面APQ的距离为. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用空间向量法来求平行线与平行平面间的距离即可. 【解答过程】 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，即 平面平面 平面 直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则即 令，则 点到平面的距离为. 故选：D. 【变式4.2】（24-25高二下·福建泉州·期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.    (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由PC⊥底面ABCD，得到PC⊥AD，再由CD⊥AD ，得到AD⊥面PCD，然后利用面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面PAD的一个法向量，由点到平面距离向量公式计算求解. 【解答过程】（1）∵PC⊥底面ABCD，平面， ∴PC⊥AD， 又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面， ∴AD⊥平面PCD， ∵平面PAD， ∴平面PCD⊥平面PAD； （2）如图建立空间直角坐标系，    则 ， 所以， 设平面PAD的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点B到平面PAD的距离为：. 【变式4.3】（24-25高二下·福建宁德·期中）如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用空间向量与平面的法向量垂直可证结论正确； （2）根据点面距的向量公式可求出结果. 【解答过程】（1）证明：以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，， 所以，，.     设是平面的一个法向量， 则令，得，， 所以.     因为，     所以，又因为平面， 所以平面. （2）因为，，     设是平面的一个法向量， 则令，得，，所以.     所以点到平面的距离. 【题型5 平行平面距离的向量求法】 【例5】（24-25高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【解答过程】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 【变式5.1】（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离 ， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B. 【变式5.2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【答案】 【解题思路】由题以为原点建立空间直角坐标系，求出，进而得出，再由线面平行和面面平行的判定定理得平面平面，从而用向量法求出点到平面的距离即为解. 【解答过程】由题可以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，            则，，， 所以， 故，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以平面到平面的距离等价于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则，所以， 令，则，所以， 故点到平面的距离为，即平面到平面的距离为. 【变式5.3】（2025高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用向量求解可得； （2）平面与平面间的距离等于点到平面的距离，利用向量法求解即可． 【解答过程】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 所以，所以，即， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，又， 所以点到平面的距离.      （2）由（1）知平面，同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 即平面与平面间的距离等于点到平面的距离． 由（1）知，点到平面的距离. 所以平面与平面间的距离为. 【题型6 点到直线距离、异面直线距离的向量求法】 【例6】（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间向量求点到直线的距离公式计算即可. 【解答过程】根据题意可知，， 所以点到直线的距离. 故选：B. 【变式6.1】（24-25高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积即可得解. 【解答过程】分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，E为AB的中点， 则，，，， 则，， 设与DE的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，则， 又， 所以异面直线与DE之间的距离为. 故选：C. 【变式6.2】（24-25高二上·辽宁大连·期末）三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）由题意和三棱台的结构特征可得，进而证得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据面面垂直的性质和线面垂直的判定定理与性质证得、 ，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线距，即可求解. 【解答过程】（1）三棱台中，，则， 有，得，所以， 又，所以在平面内，，有， 平面平面，所以平面． （2）已知平面平面ABC，平面平面，， 平面，所以平面，由平面，得， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，由平面ABC，得 . 以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系． 则有， ， 因为，所以， 设向量，且满足：， 则有，令， 在的投影数量为， 则异面直线与DE的距离为. 【变式6.3】（24-25高二上·河南开封·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用计算距离的方式计算即可. 【解答过程】（1）建立如图所示空间直角坐标系，    得,, ,,， 所以,， 所以点到直线的距离为； （2）设平面的一个法向量为， 由（1）可知,,， 易知， 令，得， 所以， 所以点到平面的距离为. 【题型7 利用空间向量研究探索性问题】 【例7】（24-25高三上·山东威海·期末）如图，在以为顶点的多面体中，平面平面， 为的中点    (1)证明： 平面； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解题思路】（1） 先得出平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可； （2）先应用面面垂直性质定理建系，再设，计算线面角即可求参. 【解答过程】（1）连接交于点，连接， 因为 ，所以四边形为平行四边形， 所以为的中点， 又因为为的中点， 所以 ， 因为平面平面， 所以 平面. （2）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 以为坐标原点，在平面内，以过点垂直于的方向为轴正方向， 以的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，可得， 令，则， 假设在棱上存在一点，使得直线与平而所成角的大小为， 设， 因为，则， 又因为，所以， 则， 化简得，解得， 因为，所以， 所以在棱上存在一点，使得直线与平面所成角的大小为， 此时. 【变式7.1】（24-25高二上·湖南永州·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，． (1)求线段的长； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【解题思路】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可构造方程求得结果； （2）根据面面角的向量求法可构造方程求得长，进而得到结果. 【解答过程】（1）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， ，即. （2）设，则，， 设平面的法向量， ，令，则，，； 轴平面，平面的一个法向量， ，即， 解得：或（舍），即， 当时，平面与平面夹角的余弦值为. 【变式7.2】（24-25高二上·天津和平·开学考试）如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)求平面PDM和平面BDM的夹角的余弦值； (3)在线段PA上是否存在点，使点到平面BDM的距离是？若存在，求PQ的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3)若存在点，使点到平面BDM的距离是，PQ的长为 【解题思路】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行和边长关系，故四边形为平行四边形，，从而证明出线面平行； （2）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，求出面面角的余弦值； （3）设，，求出，在（2）基础上，平面的一个法向量，利用点到平面的距离向量公式得到方程，求出，求出. 【解答过程】（1）取的中点，连接， 因为为棱PC的中点，所以且， 又，故， 又，故， 所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面， 所以平面； （2）平面平面，交线为，又，平面， 故平面， 因为平面，所以 ， ， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 其中平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，故， 设平面PDM和平面BDM的夹角为， 则； （3）设，，， 故，所以， 故， 由（2）知平面的一个法向量为， 点到平面BDM的距离是， 解得或（舍去）， 此时， 若存在点，使点到平面BDM的距离是，PQ的长为. 【变式7.3】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形， ，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【解题思路】（1）由线面垂直得到，进而得到线面垂直，最后得到平面平面.（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和法向量，结合点面距离公式计算即可； （3）结合（2），设，得到平面的一个法向量，结合题意，构造方程计算即可. 【解答过程】（1）由平面平面，则， 又，由，且平面， 所以面， 又面，所以平面平面. （2）由（1）易知，又，过作于， 由面面，面 面面， 所以面， 过作 ，易知， 故可构建如图示空间直角坐标系. 又 ， 则， 所以， 若是面的一个法向量， 则解得， 所以点到平面的距离. （3）同（2）构建空间直角坐标系，易知平面的法向量 设， 于是 ， ， 设是平面的一个法向量， 则，令， 因为平面与平面所成角的余弦值为， 所以， 整理得，即或（舍） 故，所以. 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，，，，，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先证明平面，直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离公式计算即可. 【解答过程】，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的法向量为，则,令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离是． 故选：D. 2．（25-26高二上·全国·课前预习）如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】以D为原点建立空间直角坐标系，用异面直线所成角的向量法求解公式计算. 【解答过程】以D为原点，分别以DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 则，故与MN所成角的余弦值为． 故选：A. 3．（25-26高二上·全国·课前预习）在棱长为1的正方体中，E，P分别为棱，的中点，则点E到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】以D为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，写出需要的点的坐标，求出向量和平面的法向量为，利用公式即可求出答案． 【解答过程】以D为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，故， 取，则，，则， 故点E到平面的距离为． 故选：C． 4．（25-26高二上·全国·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将三棱锥放入正方体中，建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的余弦值． 【解答过程】由题可知两两垂直，且． 因此，如图所示正方体内的三棱锥即为满足题意的鳖臑， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为2，    则，，，，，则，，． 设平面的法向量为， 则即 故可取．设直线与平面所成角为， 则，故， 故选：D． 5．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案. 【解答过程】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，由，可得， 为的重心，所以，，， 则，，， 故点到直线的距离为. 故选：A. 6．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据面面垂直的性质定理，可得平面，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可． 【解答过程】如图，连接， 因为为中点， 所以， 又平面底面，平面底面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，得， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为． 故选：B． 7．（24-25高二上·北京延庆·期末）如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论不正确的是（    ） A．平面 B． C．二面角的大小为 D．直线与平面所成角的大小不变 【答案】D 【解题思路】由平面平面，平面，即可判断A；建立空间直角坐标系计算即可判断选项B；先找出二面角的平面角为即可判断选项C，利用向量方法求直线与平面所成角的大小判断D. 【解答过程】对于选项A：因为平面平面，平面， 所以平面，故选项A正确； 如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，， ，，， 对于选项B：，， 因为， 所以，即， 故选项B正确； 因为，在棱上，所以二面角即二面角， 因为，， 平面，平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，， 所以二面角的大小为， 故选项C正确， 直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以， 所以直线与平面所成角的的正弦值为， 随的值的变换其正弦值也变化，故直线与平面所成角也变化，D错误. 故选：D. 8．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）如图，菱形边长为，，为边的中点，将沿折起，使到，连接，且，平面与平面的交线为，则下列结论中错误的是（    ） A．平面平面 B． C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用线面垂直判定性质、面面垂直的判断推理判断A；利用线面平行判断性质推理判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角、面面角判断CD. 【解答过程】对于A，在菱形中，，，则是正三角形， 由为边的中点，得，又，则， 而，平面，则平面， 又，于是平面，而平面，因此平面平面，A正确； 对于B，由，平面，平面，则平面， 又平面与平面的交线为，平面，因此，B正确； 对于C，由A知，，折起后仍有，，又平面， 则，以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 由平面，得是平面的一个法向量， 设与平面所成角为，则， 因此，C错误； 对于D，由选项C知平面，则为平面的一个法向量， 又，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 则，由图形知二面角为锐角，其余弦值为，D正确. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ）    A．异面直线与的夹角的正弦值为1 B．平面 C．点与平面的距离为 D．直线与平面所成的角为 【答案】AB 【解题思路】构建合适的空间直角坐标系，并标注出相关点坐标，应用向量法判断异面直线、点面距离和线面夹角判定A、C、D；应用线面平行的判定判断B. 【解答过程】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则 ， A：由，，则， 即，故异面直线与的夹角的正弦值为1，对； B：由，，则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，则平面，对； C：由，，， 若平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以点与平面的距离为，错； D：易知平面的一个法向量为，又， 设直线与平面的夹角为，则， 所以直线与平面所成的角不为，错. 故选：AB. 10．（24-25高二上·湖北孝感·期中）已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（   ） A．直线与直线所成的角为90° B．直线与平面所成角的余弦值为 C．平面 D．点到平面的距离为 【答案】ABC 【解题思路】以正方体的棱建立空间直角坐标系，然后得到点的坐标，由向量与向量数量积为0得到线线垂直；求出面的法向量，由求出线面角的正弦值，然后得到线面角的余弦值；由法向量与相等，证明平面；由向量的投影计算出点到面的距离. 【解答过程】在正方体，以为原点，分别为如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，， ∵，∴，∴A选项正确； ∵，，设平面的一个法向量为， 则，令，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则， ∴，∴B选项正确； ∵，∴平面，∴C选项正确； 点到平面的距离，∴D选项错误. 故选：ABC. 11．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为，则（    ） A．点到直线的距离是 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．直线到平面的距离是 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解题思路】易知可将该组合体补全成棱长为的正方体，建立空间直角坐标系，利用坐标法可得空间距离与夹角. 【解答过程】 如图所示，易知可将该组合体补全成棱长为的正方体， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 则，，，， A选项：，则， 所以到直线的距离，A选项正确； B选项：，则异面直线与所成角的余弦值为，B选项错误； C选项：易知直线，且平面，平面， 则平面， 所以直线到平面得距离及为点到平面的距离， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 即直线到平面的距离为，C选项正确； D选项：易知平面的应该法向量为， 则，即直线与平面所成角的正弦值为，D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高二上·北京西城·期中）在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为 ． 【答案】 【解题思路】利用异面直线夹角的向量求法建立空间直角坐标系计算可得结果. 【解答过程】分别取的中点，连接， 由正三柱性质可知， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由，可得， 所以， 又，且； 所以. 故答案为：. 13．（24-25高二上·广东江门·期中）如图，在棱长为1的正方体中：直线到平面的距离为 .    【答案】 【解题思路】将问题转换为点到平面的距离，故只需求出和平面的法向量，由此即可得解. 【解答过程】以O为原点，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系    则， 所以， 设是平面的一个法向量，则，令， 则. 因此，直线到平面的距离为. 故答案为：. 14．（2025高三·北京·专题练习）如图所示，，分别是正四棱柱上，下底面的中心，是的中点，，则下列结论正确序号有 .    ①； ②； ③异面直线与所成角的余弦值为； ④平面与平面夹角的余弦值为. 【答案】①③④ 【解题思路】根据题意，证得平面，进而得到，可判定①正确；根据题意，得到平面，结合平面，可得判定②错误；以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得，以及和的法向量，结合向量的夹角公式，可判定③正确、④正确． 【解答过程】对于①中，因为底面为正方形，且分别是正四棱柱上、下底面的中心，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以①正确； 对于②中，由分别是正四棱柱上底面的中心， 可得是的中点，则平面，因为平面， 所以与不平行，所以②错误； 以点为原点，直线所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则，，，，，，， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 对于③中，由，所以③正确； 对于④中，由于平面的法向量为，平面的法向量为， 可得，所以平面与平面夹角的余弦值为，所以④正确． 故答案为：①③④．    四、解答题 15．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． (1)证明：直线平面； (2)求直线PB与平面所成的角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）取AD中点O，连结PO，FO，以O为原点，OA为x轴，OF为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面； （2）求出直线PB的方向向量和平面的法向量，利用向量法即可求出直线PB与平面所成角的正切值. 【解答过程】（1）取AD中点O，连接， 在四棱锥中，，则， 由，则，有， 又平面底面，平面底面，平面， ∴平面，平面，则， 又分别为的中点，底面是边长为a的正方形，则， 所以两两垂直，以O为原点，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， ， 则，取平面PAD的法向量为， 所以，且平面， 所以平面； （2）由（1）知：，取平面的法向量， 设直线PB与平面所成的角为θ， 则， ∴，故， ∴直线PB与平面所成的角的正切值为． 16．（25-26高二上·安徽阜阳·开学考试）如图所示，已知四棱锥中，ABCD是直角梯形，，平面，. (1)求点B到平面CDE的距离； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)4 (2) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，用点到面的距离公式即可算出答案； （2）先求出两个面的法向量，然后用二面角公式即可. 【解答过程】（1）∵平面 平面 ∴， 又 两两互相垂直， 则以点为坐标原点，分别为轴，轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， 设平面的一个法向量 即 令，可得 ， ， 记点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为4. （2）由 ( 1 ) 可知平面的一个法向量为 平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 由图可知 ， ， 由图知，二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为，正弦值为， 二面角的正切值为. 17．（24-25高二上·广东汕头·期末）如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，．    (1)求证：平面平面； (2)若为的中点，求平面与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面，然后利用面面垂直的判定定理即得； （2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得． 【解答过程】（1）因为，所以，， 又，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）连接PO,OD,因为为正三角形，为中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又为的中点，所以，， 如图以为原点建立空间直角坐标系，    则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 又平面的一个法向量可取， 设平面与平面夹角为， 则， 又，所以，即平面与平面夹角为． 18．（2025·北京石景山·一模）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）设的中点为，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再结合线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）记的中点为，连接，推导出，然后以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值； （3）设，利用空间向量法可求出的值，在利用空间向量法可求出点到平面的距离. 【解答过程】（1）设的中点为，连接、， 因为为的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. （2）记的中点为，连接， 因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则、、、， 则，，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. （3）依题意，设，则， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 19．（24-25高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【解题思路】（1）由面面垂直的性质得出平面，再根据线面垂直的性质即可证明； （2）取的中点，连接，，建立空间直角坐标系，由点到平面距离的向量公式即可求解； （3）令，，由面面夹角的向量公式求得，即可求解． 【解答过程】（1）由于平面平面，平面平面 ， 且平面， 平面， 平面，． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以到平面的距离． （3）令，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 于是，， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 空间角、空间距离的计算 【苏教版】 模块一 空间角的计算 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【题型1 向量法求异面直线所成的角】 【例1】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）直三棱柱中，，，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二上·河北廊坊·期末）如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（25-26高二上·河北衡水·阶段练习）如图，正四棱锥，，，P为侧棱SD中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【变式1.3】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点. (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离. 【题型2 向量法求线面角】 【例2】（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二上·浙江·阶段练习）在四棱台中，平面，，，，且，动点满足，则直线与平面所成角正弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，点在底面ABC的射影为，，，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若直线AB与平面EAC所成角的正弦值为，求AB． 【变式2.3】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． (1)求证：平面平面； (2)若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【题型3 向量法求二面角】 【例3】（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在长方体中，，，，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2025·全国·模拟预测）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，如图所示． (1)证明：平面； (2)若为等边三角形，平面平面，，求二面角的余弦值． 【变式3.3】（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 模块二 空间距离的计算 1．距离问题 (1)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． (2)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． 2．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为. 3．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 【题型4 点到平面距离的向量求法】 【例4】（24-25高二下·江苏扬州·期中）在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二下·福建泉州·期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.    (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离. 【变式4.3】（24-25高二下·福建宁德·期中）如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【题型5 平行平面距离的向量求法】 【例5】（24-25高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【变式5.3】（2025高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【题型6 点到直线距离、异面直线距离的向量求法】 【例6】（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【变式6.2】（24-25高二上·辽宁大连·期末）三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 【变式6.3】（24-25高二上·河南开封·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离. 【题型7 利用空间向量研究探索性问题】 【例7】（24-25高三上·山东威海·期末）如图，在以为顶点的多面体中，平面平面， 为的中点    (1)证明： 平面； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【变式7.1】（24-25高二上·湖南永州·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，． (1)求线段的长； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式7.2】（24-25高二上·天津和平·开学考试）如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)求平面PDM和平面BDM的夹角的余弦值； (3)在线段PA上是否存在点，使点到平面BDM的距离是？若存在，求PQ的长；若不存在，说明理由. 【变式7.3】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形， ，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，，，，，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·课前预习）如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·课前预习）在棱长为1的正方体中，E，P分别为棱，的中点，则点E到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 7．（24-25高二上·北京延庆·期末）如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论不正确的是（    ） A．平面 B． C．二面角的大小为 D．直线与平面所成角的大小不变 8．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）如图，菱形边长为，，为边的中点，将沿折起，使到，连接，且，平面与平面的交线为，则下列结论中错误的是（    ） A．平面平面 B． C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 二、多选题 9．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ）    A．异面直线与的夹角的正弦值为1 B．平面 C．点与平面的距离为 D．直线与平面所成的角为 10．（24-25高二上·湖北孝感·期中）已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（   ） A．直线与直线所成的角为90° B．直线与平面所成角的余弦值为 C．平面 D．点到平面的距离为 11．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为，则（    ） A．点到直线的距离是 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．直线到平面的距离是 D．直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题 12．（24-25高二上·北京西城·期中）在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为 ． 13．（24-25高二上·广东江门·期中）如图，在棱长为1的正方体中：直线到平面的距离为 .    14．（2025高三·北京·专题练习）如图所示，，分别是正四棱柱上，下底面的中心，是的中点，，则下列结论正确序号有 .    ①； ②； ③异面直线与所成角的余弦值为； ④平面与平面夹角的余弦值为. 四、解答题 15．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． (1)证明：直线平面； (2)求直线PB与平面所成的角的正切值． 16．（25-26高二上·安徽阜阳·开学考试）如图所示，已知四棱锥中，ABCD是直角梯形，，平面，. (1)求点B到平面CDE的距离； (2)求二面角的正切值. 17．（24-25高二上·广东汕头·期末）如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，．    (1)求证：平面平面； (2)若为的中点，求平面与平面的夹角． 18．（2025·北京石景山·一模）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 19．（24-25高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $